Unidad 3 Teoremas Relativos a Triángulos PDF

LA DEDUCCIÓN A TRAVÉS DE LA GEOMETRÍA UNIDAD 3 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. TEOREMAS RELATIVOS A TRIÁNGULOS Estos teoremas son de gran utilidad para la demostración de teoremas subsecuentes. A continuación analizaremos los teoremas relativos a triángulos y realiz...

LA DEDUCCIÓN A TRAVÉS DE LA GEOMETRÍA UNIDAD 3 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. TEOREMAS RELATIVOS A TRIÁNGULOS Estos teoremas son de gran utilidad para la demostración de teoremas subsecuentes. A continuación analizaremos los teoremas relativos a triángulos y realizaremos las demostraciones de algunos ejercicios con la ayuda de dichos teoremas. Teoremas 3.1 Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes sus dos catetos. 2.En un triángulo a lados congruentes se oponen ángulos congruentes. 3.En un triángulo a ángulos congruentes se oponen lados congruentes (Teorema recíproco del 3.2). 3.4 Todos los triángulos equiláteros son equiángulos. 3.5 Todos los triángulos equiángulos son equiláteros. 3.6 En todo triángulo la medida de un ángulo externo es igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes a él.  DEMOSTRACIÓN DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS QUE INVOLUCREN LOS TEOREMAS RELATIVOS A ÁNGULOS EJEMPLO 1 ∆LNM 𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑖𝑖𝑠𝑠ó𝑠𝑠𝑐𝑐𝑒𝑒𝑙𝑙𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑠𝑠𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑛𝑛 𝐿𝐿𝑀𝑀 𝐷𝐷𝑎𝑎𝑡𝑡𝑜𝑜𝑠𝑠: 𝑃𝑃𝑅𝑅 ⊥ 𝐿𝐿𝑀𝑀 𝑒𝑒𝑛𝑛 𝑅𝑅, 𝑄𝑄𝑆𝑆 ⊥ 𝐿𝐿𝑀𝑀 𝑒𝑒𝑛𝑛𝑆𝑆 𝐿𝐿𝑅𝑅 ≅ 𝑀𝑀𝑆𝑆 𝐷𝐷𝑒𝑒𝑚𝑚𝑜𝑜𝑠𝑠𝑡𝑡𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟: ∆𝐿𝐿𝑃𝑃𝑅𝑅 ≅ ∆𝑀𝑀𝑄𝑄𝑆𝑆  DEMOSTRACIÓN AFIRMACIONES JUSTIFICACIONES O RAZONES 1. ∆LNM 𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑖𝑖𝑠𝑠ó𝑠𝑠𝑐𝑐𝑒𝑒𝑙𝑙𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑠𝑠𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑛𝑛 𝐿𝐿𝑀𝑀 1. Datos 𝑃𝑃𝑅𝑅 ⊥ 𝐿𝐿𝑀𝑀 𝑒𝑒𝑛𝑛 𝑅𝑅, 𝑄𝑄𝑆𝑆 ⊥ 𝐿𝐿𝑀𝑀 𝑒𝑒𝑛𝑛 𝑆𝑆 𝐿𝐿𝑅𝑅 ≅ 𝑀𝑀𝑆𝑆 2. 𝐿𝐿𝑁𝑁 ≅ 𝑀𝑀𝑁𝑁 2. Definición de triángulo isósceles. 3. ∡𝑁𝑁𝐿𝐿𝑀𝑀 ≅ ∡𝑁𝑁𝑀𝑀𝐿𝐿 3. En todo triángulo a lados congruentes se oponen ángulos congruentes. 4. ∡𝑃𝑃𝑅𝑅𝐿𝐿 y ∡𝑄𝑄𝑆𝑆𝑀𝑀 son ángulos 4. Definición de rectas rectos. perpendiculares. 5. ∡𝑃𝑃𝑅𝑅𝐿𝐿 ≅ ∡𝑄𝑄𝑆𝑆𝑀𝑀 5. Todos los ángulos rectos son congruentes. 6. ∆𝐿𝐿𝑃𝑃𝑅𝑅 ≅ ∆𝑀𝑀𝑄𝑄𝑆𝑆 6. Criterio de congruencia A.L.A EJEMPLO 2 ∆𝑋𝑋𝑌𝑌𝑍𝑍 𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑖𝑖𝑠𝑠ó𝑠𝑠𝑐𝑐𝑒𝑒𝑙𝑙𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑠𝑠𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑛𝑛 𝑋𝑋𝑌𝑌 𝐷𝐷𝑎𝑎𝑡𝑡𝑜𝑜𝑠𝑠: 𝑇𝑇 𝑝𝑝𝑢𝑢𝑛𝑛𝑡𝑡𝑜𝑜 𝑚𝑚𝑒𝑒𝑑𝑑𝑖𝑖𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑋𝑋𝑌𝑌 𝑋𝑋𝑈𝑈 ≅ 𝑌𝑌𝑉𝑉 𝐷𝐷𝑒𝑒𝑚𝑚𝑜𝑜𝑠𝑠𝑡𝑡𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟: ∡𝑋𝑋𝑈𝑈𝑇𝑇 ≅ ∡𝑌𝑌𝑉𝑉𝑇𝑇  DEMOSTRACIÓN AFIRMACIONES JUSTIFICACIONES O RAZONES 1. ∆𝑋𝑋𝑌𝑌𝑍𝑍 𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑖𝑖𝑠𝑠ó𝑠𝑠𝑐𝑐𝑒𝑒𝑙𝑙𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑠𝑠𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑛𝑛 𝑋𝑋𝑌𝑌 1. Datos 2. 𝑋𝑋𝑍𝑍 ≅ 𝑌𝑌𝑍𝑍 2. Definición de triángulo isósceles. 3. ∡𝑈𝑈𝑋𝑋𝑇𝑇 ≅ ∡𝑉𝑉𝑌𝑌𝑇𝑇 3. En todo triángulo a lados congruentes se oponen ángulos congruentes. 4.𝑇𝑇 𝑝𝑝𝑢𝑢𝑛𝑛𝑡𝑡𝑜𝑜 𝑚𝑚𝑒𝑒𝑑𝑑𝑖𝑖𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑋𝑋𝑌𝑌 4. Datos. 5. 𝑋𝑋𝑇𝑇 ≅ 𝑌𝑌𝑇𝑇 5. Definición de punto medio. 6. 𝑋𝑋𝑈𝑈 ≅ 𝑌𝑌𝑉𝑉 6. Datos. 7. ∆𝑋𝑋𝑈𝑈𝑇𝑇 ≅ ∆𝑌𝑌𝑉𝑉𝑇𝑇 7. Criterio de congruencia L.A.L 8. ∡𝑋𝑋𝑈𝑈𝑇𝑇 ≅ ∡𝑌𝑌𝑉𝑉𝑇𝑇 8. Las partes homólogas de figuras congruentes son congruentes. EJEMPLO 3 ∆𝐾𝐾𝐿𝐿𝑀𝑀 𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑒𝑒𝑞𝑞𝑢𝑢𝑖𝑖𝑙𝑙á𝑡𝑡𝑒𝑒𝑟𝑟𝑜𝑜 𝐷𝐷𝑎𝑎𝑡𝑡𝑜𝑜𝑠𝑠: 𝐾𝐾𝑊𝑊 ≅ 𝐿𝐿𝑈𝑈 ≅ 𝑀𝑀𝑉𝑉 𝐷𝐷𝑒𝑒𝑚𝑚𝑜𝑜𝑠𝑠𝑡𝑡𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟: ∆𝑈𝑈𝑉𝑉𝑊𝑊 𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑒𝑒𝑞𝑞𝑢𝑢𝑖𝑖𝑙𝑙á𝑡𝑡𝑒𝑒𝑟𝑟𝑜𝑜  DEMOSTRACIÓN AFIRMACIONES JUSTIFICACIONES O RAZONES 1. ∆𝐾𝐾𝐿𝐿𝑀𝑀 es equilátero 1. Datos 2. 𝑀𝑀K ≅ KL ≅ LM 2. Definición de triángulo equilátero. 3. MV + 𝑉𝑉K = 𝑀𝑀K, KW + W𝐿𝐿 = K𝐿𝐿, 3. Axioma del Todo. 𝐿𝐿U + UM = 𝐿𝐿M 4. MV + 𝑉𝑉K = 𝑀𝑀K ,KW + W𝐿𝐿 = MK, 4. Axioma de sustitución 𝐿𝐿U + UM = MK 5. M𝑉𝑉 + 𝑉𝑉K = KW + W𝐿𝐿 = 𝐿𝐿U + UM 5.- Axioma de transitividad 6. 𝐾𝐾W ≅ 𝐿𝐿U ≅ 𝑀𝑀𝑀𝑀 4. Datos. 5. M𝑉𝑉 + 𝑉𝑉K = MV + W𝐿𝐿 = MV + UM 5. Axioma de sustitución. 6. 𝑉𝑉K = W𝐿𝐿 = UM 6. Axioma de adición. 7. ∆𝐾𝐾𝐿𝐿𝑀𝑀 es equiángulo. 7. Todo triángulo equilátero es equiángulo. 8. ∡𝑀𝑀𝐾𝐾𝐿𝐿 ≅ ∡𝐾𝐾𝐿𝐿𝑀𝑀 ≅ ∡𝐿𝐿𝑀𝑀𝐾𝐾 8. Definición de triángulo equiangulo 9. ∆𝑀𝑀𝐾𝐾𝐿𝐿 ≅ ∆𝐾𝐾𝐿𝐿𝑀𝑀 ≅ ∆𝐿𝐿𝑀𝑀𝐾𝐾 9. Criterio de congruencia L.A.L. 10. WU ≅ UV ≅ VM 10. Partes homólogas de figuras congruentes son congruentes. 11. ∆𝑈𝑈𝑉𝑉𝑊𝑊 es equilátero 11. Definición de triángulo equilátero.  APLICACIÓN DEL CONCEPTO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y DE LOS TEOREMAS RELATIVOS A TRIÁNGULOS. EJEMPLO 1 Observa la figura, determina los valores de x y de y. Considera T como punto medio de 𝑆𝑆𝑈𝑈 y de 𝑅𝑅𝑉𝑉, justifica tu procedimiento.  JUSTIFICACIONES PROCEDIMIENTO Al ser T punto medio de 𝑆𝑆𝑈𝑈 y 𝑅𝑅𝑇𝑇 ≅ 𝑇𝑇𝑉𝑉 de 𝑅𝑅𝑉𝑉, por su definición 𝑆𝑆𝑇𝑇 ≅ 𝑇𝑇𝑈𝑈 podemos decir que: Además tenemos dos ángulos ∡𝑅𝑅𝑇𝑇𝑆𝑆 ≅ ∡𝑉𝑉𝑇𝑇𝑈𝑈 opuestos por el vértice. Por el criterio de congruencia ∆𝑅𝑅𝑇𝑇𝑆𝑆 ≅ ∆𝑉𝑉𝑇𝑇𝑈𝑈 L.A.L tenemos que: Entonces las partes homólogas 33 = 2𝑥𝑥 − 5 también serán homólogas, por lo que: 26 = 3𝑦𝑦 + 2 Resolviendo: 33 = 2𝑥𝑥 − 5 33 + 5 = 2𝑥𝑥 38 = 2𝑥𝑥 𝑥𝑥 = 19  JUSTIFICACIONES PROCEDIMIENTO Resolviendo: 26 = 3𝑦𝑦 + 2 26 − 2 = 3𝑦𝑦 24 = 3𝑦𝑦 𝑦𝑦 = 8 Los valores de x y de y son 19 u y 8 u, respectivamente. EJEMPLO 2 Observa la figura, determina los valores de x y de y. Considera 𝐴𝐴𝐷𝐷 y 𝐸𝐸𝐵𝐵 se bisecan mutuamente, además tenemos que 𝑚𝑚∡𝐵𝐵𝐴𝐴𝐶𝐶 = 4𝑦𝑦 , 𝑚𝑚∡𝐶𝐶𝐵𝐵𝐴𝐴 = 3𝑦𝑦 + 6° , 𝑚𝑚∡𝐶𝐶𝐸𝐸𝐷𝐷 = 𝑥𝑥 − 6° y 𝑚𝑚∡𝐸𝐸𝐷𝐷𝐶𝐶 = 𝑥𝑥 , justifica tu procedimiento.  JUSTIFICACIONES PROCEDIMIENTO Como 𝐴𝐴𝐷𝐷 y de 𝐸𝐸𝐵𝐵 se bisecan 𝐴𝐴𝐶𝐶 ≅ 𝐶𝐶𝐷𝐷 mutuamente, entonces por 𝐸𝐸𝐶𝐶 ≅ 𝐶𝐶𝐵𝐵 definición se cortan en el mismo punto medio (C) por lo que tenemos que: Además tenemos dos ángulos ∡𝐴𝐴𝐶𝐶𝐵𝐵 ≅ ∡𝐷𝐷𝐶𝐶𝐸𝐸 opuestos por el vértice. Por el criterio de congruencia ∆𝐴𝐴𝐶𝐶𝐵𝐵 ≅ ∆𝐷𝐷𝐶𝐶𝐸𝐸 L.A.L tenemos que: Entonces las partes homólogas 𝑥𝑥 = 4𝑦𝑦 también serán homólogas, por lo que: 𝑥𝑥 − 6° = 3𝑦𝑦 + 6° Resolviendo: Sustituyendo 𝑥𝑥 = 4𝑦𝑦 en 𝑥𝑥 − 6° = 3𝑦𝑦 + 6°, tenemos que: 4𝑦𝑦 − 6° = 3𝑦𝑦 + 6° 4𝑦𝑦 − 3𝑦𝑦 = 6° + 6° 𝑦𝑦 = 12°  JUSTIFICACIONES PROCEDIMIENTO Entonces: 𝑥𝑥 = 4𝑦𝑦 𝑥𝑥 = 4 12° 𝑥𝑥 = 48° Los valores de x y de y son 48° y 12°, respectivamente.