4ème A - Géométrie - Topologie PDF

GÉOMÉTRIE 4TH.A TOPOLOGIE Inventée par Euler en 1736 dans la ville de Konnigsberg compte : - nombre de sommets et segment et face(3D) d’un polygone dans le plan s’occupe pas : - position dans l'espace - mesure de longueur - proportions règle le problème des 7 ponts de konnigsberg :...

GÉOMÉTRIE 4TH.A TOPOLOGIE Inventée par Euler en 1736 dans la ville de Konnigsberg compte : - nombre de sommets et segment et face(3D) d’un polygone dans le plan s’occupe pas : - position dans l'espace - mesure de longueur - proportions règle le problème des 7 ponts de konnigsberg : 2 fleuves, 7 ponts, 4 zones → comment passer par chaque pont 1 seule fois pour revenir au point de départ?? SOLUTION : ne dépend pas de l’étendue ou de la forme du territoire 1. si arrivée et départ sont la meme régions alors faut que nombre de ponts soit PAIR (une ½ aller et ½ pour retour) 2. si départ et arrivée sont diff alors nombre de pont doit être IMPAIR PROBLÈME → konigsberg a 7 ponts → donc impossible résoudre problème REMARQUABLE : raisonnement reste valide peu importe étendue et forme de la région et même position des ponts —> raisonnement marche donc mm si on fait subir des transformations continues des régions et de l’emplacement des ponts, tant qu'on ne change pas nb de chacun. déformations continues = déformations qui changent PAS le nombre des zones et des ponts entre ces zones. Réduction (déformation continue sans angle, proportions, longueur) topologique de la ville à un graphe à 4 sommets : on a gardé le mm nb de régions et de ponts Ces déformations sont topologiquement invariante que si elles n’introduisent aucune : - coutures = connecte régions et enlève ponts - coupures = crée des nouvelles régions deviennent point = sommet régions et dmd ponts deviennent lignes = arêtes  plus de ponts degré d’un sommet = nombres d'arêtes issu de ce point INTÉRÊT GRAPHE ? met en avant les propriété des transformations topologiquement invariantes : - nb de sommet (points ou régions) - nb d'arêtes (lignes ou ponts) → garde degré de parité nécessaire pour que parcours marche CONCLUSION EULER SUR GRAPHE 1. cycle eulérien = parcours du graphe passant par toutes les arêtes une seule fois pour revenir au sommet initial (konigsberg) → faut nombre PAIR de ponts/arêtes 2. chaîne eulérienne = parcours du graphe passant par toutes les arêtes une seule fois sans revenir au sommet initial (chaine entre 2 sommets) → faut que SEUL degré des 2 sommets soit IMPAIR  DÉFORMATIONS CONTINUES & HOMÉOMORPHISMES précisons nature des déformation continues (base de la topologie) 1. Correspondance 1 à 1 (mapping) 2. Correspondance 1 à 1 réciproquement continue = Homéomorphisme (continuous mapping) 1. Correspondance 1 à 1 (mapping) corr. 1 à 1 de tous points de 2 ensembles de points dans l’espace peut avoir des conséquences inattendues BC = 2DE (thm similitudes) peut tirer une droite depuis A vers BC et avoir un point qui apparaît sur DE et réciproquement. correspondance 1 à 1 entre tous les points de 2 ensembles de point (DE et BC) 2. Correspondance 1 à 1 réciproquement continue = Homéomorphisme (continuous mapping) correspondance 1 à 1 réciproquement continue entre 2 ensembles de points. Tout point voisin de X aura son correspondant dans un point voisin de Y et réciproquement. C’est cette condition de conservation des voisinages dans les 2 sens qui fait d’une simple correspondance 1 à 1, une correspondance réciproquement continue entre 2 ensembles de points qu’on dira alors homéomorphes. équivalence topologique = 2 ensembles de points sont dits topologiquement équivalents s'il existe un homéomorphisme entre ces 2 ensembles. Ils sont homéomorphes. exemple de déformations non homéomorphique : coupures ou coutures Depuis le segment AB, très facile de trouver une correspondance sur N’importe quel arc de cercle → marche tt le temps tant que cercle reste OUVERT Mais si on coud A et B = arc de cercle FERMÉ —> continuité de correspondance n’existe plus dans les 2 sens (point depuis segment AB sur cercle sont encore OK mais point depuis cercle sur segment marche plus) → coupures et coutures suppriment continuité de la correspondance 1 à 1 entre courbe ouverte et courbe fermée → courbe ouverte et courbe fermée ne sont pas homéomorphe Même si on peut établir une correspondance 1 à 1 entre les points d’une courbe ouverte et ceux d’une courbe fermée, cela ne suffit pas à les rendre topologiquement équivalentes (homéomorphes). Les "coutures" et "coupures" symbolisent les modifications nécessaires pour passer de l’une à l’autre, mais ces modifications introduisent des ruptures ou des continuités nouvelles qui empêchent une telle équivalence (topologique). → courbe fermé = notion interieur VS exterieur courbe ouverte = pas de notion int. VS ext. RÉSUMÉ coutures ou coupures dans une déformation → correspondance 1 à 1 peut plus être homéomorphe inversement , l’existence d’un homéomorphisme entre 2 ensembles ≠ garantie qu’on peut déformer continûment un des ensemble sans faire coutures/coupures DONC : HOMÉOMORPHISME ≠ DÉFORMATIONS CONTINUES CONTINUITÉ/DISCONTINUITÉ DES DEF. ASSURANT TRANSITION ENTRE SURFACES HOMÉOMORPHES Cylindre = surface orientable(nb paire de torsion) nb paire de torsion → - reste orientable et homéomorphe nb impaire de torsion → - n’est plus orientable - n’est jamais homéomorphe aux figures nb paire de torsion exemple : Ruban de Moebius (½ torsion sur cylindre) = surface non orientable (impossible de discerner face avant/face arrière) (animation) logiciel CAO ont du mal pcq faut représenter normal en tout point donc va introduire une autre torsion pour rester orienté → PAIR sont homéomorphes entre eux, sans def. continues → IMPAIRES sont homéomorphes entre eux, sans def. continues PAIR ET IMPAIRES sont PAS homéomorphes entre eux  DÉFORMATION CONTINUE des POLYÈDRES Toute déformation continue sans coupures ni couture d’un polyèdre (3D) maintiendra ces 3 nombres: - nombre de faces F - nombre de sommets S - nombre des arêtes A cube topologique = cube parfait de base qui a subit des déformations continues (sans coupures ni coutures) Un invariant topologique fondamental: la CARACTÉRISTIQUE d’EULER Après son analyse de graphe, Euler établit une égalité avec un nombre “E” qui reste vrai pour tout polyèdre : E = F-A+S NB = les signes alternent comme la parité de la dimension des éléments: - signe positif = Face de dimension 2 = pair - signe négatif = Arête de dimension 1 = impair - signe positif = Sommet ou point de dimension 0 = pair Tout polyèdre fermé et sans trous E = F-A+S = 2 cette caractéristique = 2 se trouve vérifiée pour chacun des 5 polyèdres réguliers convexes qui concluent les Eléments d’Euclide. ici , le 2 représente le fait qu’il n’y a pas de coupure et cette caractéristique ne change pas même si grandeur, forme et position changent. DÉMONSTRATION E = 2 Si E = F-A+S = n0 Passage de l'espace dans le plan : - déformations continues ne modifient pas F A S - retrait face au sol affecte F → E = (F-1)-A+S = n0 -1 Projection du polyèdre: - ne retire aucune face, ni arête, ni aucun sommet - donc Er = n0-1  COUPURES et COUTURES de SEGMENTS dans les ESQUISSES But : voir comment Topsolid gère les coupures et coutures Comment faire la distinction entre intérieur et extérieur ? il existe une différence entre intérieur et extérieur que si pour tout chemin parcouru quelconque au travers de ce contour on peut commuter de l’intérieur à l’extérieur à chaque passage sur ce contour de manière cohérente 3 Topologie d’un polynôme 1. CONVEXE 2. CONCAVE 3. CROISÉE - diagonales sont - au moins une - au moins une toutes internes diagonale externe diagonale externe - nb de - nb de - nb de franchissement de franchissement de franchissement de frontière est PAIR frontière est PAIR frontière est IMPAIRE Critères pour extruder sur Topsolid : - le contour extrudé doit comporter que des sommets à 2 arêtes ! - Topsolid doit pouvoir différencier interieur et exterieur