Guía 1er Periodo Congruencia y Semejanza de Triángulos PDF

INSTITUCION EDUCATIVA RURAL PRESBITERO MARIO ANGEL GUÍA PARA CONTENIDOS O TEMÁTICAS Área o asignatura: Matemáticas Docente Eliana Maria Carrillo Grado 10 Referente concept...

INSTITUCION EDUCATIVA RURAL PRESBITERO MARIO ANGEL GUÍA PARA CONTENIDOS O TEMÁTICAS Área o asignatura: Matemáticas Docente Eliana Maria Carrillo Grado 10 Referente conceptual o eje temático: razones, proporciones, semejanza, criterios de semejanza de triángulos Indicadores: Usa los criterios de semejanza de triángulo para la solución de problemas. Transfiere correctamente las propiedades de la homotecia a la consecución de los criterios de semejanza de triángulos. Realiza ejercicios utilizando la semejanza de triángulos como herramienta para optimizar los procedimientos. Reconoce los criterios de semejanza adecuados para aplicar en diferentes contextos. Identifica en los elementos semejantes con formas triangulares. Recursos: computador, internet, lápiz y papel, regla, compas, metro o regla, colores Actividades de exploración de saberes Lee el siguiente texto Hombre de Vitruvio es una ilustración realizada originalmente por Leonardo da Vinci que presenta un estudio de las proporciones ideales del cuerpo humano; estas fueron realizadas a partir de textos de arquitectura de la antigua Roma. El Hombre de Vitruvio es una figura masculina que está en dos posiciones sobrepuestas e inscrita en un cuadrado y en un círculo respectivamente. Algunas de las proporciones que se observan en el Hombre de Vitruvio son las siguientes: ✓ El rostro, desde la barbilla hasta la parte más alta de la frente, donde están las raíces del pelo, mide una décima parte de la altura total. ✓ La palma de la mano, desde la muñeca hasta el extremo del dedo medio, mide exactamente lo mismo. ✓ La cabeza, desde la barbilla hasta su coronilla, mide la octava parte de todo el cuerpo. ✓ Desde el esternón hasta las raíces del pelo equivale a una sexta parte de todo el cuerpo. ✓ Desde la parte media del pecho hasta la coronilla, equivale a una cuarta parte de todo el cuerpo. Del mentón hasta la base de la nariz, mide una tercera parte del rostro. 1  ✓ La frente mide igualmente otra tercera parte del rostro. ✓ El pie equivale a un sexto de la altura del cuerpo. ✓ El codo equivale a una cuarta parte de todo el cuerpo. ✓ El pecho equivale igualmente a una cuarta parte de todo el cuerpo 2. Escriba la medida de su estatura y verifique si su cuerpo cumple alguna de las 10 condicione que cumple la obra el Hombre de Vitruvio. Actividades de Práctica. Lea los siguientes ejemplos en los cuales se usa el planteamiento de razones y proporciones. Ejemplo 1. Un atleta recorre 38 km en dos horas, la razón entre la distancia recorrida y el tiempo que gastó en recorrerla es la siguiente: El atleta recorrió la distancia mencionada a razón de 19 kilómetros por hora. Ejemplo 2. En una fiesta la razón entre el número de mujeres y el número de invitados es 3/ 7. ¿Cuántas mujeres hay si el número de invitados es 42? Al plantear la proporción se obtiene: Al aplicar el teorema fundamental de las proporciones El número de mujeres en la fiesta es de 18. 1. En cada caso, verifique si la igualdad es una proporción o no. 2 2. En la siguiente casa hay diferentes tipos de ventanas. Determine la razón entre las medidas del ancho y el alto de las dos ventanas. 3. Lee la siguiente información Cuando la esposa favorita del emperador Shah Jahan murió en 1631, él lloró su pérdida y levantó en su honor el Taj Mahal en la India, uno de los monumentos más bellos del mundo. Cuatro siglos después, otro indio construyó una réplica del famoso mausoleo para su esposa fallecida. Faizul Hasan Quadri, de 80 años, levantó una sencilla réplica del Taj Mahal por su cuenta. Estas dos construcciones no son iguales, pues sus dimensiones son diferentes, pero conservan características similares relativas a la forma por lo cual se podrían llamar semejantes. 3 Observe las imágenes y explique por qué se puede hablar de semejanza. Observe la manera en la que se justificó la semejanza entre dos de los polígonos 4  Dos polígonos son semejantes cuando tienen los ángulos correspondientes congruentes y los segmentos correspondientes son proporcionales. ¿Es posible afirmar que si los segmentos son correspondientes es porque la razón entre ellos es igual a una constante? Explique su respuesta. Primero se verifica que los polígonos tienen la misma forma y ya que son cuadriláteros es posible continuar. Ya que ABCD es un rectángulo, se puede comprobar que sus ángulos correspondientes son congruentes a los de la figura IJKL, pero no a los del cuadrilátero EFGH. Al calcular la razón entre los lados correspondientes se obtiene: Además de tener la misma forma y ángulos correspondientes congruentes, la razón entre la medida de los lados correspondientes es una constante. A esta constante se le llama razón de semejanza. 4. Para cada pareja de polígonos semejantes, calcule la razón de semejanza. 5 Observa atentamente el siguiente ejemplo en el que se establece la semejanza entre los siguientes triángulos Criterio (AAA) (ángulo , ángulo, ángulo ) de semejanza de triángulos Dos triángulos son semejantes si dos ángulos correspondientes son congruentes. Construye dos triángulos equiláteros de cualquier medida diferente el uno del otro. Compare s u construcción. ¿Qué puede concluir respecto a los dos triángulos? _____________________________ 5. Determina si los triángulos son semejantes y justifica la respuesta. La recta DE es paralela con AB Son triángulos rectángulos 6  6. Los siguientes triángulos son isósceles. Determine si son semejantes y establezca la correspondencia Observe cómo se identificaron los triángulos semejantes en la siguiente situación. Se va a poner un parque a 20 metros de un árbol y 40 metros de otro. Los árboles están separados entre sí 35 metros. El ingeniero que va a hacer la obra diseñó el siguiente plano ¿Es correcto el plano dibujado? _____________________________________________ Para poder identificar si el plano está bien elaborado se debe determinar que el triángulo que se ve en la imagen y el triángulo del plano son semejantes. Para ello, se van a calcular las razones entre los lados correspondientes, así: Como las razones son iguales, se puede establecer que los segmentos correspondientes son proporcionales, así que los dos triángulos son semejantes y, en conclusión, el ingeniero elaboró correctamente el plano. 7. Utilice el criterio LLL para determinar si los triángulos dados son semejantes (lado, lado, lado) 7 Lea el criterio de semejanza LAL. (lado, ángulo, lado) Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y los ángulos comprendidos entre cada pareja de estos lados son congruentes. El símbolo se lee congruente. El símbolo ~ se lee semejante. 8. Utilice el criterio LAL para verificar que los triángulos dados son semejantes. En caso que los triángulos no sean semejantes justifique su respuesta. 8 9. Resuelva las siguientes situaciones aplicando los criterios de semejanza de triángulos. a) En la imagen E es el punto medio del segmento AB y EF es paralelo con AC. Calcule la longitud del segmento BC 10. Escriba verdadero o falso en cada afirmación, justifica la respuesta a) Dos triángulos isósceles son siempre semejantes. 9  __________________________________________________________________________ b) Dos triángulos escalenos nunca son semejantes. __________________________________________________________________________ c) Todos los triángulos equiláteros son semejantes. __________________________________________________________________________ d) Dos triángulos rectángulos son siempre semejantes _________________________________________________________________________ e) Si dos triángulos son semejantes, entonces son equiláteros. __________________________________________________________________________ f) Si dos triángulos son semejantes y uno de ellos es escaleno, entonces el otro triángulo también. __________________________________________________________________________ Actividades de aplicación 1. Resuelve los siguientes problemas aplicando los criterios de semejanza de triángulos a) La sombra que genera un niño de 1,4 m de estatura sobre el piso es de 1,8 m. Simultáneamente, un árbol genera una sombra de 7 m. Determine la altura x del árbol b) Un método para determinar la altura de un objeto consiste en poner un espejo en el piso y ubicarse en un lugar desde el cual se vea, en el espejo, la parte más alta del objeto. Observe la situación que se ilustra y determine la altura del árbol de la figura. 10  c) Para conocer la altura del silo (depósito de trigo) de un pueblo, se alinea con él un palo y se mide su sombra, como se muestra en la figura. Determine dicha altura. 2. Utiliza cuadricula para realizar una imagen semejante, la puedes reducir o ampliar, como, por ejemplo. 11