Triángulos_Curso2023-2024 PDF

TRIÁNGULOS Área de Didáctica de la Matemática. Universidad de Valladolid 1. INTRODUCCIÓN..........................................................................................1 2. CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS......................................................

TRIÁNGULOS Área de Didáctica de la Matemática. Universidad de Valladolid 1. INTRODUCCIÓN..........................................................................................1 2. CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS.............................................................1 3. DEFINICIONES BÁSICAS: RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO..................................................................................................2 4. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS...................................................................4 5. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS............................................................6 6. TEOREMAS DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO...........................................6 ACTIVIDADES PARA PRACTICAR....................................................................8 1. INTRODUCCIÓN Dedicamos este tema al estudio de los polígonos más sencillos: los triángulos (polígonos de tres lados). Estos polígonos son siempre convexos y son los polígonos básicos, ya que el resto de polígonos se pueden formar componiendo triángulos, y varias de las propiedades que cumplen el resto de polígonos se deducen utilizando otras ya establecidas en los triángulos. Además, el triángulo es el único polígono rígido, es decir, que no se deforma al presionar sobre sus vértices o sus lados, lo que tiene importantes aplicaciones en la construcción de estructuras. Un triángulo suele recibir el nombre de sus tres vértices. Convenio: Para nombrar los lados suele utilizarse la misma letra que se ha usado para el vértice opuesto a dicho lado (ver primera figura a la derecha). En este capítulo se establecerá la clasificación de estos polígonos y los teoremas más importantes, aunque hay dos resultados ya tratados en temas anteriores: El ángulo exterior de cualquier triángulo es la suma de los dos interiores no adyacentes. La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es un ángulo llano (180º o, dicho de otro modo,  radianes) 2. CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS Es evidente que la forma de los triángulos varía según sean sus lados y sus ángulos. Atendiendo a unos u otros surgen dos clasificaciones diferentes: 1 de 12 Atendiendo a sus lados: Un triángulo con los tres lados iguales se denomina triángulo equilátero. Un triángulo con dos lados iguales y el tercero desigual se denomina triángulo isósceles. Un triángulo con los tres lados desiguales se denomina triángulo escaleno. Atendiendo a sus ángulos (interiores): Un triángulo con los tres ángulos interiores agudos (menores que un recto) se denomina triángulo acutángulo. Un triángulo con un ángulo recto se denomina triángulo rectángulo. Un triángulo con un ángulo obtuso (mayor que un recto) se denomina triángulo obtusángulo. Tarea 1. Dibuja en las casillas de la tabla siguiente, si es posible, ejemplos de triángulos que cumplan con la condición de la fila y de la columna correspondiente. Acutángulo Rectángulo Obtusángulo Equilátero Isósceles Escaleno Propiedades: Un triángulo equilátero es acutángulo, puesto que sus ángulos miden 60º. Un triángulo isósceles puede ser acutángulo, rectángulo u obtusángulo. En un triángulo isósceles, los ángulos interiores adyacentes al lado desigual tienen la misma amplitud. Un triángulo escaleno forzosamente debe tener los tres ángulos desiguales. Un triángulo acutángulo puede ser equilátero, isósceles o escaleno. Un triángulo rectángulo no puede ser equilátero, pero sí isósceles o escaleno. Un triángulo obtusángulo no puede ser equilátero, pero sí isósceles o escaleno. 3. DEFINICIONES BÁSICAS: RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO 1. Mediatriz de un lado: es la recta perpendicular a dicho lado en su punto medio. Un triángulo cualquiera tiene tres mediatrices que se cortan en un punto común. Este punto se llama circuncentro y es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo (es decir, la circunferencia que pasa por sus tres vértices). Por tanto, el circuncentro está a la misma distancia de los tres vértices del triángulo. 2. Bisectriz de un ángulo (interior): es la semirrecta que divide al ángulo interior en dos ángulos iguales. 2 de 12 Un triángulo cualquiera tiene tres bisectrices que se cortan en un punto común. Este punto se llama incentro y es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo (es decir, la circunferencia que es tangente a los tres lados del triángulo). Por tanto, el incentro está a la misma distancia de los tres lados del triángulo. El radio de la circunferencia se determina trazando la perpendicular por el centro a uno de los lados. Estas perpendiculares también determinan los puntos de tangencia. Mediatrices-Circuncentro-Circunferencia Bisectrices-Incentro-Circunferencia circunscrita inscrita 3. Altura de un triángulo: es el segmento que une un vértice y el punto intersección de la recta que contiene al lado opuesto (que se llama base) con la recta perpendicular a dicha base por el vértice opuesto. La longitud de ese segmento es la distancia mínima desde el vértice a la recta que contiene a la base y, abusando del lenguaje, también se llama altura (sobre todo cuando se hace uso de ella en el cálculo de áreas). Las tres rectas que contienen a las alturas se cortan en un punto común que se denomina ortocentro. 4. Mediana de un lado: es el segmento que une el punto medio del lado con el vértice opuesto. Un triángulo cualquiera tiene tres medianas que se cortan en un punto común, que se llama baricentro, B. Este punto cumple que la distancia del baricentro al vértice es el doble que su distancia al punto medio del lado opuesto. Cada mediana divide al triángulo en dos triángulos que tienen la misma área (¿Por qué?). Por esta razón, el baricentro es el centro de gravedad de una lámina triangular uniforme. Alturas-Ortocentro Medianas-Baricentro 3 de 12 Existen propiedades curiosas asociadas a estos puntos y rectas notables. Por ejemplo, en cualquier triángulo el circuncentro, el ortocentro y el baricentro están alineados. Dicha recta se denomina recta de Euler. Tarea 2. Dibuja (en papel, con GeoGebra…) diferentes triángulos y determina los cuatro puntos notables de cada uno. Observa que el circuncentro, ortocentro y baricentro están alineados en todos ellos, y traza la recta de Euler de cada uno de los triángulos. 4. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Antes de estudiar la semejanza de triángulos, es necesario clarificar y recordar algunos conceptos. Se llama razón a un cociente entre dos números, y proporción a una igualdad entre 𝑎 𝑐 razones: = , donde a, b, c y d son números reales (b y d no nulos). Los números a 𝑏 𝑑 y d son los extremos de la proporción, b y c son los medios de la proporción. Dos segmentos son proporcionales a otros dos si sus longitudes forman una proporción. 𝑎 𝑚 Un número m es media proporcional de dos números dados a y d si verifica: =. 𝑚 𝑑 Teorema de Tales: Si a dos rectas r y r’ se les corta por un sistema de rectas paralelas, los segmentos determinados por los puntos de intersección sobre r son proporcionales a los segmentos determinados por los puntos correspondientes (los que pertenecen a la misma recta del sistema de paralelas) sobre r’. Demostración (a modo de curiosidad): Es necesario utilizar que el área del triángulo es la mitad del producto de longitud de la base por la longitud de la altura correspondiente a la base. Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝐴𝐵𝐵′ 𝐴𝐵 · ℎ/2 𝐴𝐵 = = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝐵𝐶𝐵′ 𝐵𝐶 · ℎ/2 𝐵𝐶 Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝐴′𝐵𝐵′ 𝐴′𝐵′ · 𝑘/2 𝐴′𝐵′ = = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝐵′𝐵𝐶′ 𝐵′𝐶′ · 𝑘/2 𝐵′𝐶′ Ahora se van a comparar las dos razones anteriores. Por una parte, los antecedentes (numeradores) de las dos primeras razones son iguales, ya que se trata del mismo triángulo. Por otra, los consecuentes (denominadores) también son iguales: el área del triángulo BCB’ es la misma que la de B’BC’ porque tienen la misma base, BB’, y la misma altura correspondiente a esa base (la distancia entre las dos rectas paralelas). En consecuencia: 𝐴𝐵 𝐴′𝐵′ = 𝐵𝐶 𝐵′𝐶′ 4 de 12 De una manera similar se demostrarían otras proporciones enunciadas por el mismo teorema: 𝐴𝐵 𝐴′𝐵′ 𝐴𝐵 𝐴′𝐵′ 𝐴𝐵 𝐴′𝐵′ 𝐵𝐶 𝐵′𝐶′ = ; = ; = ; = 𝐴𝐶 𝐴′𝐶′ 𝐻𝐶 𝐻′𝐶′ 𝐴𝐻 𝐴′𝐻′ 𝐴𝐻 𝐴′𝐻′ Consecuencia: El teorema de Tales permite multiplicar y dividir segmentos (longitudes), ya que si en la proporción 𝐴𝐵 𝐴′𝐵′ = 𝐴𝐶 𝐴′𝐶′ se supone AB=1, entonces se obtiene AC=A’C’/A’B’ (AC es el cociente de A’C’ y A’B’) y A’C’=AC·A’B’ (A’C’ es el producto de AC y A’B’). Material complementario: En el siguiente vídeo puedes encontrar una píldora de conocimiento del proyecto “Saber, extender” de la UVa con el enunciado, explicación y demostración del Teorema de Tales: https://youtu.be/5S6GjrFGUEk Triángulos semejantes. Son aquellos que tienen sus ángulos (interiores) iguales. Es decir, los triángulos semejantes tienen la misma forma, aunque no el mismo tamaño. El concepto de semejanza de triángulos es un concepto importante, sin embargo no siempre es posible medir los ángulos para poder comprobarlo. Por esa razón, existen varios resultados que facilitan comprobar o conocer si dos triángulos son o no semejantes, según los datos a disposición. A continuación se presentan algunos criterios para determinar si dos triángulos son semejantes o no: Dos triángulos son semejantes si, y sólo si, se pueden colocar en “posición de Tales” o “encaje de Tales”. Esa posición es la que se muestra en la imagen de la derecha: un ángulo común y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos. Dos triángulos son semejantes si, y sólo si, tienen sus lados proporcionales. Es decir, si a, b y c, y a’, b’ y c’ son, respectivamente, los tres lados de los triángulos, se cumple que: 𝑐 𝑏 𝑎 = = 𝑐′ 𝑏′ 𝑎′ Dos triángulos que tienen dos ángulos iguales son semejantes (¿por qué?). Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre esos dos lados en uno y otro triángulo es igual son semejantes. 5 de 12 5. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS En este apartado vamos a tratar la construcción de triángulos a partir de determinados datos proporcionados sobre el mismo (generalmente sus lados y sus ángulos). Dependiendo de los datos proporcionados puede haber una única solución, varias, infinitas o ninguna. En todo triángulo se cumple que la suma de dos lados es mayor que el tercero, es decir, que a+b>c, a+c>b y b+c>a. Esto es equivalente a que la diferencia entre dos lados cualesquiera sea menor que el tercero, es decir, que a-b