Tema 2.1 Geometría Plana Grupo 3 PDF

Tema 2: Geometría plana 1.Componentes elementales de las figuras geométricas 2. Curvas y polígonos en el plano 3. Teorema de Thales. Poliedros  ¿Geometría? El mundo de las formas El significado etimológico de la palab...

Tema 2: Geometría plana 1.Componentes elementales de las figuras geométricas 2. Curvas y polígonos en el plano 3. Teorema de Thales. Poliedros  ¿Geometría? El mundo de las formas El significado etimológico de la palabra geometría, “medida de la tierra”, nos indica Figuras Geométricas su origen de tipo práctico, relacionado con las actividades de reconstrucción de los El objetivo de la geometría será límites de las parcelas de terreno que tenían describir, clasificar y estudiar las que hacer los egipcios, tras las inundaciones propiedades de las figuras del Nilo. geométricas. Ciencia Deductiva 2 1.Componentes elementales de las figuras geométricas  Elementos de Euclides Los Elementos de Euclides consisten en definiciones, axiomas y postulados seguidas por teoremas, construcciones y demostraciones. Los axiomas responden a la realidad y se consideran así mismo auto-evidentes Definición y demostración son las dos operaciones fundamentales mediante las cuales se desarrolla una teoría deductiva.  Axiomas. (Nociones Comunes) Axioma es una proposición tan clara y evidente que se admite sin demostración. En Matemáticas es cada uno de los principios indemostrables sobre los que se construye una teoría por medio de un razonamiento deductivo. 1. Dos cosas que son iguales a una tercera Si 𝐴𝐴 = 𝐶𝐶 𝑦𝑦 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 entonces 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 son iguales entre si. (Transitividad) 2. Si a cosas iguales se le añaden cosas Si 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 entonces 𝐴𝐴 + 𝐶𝐶 = 𝐵𝐵 + 𝐶𝐶 iguales, los resultados son iguales. 3. Si a cosas iguales se sustraen cosas iguales, Si 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 entonces 𝐴𝐴 − 𝐶𝐶 = 𝐵𝐵 − 𝐶𝐶 los resultados son iguales. 4. Las cosas que se superponen entre sí son = iguales entre sí. Si 𝐶𝐶 = 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 5. El total es mayor que una parte entonces 𝐶𝐶 > 𝐴𝐴 y 𝐶𝐶 > 𝐵𝐵  Postulados 1 Dados dos puntos, siempre existe una recta que pase por ellos. 2 Toda línea recta finita puede extenderse indefinidamente en la misma dirección. Con un punto como centro y cualquier radio 3 dado se puede trazar una circunferencia. 4 Todos los ángulos rectos son iguales entre si. Si una recta corta a otras dos de tal modo que los ángulos interiores 5 del mismo lado suman menos que dos rectos, al prolongar indefinidamente estas dos rectas, se cortan en ese mismo lado.  Postulados 1 Dados dos puntos, siempre existe una recta que pase por ellos. 2 Toda línea recta finita puede extenderse indefinidamente en la misma dirección. Con un punto como centro y cualquier radio 3 dado se puede trazar una circunferencia. 4 Todos los ángulos rectos son iguales entre si. Por un punto exterior a una recta, pasa una 5 única recta paralela Conceptos primarios  Axiomas de existencia El punto, como objeto o figura geométrica, se considera que no tiene dimensiones y se usa para indicar un lugar en el espacio.  Axioma de existencia del espacio. Reconocemos la existencia de infinitos entes llamados puntos a cuyo conjunto llamaremos Espacio. Al espacio lo notaremos con la letra E y a los puntos con letras mayúsculas A, B,...  Axiomas de existencia Punto Es una Se denota Idea. A No es Se lee Objeto real Punto A  Axiomas de existencia  Axioma de existencia del plano Los puntos del espacio se consideran agrupados en conjuntos parciales de infinitos puntos llamados planos. Tres puntos no alineados A, B y C determinan un plano al que pertenecen. Notaremos: α = (ABC) A partir de este axioma damos la definición de figuras planas, diciendo que son subconjuntos o partes del plano. “Una figura geométrica es un conjunto no vacío y cerrado de puntos, delimitados por un conjunto de líneas (lados) que unen dichos puntos de una manera específica.”  Axiomas de existencia  Axioma de existencias de rectas : Las rectas son subconjuntos del plano formados por infinitos puntos  Axioma de determinación de rectas: Dos puntos distintos A y B determinan una única recta a la que pertenecen. Notaremos: 𝑟𝑟 = (𝐴𝐴𝐴𝐴)  Puntos alineados : Tres puntos se dicen alineados, si existe una recta que pase por ellos. Tres o más puntos pueden determinar varias rectas, pero si están contenidas en una recta se dice que son colineales.  Teoremas  Teorema: Una recta y un punto exterior determinan un plano. α = (r, P)  Teorema: Dos rectas distintas, r y s, que tienen un sólo punto en común determinan un plano que las contiene. 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑟𝑟 ∩ 𝑠𝑠 = { 𝐴𝐴 } ⇒ 𝛼𝛼 = (𝑟𝑟 , 𝑠𝑠 ) A dichas rectas las llamaremos rectas secantes  Teorema : Si un punto P pertenece a dos planos α y β entonces existe una recta r, que contiene a P, tal que 𝑟𝑟 = 𝛼𝛼 ∩ 𝛽𝛽.  Posiciones relativas de rectas  Rectas secantes. Dos rectas contenidas en el plano que tienen un único punto en común.  Rectas paralelas. Dos rectas contenidas en el plano que no tienen ningún punto en común.  Haz de rectas. Es el conjunto de todas las rectas que pasan por un punto. Al punto se le llama base del haz.  Posiciones relativas de rectas Dadas dos rectas r y s pueden darse las siguientes situaciones:  Si 𝑟𝑟 y 𝑠𝑠 son coplanares y su intersección es un conjunto unitario, es decir que existe un punto P tal que 𝑟𝑟 ∩ 𝑠𝑠 = 𝑃𝑃 , entonces diremos que r y s son rectas secantes.  Si r y s son coplanares pero no secantes diremos que son paralelas, es decir, dos rectas son paralelas si son coincidentes o no tienen puntos en común. Por lo tanto 𝑟𝑟 // 𝑠𝑠 ( 𝑟𝑟 paralela a 𝑠𝑠) 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑟𝑟 = 𝑠𝑠 ó 𝑟𝑟 ∩ 𝑠𝑠 = ∅.  Si 𝑟𝑟 y 𝑠𝑠 no son coplanares, es decir, no existe ningún plano que las contenga entonces diremos que r y s son rectas alabeadas (o se cruzan) y 𝑟𝑟 ∩ 𝑠𝑠 = ∅. https://rea.ceibal.edu.uy/elp/geometria-euclidiana-del-espacio/index.html Cuadro resumen para afianzar conceptos  Ejemplos de problemas en Primaria d) Tres rectas paralelas e) Cuatro rectas paralelas  Segmentos  Definición: Un segmento es la figura intersección de la semirrecta que tiene de origen A y contiene a B con la semirrecta que tiene de origen B y contiene a A. 𝒓𝒓𝑩𝑩 ∩ 𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝑨𝑨𝑨𝑨 Existen dos tipos de segmentos, los segmentos concatenados cuando el único punto que tienen en común es un extremo y los segmentos consecutivos que son concatenados y contenidos en la misma recta.  Curvas ¿Cómo definirías una curva con palabras?  Definición: Una curva es una línea continua que varía de dirección paulatinamente.  Definición: Curva simple es aquella que no tiene ninguna auto-intersección.  Definición: Curva simple cerrada es una curva simple que forma un bucle cerrado.  Definición: El interior y el exterior de una curva cerrada simple se denominan regiones.  Figuras cóncavas y convexas  Figura convexa : Si para cualquier par de puntos de la figura, el segmento que los tiene por extremos, pertenece a lo figura  Figura cóncava : Si existe un par de puntos, al menos, de la figura tal que el segmento que los tiene por extremos, no pertenece a la figura.  Definición: La circunferencia es una curva cerrada, convexa, tal que cada uno de sus puntos equidistan de un punto fijo llamado centro. A esa distancia fija, la llamaremos radio.  Figuras cóncavas y convexas 2 3 1 4 6 5 10 7 9 8  Axioma de partición del plano por una recta  Una línea recta divide un plano en dos semiplanos.  Semiplano cerrado. Es la figura unión de la recta borde con uno de los dos semiplanos. ¿Qué tipo de figura es un semiplano cerrado, cóncava o convexa?  Axioma de partición del plano por una recta Para toda recta r incluida en el plano 𝜋𝜋 existen dos nuevos subconjuntos 𝛼𝛼 𝑦𝑦 𝛽𝛽 de 𝜋𝜋 tales que:  Para todo P perteneciente a r, P no pertenece ninguno de esos subconjuntos. ∀𝑃𝑃 ∈ 𝑟𝑟 → 𝑃𝑃 ∉ 𝛼𝛼, 𝑃𝑃 ∉ 𝛽𝛽  Para todo P y Q, si ambos puntos pertenecen a uno de esos subconjuntos, entonces el segmento que determinan está incluido en ese subconjunto. ∀ {𝑃𝑃, 𝑄𝑄} ∈ 𝛽𝛽 → 𝑃𝑃𝑃𝑃 ⊂ 𝛽𝛽  Para todo P y Q, si P pertenece a un subconjunto, y Q al otro, entonces el segmento PQ intersecta a r en un punto. ∀ 𝑃𝑃, 𝑄𝑄 \ 𝑃𝑃 ∈ 𝛽𝛽 𝑦𝑦 𝑄𝑄 ∈ 𝛼𝛼 → 𝑃𝑃𝑃𝑃 ∩ 𝑟𝑟 ≠ ∅ ¿En cuántas partes queda dividido un plano al quitarle? a) Dos rectas paralelas; b) Dos rectas secantes; c) Tres rectas, dos de las cuales son paralelas; d) Tres rectas concurrentes. ¿En cuántas partes queda dividido un plano al quitarle? a) Dos rectas paralelas; b) Dos rectas secantes; c) Tres rectas, dos de las cuales son paralelas; d) Tres rectas concurrentes. c) Tres rectas, sólo dos de las cuales son paralelas: ¿4 ¿4 o 6? a) Dos rectas paralelas: 3 b) Dos rectas secantes: 4 ¿En cuántas partes queda dividido un plano al quitarle? a) Dos rectas paralelas; b) Dos rectas secantes; c) Tres rectas, dos de las cuales son paralelas; d) Tres rectas concurrentes. d) Tres rectas concurrentes: 6  ¿Se puede separar un plano en cinco partes quitando: a) tres rectas; b) cuatro rectas? Así se obtienen ¡NO! 7 partes. Así sí obtenemos 5 partes. 34  Matices y dificultades sobre el concepto de ángulo Existen muchos preconceptos y dificultades en los alumnos ante el concepto de ángulo. Podemos encontrarnos con respuestas de este tipo: 2. Dibujar 3. Uno 4. Otro 5. Más 6. Más un ángulo diferente diferente grande pequeño Dificultad en la Variación de la tarea (Teo Grado 3) Éxito en la variación de la tarea (Lucia Grado 4)  Matices y dificultades sobre el concepto de ángulo ¿Cuánto mide este ángulo? Esta pregunta no tiene una única respuesta: Podemos tomar una estimación 60º Pero también sería válida 300º Exactamente igual -60º O también 420º, 780º, …, -420º,….  Matices y dificultades sobre el concepto de ángulo Conceptualización Medida En los Elementos de Euclides se daban las siguientes definiciones:  Definición 8: Un ángulo plano es la inclinación entre dos líneas en un plano, que se unen la una a la otra y que no están sobre una línea recta.  Definición 9: Cuando las líneas que contienen el ángulo son rectas, el ángulo se llama rectilíneo (ángulo recto) ¿Qué problemas encuentras en esta definición?  Ángulo como región del plano  Definición 1: Conjunto de los puntos comunes a dos semiplanos, de un mismo plano, cuyos contornos se encuentran en un punto. Severi (1962, p. 31)  Definición 1a: Dados 3 puntos A, B y C no pertenecientes a una misma recta, llamamos ángulo convexo ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 a la intersección de los semiplanos (AB,C) y (BC,A). Esta definición no es válida para ángulos de mayores que 180º, 360º ni mayores.  Regiones angulares y ángulos A partir de la definición de semiplano obtenemos la definición de otros conceptos como son:  Región angular. Es la figura intersección de dos semiplanos cuyas rectas bordes son secantes.  Vértice. Punto intersección de las rectas bordes.  Lados. Las semirrectas intersección de cada semiplano con la recta borde del otro.  Ángulo como par de líneas  Definición 2: Parte del plano formada por dos semirrectas que tienen un origen común o dos rectas que se cortan. Es una definición parecida a la anterior, pero se destacan las líneas que limitan el ángulo. ¿Qué problemas encuentras en esta definición?  Ángulo como región del plano Pero, ¿cómo se diferencian los dos ángulos que se forman en el vértice?, ¿y un ángulo negativo? Para hacerlo hay que recurrir a ayudas en el dibujo.  Ángulo como giro  Definición 3 Ángulo: La cantidad de inclinación entre las dos líneas o la cantidad de rotación requerida para girar uno de los lados del ángulo, tomando como centro de giro el vértice, para que coincida con el otro lado.  Definiciones intuitivas de ángulo Visión Dinámica Visión Estática -Orientación -Rincón -Giro -Rincón angular -Dirección -Lados de un ángulo -Agujas del reloj -Rectas secantes  Matices y dificultades sobre el concepto de ángulo Conceptualización Medida 1. Asumir que la longitud de las rectas que definen al ángulo afecta su medida 2. Uso de un único instrumento para medirlo: el transportador  Medidas de ángulos ¿Qué se mide en realidad cuando nos referimos al tamaño de los ángulos? ¿Los ángulos pueden incluir curvas?  Medidas de ángulos Visión Dinámica Visión Estática Puede ser complicado concebir la medida del ángulo como un proceso para determinar la fracción de círculo ocupada por el ángulo.  Grado sexageximal Para medir un ángulo hay que compararlo con otro ángulo que se toma como unidad. Los babilonios extienden a los círculos celestes Otra motivación para elegir la división del día en 360 partes, y cada una de el número 360 puede haber estas partes le llaman grado sexagesimal y a la sido que es fácilmente cuarta parte le corresponden 90 grados divisible: 360 tiene 24 sexagesimales, que se nota por 90º. divisores  Definición: Llamamos grado sexagesimal a cada una de las 360 partes iguales en que podemos dividir el giro completo (por convenio, en sentido antihorario) determinado por una circunferencia. Podemos tomar como divisores: Las medidas de los ángulos se Minutos (1´) se cumple 1º=60´ expresan, generalmente, en Segundos (1´´) se cumple 1’=60’’ grados minutos y segundos.  Medidas con transportador Para medir ángulos se utiliza el transportador y se procede de la siguiente manera: 1. Coloca el transportador de modo que su centro coincida con el vértice del ángulo. 2. Haz que una de las semirrectas coincida con el 0 grado. Esto indica el sentido de giro. 3. La segunda semirrecta, al intersecarse con el transportador indica la medida en grados del ángulo que se está midiendo. Muchos transportadores tienen dos escalas para medir los ángulos de izquierda a derecha o de derecha a izquierda  Medidas con transportador. Ángulos cóncavos Utilizando un transportador circular completo 52  Medidas con transportador. Ángulos cóncavos Utilizando un transportador semicircular Siguiendo estos pasos: 1. Alarga uno de los dos lados, y así obtendrás un ángulo llano, que sabes que mide 180o. 2. Mide el trozo de ángulo que te queda (en rojo en la figura). Imagina que mide 137o. 3. Suma la medida obtenida a 180. Por ejemplo: 180 + 137 = 317. El ángulo Û mide 317o. OTRA FORMA: Simplemente mide el ángulo restante y lo restas a 360o : 360 – 43 = 317o  Grado centesimal. Gradián El ángulo completo (360º en el sistema sexagesimal) se divide en 400 partes iguales (cada una de las cuales se llama gradián), de modo que un ángulo recto, que consta de 100 de esas partes, se denota como 100 g. A su vez cada gradián se divide en 100 partes iguales, que son los minutos, cada una de las cuales se denota por 1m o 1c ; cada minuto, a su vez, se subdivide en 100 segundos, cada uno de los cuales se denota como 1s o 1cc. 54  Radián  Definición: un radián es el arco de circunferencia que mide lo mismo que su radio. Es la unidad principal de ángulo en el Sistema Internacional 360º = 400g = 2π rad  Clasificación de los ángulos por su medida Como unidad de medida habitual se usa el grado sexagesimal. A partir de ahora, asociaremos un ángulo con su medida Ángulo agudo Ángulo nulo 𝐴𝐴̂ = 0𝑜𝑜 0𝑜𝑜 < 𝐵𝐵 < 90𝑜𝑜 Ángulo recto 𝐶𝐶̂ = 90𝑜𝑜 Ángulo obtuso Ángulo cóncavo o reflejo < 180𝑜𝑜 90𝑜𝑜 < 𝐷𝐷 Ángulo llano 𝐸𝐸 = 1800 180𝑜𝑜< 𝐹𝐹 < 3600 Clasificación de los ángulos por su medida Otras formas de medir ángulos sin transportador ¿Cuánto miden los siguientes ángulos? A B C D E F G H I J  Tipos de relaciones entre ángulos Según la relación entre sus Congruentes Según la posición de los Adyacentes Complementarios medidas ángulos Consecutivos Suplementarios Opuestos por el vértice Conjugados  Clasificación según su posición ∗ Ángulos consecutivos. Si tienen un lado común y el mismo vértice.  Ángulos adyacentes. Son consecutivos y tienen el lado no común sobre la misma recta.  Ángulos opuestos por el vértice. Tienen el mismo vértice y los lados de una son semirrectas opuestas de los lados de la otra.  Clasificación según su relación de medidas ∗ Dos ángulos son cong ruentes si tienen la misma amplitud. ∗ Dos ángulos son complementarios si suman 90º  Clasificación según su relación de medidas ∗ Dos ángulos son suplementarios si suman 180º ∗ Dos ángulos son conjugados si suman 360º  Bisectriz Bisectriz de un ángulo es la semirrecta con origen en el vértice del ángulo y que lo divide en dos ángulos de igual medida. El ángulo de vértice V y lados VB y VA es igual al ángulo de mismo vértice y lados VA y VC. La bisectriz es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados del ángulo bisecado.  Ángulos en la circunferencia  Ángulo central. Es aquel cuyo vértice es el centro de una circunferencia y sus lados cortan a la circunferencia en dos puntos.  Ángulo inscrito. Es aquel cuyo vértice se sitúa en el la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos.  La relación entre el ángulo central y el inscrito que comparten los puntos de corte es que el ángulo central es el DOBLE que el ángulo inscrito.  Arco capaz  Arco capaz. Es el lugar geométrico de los puntos desde los que un segmento AB se «ve» con el mismo ángulo, es decir, el lugar geométrico de los vértices P de los ángulos APB que tienen la misma amplitud.  Si los puntos de corte en la circunferencia se sitúan en su diagonal, entonces el arco capaz es siempre de 90º  Relación entre el arco capaz y ángulo central Como consecuencia de la definición de arco capaz se puede demostrar que también el ángulo central es el DOBLE que el arco capaz si comparten los puntos de corte sobre la circunferencia. Tarea: Demuéstralo usando Geogebra Operaciones con Ángulos Generalmente las operaciones de ángulos se hacen en el mundo de los números, pues se pasa enseguida a su medida en grados sexagesimales o centesimales o en radianes. La medida de un ángulo se denomina amplitud.  Operaciones con ángulos Suma de ángulos. Gráfica – La suma de dos ángulos es la unión del primer ángulo con un ángulo consecutivo de forma que la amplitud del ángulo resultante es la suma de las amplitudes de los dos ángulos iniciales. + = 3 1 2 2 Aritmética – La suma de las medidas de dos ángulos 73  Operaciones con ángulos Resta de ángulos. Gráfica – Se colocan ambos ángulos de manera que coincida el lado origen de cada ángulo y compartiendo el vértice. – La diferencia entre el ángulo mayor y el menor es el ángulo resta. Aritmética – Es la diferencia de la medida de dos ángulos. 74  Operaciones con ángulos Si queremos sumar dos ángulos cuyas medidas en grados sexagesimales son 27º 31’ 15’’ y 43º 42’ 57’’ , lo tendremos que hacer sumando en base 60. Así: 1º= 60' y 1'= 60'' 66º 37’ 52” 57º 34’ 17”  Línea poligonal Definimos en primer lugar los elementos que van a formar parte de los polígonos. Línea formada por segmentos concatenados. Cada segmento se llama lado de la poligonal. Los extremos comunes a dos lados se llaman vértices. Las líneas poligonales son cerradas cuando todos los extremos son vértices y, en caso contrario, son abiertas. Las líneas poligonales cerradas pueden ser cóncavas o convexas según sea la figura que delimitan. Si medimos la línea poligonal, a dicha medida es a lo que se le llama perímetro. Evidentemente, el perímetro se mide en medidas de longitud. 76  Polígonos  Polígono es la figura geométrica delimitada por una línea poligonal cerrada.  Los lados, vértices y ángulos de la línea poligonal cerrada que forman el borde del polígono son también los lados, vértices y ángulos del polígono. La medida de un polígono es su área.  Nombre de los polígonos: Triángulo, cuadrilátero, pentágono, hexágono, heptágono (7), octógono o octágono (8), eneágono o nonágono (9), decágono (10), pentadecágono (15) , icoságono (20). 77  Polígonos Diremos que un polígono es regular cuando todos sus lados y sus ángulos son iguales. En todo polígono regular existe un punto que equidista de los vértices y de los lados que se llama centro. La radio de un polígono regular es el segmento trazado desde el centro hasta uno de sus vértices. La apotema de un polígono regular es el segmento trazado desde el centro perpendicular a uno de los lados. 78  Polígonos Los polígonos pueden ser convexos y cóncavos según sean figuras convexas o cóncavas. Una diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos. Tarea Trae fotografías de objetos en la calle o en casa que tengan forma de polígonos de 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12 lados. 79  Ejercicio Demuestra los siguientes teoremas sobre ángulos: 1) Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal los ángulos correspondientes son iguales. 2) Si dos rectas del plano son cortadas por una transversal de manera que los ángulos correspondientes son iguales, entonces las rectas son paralelas. 3) Dos rectas cortadas por una transversal son paralelas si y sólo si un par de ángulos alternos internos son congruentes. 4) Las bisectrices de dos ángulos suplementarios adyacentes forman un ángulo recto.  1. Realiza en tu cuaderno las siguientes sumas de ángulos: a. 56º 20' 40" + 37º 42' 15" b. 125º 15' 30" + 24º 50' 40" c. 33º 33' 33" + 17º 43' 34" 2. Realiza en tu cuaderno las restas de los ángulos del ejercicio anterior: a. 56º 20' 40" - 37º 42' 15" b. 125º 15' 30" - 24º 50' 40" c. 33º 33' 33" - 17º 43' 34"  DEMOSTRACIÓN 3. Dos rectas cortadas por una transversal son paralelas si y sólo si un par de ángulos alternos internos son congruentes. Recta transversal Otras rectas Par de ángulos alternos = internos. = Par de ángulos alternos internos. Vamos a suponer que los ángulos externos son iguales: = = De la figura observamos que y son suplementarios, esto es: + = 180º 3. Dos rectas cortadas por una transversal son paralelas si y sólo si un par de ángulos alternos internos son congruentes. Vamos a suponer que los ángulos externos son iguales: y = = De la figura observamos que y son suplementarios, esto es: + = 180º también lo son, así + = 180º + = + = Q.E.D 85