Geometria Euclidea PDF

GEOMETRIA EUCLIDEA Il nome geometria deriva dal greco ed è formato dai termini “geo” che vuol dire “terra” e “metria” che vuol dire misura. Le prime nozioni di geometria si hanno già negli antichi egizi o nei babilonesi che la utilizzavano soprattutto per fini pratici. Immaginate ad esempio quando...

GEOMETRIA EUCLIDEA Il nome geometria deriva dal greco ed è formato dai termini “geo” che vuol dire “terra” e “metria” che vuol dire misura. Le prime nozioni di geometria si hanno già negli antichi egizi o nei babilonesi che la utilizzavano soprattutto per fini pratici. Immaginate ad esempio quando il Nilo esondava e cancellava tutti i confini che erano stati creati. Proprio attraverso la geometria gli antichi egizi riuscivano a ridisegnare tali confini. La geometria ebbe il suo massimo splendore però con i greci che utilizzavano la geometria non solo per scopi pratici ma per pura conoscenza. Il nome più importante quando si parla di geometria del piano e dello spazio è sicuramente Euclide di Alessandria, matematico dell’antica Grecia che riuscì a riunire, rielaborare e organizzare in un’unica opera tutti gli studi e le scoperte straordinarie di grandi protagonisti della storia matematica come Talete di Mileto, Pitagora di Samo e Archimede di Siracusa. E proprio Euclide che dà il nome alla geometria classica, quella che si studia a scuola, chiamata appunto geometria euclidea. L’opera di Euclide più importante “Gli Elementi” è uno tra i testi più tradotti e diffusi nella storia dell’umanità. Quest’opera si colloca intorno al 300 a. C., nella fase storica nota come ellenismo, periodo in cui in Egitto governava il primo Tolomeo. Il lavoro dei greci, in particolare quello di Euclide, è risultato fondamentale per l’evoluzione della geometria, nonostante alcuni avvenimenti che ne hanno condizionato la trasmissione per le successive generazioni di matematici. Infatti con l’avvento del cristianesimo, in particolare tra il III e il V secolo d. C., centinaia di migliaia di manoscritti greci vennero distrutti, perché considerati legati a culture e religioni pagane. Furono poi i califfi arabi a comprare dai bizantini molti manoscritti greci di argomento matematico e quindi nel VII secolo furono proprio gli arabi ad esseri i principali esponenti dello sviluppo della matematica. A partire dal XII secolo gli europei cominciarono a sfruttare gli scambi commerciali con arabi e bizantini anche per ricercare opere e studi grazie ai quali ereditarono il ruolo di protagonisti nella storia della matematica. Tutti questi avvenimenti hanno portato nel tempo a diverse rivisitazioni della geometria in termini di linguaggio e contenuti. Solo nel 1899 grazie ad Hilbert la geometria euclidea ricevette una rigorosa formulazione, grazie ad un sistema di assiomi più completo rispetto a quello proposto da Euclide. Torniamo alla geometria euclidea… Essa studia un certo insieme di oggetti, chiamati “enti geometrici” e le proprietà, chiamate “teoremi e proposizioni”, che questi oggetti hanno partendo da un piccolo numero di definizioni e affermazioni che si devono assumere come veri. Tutta la geometria euclidea si basa sul metodo ipotetico deduttivo che permette di ricavare proprietà a partire da altre proprietà già dimostrate in precedenza, che a loro volta erano ricavate a partire da ulteriori proprietà già dimostrate. L’opera di Euclide è composta da 13 libri. Nei primi sei viene trattata la geometria piana, nei successivi quattro libri viene trattata quella che si chiama teoria dei numeri cioè vengono studiati ad esempio le proprietà dei numeri primi, dei divisori e dei multipli ma anche dei numeri irrazionali. Negli ultimi tre libri viene trattata la geometria solida. Gli enti geometrici vengono spiegati attraverso le definizioni, cioè delle frasi che permettono di dare un nome all’ente e di descriverne le caratteristiche. Le proprietà degli enti vengono invece descritte dai teoremi. Nel I libro degli Elementi si trovano 23 definizioni suddivise in due gruppi: gli enti fondamentali (punto, linea, linea retta, superficie, estremi di una superficie, superficie piana) e gli enti definiti, espressi grazie agli enti fondamentali (angoli acuti e ottusi, rette perpendicolari e parallele, figure geometriche, cerchio, semicerchio, diametro e centro di un cerchio, triangoli, quadrilateri). Ogni ente è definito a partire da enti definiti in precedenza, che a loro volta sono stati definiti a partire da altri oggetti precedenti. Per interrompere questo procedimento, che potrebbe continuare all’infinito, è necessario che alcuni di essi non vengano definiti e vengano accettati come noti. Questi enti sono chiamati enti primitivi e in geometria sono tre: il punto, la retta e il piano. Anche le proprietà degli enti geometrici si dimostrano a partire da altre proprietà dimostrate precedentemente. Per interrompere anche in questo caso il procedimento, che potrebbe continuare all’infinito, si assumono alcune proprietà come vere senza alcuna dimostrazione. Tali proprietà sono chiamate postulati. Euclide individua 5 postulati: 1.​ Si può tracciare un segmento da un punto qualunque a un altro punto qualunque 2.​ Si può prolungare con continuità un segmento lungo una retta 3.​ Si può tracciare una circonferenza con qualsiasi centro e raggio 4.​ Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro 5.​ Se una retta, intersecandone altri due, forma nello stesso semipiano due angoli interni con somma minore di due retti, allora le due rette si incontrano in quel semipiano Mentre i primi quattro postulati sono molto intuitivi e accettabili da tutti senza la necessità di una dimostrazione, il quinto postulato, chiamato postulato delle parallele, non è intuitivo ma è necessario per garantire una base su cui costruire le catene di teoremi e proposizioni della geometria. È proprio la negazione o la sostituzione del quinto postulato che fa nascere altri tipi di geometrie, chiamate appunto non euclidee. Accanto ai postulati si trovano anche un certo numero di assiomi cioè dei principi generali o delle regole utili per poter affrontare le varie dimostrazioni della geometria euclidea. Come i postulati anche gli assiomi vengono accettati senza dimostrazione. Gli assiomi sono di due tipi: assiomi d’ordine e assiomi d’appartenenza. I primi sono stati aggiunti dalla formulazione hilbertiana e sono utili, ad esempio, per definire un particolare ordine tra tre punti allineati. I secondi sono utili ad esempio per stabilire che a ogni retta appartengano almeno due punti distinti.