Dispensa Geometria con Appunti (PDF)

GEOMETRIA ELEMENTARE INFO SUL PARZIALE DI GENNAIO: test a risposta multipla (a,b,c,d), parte teorica (definizione, proprietà, ragionamento) sia esercizi come quelli che ci fa vedere (esercizi Invalsi visti a lezione o quelli visti). Data prevista è lunedì 17 febbraio con turni...

GEOMETRIA ELEMENTARE INFO SUL PARZIALE DI GENNAIO: test a risposta multipla (a,b,c,d), parte teorica (definizione, proprietà, ragionamento) sia esercizi come quelli che ci fa vedere (esercizi Invalsi visti a lezione o quelli visti). Data prevista è lunedì 17 febbraio con turni la mattina e pomeriggio. Esame finale ORALE. Programma del corso PRIMA PARTE Introduzione Cenni sull’origine storica della geometria e sulla costruzione evolutiva dei concetti geometrici. Orientamento spaziale Dal corpo come primo riferimento ai sistemi di riferimento convenzionali. Dai percorsi alle linee; classificazione secondo attributi topologici e proiettivi. Enti fondamentali della geometria euclidea piana La retta e le sue parti; posizione reciproca nel piano. L’angolo: alcuni significati. Poligoni: caratteristiche generali. SECONDA PARTE Poligoni: famiglie notevoli (quadrilateri, triangoli); l’altezza. Grandezze e misura I concetti di grandezze e di misura dal punto di vista della matematica e delle scienze sperimentali. Grandezze geometriche: lunghezza, area, ampiezza. Cenni alle grandezze non geometriche. Il Sistema Internazionale di misura. 1 QUALI SONO LE CONOSCENZE MATEMATICHE ELEMENTARI? I riferimenti sono le Indicazioni Nazionali del 2012, dove troviamo 3 aspetti comuni: MATEMATICA : capacità di percepire i problemi e di risolverli con spiegazione razionale delle soluzioni FINALITA’: interpretare e intervenire criticamente sulla realtà AMBITI: logica: classificazioni, confronti, regolarità, relazioni numeri: contare, ordinare, confrontare geometria: orientarsi nello spazio, localizzare, organizzare lo spazio, riconoscimento di forme… Quattro macroaree delle prove INVALSI: i numeri, lo spazio e le figure (geometria), i dati e le previsioni, le relazioni e le funzioni PREMESSA: METODO ASSIOMATICO DELLA MATEMATICA non è possibile definire tutto si assumono dei termini primitivi (indicanti enti o relazioni) di cui non vengono date le definizioni esplicite (in tutte le teorie matematiche che vedremo, partiremo da degli enti che rimangono non definiti, che sono i termini primitivi) NON E’ POSSIBILE DIMOSTRARE TUTTO Si formulano delle proposizioni, dette assiomi o postulati, che non vengono dimostrate, ma considerate come ipotesi sulle quali fondare una teoria matematica, e che precisano il comportamento reciproco dei termini primitivi. LA GEOMETRIA da scienza sperimentale a scienza assiomatica ipotetico- deduttiva 2 1. ORIGINE E SIGNIFICATO DELLA GEOMETRIA Etimologia del termine: dal greco gé = terra e métron = misura. Testimonianze: Erodoto (V sec. a. C.), Aristotele (IV sec. a. C.), Proclo (V sec. d. C.) collocano l’origine della geometria nella civiltà degli Egizi → secondo Erodoto e Proclo per motivi catastali: necessità di misurare i terreni e ridefinire i confini dopo le periodiche piene del Nilo. (esigenza pratica di dire dove finiva il mio campo e dove iniziava il tuo → nascita in relazione all’esigenza pratica di misurare porzioni di terreno) → secondo Aristotele dalle speculazioni della agiata classe sacerdotale, mosse più dal senso estetico che da esigenze pratiche. Il più antico documento conosciuto dell’attività matematica risale alla civiltà sumerica (circa III millennio a.C.) → dai sumeri ai Babilonesi (1800 a.C.); studio approfondito della geometria applicata sia per architetture, sia per vincere le inondazioni e incanalare le piene. → dai Babilonesi agli Egizi → dagli Egizi ai Greci con Talete (VI secolo a.C.) diffusione del gusto per la ricerca geometrica. Euclide (300 a.C.) considerato il "padre" della geometria (matematica) come sapere razionale logico deduttivo. Opera principale: Elementi 13 libri, 9 dei quali dedicati alla geometria elementare piana nell’ambito della matematica greca sono punto di arrivo: raccolgono e coordinano tutto il sapere matematico costruito sino ad allora punto di partenza: il sapere geometrico (matematica) viene organizzato in un sistema assiomatico deduttivo. oggetto di studio: le figure e le loro relazioni riguardanti forma e grandezza per secoli testo esclusivo di riferimento per l’insegnamento elementare della geometria. 3 SINTESI DI ALCUNI STADI DI SVILUPPO DELLA GEOMETRIA 600-500 a.C. Talete Basi intuitive per i Pitagora primi teoremi 300 a.C. Euclide Primo esempio di geometria deduttiva 1596 - 1650 d.C. Cartesio Nascita della “geometria analitica” 1593 - 1662 Desargues Nascita della “geometria proiettiva” 1707 - 1783 Eulero Nascita della “topologia” 1777 - 1855 Gauss Scoperta delle “geometrie non euclidee” 1826 - 1934 Riemann Sviluppo della topologia con contributo di Mòbius, Hordan, Bettu, Kronecher, Cantor, Poincaré 1862-1934 Hilbert Sistemazione della “geometria euclidea” 1849- 1925 Klein Concetto di gruppo di trasformazioni per unificare e caratterizzare le varie geometrie Elementi di Euclide (300 a. C.): la geometria per la prima volta si configura come una scienza matematica “che costituisce il primo contributo alla filosofia" e prepara “l’avvio alla teologia”. Euclide organizza tutto il sapere, in particolare geometrico, elaborato dalla civiltà greca per la prima volta in forma assiomatica deduttiva: fissa alcuni termini primitivi – privi di definizione – e alcuni assiomi e postulati – enunciati da considerare 4  come veri, senza dimostrazione – e a partire da questi definisce ogni altro ente geometrico e deduce tutti gli altri teoremi. ⇓ Il termine geometria indica: - sia un’attività prassimetrica su oggetti reali - sia un’attività speculativa su oggetti ideali → Complesso e profondo rapporto tra le due accezioni, così radicalmente diverse, del termine geometria. Nel corso dei secoli vi è stata una notevole evoluzione nella geometria sia nel metodo (da attività prassimetrica a scienza assiomatica) sia nei contenuti ( da geometria di figure a geometria dello spazio) IL METODO ASSIOMATICO Definire esplicitamente un ente significa collegarlo ad altri enti precedentemente definiti, fornendo le condizioni necessarie e sufficienti per individuarlo. Non è possibile definire tutto → è necessario ammettere dei termini, indicanti enti o relazioni tra enti, dei quali non viene data la definizione termini primitivi. Tutti gli altri termini vanno definiti facendo ricorso a termini primitivi o a termini già definiti. Dimostrare una proprietà significa dedurla logicamente da altre proprietà precedentemente dimostrate → non è possibile dimostrare tutto → è necessario ammettere delle proprietà relative agli enti primitivi delle quali non viene data la dimostrazione; → sono accettate come “regole del gioco”, ipotesi fondanti la teoria: assiomi o postulati → tutte le altre proprietà, espresse da teoremi, vanno dimostrate, facendo ricorso agli assiomi o a proprietà già dimostrate. 5 Riassumendo: Per quanto riguarda gli assiomi devono essere sufficienti, quindi non posso darne meno di quelli che servono, devono esserci tutti e devono anche essere indipendenti tra loro (devo stare attento quando dò un assioma al fatto che gli altri assiomi non implichino lui stesso perché magari è un assioma che non serviva). Qual è lo spazio oggetto della geometria? “La filosofia [o scienza della natura] è scritta in questo grandissimo libro, che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri sono triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi non è possibile intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto”. (Galileo Galilei, Il saggiatore- 1564-1642). Noi viviamo in uno spazio tridimensionale, ma alla scuola primaria l’unica geometria che viene studiata è quella bidimensionale. Per Galileo la matematica è la chiave per interpretare la realtà e la geometria, in particolare, è il primo strumento per la sua lettura. 6 Preminenza confermata dalla Storia della Scienza: geometria prima conoscenza umana razionalizzata ed elevata ad un livello scientifico esempio “recente”: lettura dello spazio relativistico con la geometria non euclidea (Einstein) Lo spazio della geometria è lo spazio fisico, reale? Per lo spazio, come per il tempo, l’immediatezza percettiva che lo rende una categoria di pensiero primitiva. Estrema difficoltà di definizione, ma necessità di circoscrivere il significato del termine. Spazio fisico denota l’ambiente reale, concreto in cui si svolge la nostra esistenza, che percepiamo attraverso i sensi, la variazione dei toni muscolari e il movimento, che è al di fuori del nostro corpo e che cominciamo a scoprire sin dai nostri primi gesti finalizzati alla nutrizione; è tridimensionale, limitato, anisotropo (ha la verticale come direzione privilegiata), non omogeneo (il soggetto che lo percepisce è punto privilegiato, ognuno lo percepisce in base a se stesso). Spazio geometrico caratterizzato dall’essere illimitato, isotropo (non ha direzioni privilegiate), omogeneo (non ha punti privilegiati) e a più dimensioni (n dimensioni) ⇓ lo spazio della geometria NON è lo spazio della fisica la geometria non è una scienza sperimentale C’è rapporto tra lo spazio fisico e lo spazio geometrico? Non sono sovrapponibili, perché sono due enti che hanno delle differenze e che comunicano tra di loro “Non esiste nel mondo fisico nulla che corrisponda ai concetti astratti di retta, e di triangolo, non si possono quindi “misurare” gli angoli di un triangolo (astratto), né affermare che nello spazio fisico sia verificata una determinata geometria (astratta). Es. il punto non ha dimensioni (non può esistere nella realtà qualcosa che non ha dimensioni). Il quadrato, come tutti gli enti geometrici che noi studiamo, sono modelli (sono astratti), esistono nel mondo delle idee. Esistono delle forme che li richiamano. In classe, però, vogliamo l’aderenza con il reale e quindi sarà importante soffermarsi non tanto sulla 7  forma, quanto sulle proprietà che caratterizzano quella forma. Le proprietà […] dei corpi possono essere rappresentate da una teoria astratta soltanto in modo più o meno approssimato. La geometria euclidea ci dà questa rappresentazione con una approssimazione ampiamente sufficiente per tutte le esigenze della pratica” (Fano). Come mostra la storia della formazione dei concetti geometrici nell’umanità nei singoli individui “La geometria è un primo passo con il quale un soggetto umano cerca di porsi razionalmente in rapporto con gli oggetti che lo circondano, e dicendo porsi razionalmente intendo dire che un soggetto cerca di descrivere gli oggetti, le relazioni tra loro e con l’ambiente in modo preciso e obiettivo e di dedurre con sicurezza certe conseguenze da poche premesse” (Manara, 1984) TUTTAVIA Rapporto bidirezionale tra lo spazio fisico e la geometria spazio fisico ⇒ spazio geometrico tramite processo di astrazione spazio fisico ⇐ spazio geometrico con strumenti razionali più potenti, economici (razionalizzazione) … ⇓ La geometria permette di organizzare in modo razionale, rigoroso, preciso, obiettivo, comunicabile senza ambiguità le esperienze e le conoscenze del mondo fisico. Quale rapporto tra figure e disegni? (noi ragioniamo sulle figure) “I geometri si servono delle figure visibili [i disegni] e ragionano su di esse, ma non ad esse pensando, bensì a ciò di cui esse sono immagini, ragionando sul quadrato in sé, sulla diagonale in sé, e non su quelle che disegnano. […] cercando di vedere certe verità che non si possono vedere se non col pensiero” (Platone, La Repubblica). DISEGNO FIGURA rappresentazione “materiale” di ente ideale, sottoinsieme di una figura, rappresentazione punti in uno spazio collocata in uno spazio fisico, geometrico, non presente quindi imperfetta e particolare nella realtà, ma che dalla realtà può essere richiamata 8 una figura è completamente individuata dalla sua definizione geometrica, che è la sola base sicura per la definizione corretta di tutte le proprietà della figura. Non dimenticare la profonda differenza tra spazio fisico e spazio geometrico Non credere (implicitamente o esplicitamente) che impossibilità fisiche siano impossibilità geometriche → come emerge da frasi tipo “un triangolo non può essere appoggiato su un vertice” e dall’evitare disegni come proprietà fisiche siano proprietà geometriche → come quando si afferma che “nel piano una retta può essere orizzontale o verticale (proprietà fisica) relazioni fisiche siano relazioni geometriche → come nel caso della relazione destra/sinistra (noi siamo asimmetrici e possediamo questa relazione, in geometria non esistono destra e sinistra ma bisogna specificarle) movimenti fisici siano trasformazioni geometriche → come quando si ritiene di avere affrontato la simmetria dopo avere proposto attività di piegatura della carta (dopo l’attività pratica serve un momento riepilogativo e di ristrutturazione del concetto di una certa abilità che porta lo studente ad ottimizzare ciò che ha appreso) “stimoli” fisici siano “prove” geometriche → come quando si fornisce la presunta definizione. ad esempio questo è un trapezio (NON PUÒ ESSERE UNA DEFINIZIONE → Devo specificare le proprietà (tipo che ha i lati paralleli etc) Chiliagono regolare: è un poligono regolare con 1000 lati. Lo possiamo disegnare? sarebbe complesso ma potenzialmente si potrebbe disegnare: ha 1000 lati uguali, 1000 angoli uguali. Senza vederlo possiamo dedurre le proprietà solo dalla definizione: impossibilità di costruire del chiliagono regolare un’immagine grafica o mentale, distinguendo il poligono da quello che ha un lato in più o un lato in meno e dal cerchio 9 possibilità di dedurre dalla sua definizione tutte le proprietà del poligono: la somma delle ampiezze dei suoi angoli interni è uguale a 998 x 180 gradi ha tutti i lati tra loro congruenti ha tutti gli angoli tra loro congruenti, ciascuno dei quali è ampio 179 gradi e 38 primi ha 1000 assi di simmetria: 500 passano per i punti medi di due lati, gli altri 500 congiungono due vertici del poligono Il pensiero geometrico è distinto dal figurativo ⇓ Bisogna essere consapevoli della differenza tra vedere e sapere vedere e guardare vedere e immaginare vedere e dedurre per evitare che la vista sia da ostacolo cognitivo 2. LA FORMAZIONE DEI CONCETTI GEOMETRICI Noi dobbiamo procedere dallo spazio fisico in cui facciamo l’esperienza allo spazio della geometria che è lo spazio dell’astrazione. “La geometria è un primo passo con il quale un soggetto umano cerca di porsi razionalmente in rapporto con gli oggetti che lo circondano, e dicendo «porsi razionalmente» intendo dire che un soggetto cerca di descrivere gli oggetti, le relazioni tra loro e con l’ambiente, in modo preciso e obiettivo e di dedurre con sicurezza certe conseguenze da poche premesse” (C. F. Manara, 1984) ⇓ il processo di costruzione della conoscenza geometrica prende le mosse dall’esperienza del soggetto e a tale conoscenza torna per guidare un comportamento critico e razionale sulla realtà. Dall’esperienza alla geometria attraverso astrazione dalle sensazioni specializzazione e 10 formalizzazione del linguaggio. ESPERIENZA mediante un processo di: - SENSAZIONI VISIVE: sensazioni relative a oggetti aventi particolari configurazioni (fili tesi, specchi piani, …), fenomeni fisici (sottili fasci di luce in una stanza buia e polverosa, …) - SENSAZIONI TATTILO-MUSCOLARI: sensazioni relative alla manipolazione di oggetti, alle forze agite o subite che noi esercitiamo o subiamo (forza gravitazionale), alla variazione dei toni muscolari, … Le sensazioni visive e tattilo-muscolari sono molteplici e complesse → siamo sottoposti a molteplici stimoli contemporaneamente e in parallelo e dobbiamo cercare di coordinare questa complessità di stimoli e dall’esperienza andare a costruirci quelle che sono le immagini mentali. Quindi partiamo dall’esperienza per costruire queste immagini mentali attraverso il processo di astrazione. Dall’esperienza arriviamo alle immagini mentali tramite l’astrazione ASTRAZIONE - prescindere da alcune proprietà (colore, peso, temperatura, …) - concentrare l’attenzione solo su alcune proprietà (forma, dimensione, posizione nell’ambiente) - spingere al «limite» altre proprietà (punto privo di estensione, retta illimitata, …) Molteplicità e complessità degli stimoli: l’attributo di indeformabilità (→ corpo e movimento rigido) acquisisce significato sia dalla constatazione degli sforzi fatti nel tentativo di deformare un oggetto sia dalla mancanza di un cambiamento visibile della sua forma). Una volta sviluppate le immagini mentali arrivo ai concetti geometrici che richiedono un ulteriore passaggio di astrazione. - ulteriore ASTRAZIONE (richiede anche un collegamento tra le varie immagini mentali che ho fatto, ad es. la retta è costituita da infiniti punti, quindi io prendo due immagini mentali diverse, la retta, il punto e le metto in relazione) - relazionare immagini mentali/costruire strutture di informazioni →ESPERIENZA SOGGETTIVA cioè l'esperienza che ho fatto è vista e percepita solo tramite il mio modo di vedere →ESPERIENZA INTERSOGGETTIVA se voglio raccontare la mia esperienza a qualcun altro (nel senso che per poter parlare con qualcun altro dobbiamo utilizzare lo stesso modo di comunicazione, stessa lingua, stessi termini e condividere i significati).Nasce dalla necessità di comunicare e dalla pluralità dei punti di vista → ESPERIENZA OGGETTIVA, devo avere 11  un linguaggio convenzionale e nasce dalla necessità di rendere impersonale le descrizioni e di indicare enti ideali Quali esperienze, concetti, termini geometrici si formano per primi? Ricchezza della componente geometrica nelle esperienze spaziali spontanee. Secondo Piaget le proprietà che più venivano assimilate dai bambini (diventavano concetti) erano quelle topologiche: predominanza delle proprietà topologiche rispetto alle proprietà proiettive ed euclidee L’idea di Piaget è stata superata dagli studi successivi. Quali sono queste proprietà topologiche? Es. Schede di classe prima con i rapporti topologici che secondo Piaget sono quelli che diventano subito concetti geometrici. Tanto materiale che utilizziamo si basa su questa impostazione (quella di Piaget) La topologia dei sussidiari NON è la topologia della geometria! La topologia è una disciplina matematica che si sviluppa attorno al 1800 (XVIII-XIX secolo) e che spesso viene proposta nelle classi prime e seconde della primaria (o addirittura all’infanzia). Spesso si parla di queste proprietà topologiche perché si fa riferimento agli studi di Piaget 12 (parliamo di presunta applicazione didattica degli studi di Piaget, perché questi studi sono stati superati). É necessario un aggiornamento di queste pratiche. É efficace una topologia proposta in questo modo? No, perché non solo le proprietà topologiche diventano concetti geometrici, ma ce ne sono altre (es. proprietà metriche e proprietà affini). La topologia che spieghiamo alla scuola primaria (quella che troviamo sui sussidiari) non è la topologia matematica (geometrica). Sono due topologie diverse. Topologia piana: è la geometria del «foglio di gomma» nel senso che studia le proprietà (di un certo oggetto, in questo caso piano, attraverso una deformazione) delle figure che si conservano operando sul piano movimenti elastici, cioè deformazioni mediante torsioni, compressioni, tensioni, senza operare sovrapposizioni o tagli ⇓ quelle topologiche sono le proprietà delle figure geometriche più radicate e essenziali che persistono nonostante trasformazioni tanto profonde da far perdere tutte le proprietà metriche e proiettive. Esempio Tracciamo su un foglio di gomma una linea chiusa L, su di essa evidenziamo alcuni punti (A, B, C), uno dentro (X) e uno fuori (Y); riportiamo la configurazione su un foglio di carta velina o su lucido. Supponiamo di fissare il verso di percorrenza della linea in modo da incontrare i punti in ordine alfabetico. Sottoponiamo il foglio di gomma ad un movimento elastico e riproduciamo la linea ottenuta nella deformazione sulla velina o su lucido. 13  Confrontando le due configurazioni si rileva che si conservano alcune proprietà tolopogiche: “chiusura” della linea ”appartenenza” dei punti alla linea ”ordine” in cui i punti si succedono “essere interno” alla linea “essere esterno” alla linea non avere “incroci” NON si conservano “forma” della linea (proprietà proiettiva) “lunghezza” della linea (proprietà metrica) “distanze” tra i punti (proprietà metrica) “estensione” della regione interna misure degli angoli (proprietà metrica) In generale, sono proprietà topologiche per le linee (e i punti): ✔ essere linea “aperta/chiusa” ✔ essere linea “semplice/intrecciata” ✔ essere linea “continua/discontinua” ✔ definire “regione interna / regione esterna” ✔ essere “frontiera” ✔ “appartenere” a una linea ✔ essere punti in un certo “ordine” per una superficie (bidimensionale): ✔ essere “aperta/chiusa” ✔ essere “semplice/intrecciata” 14  ✔ essere “con buchi/senza buchi” ✔ definire “regione interna / regione esterna” ✔ essere “connessa/sconnessa” ✔ essere “inclusa” Quindi una disciplina (topologia) che mi dice che queste linee sono equivalenti è una disciplina che semplifica molto (non guarda la forma). è una disciplina fortemente astratta e non concreta. Perché studiare questa disciplina fortemente astratta? (esempi concreti come un grafo della linea metropolitana con linee e nodi) ALCUNI TEOREMI TOPOLOGICI: (a titolo esemplificativo) Formula di Eulero per i poliedri In un poliedro semplice (es. piramide) – solido la cui superficie è costituita da un certo numero di facce poligonali e senza buchi – indicando con V il numero dei vertici, S il numero degli spigoli, F il numero delle facce, si ha V+F=2+S Teorema dei quattro colori Un esempio di teorema di topologia è quello detto Teorema dei quattro colori: Per colorare una 15  mappa qualsiasi, in modo che regioni confinanti abbiano colori diversi, sono sufficienti quattro colori distinti. La topologia utilizza un linguaggio fortemente visivo ha forti basi intuitive studia “poche” proprietà ha uno spazio “povero” è fortemente astratta ha una formalizzazione matematica molto complessa obbliga a ignorare “troppi” aspetti dello spazio fisico, persino la forma. Studi successivi a Piaget dimostrano come le prime esperienze geometriche da parte dei bambini non siano riducibili soltanto a quelle di tipo topologico, ma siano molto ricche sia di proprietà proiettive (es. allineamento, configurazioni) sia di proprietà euclidee (es. forme, distanze, estensioni, confronti di “similitudine”, “uguaglianza”), con esperienze di forme – e relativa denominazione pur se non convenzionale – di valutazione di distanza, aree, volumi, di relazioni di “similitudine”, “uguaglianza Osserviamo questo oggetto geometrico con gli occhi di diverse discipline: 16  1. LA GEOMETRIA NELL’APPRENDIMENTO PRIMARIO VALENZA EDUCATIVA DELLA GEOMETRIA scienza che rende razionale, oggettivo, sintetico il porsi dell’individuo nello spazio fisico (corrispondenza tra spazio fisico e spazio geometrico tramite l’astrazione) il ragionamento e i processi deduttivi praticati con strumenti della logica classica e del linguaggio comune, senza uso di un simbolismo convenzionale, come, invece, per l’aritmetica (la geometria è un ambito di applicazione della logica) educare la fantasia all’estrapolazione per giungere ad una sintesi creatrice tra l’opera dell’intelligenza e quella dell’immaginazione. ⇓ ALCUNE CONSEGUENZE DIDATTICHE Geometria contesto ricco per guidare gli alunni alla reinvenzione. È importante: ✔ partire dalle esperienze spaziali e immagini mentali già possedute (partire dal concreto) ✔ predisporre attività motorie e manipolatorie nello spazio fisico per effettuare esperienze spaziali qualitativamente diverse da quelle spontanee: osservazioni mirate accompagnate da descrizioni prima soggettive e poi intersoggettive ⇒ avviare il soggetto a riflettere su ciò che fa e manipola e ad impiegare termini e nomi per comunicare univocamente (riflessione e verbalizzazione=ristrutturazione importante a fine percorso) Razionalità del comportamento nei confronti dell’ambiente e progettualità delle azioni esplicitate, potenziate ed educate anche dall’impiego di strumenti (carta, riga compasso, …) - cioè, educare ad un agire razionale nello spazio fisico. 17  ORIENTAMENTO SPAZIALE 1. PREMESSA 1.a) L’orientamento spaziale nella formazione matematica 1.b) Il corpo come primo riferimento 2. LOCALIZZAZIONI 2.a) Individuazione di una posizione nello spazio fisico oppure nel piano, definita dall’osservatore oppure da un oggetto 2.b) Organizzazione del piano mediante sistemi di riferimento oggettivi 2.c) Utilizzo di sistemi di riferimento notevoli 3. SPOSTAMENTI 3.a) Esecuzione e rappresentazione di percorsi 3.b) Analisi degli elementi geometrici connessi ai percorsi Le argomentazioni esposte nella sezione che segue sono approfondite nei testi – Colombo Bozzolo C., Costa A., Nel mondo della geometria vol.1, Erickson, Trento – Pea B., Matematica nella scuola di base, Volume 1, Vannini, Gussago 2001 (da cui sono tratti i disegni che seguono) – Bartolini Bussi M. G., Matematica. I numeri e lo spazio, Edizioni Junior Bg PREMESSA 1.a) L’orientamento spaziale nella formazione matematica "Che cos'è la geometria a livello di base? Senza dubbio dobbiamo rispondere: la geometria è possesso dello spazio. E poiché parliamo dell'educazione dei bambini, essa è possesso dello spazio nel quale il bambino vive, respira e si muove: lo spazio che il bambino deve imparare a conoscere, esplorare, conquistare per vivervi, respirare e muoversi meglio". (H. Freudenthal cit. in “La matematica dalla Scuola Materna all'Università" a cura di L. Grugnetti e V. Villani - Pitagora Editrice – Bologna). ⇓ Il concetto di spazio è estremamente importante a tre livelli (Bartolini Bussi) - a livello psicologico, perché lo spazio con il tempo è un elemento fondamentale nella descrizione dello sviluppo cognitivo in tutte le culture - a livello pedagogico, perché le esperienze spazio-temporali sono i contesti privilegiati entro i quali esercitare l’attività di rappresentazione e di simbolizzazione 18  - a livello culturale, in quanto la riflessione sullo spazio ha originato la geometria, la geografia, l’astronomia, tecniche di rappresentazione come la prospettiva, … È opportuno distinguere - il comportamento spaziale inteso come attività senso-motoria nell’ambiente fisico (esperienza), osservabile direttamente; - la rappresentazione spaziale intesa come processo di ricostruzione dell’esperienza spaziale ed esplicitazione di tale processo con un sistema simbolico qualsiasi (linguaggio, disegno, gesto) Le esperienze sono riconducibili a tre filoni. Il comportamento spaziale, quindi, coinvolge: 1) lo spazio del corpo, cioè il quadro di riferimento interno legato alla presa di coscienza dei movimenti del corpo e delle sue parti e alla costruzione dello schema corporeo. Quindi, lo spazio del corpo è dato dal movimento del corpo, delle sue parti e dalla costruzione dello schema corporeo. Ci permetterà di individuare delle macroaree, cioè di dividere lo spazio 2) gli spazi esterni specifici, che comprendono diversi spazi ambientali (casa, scuola, parco) e diversi tipi di spazi rappresentativi (il foglio di carta bianco, quadrettato, lo schermo del computer, la lavagna); 3) lo spazio astratto, il modello geometrico elaborato dalla matematica. Ognuno di questi filoni di esperienze comporta modalità di esplorazione e attività cognitive diverse: 1) lo spazio del corpo si configura con l’acquisizione della posizione eretta, che consente di elaborare un sistema di riferimento finalizzato alla rappresentazione dei movimenti del corpo e delle sue parti; 2) gli spazi esterni specifici vengono ulteriormente distinti in microspazio e macrospazio Relazione all’attività cognitiva del soggetto durante l’esplorazione modalità di inclusione percezione esplorazione visione globale da uno (o pochi) punti di vista, con la vista e la percezione istantanea, in microspazio soggetto manipolazione tempi brevi cambiamenti di esterno prospettiva 19  con la vista non è globale, quindi richiede assunzione di punti di vista diversi, con macrospazio soggetto movimento impiego di tempo interno La distinzione non è, dunque, operata in base alla dimensione dello spazio da esplorare. Per esempio, un cortile è un macrospazio nel momento in cui il bambino ci gioca, mentre è un microspazio quando il bambino lo osserva dalla finestra. Da alcuni autori viene introdotto anche il megaspazio per indicare lo spazio del cielo, del cosmo, della Terra come pianeta. lo spazio astratto è quello della matematica, non è un’evoluzione naturale o frutto di un apprendimento spontaneo, ma richiede un intenzionalità educativa e di acculturazione. (sistemi di riferimento matematici - coordinate cartesiane, polari) Il concetto di sistema di riferimento fornisce lo strumento per descrivere e interpretare i comportamenti nei vari spazi. Negli spazi esterni un sistema di riferimento è un luogo o un oggetto oppure un insieme di luoghi o oggetti rispetto ai quali le posizioni possono essere descritte. Tali sistemi di riferimento risentono di tutte le caratteristiche tipiche dello spazio fisico (non omogeneità, anisotropo, …) e possono essere - oggettivi o assoluti cioè indipendenti dal soggetto che esprime le relazioni spaziali; per esempio, un oggetto cavo che definisce dentro-fuori; (una palla è dentro una scatola) - soggettivi, cioè dipendenti dal soggetto che struttura lo spazio attraverso la proie- zione verso l’esterno del proprio schema corporeo; a loro volta questi sistemi di riferimento si distinguono in egocentrici nei quali la descrizione viene fatta direttamente con riferi- mento al soggetto - sono io che descrivo (es. una palla è davanti a me) allocentrici nei quali la descrizione delle relazioni spaziali e delle po- sizioni è fatta con riferimento a un oggetto diverso dal soggetto che descrive; tale oggetto può essere canonico, ossia ha caratteristiche assimilabili a quelle del corpo umano; si possono avere conflitti di orientamento tra soggetto e oggetto; (es. una palla è davanti alla sedia) oppure non canonico, ossia è un oggetto privo di parti privilegiate al quale è necessario attribuire un’orientazione temporanea che tiene conto del soggetto; in questo caso si possono creare conflitti tra diverse posizioni del soggetto. (es. davanti alla finestra) - bisogna fare riferimento alla propria percezione (una palla è davanti all’albero) 20 21  Per quanto premesso, è fondamentale impostare itinerari didattici relativi all’orientamento spaziale che includano esperienze motorie e manipolatorie. ⇓ ✔ trasversalità delle proposte: matematica, motoria, spazi, tempo, lingua ✔ specificità del lavoro in matematica, quindi non delegabile ad altri: far evolvere dalla soggettività dell’orientamento spaziale nello spazio fisico all’oggettività dell’orientamento nello spazio geometrico costruire immagini mentali alle quali rifarsi per dare significato a concetti geometrici implicazioni anche in ambito aritmetico (es. importanza dell’organizzazione spaziale nelle attività di conteggio) ✔ esperienze scolastiche di orientamento spaziale qualitativamente diverse da quelle spontanee, che sono stabilite in genere dagli adulti dettate da scopi estrinseci (raggiungere una persona, prendere un oggetto, …) prevalenza del fine rispetto all’esperienza spaziale mancanza di riflessione esplicita mancanza di esplicitazione dei punti di riferimento mancanza di organicità egocentrismo implicito del riferimento ambiguità del linguaggio naturale (descritte con linguaggio ambiguo) drastica riduzione delle occasioni spontanee e libere motorie e dinamiche per i bambini a causa delle abitudini sociali e familiari: mancanza dei tradizionali giochi di cortile (girotondo, gioco dei quattro cantoni, giochi con la palla, gioco della campana, …) che sono una componente essenziale della prima autoeducazione geometrica ✔ Necessità di razionalizzare le esperienze spaziali attraverso discussione riflessione, verbalizzazione, confronto, formalizzazione ✔ due fasi essenziali: fase dell’esperienza - corporea e di manipolazione - percorsi, labirinti, giochi di cortile, giochi topologici fase della verbalizzazione - orale, scritta, pittorica, grafica - non sottovalutare i problemi che derivano dal necessario passaggio dallo spazio tridimensionale della realtà allo spazio bidimensionale del foglio Il corpo come primo riferimento In termini di orientamento spaziale, cerchiamo di rispondere a 4 macrodomande: chi? cosa? dove? 22 quando? Partiamo dal cosa. L’orientamento spaziale lo possiamo vedere tramite le localizzazioni (come individuare una posizione nello spazio). Per individuare una posizione, abbiamo bisogno di un riferimento e di un linguaggio per esprimere le posizioni. Il primo riferimento è il corpo Nelle esperienze spaziali spontanee, condotte sin dai primi giorni di vita, il riferimento rispetto al quale lo spazio fisico viene strutturato è il corpo, il quale con le proprie caratteristiche permette di individuare partizioni spaziali che sono espresse con binomi localitivi quali: davanti/dietro destra/sinistra sopra/sotto dentro/fuori DAVANTI – DIETRO ✔ Presuppone che il riferimento sia orientato, ossia abbia a sua volta una parte qualificata come «davanti» e una qualificata come «dietro», distinte per forma e per funzione ⇓ ✔ il proprio corpo è il primo di tali riferimenti per il bambino: la partizione davanti – dietro del corpo è una rappresentazione mentale della sua struttura, nel senso che non esiste una membrana anatomica che divide il corpo, ma esiste un elemento separatore astratto che proiettato nello spazio genera un piano corporeo che ripartisce lo spazio in due semispazi complementari (sistema di riferimento egocentrico) Attenzione! ✔ Non ha significato a prescindere dal soggetto che descrive le posizioni il binomio davanti – dietro riferito a oggetti privi di orientamento, che non possono essere messi in analogia con il corpo umano (ambiguità del linguaggio umano): sì rispetto no rispetto casa, automobile, sedia con schienale, … (sistema albero, sgabello senza schienale, di riferimento allocentrico con oggetto canonico) ⇓ ambiguità del linguaggio naturale: “Mettiti davanti all’albero” non può essere il davanti proiettivo dell’albero, dunque? Si tratta di un sistema di riferimento allocentrico con oggetto non canonico, per cui pur non cambiando la posizione, per esempio, della palla rispetto all’albero, tale posizione può essere descritta come davanti all’albero o dietro all’albero in relazione alla posizione del soggetto che effettua la descrizione 23 ✔ Non è da confondere con di fronte – alle spalle: il “di fronte” è riferito alla faccia, il “davanti” al piano corporeo, per cui se si sta fermi con il corpo e si volta la faccia si modifica il “di fronte” ma non il “davanti”. Questa scheda è errata, non è chiara. La rappresentazione piana è frontale (non riesco a capire cosa sia realmente davanti o dietro). Si dovrebbe fare uno sforzo eccessivo per rappresentarsi mentalmente la situazione tridimensionale, ma c’è una mancanza di informazioni. E allora si usa il contesto del linguaggio comune: dietro=nascosto/davanti=non nascosto. “Il gatto è davanti alla casa” sarebbe corretto, perché la casa ha effettivamente un davanti (entrata) Se non ho un riferimento, non devo utilizzare un linguaggio ambiguo (davanti senza nessun riferimento), ma utilizzo “il primo bambino”. Sarebbe corretto scrivere “colora il bambino che sta davanti alla bambina” Linguaggio naturale: davanti/dietro come prima/poi, primo/ultimo DESTRA – SINISTRA 24 ✔ Presuppone che il riferimento abbia una simmetria laterale, ossia abbia due parti uguali, ma distinte per l’uso e il movimento ⇓ ✔ il proprio corpo è il primo di tali riferimenti per il bambino: la partizione destra – sinistra del corpo è una rappresentazione mentale della sua struttura, nel senso che richiede la consapevolezza della suddivisione in due parti dalla colonna vertebrale; l’elemento separatore viene proiettato nello spazio, generando un piano corporeo che ripartisce lo spazio in due semispazi complementari (sistema di riferimento egocentrico) Attenzione! Non ha senso associare il binomio destra - sinistra a riferimenti a simmetria radiale (stelle marine) o privi di simmetria (albero) se non in relazione al soggetto che effettua la descrizione (sistema di riferimento allocentrico con oggetto non convenzionale, non canonico) SOPRA – SOTTO (O ALTO – BASSO) 25 ✔ Rimanda alla direzione privilegiata della forza di attrazione gravitazionale che condiziona la nostra posizione rispetto alla superficie terrestre. ⇓ ✔ il proprio corpo è il primo di tali riferimenti per il bambino: la partizione sopra – sotto del corpo è mentalmente ottenuta proiettando la frontiera fra la cassa toracica e l’intestino nel piano perpendicolare alla direzione della forza gravitazionale e passante all’incirca per l’ombelico del soggetto in posizione eretta; viene qualificato come «sopra» il semispazio che contiene il tronco e il capo e come «sotto» quello che contiene gli arti inferiori (sistema di riferimento egocentrico). Attenzione! Sopra-sotto viene interpretato nel linguaggio non come una partizione spaziale, ma come relazione tra oggetti, per cui sopra significa appoggiato o, per lo meno, sopra verticalmente: “sopra” non equivale a “sul”. Lavoriamo su un ordinamento piuttosto che su sopra e sotto I tre piani corporei consentono di ripartire lo spazio in 8 regioni (classi posizionali) tra loro disgiunte e complementari, ciascuna delle quali è una classe di posizioni equivalenti; per esempio: davanti – destra – sopra, davanti – sinistra – sotto, ecc. La combinazione dei binomi partitivi è un'occasione di utilizzo significativo dei connettivi logici. Queste partizioni sono proprie dello spazio fisico, per cui quando si passa allo spazio piano del foglio possono perdere di significato o assumerne uno convenzionale: cosa significa destra/sinistra del foglio? 26 DENTRO – FUORI ✔ Presuppone di avere un riferimento “chiuso”: nel piano una linea chiusa e nello spazio una superficie chiusa. ⇓ ✔ La prima superficie che discrimina un dentro da un fuori è quella corporea (le due parti dentro e fuori, nel corpo dell’uomo, sono separate da una membrana che fornisce l’immagine di una superficie che ripartisce lo spazio fisico in due semispazi complementari ✔ Partizione solo apparentemente facile, che causa invece tante ambiguità linguaggio naturale: uso di diverse preposizioni considerate equivalenti a “dentro” (in, nel); forza gravitazionale: fa sì che i liquidi, per esempio, rimangano “nel” contenitore anche se questo non è chiuso. Quando si rappresenta in piano una situazione di orientamento spaziale, quasi sempre si immagina la situazione spaziale fisica prevalentemente vista dall’alto, quindi ciò che effettivamente interessa è quanto avviene sul piano del pavimento. Per evidenziare l’orientamento del soggetto rispetto al quale viene ripartito il piano si è soliti evidenziare il naso per esempio con un triangolo. I binomi locativi sono importanti non solo per effettuare localizzazioni, ossia individuare posizioni (valore posizionale), ma anche per discriminare i diversi modi con cui effettuare spostamenti (valore direzionale). I binomi locativi, quindi, possono avere un valore posizionale (dire dove sta una certa cosa rispetto a un certo riferimento) e un valore direzionale (discriminare quali sono i diversi modi con i quali effettuare spostamenti). - Valore posizionale Si riferisce al problema di riconoscere la propria collocazione rispetto ad una delle partizioni che viene identificata con il saper cogliere il valore posizionale nello spazio stesso. Il bambino che all'interno di un cerchio afferma di essere dentro sta esprimendo un valore posizionale poiché ha riconosciuto una partizione dello spazio in dentro/fuori e si colloca rispetto ad essa. - Valore direzionale Spostarsi in avanti oppure indietro significa (modificare le partizioni spaziali indotte) operare nello spazio fisico in modo che risultino modificate le partizioni dello spazio, quindi la posizione di oggetti rimasti fissi. Questo può avvenire in due modi: variando la propria posizione nello spazio o variando il proprio orientamento o direzione. 1. Il cambiamento di posizione nello spazio può portare ad una modificazione ❑ sia della partizione davanti/dietro sia della partizione quella destra/sinistra, 27  ❑ solo una delle due partizioni; per esempio, se si chiede di camminare in avanti o indietro, cambia solo la partizione davanti/dietro 2. Il cambiamento di orientamento o direzione senza cambiare la posizione si può realizzare attraverso la rotazione del corpo, rimanendo nello stesso posto. Fare esperienza sui valori direzionali consente ai bambini di associare immagini mentali (costruzione di immagini mentali) ai termini rettilineo, curvo, cambiamento/non cambiamento di direzione. Tali immagini mentali potranno fare poi da riferimento semantico a concetti geometrici come retta, semiretta, direzione,... NOTA Negli appunti che seguono (sezione 2 e sezione 3) sono descritte alcune proposte didattiche relative all’orientamento spaziale, del quale vengono distinti i due aspetti: - la localizzazione, ossia l’individuazione di posizioni nello spazio (rispetto ad alcuni riferimenti) - gli spostamenti, ossia il cambiamento di posizione nello spazio allo scorrere del tempo. La distinzione è puramente funzionale all’ordine espositivo degli appunti, in quanto didatticamente i due aspetti vengono sviluppati parallelamente. Dove vogliamo trattare questo orientamento spaziale? come priorità dobbiamo darci lo spazio fisico- percettivo (spazio geografico, astronomico…..geometrico… cioè tutto ciò che lo studente ha attorno a sé) Chi si deve occupare di orientamento spaziale a scuola? insegnante di spazio/tempo, di motoria, 28 di lingua, di matematica Quando si affronta l’orientamento spaziale? in ambito extrascolastico sin dai primi giorni di vita e in ambito scolastico dalla scuola dell’infanzia e dai primi anni della scuola primaria per tutta la formazione scolastica. LOCALIZZAZIONI 1.b) Individuazione di una posizione nello spazio fisico oppure nel piano, definita dall’osservatore oppure da un oggetto SCUOLA DELL’INFANZIA E CLASSE PRIMA – SECONDA PRIMARIA 1.b.I) Individuazione di una posizione nello spazio fisico (siamo nell’ambito dell’esperienza nei due aspetti → posizione e spazio fisico). La posizione verrà data tramite dei riferimenti che sono soggettivi egocentrici e soggettivi allocentrici canonici; lo spazio fisico come spazi esterni specifici e quindi spazio tridimensionale → macrospazio (=livello psicomotorio) e microspazio (=livello manipolatorio) spazio bidimensionale → livello grafico. NB: nel macrospazio il soggetto è INTERNO allo spazio (la percezione è limitata all’esperienza che sta vivendo in quel momento); nel microspazio il soggetto è ESTERNO ( es. bambino che gioca nel parco giochi è nel macrospazio; il bambino che guarda il parco giochi dalla finestra non vive l’esperienza in maniera diretta). Articolazione del lavoro per fasi e livelli per ogni binomio locativo. FASI: il “piano orientato” che ripartisce lo spazio è: - continuo e visibile (fase 1) - discontinuo e visibile (fase 2) → PROCESSO DI ASTRAZIONE DA VISIBILE A DA IMMAGINARE - ridotto e visibile (fase 3) - ridotto e da immaginare (fase 4) LIVELLI: - Livello (psico)motorio (macrospazio tridimensionale) - livello manipolatorio con plastici (microspazio tridimensionale) - livello grafico (microspazio bidimensionale) L’attività può essere svolta sia per fasi sia per livelli → ogni fase ha i 3 livelli e quindi si può fare la fase motoria e i 3 livelli o viceversa. Quindi Si propone un esempio della progressione delle fasi di lavoro relative ad un binomio locativo; tale lavoro è da condurre in collaborazione con l’insegnante di motoria e l'insegnante di spazio/tempo. 29 a) Davanti - dietro posizionale Fase 1 Livello motorio Immaginiamo di essere in palestra o in un atrio grande (dipende dalle disponibilità della scuola). Lo spazio lo dividiamo in davanti e dietro, alcuni bambini si dispongono dalla stessa parte nella stanza tenendo le braccia aperte e tenendosi per mano, in modo da materializzare un tratto di linea retta che suddivida la stanza in due semispazi; un alunno funge da segretario. Dopo avere attribuito il nome a ciascuno dei due semispazi, il segretario registra i nomi dei bambini nei due semispazi e la loro posizione. Si fa partire la musica e i bambini che formano la riga abbassano le braccia: all’aprirsi dei varchi, gli altri bambini si spostano nella stanza, passando fra i compagni che costituiscono la riga, fino al momento in cui cessa la musica. In tale momento, gli alunni che costituiscono la riga alzano di nuovo le braccia a chiudere i varchi. Il segretario registra la posizione ora occupata da ogni compagno, rilevando, in particolare, se ci sono stati cambiamenti rispetto alla situazione di partenza. L’esperienza fornisce di solito occasione di riflettere sulla differenza tra “stare davanti” e “stare di fronte”, “stare dietro” e “dare le spalle”. È opportuno inserire le proposte in un contesto unificante e che abbia uno sviluppo. Per esempio, si può immaginare la preparazione di uno spettacolo durante il quale alcuni bambini dovranno stare davanti al sipario, altri dietro; il segretario può assumere il ruolo del regista che controlla la posizione di tutti gli attori. Oppure si può inserire la componente “gara” (sfondo integratore) : guadagna un punto ogni giocatore che riesce a trovarsi, al cessare della musica, nello stesso semispazio (oppure nel semispazio diverso) di quello di partenza (⇒ connessioni con aritmetica: conteggio dei punteggi totali, confronto per stabilire tra due giocatori chi ha punteggio maggiore o minore, ordinamento per stilare la classifica, numeri ordinali per indicare le posizioni in classifica, … ⇒ connessioni con misura: variare la durata della musica, confronto di durate, ossia intervalli temporali, eventuale quantificazione con una clessidra; confronto delle distanze da un bambino della riga oppure dalla riga – nozione di perpendicolarità – attraverso l’uso di corde, …) Se l’obiettivo è ragionare su avanti e dietro e quindi si lavora prima su questo obiettivo e poi inserire un’abilità successiva. Livello manipolatorio La stessa attività svolta dai bambini può essere proposta con un plastico → pupazzi che rappresentino ciascuno degli alunni e che siano a tal fine opportunamente caratterizzati (es. colore dei capelli, degli occhi... ⇒ connessioni con logica: descrizione, individuazione di attributi, … ). 30 Si predispone un piano di lavoro, ad esempio la cattedra, su cui realizzare il plastico, inteso come riproduzione dell’ambiente in cui è stata condotta l’esperienza motoria. Su tale piano di lavoro si può trasferire l’attività motoria, soprattutto la posizione iniziale e finale di ciascun bambino. In tal modo si favorisce il passaggio dall'io interno all'io esterno, che domina meglio lo spazio dell’azione. Dopo alcuni esercizi di questo tipo si può eliminare la fase psicomotoria per lavorare solo sul plastico. Mentre a livello motorio il bambino viveva l’esperienza in prima persona, adesso sul plastico il bambino vive l’esperienza dall’esterno e questo permette di passare dalla propria percezione dello spazio alla percezione esterna e ciò gli permette di avvicinarsi alla bidimensionalità. → passaggio dall’io interno all’io esterno e dal macrospazio al microspazio e dal tridimensionale al bidimensionale (= il plastico è in 3D che avvicina all’idea del bidimensionale) Livello grafico (lavoro sullo spazio bidimensionale cioè sullo spazio del foglio) - spazio specifico esterno bidimensionale - interpretazione convenzionale dei binomi locativi - rappresentazione degli oggetti per essere riconoscibili Quando si passa al piano grafico è necessario concordare con gli alunni delle convenzioni, dato che si rappresenta sul piano una situazione dello spazio tridimensionale: in genere è efficace immaginare di vedere dall’alto lo spazio fisico, come del resto invita a fare l’uso del plastico. Per evidenziare l’orientamento del corpo si evidenzia il naso dei bambini. Gli altri oggetti sono rappresentati in modo da renderli riconoscibili, pur se non viene rispettata la vista dall’alto. Segna in tabella se l'oggetto indicato è Analisi compito: davanti o dietro alla riga di bambini. informazioni - riferimento - collocazione oggetti - obiettivo rilevare posizione oggetti (attenzione le X sono sbagliate nella dispensa) 31 Ritaglia gli elementi e incollali in modo da Analisi compito: informazioni rispettare le indicazioni della tabella. - riferimento - posizione oggetti - obiettivo collocare oggetti Se possibile, inserisci nel disegno la riga di bambini in modo da rispettare le indicazioni della tabella. Analisi compito: informazioni - collocazione oggetti - posizione oggetti - obiettivo individuare riferimento Si tratta di un problema che comporta deduzioni, ipotesi, verifiche e che ha soluzione non unica. Se possibile, inserisci nel disegno la riga di bambini in modo da rispettare le 32 indicazioni della tabella Analisi compito: informazioni - collocazione oggetti - posizione oggetti - individuare riferimento Si tratta di un problema che comporta deduzioni, ipotesi, verifiche e che non ha soluzione. 33  Analisi compito: informazioni - riferimento - collocazione persone - obiettivo individuare posizioni Sollecitare discussione su davanti/ di fronte Che difficoltà c’è tra l’ultimo esercizio e i due precedenti? gli oggetti hanno la loro posizione, se invece sono orientati (Luca ha davanti e dietro) il bambino può essere tratto in inganno perchè si confonde in base all’orientamento del soggetto. Le fasi successive si contraddistinguono per la diminuzione degli elementi che costituiscono il riferimento, in modo da forzare l’immaginazione della linea e il suo prolungamento. In ogni fase è opportuno riporre i diversi livelli (motorio – manipolatorio – grafico), però senza appesantire troppo le proposte. Nella seconda fase il piano orientato che ripartisce lo spazio è: continuo e visibile (fase 1) → perchè non c’erano i buchi discontinuo e visibile (fase 2) → adesso non riempiamo la riga di bambini ma lasciamo dei buchi Il piano orientato a livello motorio erano i bambini che si tenevano per mano per separare i due spazi. Nella fase successiva, il piano orientato diventa: ridotto e visibile (fase 3) → non ci saranno più tanti bambini a creare una linea ma un bambino solo a tenere due funi ma l’attività motoria è la stessa. Alcune linee per proseguire: è importante non proporre solo visioni stereotipate tipo proporre solo il piano parallelo alle pareti e quindi a livello grafico non solo linee orizzontali e verticali → bisogna variare la posizione dei bambini rispetto alle pareti della stanza in modo che il piano che genera i due semispazi non sia sempre parallelo ad una delle pareti impostare l’attività rispetto alle fasi e rispetto ai livelli. proporre compiti più complessi. 34  Livello motorio Livello Livello grafico manipolato rio Fase 2 Si tolgono alcuni bambini dalla Ricostruzio Esempio di compito. riga in modo che le loro mani ne nel Segna in tabella se l'oggetto indicato non si tocchino. plastico. è davanti o dietro alla riga di bambini. Dav. Dietro Fase 3 Si lascia un solo bambino che Ricostruzio Esempio di compito. terrà in mano due corde, tenute ne nel Segna in tabella se l'oggetto tese da altri due compagni in plastico. indicato è davanti o dietro alla riga di bambini modo da creare i due semispazi. Dav. Dietro 35  Livello motorio Livello ma- Livello grafico nipolatorio Fase 4 Tutti i bambini coinvolti nel Ricostruzi Esempio di compito. gioco si muovono liberamente one nel Segna in tabella se l'oggetto al suono della musica. Al plastico. indicato è davanti o dietro al bambino cessare del suono, essi si bloccano e ognuno di loro, a Dav. Dietro turno, apre le braccia e dice quali compagni gli sono davanti e quali dietro, sempre senza ruotare il corpo. Si cerca così di consolidare la consapevo- lezza Nelle prime schede il prolungamento in ogni bambino che il proprio delle braccia può essere indicato da un piano corporeo suddivide lo tratteggio; è però importante che il spazio in davanti/dietro. bambino riesca poi a disegnare in modo autonomo tale prolungamento. Un itinerario didattico può essere impostato - rispetto alle fasi sopra descritte: si affronta ogni fase nei suoi diversi livelli, poi si passa alla fase successiva (lettura per righe delle tabelle precedenti) - oppure rispetto ai livelli: si affronta prima la fase psicomotoria di tutte le fasi, poi quella manipolatoria e infine quella grafica (lettura per colonne delle tabelle precedenti). Osservazioni ✔ Si possono poi proporre compiti più complessi, come il seguente. 36 Nella figura sono rappresentati Eva, Anna, Andrea, Analisi compito: informazioni Luca, Rosa, Mara. Attribuisci ad ogni bambino il - nomi nome corretto in base alle informazioni date. - posizioni obiettivo - attribuire un nome in base alla Davanti ad Anna ci sono Rosa e Andrea. posizione Dietro a Mara ci sono Andrea, Anna, Si tratta di un problema che comporta Luca relazioni tra le informazioni, deduzioni, ipotesi, verifiche; ha soluzione unica. ✔ È opportuno variare la posizione dei bambini rispetto alle pareti della stanza e, quindi, ai bordi del foglio nella rappresentazione, in modo che il piano che genera i due semispazi non sia sempre parallelo ad una delle pareti e la linea che genera i due semipiani non sia sempre parallela ai bordi del foglio. In questo caso, a maggior ragione può essere utile indicare il prolungamento delle braccia ✔ Il binomio davanti/dietro non ha alcun senso se estrapolato dallo spazio fisico ed applicato astrattamente in un piano: le schede precedenti proposte per il livello grafico sono una registrazione dell’attività fisica ma non possono essere generalizzate, in quanto se si traccia una generica rettilinea nel foglio, questa non ha un proprio orientamento in davanti/dietro che possa essere esteso al piano del foglio. In modo analogo a quanto dettagliato per il binomio davanti /dietro posizionale si possono articolare proposte didattiche relative alle altre relazioni spaziali. Si danno alcuni suggerimenti: 37 b) destra – sinistra posizionale maggiore complessità nella percezione e individuazione attività preliminari per favorire la lateralizzazione: - gioco della bandierina - giochi di squadra - partizione spaziale con bambini in fila indiana (supporto di strumenti) - coloritura diversa di parte destra/parte sinistra - completamento di figure ritagliate significato convenzionale sul foglio Il binomio destra/sinistra è più complesso rispetto a quello davanti/dietro, in quanto esso è indotto da una simmetria piana del corpo poco “evidente” poiché le due parti individuate dall’immaginario piano verticale contenente il naso non sono diverse per forma, ma solo per funzione (e talvolta neppure per funzione, come nel caso degli ambidestri). Inizialmente, è opportuno insistere soprattutto sulla suddivisione di figure e oggetti in due metà, in modo che il bambino inizi a percepire la corrispondente partizione del corpo. ✔ Alcuni giochi, ad esempio bandierina, richiedono la suddivisione dei bambini in due gruppi che si dispongono in due zone diverse del campo da gioco, una posta a destra e l'altra a sinistra del bambino che tiene la bandierina. Per costituire i due gruppi i bambini si dispongono in fila, il primo si piega in modo da non vedere i compagni e la maestra gli chiede: "Pum pum, dama o cavaliere?". Se il bambino risponde dama il compagno indicato dalla maestra va a destra, se risponde cavaliere va dall'altra parte. Infine, la maestra indica il bambino piegato, in questo modo anche questi sia assegnato a una delle due squadre. (⇒ connessioni con logica: relazioni, corrispondenze biunivoche; ⇒ connessioni con aritmetica: numeri come contrassegno, per segnare punti, confronto e ordinamento per stabilire squadra vincitrice, …). Simili nella predisposizione al gioco della bandierina sono altri giochi di squadra, come la pallavolo nella quale l’arbitro si pone all’altezza della rete, laterale rispetto al campo di gioco, quindi può distinguere le due squadre in destra e sinistra rispetto a se stesso. ✔ Si segna una linea sul pavimento (ad esempio con una corda) e i bambini si dispongono in fila indiana lungo tale linea. L’insegnante si pone sulla stessa linea dietro all'ultimo bambino tenendo nella mano destra un tamburello e nella sinistra una maraca. A turno ogni bambino deve spostarsi dalla linea in base al comando sonoro dato dall’insegnante: se suona il tamburello lo spostamento deve portare nel semispazio alla destra dell’insegnante (e dei bambini); se suona la maraca lo spostamento deve portare nel semispazio a sinistra; se batte i piedi non ci deve essere alcun spostamento. Si può introdurre la variante di fare tanti salti a destra o a sinistra quanti sono i colpi di tamburello o di maraca. (⇒ connessioni con educazione musicale; ⇒ connessioni con aritmetica e misura: contare, numero come misura di spostamenti, ossia lunghezze, e di durate; …) ✔ Si può disegnare l'impronta delle due mani colorando in modo diverso la mano destra e la sinistra. 38  ✔ Ritagliare da una rivista la metà di un viso, poi metà figura, e chiedere al bambino di completarla. ✔ Proporre attività di ritaglio su fogli di carta piegati a metà (⇒ connessioni con geometria: simmetria assiale, verso di una linea, congruenza, …; ⇒ connessione con educazione all’immagine: trasformazioni geometriche in fregi, decorazioni, ricami, tecniche e strumenti per realizzare figure “regolari”, …); Il binomio destra/sinistra assume un significato convenzionale quando viene riferito al piano del foglio: le espressioni “a destra / a sinistra” del foglio presuppongono che il soggetto immagini di - dividere il foglio a metà con una linea rettilinea - porre davanti a sé il foglio in modo che la linea sia la proiezione sul foglio della linea corporea definita da punta naso – ombelico - attribuire il nome “parte destra” alla parte del foglio che sta nel semispazio individuato dalla propria destra e “parte sinistra” alla parte del foglio che sta nel semispazio individuato dalla propria sinistra. Destra e sinistra sono, quindi, sempre rispetto al soggetto e non all’oggetto (foglio), anche se per brevità di dice “destra / sinistra del foglio”. sopra (alto) – sotto (basso) posizionali far sperimentare le diverse espressioni (e significati) di sopra/ sul -cosa c’è sopra il tuo banco? -cosa c’è sul tuo banco? -sposta un oggetto che è sul banco che rimanga sopra il banco significato convenzionale sul foglio Analizziamo alcuni quesiti Invalsi: 39 40 Durante le attività è importante sollecitare la riflessione sul fatto che sopra/sotto non comportano un contatto con il riferimento che individua i due semispazi. Si possono formulare richieste tipo: Elenca gli oggetti sul tavolo Elenca gli oggetti sopra il tavolo Prendi uno degli oggetti appoggiati sul tavolo e continua a spostarlo facendo in modo che rimanga sopra il tavolo Che cosa c'è sopra il soffitto? Che cosa c'è sotto il soffitto? Un’azione facilitatrice è utilizzare gli oggetti disposti in riga. Quando si passa alla rappresentazione piana, ai termini sopra (alto) – sotto (basso) si attribuisce un significato convenzionale: le espressioni “in alto / in basso” nel foglio presuppongono che il soggetto immagini di - dividere il foglio a metà con una linea rettilinea - porre davanti a sé il foglio in modo che la linea sia la proiezione sul foglio della linea corporea definita dai fianchi - attribuire il nome “parte sopra (alta)” alla parte del foglio che sta nel semispazio individuato dalla propria parte superiore e “parte sotto (basso)” alla parte del foglio che sta nel semispazio individuato dalla propria parte inferiore. Dallo spazio fisico tridimensionale allo spazio fisico bidimensionale Lo specifico apporto alla matematica dell’orientamento spaziale consiste nel fare sperimentare gli elementi necessari per costruire un sistema di riferimento. - attività motorie - attività manipolatorie in questo modo è più facile individuare la posizione di elementi che sono allineati in modo rettilineo → essere in riga, essere in colonna. Strutturare il piano grafico → gioco - scatole - dischetto/dado - bottoni Individuazione di una posizione nel piano Lo specifico apporto alla matematica dell’orientamento spaziale consiste nel far sperimentare gli elementi necessari per costruire un sistema di riferimento. Le attività motorie e manipolatorie dovrebbero far emergere che è più facile individuare la posizione di elementi che sono allineati in modo rettilineo; così si introduce la distinzione tra “essere in riga” ed “essere in colonna”, pur mantenendo ancora l’uti- lizzo di alcuni binomi locativi. La focalizzazione dell’attenzione sugli aspetti geometrici può essere ottenuta con attività di 41 “riordino” di oggetti su ripiani incolonnati o accostati. Può essere proposto, per esempio, un gioco come il seguente. Gioco Si hanno a disposizione due scatole, degli oggetti (bottoni) da collocare in tali scatole e un dischetto. I bambini vengono suddivisi in due squadre e ad ogni squadra viene assegnata una delle due scatole come proprio territorio. Se le scatole vengono disposte con l’apertura frontale rispetto ai giocatori e sovrapposte, la loro posizione è individuata dai termini alto (sopra) e basso (sotto), per cui una faccia del dischetto viene contrassegnata con A (per alto) e l’altra con B (per basso). A turno, un giocatore di una squadra lancia il dischetto e depone un oggetto nella scatola la cui posizione è indicata dalla faccia uscita con il lancio del dischetto. Ciò significa che si può contribuire o al malloppo della propria squadra o a quello della squadra avversaria. Vince la squadra che, dopo un numero fissato di lanci oppure dopo avere esaurito tutti i bottoni a disposizione da collocare, ha nella propria scatola la maggiore quantità (o minore) di bottoni. Se le due scatole vengono affiancate, la loro posizione è individuata dai termini sinistra e destra, per cui una faccia del dischetto viene contrassegnata con D (per destra) e l’altra con S (per sinistra). (⇒ Connessioni con probabilità: espressione qualitativa dei diversi gradi di incertezza, passaggio dal dischetto al dado cubico, … ⇒ Connessioni con aritmetica: conteggio progressivo e regressivo, confronto, …). Si può estendere la situazione a tre contenitori (scatole, scaffali, ripiani, …) disposti sempre in modo lineare: nasce l’esigenza di individuare la posizione centrale. In genere i bambini suggeriscono sia nel caso di allineamento verticale sia di accostamento il termine “in mezzo” oppure “al centro”. Per consolidamento si può riproporre il gioco precedente con tre scatole, tre squadre e un dado con due facce per ogni posizione: A (alto) – C (centro) – B (basso) D (destra) – C (centro) – S (sinistra) La registrazione sul quaderno (piano grafico) del gioco o delle attività di riordino può essere favorita dalla visione frontale delle scatole, che sono disegnate con caselle rettangolari accostate: si 42 tratta di un primo utilizzo di una mappa, ossia di schieramento (per ora su una sola riga o su una sola colonna) di caselle rettangolari confinanti tramite un lato. In questo primo approccio l’individuazione di una posizione nella mappa viene effettuata con i binomi locativi utilizzati anche nel gioco. È importante variare il compito, come mostrano i seguenti esempi di schede. Riflessione e verbalizzazione Registra la posizione di ogni oggetto Analisi compito: informazioni disegnato. - collocazione oggetti - obiettivo - individuare posizione Si può proporre con sole due caselle, o con due/tre caselle incolonnate. ………………… …………… ………………… 43 Siamo passati dal gioco all’uso di una mappa (schieramento) Disegna nella casella giusta gli oggetti dati. Analisi compito: informazioni - posizione oggetti obiettivo - collocare oggetti Si può proporre con sole due caselle, o con due/tre caselle incolonnate. : destra : centro : sinistra Facendo sempre ricorso a scaffali, scatole, … si possono applicare simultaneamente i termini locativi introdotti, per individuare posizioni in schieramenti piani aventi 4, 6, 9 regioni. Il gioco descritto in precedenza può essere riproposto con opportuna suddivisione dei bambini i squadre e modifica del dischetto/dado per individuare le posizioni: - nel caso di scatole disposte su due righe e due colonne, è necessario combinare i binomi alto/basso e sinistra/destra; si possono predisporre due dischetti, ciascuno associato ad uno dei due binomi. Se i dischetti sono diversi nel colore e vengono lanciati in una successione predeterminate (per esempio prima il dischetto rosso e dopo il dischetto verde), risulterà più facile introdurre anche il discorso sulle coppie ordinate (prelimi- nare alle coordinate). 44  -nel caso di scatole disposte su due righe e tre colonne, è necessario combinare alto/basso e sinistra/centro/destra; si può predisporre un dischetto per alto/basso e un dado per sinistra/centro/destra. - l’organizzazione si inverte nel caso di schieramento su tre righe e due colonne. - nel caso di schieramento su tre righe e tre colonne è necessario combinare alto/centro/basso e sinistra / centro / destra e le loro combinazioni possono essere ottenute con il lancio di due dadi. Ci sono altri giochi classici nei quali è necessario utilizzare termini locativi per individuare caselle: il tris (o filetto), la battaglia navale (senza utilizzare in primo approccio lettere e numeri). Se ne possono poi adattare altri: per esempio, si può introdurre nel gioco della tombola (con cartelle a 4 o 6 o 9 caselle) la regole secondo la quale non è sufficiente estrarre i contrassegni delle caselle, ma anche una posizione, per cui il giocatore può contrassegnare una casella se possiede il contrassegno esattamente in quella posizione. La traduzione grafica delle attività porta gli alunni a utilizzare mappe a 2, 3, 4, 6, 9 caselle e ottenute come intersezione di righe e di colonne; in tali mappe, ogni casella rappresenta una posizione individuabile con i binomi locativi utilizzati anche nelle attività. Si possono, inoltre, proporre esercizi come quelli di seguito esemplificati. 45  1) Lucia ha sistemato i suoi giochi negli scaffali, come mostra la fotografia. Descrivi la posizione di ogni giocattolo:.................................................................................................................................... 2) Vera vuole attaccare alcuni adesivi nelle caselle di una tabella: in alto a destra in basso al centro in basso a sinistra in alto al centro in basso a destra in alto a sinistra Nella tabella disegna gli adesivi nella posizione giusta. 3) Giacomo sta giocando alla tombola degli animali. Nella sua cartella - in basso a sinistra c’è un gatto 46  - in alto a destra c’è un cane - in alto a sinistra c’è una scimmia - in centro a sinistra c’è un canarino - in basso a destra c’è un leone - in centro a destra c’è un cavallo. Disegna la cartella di Giacomo. E’ necessario organizzare il piano mediante dei sistemi di riferimento oggettivi ORIENTAMENTO SPAZIALE → LOCALIZZAZIONI → SPAZIO GRAFICO Nello spazio grafico del foglio privilegiate le due direzioni individuate dai lati del foglio immaginare il corpo proiettato nel piano del foglio (= siamo in uno spazio bidimensionale e non tridimensionale) possibilità di utilizzo delle relazioni spaziali per orientamento nello spazio bidimensionale (che devono essere univoche rispetto all’osservatore esterno) DUE MODI CLASSICI PER STRUTTURARE LO SPAZIO: Strutturazione dello spazio grafico del foglio con: 1. mappe: schieramento di caselle ottenute intersecando righe e colonne che individuano le posizioni nello spazio (6 posizioni in questa mappa) 47 2. reticoli: schieramento di nodi ottenuti intersecando linee parallele a linee perpendicolari ogni nodo corrisponde ad un’unica posizione (punto), anche in questo caso le posizioni sono 6 in corrispondenza dei sei punti. Nella mappa ci sono 6 posizioni (in alto a sinistra, in alto al centro, etc…); nel reticolo ci sono sei posizioni (in alto a sinistra, in alto al centro, etc…). Il primo è più intuitivo, il secondo assomiglia al piano cartesiano (che è un reticolo). con i termini indicanti relazioni è possibile individuare solo un certo numero di posizioni in mappe o reticoli: → Queste sono le uniche possibilità che si riescono ad individuare utilizzando semplicemente i binomi locativi. Possibili contesti di utilizzo: attività appositamente predisposte, quindi con esplicito obiettivo di orientamento spaziale giochi classici o mutuati da essi (battaglia navale, tris o filetto, forza 4) rappresentazione di classificazioni con diagramma di Carroll utilizzo di tabelle a doppia entrata. Ma le relazioni spaziali date dai binomi locativi non sono sufficienti per descrivere le posizioni → assistiamo a quella che si chiama debolezza delle relazioni spaziali. Esse sono deboli sotto due punti di vista: 1. quantitativo ( al di fuori dei 5 casi non posso usare sopra/sotto Dentro/fuori): non sono denominabili posizioni in mappe o reticoli con un numero diverso di caselle o nodi dei casi precedenti. 2. qualitativo: soggettività della terminologia → la posizione di una casella o di un nodo è funzione di quella del soggetto che la esprime. Da ciò emerge la necessità di introdurre un codice convenzionale per denominare una posizione in una mappa o in un reticolo (modalità condivisa per descrivere certe posizioni) 48  SISTEMI DI RIFERIMENTO 1.c) Organizzazione del piano mediante sistemi di riferimento oggettivi 1.c.I) Mappe 1.c.II) Reticoli 1.c.III) Alcuni esempi di schede 1.d) Utilizzo di sistemi di riferimento notevoli 1.d.I) Coordinate cartesiane 1.d.II) Coordinate polari 2.b) Organizzazione del piano mediante sistemi di riferimento oggettivi Esempio di traduzione didattica constatare la debolezza quantitativa: CLASSE PRIMA – SECONDA La necessità di abbandonare i termini locativi per individuare una posizione può essere sollecitata attraverso situazioni problematiche come le seguenti (i palloncini si vedono male ma sono uguali) Dato che sono allineati più di tre palloncini, gli alunni dovrebbero constatare che l’indicazione locativa “a sinistra" è troppo vaga, perché ci sono "diverse gradualità” nell’essere a sinistra rispetto al palloncino che occupa la posizione centrale nell’allineamento. La stessa ambiguità è generata dalla consegna a lato, dato che c’è più di un palloncino che sta sotto l’ipotetica linea mediana che ripartisce in due parti la colonna di palloncini. Il lavoro geometrico si può connettere efficacemente con quello aritmetico relativo al significato 49 ordinale dei numeri naturali. Infatti, si può proporre come risolutivo dell’ambiguità prima evidenziata l’uso dei numeri ordinali, come nelle consegne che seguono. Quindi la soluzione potrebbe essere: “colora il quarto palloncino” ma sarebbe ambiguo per il primo esercizio con i palloncini schierati orizzontalmente, cioè: In realtà, anche queste sono ambigue, come può emergere spontaneamente se in classe sono presenti bambini di cultura araba, per la quale il verso privilegiato è quello da destra verso sinistra. Se ciò non accadesse è opportuno proporre all’attenzione dei bam- bini entrambi gli possibili svolgimenti possibili in relazione al verso fissato nella let- tura dell’allineamento La discussione deve essere condotta in modo da fare emergere la necessità di specificare sempre 50 il punto di partenza della conta "Colora il quarto palloncino da sinistra" oppure "Colora il quarto palloncino da destra". Solo dopo avere fissato una volta per tutte un verso convenzionale nel quale procedere alla conta, per esempio da sinistra verso destra, si possono ritenere non ambigue consegne come “Colora il terzo palloncino". La stessa ambiguità si verifica con schieramenti su righe e colonne, quando righe e colonne siano più di tre. Quale posizione occupa la finestra oscurata? In questo caso è necessario fissare sia un verso di lettura delle righe sia un verso di lettura delle colonne e conta- re sia le righe sia le colonne per esprimere la posizione della finestra: seconda riga dall’alto e quarta colonna da sinistra; oppure seconda riga dall’alto e seconda colonna da destra; La “debolezza” dei termini locativi può essere sperimentata non solo nelle situazioni, come le precedenti, in cui tali termini non sono sufficienti per tutte le posizioni, ma anche nei casi nei quali vengono usati. Se, per esempio, nel gioco del tris (o filetto) i due giocatori sono posti uno di fronte all’altro e si chiede loro di descrivere le posizioni dei segni posti nello schema, i due giocatori non danno le medesime risposte, in quanto la destra dell’uno corrisponde alla sinistra dell’altro e lo stesso per alto/basso. In genere, sono i bambini stessi che propongono di contrassegnare in qualche modo, concordato e condiviso da tutti, le righe e le colonne in modo da rendere oggettiva l’individuazione delle posizioni. Come superare la debolezza qualitativa (soggettività)? Necessità di ricorrere a: contrassegni oggettivi per indicare righe/colonne di una mappa o segmenti di un reticolo scelta convenzionale dei contrassegni (mantenere idealmente i riferimenti del piano cartesiano per favorire l’impostazione di un’idea da far acquisire successivamente) Con reticoli e mappe abbiamo due tipi di debolezze Debolezza quantitativa: riusciamo a stabilire le posizioni solo di alcune piccole configurazioni (es. 2x2) Debolezza qualitativa: dobbiamo sempre avere un riferimento 2.b.I) Mappe 51  Come già detto nella sezione precedente, una mappa è uno schieramento su righe e colonne di caselle. Numerosi giochi classici richiedono l’uso di mappe: il già citato Tris, Battaglia navale, Forza quattro, … Se una mappa è a 2, 3, 4, 6, 9 caselle i termini locativi alto/centro/basso, sinistra/centro/destra sono sufficienti per determinare una posizione nella mappa; se le caselle sono in un numero diverso dai precedenti, allora diventa necessario contrassegnare in qualche modo ciascuna riga e ciascuna colonna. È abbastanza probabile che siano i bambini stessi a proporre di contrassegnare le righe e le colonne di una mappa con numeri e lettere. È importante concordare con gli alunni anche altre convenzioni, la cui necessità dovrebbe essere sentita proprio per le esperienze descritte nel paragrafo precedente: - i numeri vanno scritti in ordine crescente e le lettere in ordine alfabetico a partire dal medesimo vertice della mappa - i contrassegni vanno posti all’esterno della tabella - Di solito i contrassegni delle righe sono a sinistra; si può decidere di collocare quelli delle colonne in alto o in basse. Una possibile disposizione è la seguente: Convenzione più comoda e opportuna: contrassegni che hanno un proprio ordine (crescente/ decrescente): numeri e lettere possibile uso contemporaneo di entrambi perchè non posso usare sempre le lettere? perchè le lettere non sono infinite. introduzione opportuna di convenzioni da mantenere fino al riferimento cartesiano: - numeri scritti in ordine crescente e lettere in ordine alfabetico a partire dal medesimo vertice di mappa/ reticolo - contrassegni all’esterno della tabella/ in corrispondenza dei segmenti del reticolo - contrassegni di riga a sinistra e di colonna in basso. In tal modo ogni casella è individuata da una coppia di contrassegni: uno individua la colonna, l’altro individua la riga l’incrocio delle quali è la casella-posizione. Un tale codice si applica, per esempio, per facilitare l’individuazione di zone in carte geografiche (es. Tuttocittà, atlanti, stradari, …⇒ connessioni con spazio-geografia). Oltre alla registrazione delle varie mosse dei giochi proposti su mappe, è opportuno proporre 52  schede di consolidamento come la seguente oppure inverse rispetto ad essa. Chi è Pallino? Colora di marrone le seguenti caselle: (B, 2); (B, 3); (C, 3); (3, D); (E, 3); (E, 4); (5, E); (E, 2); (F, 5). Se avrai colorato in modo corretto scoprirai chi è Pallino. Analisi compito: informazioni - posizione caselle obiettivo - individuare caselle NOTA Se si vuole introdurre anche l’aspetto metrico, si faccia attenzione che in una mappa si opera necessariamente con aree e non con lunghezze, dato che una mappa è costituita di caselle, ossia poligoni, non segmenti. Se si usano due tipi di contrassegni diversi, come lettere e numeri, non è un’esigenza l’ordine degli elementi della coppia, in quanto la diversità dei contrassegni permette di riconoscere quale si riferisce alle righe e quale alle colonne. Per far nascere tale esigenza, è necessario ricorrere allo stesso tipo di contrassegni con situazioni come la seguente: Nella mappa colora le caselle (C, B), (C, C), (C, D), (D, B), (E, B), (D, D): Si possono ottenere due risposte diverse a seconda dell’ordine nel quale viene letta 53 ogni coppia di contrassegni: - se si legge la prima componente della coppia come contrassegno di colonna, si ha la figura a lato A B C D E F G - se si legge la prima componente della coppia come contrassegno di riga, si ha la figura a lato A B C D E F G Per avere un’univoca interpretazione delle informazioni assegnate, si deve fissare una convenzione: è opportuno assumere quella che poi i bambini troveranno nei sistemi di riferimento cartesiani, ossia il primo contrassegno si riferisce alle righe (asse x) e il secondo alle colonne (asse y). La coppia di contrassegni è, dunque, una coppia in cui è importante l’ordine degli elementi: è una coppia ordinata. È, inoltre, preferibile passare all’uso dei numeri, in modo da introdurre la denominazione di coordinate per indicare la coppia ordinata che individua la posizione della casella. Si consiglia di richiamare la convenzione, almeno le prime volte, con una freccia che indica il verso di lettura dei numeri del riferimento: 54  2.b.II) Reticoli Un reticolo è uno schieramento di punti ottenuti come intersezione di due famiglie di segmenti, tali che due segmenti di una famiglia siano tra loro paralleli e due segmenti di due famiglie siano incidenti. Di per sé i segmenti di famiglie diverse non devono essere necessariamente perpendicolari tra loro, ma è opportuno che lo siano sia per l’analogia con la quadrettatura del quaderno sia per la continuità dei sistemi di riferimento cartesiani. Si può sollecitare il passaggio dalle mappe ai reticoli facendo rilevare agli alunni che l’indicazione data per individuare un luogo su una cartina (una città, un monumento, …) sono piuttosto “vaghe”: la coppia lettera-numero permette di circoscrivere la zona della cartina da guardare, ma individua una regione non il punto esatto cercato. Si può inoltre proporre una consegna come: Fornisci al tuo compagno di banco le istru- zioni per riprodurre la figura: Gli alunni dovrebbero constatare che la dettatura dei quadretti da colorare non è un buon modo di procedere. La soluzione potrebbe essere quella di delineare il contorno della figura, ma ciò richiede come condizione necessaria (e in questo caso anche sufficiente) l’individuazione dei vertici. 55 Vi è, quindi, l’esigenza di costruire riferimenti, quali i reticoli, che consentano di individuare punti. In questo caso si contrassegnano non le caselle che sono allineate in una colonna o in una riga, ma le linee che costituiscono il reticolo. Può essere, allora, più opportuno per fare cogliere ciò che interessa il reticolo, non chiudere le caselle che costituiscono il bordo, in modo da fare porre l’attenzione sui segmenti. Un reticolo può essere letto come rappresentazione di un geopiano1, quindi come modello di un piano con un numero finito di punti e discreto, in quanto “esistono” solo i punti che corrispondono ai nodi e tali punti sono separati l’uno dall’altro. Se si vogliono condurre considerazioni metriche su un reticolo, l’unità di misura è il lato di una maglia quadrata, ossia un lato-quadretto (⇒ connessione con geometria-misura: unità di misura di lunghezza e di area). I reticoli vengono