4-THa - TOPOLOGIE en CAO PDF

[**[▶ Enregistrement du 26 Octobre 2023 4 - THa - SQ1 (16 min)]**](https://mediaspace.epfl.ch/media/2023.10.26+GEOMETRIE+I+-+4-THa+SQ1+-+16min+%28MATH-124%29/0_pbkf6jtu) [**[▶ Enregistrement du 26 Octobre 2023 4 - THa - SQ2 (39 min)]**](https://mediaspace.epfl.ch/media/2023.10.26+GEOMETRIE+I+-+4-TH...

[**[▶ Enregistrement du 26 Octobre 2023 4 - THa - SQ1 (16 min)]**](https://mediaspace.epfl.ch/media/2023.10.26+GEOMETRIE+I+-+4-THa+SQ1+-+16min+%28MATH-124%29/0_pbkf6jtu) [**[▶ Enregistrement du 26 Octobre 2023 4 - THa - SQ2 (39 min)]**](https://mediaspace.epfl.ch/media/2023.10.26+GEOMETRIE+I+-+4-THa+SQ2+-+39min+%28MATH-124%29/0_k9l86vqz) +-----------------------------------------------------------------------+ | 4-THa = NOTIONS ÉLÉMENTAIRES de TOPOLOGIE en CAO | | | | [**Naissance de la Topologie : un problème urbain | | 2**](#naissance-de-la-topologie-un-probl%C3%A8me-urbain) | | | | [**DÉFORMATIONS CONTINUES & HOMÉOMORPHISMES | | 5**](#d%C3%A9formations-continues-hom%C3%A9omorphismes) | | | | [**Continuité ou discontinuité des déformations assurant la | | transition entre surfaces homéomorphes | | 8**](#continuit%C3%A9-ou-discontinuit%C3%A9-des-d%C3%A9formations-ass | | urant-la-transition-entre-surfaces-hom%C3%A9omorphes) | | | | [**DÉFORMATION CONTINUE des POLYÈDRES | | 11**](#d%C3%A9formation-continue-des-poly%C3%A8dres) | | | | [**Un invariant topologique fondamental: la CARACTÉRISTIQUE d'EULER | | 13**](#un-invariant-topologique-fondamental-la-caract%C3%A9ristique-d | | euler) | | | | [**COUPURES & COUTURES de SEGMENTS dans les ESQUISSES | | 20**](#coupures-coutures-de-segments-dans-les-esquisses) | +-----------------------------------------------------------------------+ *→ ATTENTION = L'import du paquet est assez long en raison des exemples réels.* ***Démarche:*** Nous poursuivons notre excursion en dehors de la géométrie à la règle & au compas en observant que les solveurs des instruments modernes que constituent les logiciels de CAO ne font pas que résoudre des équations autres que polynomiales de degré ***2^n^*** permettant de construire des figures non constructibles à la règle et au compas, ainsi qu'on l'a vu en 3-THa & 3-THb. Ces solveurs constituent également des sortes de ***machines à coudre et à découdre*** les segments ***résultat*** d'une esquisse afin de délimiter des ***intérieurs*** et des ***extérieurs*** cohérents pour pouvoir calculer des volumes, des masses ou des centres de gravité. La cohérence de ces délimitations entre intérieur et extérieur fait l'objet d'une géométrie assez récente puisqu'elle fut initiée par le mathématicien suisse Euler en ***1736***. Cette géométrie, nommée ***topologie***, ne s'occupe d'aucune ***position*** dans l'espace, ni d'aucune ***mesure*** de longueur ou d'angle, ni même de ***proportions***, et elle se contente, au départ, de compter les nombres de sommets et de segments des polygones dans le plan, en y ajoutant les faces pour les polyèdres dans l'espace. Comme la notion de ***couture*** est un outil majeur des logiciels de CAO, nous allons faire une incursion rapide dans cette géométrie, dont les figures ne sont généralement pas constructibles à la règle & au compas, avant d'aborder les chapitres dédiés à la symétrie moderne dans le plan & dans l'espace. +-----------------------------------------------------------------------+ | Naissance de la Topologie : un problème urbain | | ============================================== | | | | **Le parcours des 7 ponts de Königsberg** | +-----------------------------------------------------------------------+ La ville de Königsberg, aujourd'hui Kaliningrad, est configurée par la confluence de 2 rivières autour d'une île qui délimite ***4*** régions du territoire reliées par ***7*** ponts. ***3 représentations différentes des 7 ponts de Königsberg:***  Les habitants de la ville se demandaient désespéremment si un parcours permettrait de passer: \- par c***hacun*** des ***7*** ponts, \- ***une et une seule fois***, \- en revenant au ***point de départ***. De séjour dans cette ville, le mathématicien suisse ***Euler*** va proposer en ***1736*** un critère de possibilité d'un tel parcours en considérant la ***parité***, ou non, du nombre de ponts entre les différentes régions de la ville. ***Raisonnement d'Euler indépendant de l'étendue & de la forme du territoire:*** Dans tout parcours entre régions connectées par des ponts, on distingue 2 types de régions: \- les ***régions intermédiaires*** du parcours : \- les ***régions extrêmes*** : Dans ce dernier cas, ***toutes*** les régions doivent donc comporter un nombre ***pair*** de ponts. Or, précisément, dans le cas de Königsberg, les 4 régions ont toutes un nombre ***impair*** de ponts. Il est donc impossible de parcourir tous ces ponts une et une seule fois en revenant à la région de départ. Ce qui est remarquable, c'est que ce raisonnement demeure valide quelque soit l'***étendue*** et la ***forme*** ([***[2-THa]***](https://docs.google.com/document/d/1_YZdnJc9cXWwQZ-oUSw8kioVoWB3dtxdnS_8476hA2w/edit#heading=h.w3excd6za1zp)) des régions, ou même la ***position*** des ponts. Le raisonnement se maintient donc lorsqu'on fait subir à ce territoire toutes sortes de transformations qui \- déforment ***continûment*** les régions et l'emplacement des ponts \- pour autant que demeurent ***invariants*** les nombres de régions et de ponts. Par ***déformations continues***, on entendra donc, provisoirement, des déformations qui maintiendront invariants les nombres : \- de ***zones*** de terrain continues, \- de ***ponts*** entre ces zones \- Ainsi, sur la série des 3 représentations différentes des 7 ponts de Königsberg ci-dessus, faut-il envisager: \- qu'à partir de la ville de Königsberg en ***vraie grandeur***, avec ses mesures d'angle et de longueur réelles, \- on produise d'abord une ***représentation à l'échelle*** d'une section plane de la ville, respectant les ***angles*** entre les rues et leurs ***proportions*** de longueur, c'est à dire leur ***forme***, \- puis qu'on ***déforme continûment*** cette représentation pour transformer chacune des 4 régions en un patatoïde jaune, dont la forme n'a plus aucune mesure d'angle, ni aucune proportion commune avec la représentation initiale, \- jusqu'à réduire ces zones jaunes aux 4 ***points limites*** rouges qui constitueront les ***sommets d'un graphe*** entre lesquels on a maintenu 7 chemins. ***Réduction topologique des 4 régions de la ville de Königsberg à un graphe à 4 sommets:*** Ces déformations ne seront dites ***topologiquement invariantes*** que si elles n'introduisent: \- ni ***cou*t*ures*** qui connecteraient des régions et supprimeraient les ponts entre elles, \- ni ***cou*p*ures*** qui créeraient de nouvelles régions et requerraient de nouveaux ponts pour les connecter. Ce type de transformation permet alors de représenter le territoire par un ***graphe*** où: \- les ***régions*** sont déformées dans des zones, jusqu'à se réduire à des ***points***, appelés ***sommets**,* \- les ***ponts*** sont réduits à des ***lignes*** arbitraires entre ces points, appelées ***arêtes***. → Le nombre d'arêtes issues d'un sommet définit le ***degré*** de ce sommet. Ainsi dans le cas de Königsberg, le graphe comporte-t-il: \- ***3*** sommets de degré ***3*** \- ***1*** sommet de degré ***5*** L'intérêt de tels graphes est de mettre en évidence les propriétés que doivent maintenir ***invariantes*** les ***transformations topologiques***: \- nombres de ***sommets*** (points, ou régions), \- nombre d'***arêtes*** (lignes, ou ponts) afin que soient maintenues les degrés de parité caractérisant les parcours possibles. Ainsi la ***topologie*** étudie-t-elle les propriétés maintenues invariantes par ce type de transformations très générales qui ne pratiquent ***ni coupure, ni couture***, c'est à dire par des déformations continues dont nous allons devoir préciser la nature ci-dessous, sitôt après avoir formalisé les conclusions d'Euler sur les graphes sous forme de définitions. ***Définitions relatives aux graphes:*** +-----------------------------------------------------------------------+ | \- Un ***cycle eulérien*** est le parcours d'un graphe passant par | | toutes les arêtes, une et une seule fois, pour revenir au sommet | | initial, tel que celui que recherchaient les habitants de Königsberg. | | On a vu ci-dessus qu'un tel cycle n'existe que si: | | | | ***tous*** les sommets sont de degré ***pair***. | | | | \- Une ***chaîne eulérienne*** est le parcours d'un graphe passant | | par toutes les arêtes, une et une seule fois, sans revenir au sommet | | initial. On a vu ci-dessus qu'une telle chaîne n'existe entre 2 | | sommets donnés que si: | | | | ***seuls*** ces 2 sommets extrêmes sont de degré ***impair***. | +-----------------------------------------------------------------------+ +-----------------------------------------------------------------------+ | *DÉFORMATIONS CONTINUES & HOMÉOMORPHISMES* | | ========================================== | +-----------------------------------------------------------------------+ Précisons maintenant la nature des ***déformations*** dont l'étude des propriétés définit la nouvelle géométrie qu'est la topologie. ***Correspondance 1 à 1*** (*mapping* in English)***:*** Commençons par examiner un type de relations très générales qui établissent une ***correspondance 1 à 1*** entre tous points de 2 ensembles de points dans l\'espace: courbes, surfaces ou volume. En se tenant à des ensembles très simples, on s\'aperçoit déjà que l\'établissement d'une telle correspondance peut avoir des conséquences ***inattendues***. Partons de la configuration élémentaire du théorème des similitudes où une transversale coupe en leur moitié les 2 côtés adjacents ***AB*** & ***AC*** d'un triangle ***ABC***, parallèlement au 3ème côté ***BC***. Le segment ***DE*** de la transversale qui se trouve à l'intérieur du triangle est donc ***2 fois plus petit*** que la base ***BC***. *→*  *→ Montrer progressivement:*  En dépit de cette différence de longueur, on peut tirer une droite issue du sommet ***A*** vers tout point ***X*** de la base du triangle ***BC*** et trouver son point d'intersection ***Y*** avec ***DE***. Et réciproquement, on peut aussi tirer une droite issue du sommet ***A*** vers tout point ***Y*** du segment ***DE*** et trouver son point d'intersection ***X*** avec la base du triangle ***BC***. On peut ainsi définir une ***correspondance réciproque 1 à 1*** entre tous points de ces 2 segments, quand bien même le segment ***BC*** est 2 fois plus long que le segment ***DE*** et semble bien contenir 2 fois plus de points. *→ Laisser montré* +-----------------------------------+-----------------------------------+ | *→ Montrer progressivement:* | *→ Cacher* | | | | |  | *→ Montrer progressivement:* | | | | | |  | +===================================+===================================+ | |  | +-----------------------------------+-----------------------------------+ ***Correspondance 1 à 1 réciproquement continue = Homéomorphisme*** Cette correspondance réciproque de tous les points de ***BC*** avec tous les points de ***DE*** en dépit de leur différence de longueur tient à la nature ***continue*** de ces segments. C'est cette continuité qui permet de dire que, en un certain sens, il y a autant de points sur chacun des 2 segments: le plus court et le plus long. Dans l'exemple ci-dessus, la correspondance 1 à 1 est établie par des droites qui projettent tous les points d'un des segments sur l'autre. Mais il existe toutes sortes de manière d'établir une correspondance 1 à 1 que nous n'examinerons pas ici. Si l'on se tient à l'exemple ci-dessus, la ***correspondance*** établie par le faisceau de droites issues de ***A*** entre ***BC*** & ***DE*** est elle-même ***réciproquement continue*** dès lors que: ***Tout point voisin de X aura son correspondant dans un point voisin de Y et réciproquement.*** C'est cette condition de *[conservation des voisinages **dans les 2 sens**]* qui fait d'une simple correspondance 1 à 1, une correspondance *[réciproquement continue]* entre 2 ensembles de points qu'on dira alors *[homéomorphes]*. ***Définition d'un*** ***homéomorphisme*** (*continuous mapping* in English): ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- On appelle ***homéomorphisme*** toute ***correspondance 1 à 1 réciproquement continue*** entre 2 ensembles de points. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Deux ensembles de points sont dits ***topologiquement équivalents*** s'il existe un homéomorphisme entre ces ensembles qu'on peut aussi dire ***homéomorphes***. C'est là la véritable définition de l'***équivalence topologique***, qui permet d'assurer une application importante dans les logiciels de rendus graphiques: c'est le ***mapping*** des ***textures*** d'une surface rectangulaire plane vers toute autre surface homéomorphe. Mais, nous verrons plus loin que les logiciels de CAO font appel à des notions encore ***plus exigeantes*** qui requièrent des déformations sans coupure, ni couture. ***Exemple de correspondance 1 à 1 non réciproquement continue =*** ***Déformation non homéomorphiques en raison de coutures ou de coupures:*** Comme signalé ci-dessus, toutes les notions examinées ci-dessus ne dépendent ni de la forme, ni de la position des points dans l'espace, Ainsi, partant d'un segment de droite ***AB***, il est très simple d\'établir une ***correspondance 1 à 1*** entre ce ***segment*** et tout ***arc*** de cercle, ou toute courbe ouverte entre 2 extrémités ***A*** & ***B***. Une telle ***correspondance 1 à 1*** sera même maintenue si l'arc couvre presque le cercle entier rapprochant ***A*** & ***B*** autant que possible, mais sans les fusionner, ni les coudre. Mais dès lors qu'on ***coud*** les 2 extrémités ***A*** & ***B*** pour transformer l'arc ***ouvert*** en un cercle ***fermé***, la continuité de la correspondance ne sera plus maintenue ***dans les 2 sens***. → *→ Montrer progressivement*  En effet, tous points voisins sur le ***segment*** ***AB*** auront leurs correspondants dans des points voisins sur le cercle, mais les points voisins du ***cercle*** situés ***de part et d'autre*** de la couture de ***A'*** sur ***B'*** se retrouveront séparés sur le segment, les uns proches de l'extrémité ***A*** & les autres proches de l\'extrémité ***B***. Ainsi les ***coutures*** & les ***coupures*** suppriment-elles la ***réciprocité*** de la continuité de la correspondance 1 à 1 entre courbe ***ouverte*** et courbe ***fermée***. Aussi les courbes ouvertes et fermées ne sont-elles pas homéomorphes en dépit de la simple correspondance 1 à 1 entre leurs points. Cette distinction est fondamentale au sens où ces 2 types de courbes, ouvertes ou fermées permettent ou non de subdiviser l'espace en 2 régions distinctes: un ***intérieur*** & un ***extérieur***. +-----------------------------------------------------------------------+ | *Continuité ou discontinuité des déformations assurant la transition | | entre **surfaces homéomorphes*** | | ===================================================================== | | ================================ | +-----------------------------------------------------------------------+ On vient de voir comment l\'introduction de couture ou de coupure dans une déformation font que la correspondance 1 à 1 résultante ne peut plus être un homéomorphisme. Inversement, l'existence d'un homéomorphisme entre 2 ensembles ***ne garantit pas*** qu'on puisse déformer continûment l'un des ensembles dans l'autre, sans devoir recourir à des coupures ou à des coutures. Ainsi, en va-t-il de la colonne de ***gauche*** du tableau ci-dessous. On peut en coudre les 2 bords ***AB*** & ***CD*** du ruban ouvert, directement pour produire une surface ***cylindrique***, ou lui faire subir un nombre ***pair*** de ***demi-torsions*** avant la couture, comme sur la dernière image vers le bas. Les 2 surfaces ainsi produites sont bien ***homéomorphes***, au sens où l'on peut établir une ***correspondance 1 à 1 réciproquement continue*** entre ces 2 surfaces, où à tout point voisin de ***A et C*** ou ***B et D*** du ruban à ***0*** demi-tour correspond un point voisin de ***A et C*** ou ***B et D*** du ruban à ***2*** demi-tours. Toutefois, on ne peut ***pas déformer*** un ruban dans l'autre sans devoir couper la surface pour lui faire effectuer des doubles demi-tours en plus, ou moins. Dans la colonne de droite, on effectue un nombre ***impair*** de ***demi-torsions*** avant de coudre le bord ***AB*** du ruban sur le bord inversé ***DC***. La surface obtenue en ne pratiquant qu'un seul demi-tour est appelée ruban de Moebius du nom de l'un des mathématiciens qui l'inventa en 1858. ***2 types de surfaces homéomorphes: orientées & non orientées,*** ***sans déformation continue au sein de chaque type.*** +-----------------------------------+-----------------------------------+ | ***Couture sans inversion des | ***Couture avec inversion des | | bords AB & BC*** | bords AB & BC*** | | | | | ***= Nombre de demi-torsions nul | ***= Nombre de demi-torsions | | ou pair*** | impair*** | | | | | ***= Surfaces homéomorphes | ***= Surfaces homéomorphes non | | orientées*** | orientées*** | | | | | ***à 2 faces*** | ***à 1 seule face*** | +===================================+===================================+ |  | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | *Ruban à **0** demi-torsion = | *Ruban à **1** demi-torsion, dit | | Cylindre* | de Moebius* | | | | | *→ homéomorphe avec **couture / | *→ homéomorphe avec **couture / | | coupure*** | coupure*** | | | | | *au Ruban à **2** demi-torsions:* | *au Ruban à **3** demi-torsions:* | | | | |  | [***[Animation]***](h | | | ttps://fr.wikipedia.org/wiki/Ruba | | | n_de_M%C3%B6bius#/media/Fichier:M | | | obiusAnime.gif) | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | *Ruban à **2** demi-torsions :* | *Ruban à **3** demi-torsions :* | | | | | *→ homéomorphe avec **couture / | *→ homéomorphe avec **couture / | | coupure*** | coupure*** | | | | | *au Ruban à **0** demi-torsion:* | *au Ruban à **1** demi-torsion:* | | | | |  | [***[Animation]***](h | | | ttps://fr.wikipedia.org/wiki/Ruba | | | n_de_M%C3%B6bius#/media/Fichier:M | | | obiusAnime2.gif) | +-----------------------------------+-----------------------------------+ Dès lors, aucune des surfaces à nombre ***impair*** de demi-torsions dans la colonne de droite n'est homéomorphe à aucune des surfaces à nombre ***pair*** de demi-torsions dans la colonne de gauche, puisqu'un point voisin de ***A et C*** dans la colonne de gauche sera voisin de ***A et D*** dans la colonne de droite, et inversement. En revanche, dans la colonne de droite, les surfaces à nombre ***impair*** de demi-torsions sont bien ***homéomorphes*** entre-elles, puisqu'à tous points voisins de ***A et D*** ou ***B et C*** du ruban à ***1*** demi-torsion correspond des points voisins de ***A et D*** ou ***B et C*** du ruban à ***3*** demi-torsions , bien qu'***aucune*** déformation continue permette de passer de l'un à l'autre des rubans sans coupure, ni couture. +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | ***Nombre de | | ***Nombre de | | demi-torsions nul ou | | demi-torsions | | pair*** | | impair*** | +=======================+=======================+=======================+ | *Ruban à **0** | ***Pas de*** | *Ruban à **1** | | demi-torsion = | | demi-torsion, dit de | | Cylindre* | *déformation | Moebius* | | | continue,* | | |  | ***ni | | | | d'**homéomorphisme* | | | | | | | | *↔* | | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | *↑* | | *↑* | | | | | | *Homéomorphisme* | | *Homéomorphisme* | | | | | | ***sans*** | | ***sans*** | | | | | | *déformation | | *déformation | | continue* | | continue* | | | | | | *↓* | | *↓* | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | *Ruban à **2** | ***Pas de*** | *Ruban à **3** | | demi-torsions :* | | demi-torsions :* | | | *déformation | | | *→ homéomorphe avec* | continue,* | | | | | | |  | d**'homéomorphisme* | | | | | | | | *↔* | | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ Ainsi toute déformation continue, sans coupure ni couture, produira-t-elle une figure homéomorphe, c\'est à dire, topologiquement équivalente. Mais, l'inverse n\'est pas toujours vrai: il n'existe pas nécessairement de déformation continue sans couture ni coupure qui permette de passer d'une figure à une autre qui lui soit homéomorphe. ***Surfaces orientées & non orientées:*** Pour autant que le nombre de demi-torsions demeure nul ou ***pair***, les surfaces homéomorphes cousues selon le schéma du bandeau de gauche ne sont pas continûment déformables les unes dans les autres, mais elles présentent bien toutes ***2 faces distinctes***, au contraire des surfaces cousues selon le schéma du bandeau de droite où l'on coud ***A*** sur ***D*** & ***B*** sur ***C***, après un nombre ***impair*** de demi-torsions. En effet, les surfaces à nombre ***impair*** de demi-torsions ne présentent qu'***une seule face***. Si l'on parcourt les surfaces de la colonne de droite avec un crayon sans franchir de bord, on passera d'un côté à l'autre de la surface après chaque parcours complet. Les surfaces de droite n'ont ainsi qu'une seule face dont ***l'orientation*** ***s'inverse*** après chaque parcours. ***Modeleurs volumiques & modeleurs surfaciques:*** Pour pouvoir calculer des grandeurs physiques tels que des aires, des volumes, des masses ou des centres de gravité, les ***modeleurs volumiques*** doivent pouvoir déterminer les espaces ***intérieur*** et ***extérieur*** des objets. Ces modeleurs vont donc considérer comme invalides toutes surfaces ***non orientables*** comme celles du ruban de Moebius. D'une manière générale, un logiciel de CAO ***volumique***, tel Catia, TopSolid, ou SolidWorks, tâchera d'éviter toute opération produisant des surfaces non orientables comme on le voit dans les manipulations ci-dessous, où TopSolid s'efforce de préserver des surface orientables, même lorsque les génératrices d'un gabarit suggère de construire un ruban de Moebius, comme dans la colonne de droite ci-dessous. +-----------------------------------+-----------------------------------+ |  | | +===================================+===================================+ |  | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | ***Tenter d\'introduire une seule | ***Tenter de fermer le ruban avec | | demi torsion supplémentaire:*** | une seule demi torsion:*** | | | | | *- Editer* | *- Editer* | | *dans les | *dans les | | Op'* | Op'* | | | | | *- **Inverser** la flèche | *- Cocher* | | indiquée en rouge ci-dessous par | | | un double clic.* | *→ TopSolid introduit une demi | | | torsion **supplémentaire** afin | | *→ TopSolid introduit une demi | de produire une **surface à 2 | | torsion **inverse** afin de | demi-torsions qui reste** | | conserver une **surface | **orientable à 2 faces**:* | | cylindrique à 0 demi-torsion** | | | **qui reste** **orientable à 2 |  | | faces**:* | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ Pour travailler sur des surfaces non orientées avec un ***modeleur volumique***, on pratiquera donc des coupures qui décomposeront la surface globale en: \- ***une seule*** surface orientable comme sur l'image initiale de la colonne de droite ci-dessus \- ou un lot de ***plusieurs*** surfaces orientables. En revanche, les logiciels qui reposent sur des ***modeleurs surfaciques***, tels Rhino, permettent de modéliser des surfaces non orientées mais, en contrepartie, ces logiciels traiteront plus difficilement toutes les notions qui reposent sur la distinction entre intérieur & extérieur. +-----------------------------------------------------------------------+ | DÉFORMATION CONTINUE des POLYÈDRES | | ================================== | +-----------------------------------------------------------------------+ Au sein de la catégorie très générale des graphes topologiques, on peut distinguer un sous ensemble particulier dont les lignes sont des ***arêtes***: \- soit de ***polygones*** 2D : figures ***planes*** fermées par des ***segments de droites***, \- soit de ***polyèdres*** 3D : figures ***spatiales*** limitées dans l'espace par des ***faces planes***, elles-mêmes constituées de polygones plans. On est alors amené à prendre également en considération le nombre de ***faces*** planes, bordées chacune d'une boucle d'***arêtes*** reliant les ***sommets*** de cette face. Toute déformation continue sans coupures ni couture d'un ***polyèdre*** maintiendra ces 3 nombres: \- nombre de faces ***F*** \- nombre de sommets ***S*** \- nombre des arêtes ***A*** Aussi parlera-t-on de ***cube topologique*** pour désigner tout polyèdre obtenu par déformation continue sans coupure, ni coupure d'un ***cube régulier de la géométrie classique*** dont toutes les arêtes sont égales et tous les angles sont droits. De telles déformations altéreront les mesures des angles et des arêtes du cube, tout en préservant les valeurs de chacun des 3 nombres ***F=6***, ***A=12***, ***S=8***. → La construction du cube topologique fait l'objet du 2^nd^ exercice de [***[4-EXa]***](https://docs.google.com/document/d/1ZzMLcY8Ul4cRphmnsIdamutuwKkTBMA6Si4FbOg05kA/edit#heading=h.1y3synltpgqb). *→ Ouvrir le dossier*  *→ Ouvrir* *→ **Déplacer** les **sommets** du cube* ***Variétés de "cubes" topologiques maintenant invariants chacun des 3 nombres: F, A, S*** ------------------------- -- -------------------------   ------------------------- -- ------------------------- → Ce type d'esquisse 3D permet de concevoir et déformer des pavillons variables, comme le montre le document ci-dessous. (cours de Stéréotomie de Bernard Cache jusqu'en 2022). *→ Ouvrir* *→ Montrer progressivement les éléments de*  *→ **Déplacer** les **sommets** **rouges** du cube* ### Variations du cube topologique porteur de panneaux ( = cours de stéréotomie): -- ----------------------- --  -- ----------------------- -- [*[Pavillon & Projets d\'étudiants 2021]*](https://enac-cnpa.github.io/IFCjs-Stereotomie/) (site monté par Raphaël Vouilloz de l'équipe du cours) ***Conséquences pratiques sur les logiciels de CAO:*** Le nombre et l'identification des faces, des arêtes et des sommets d'une forme revêt une importance cruciale dans un logiciel de CAO, où chacun de ces éléments porte un ***numéro*** ***d'identification*** permettant de le reconnaître au travers des déformations de cette forme. Si une déformation ne préserve pas chacun des 3 nombres ***F***, ***A*** & ***S***, et, par exemple: supprime une face sur laquelle s'appuie un congé, cette opération deviendra ***invalide***, sauf si, dans certains cas favorables, le logiciel trouve le moyen de ***cicatriser*** la forme. ***Exemple de déformation supprimant une face*** ***d'une pièce comportant 4 congés entre 4 faces planes:*** ***→ la forme est d'abord cicatrisée, puis devient invalide.*** *→ Ouvrir*  *→ Raccourcir **progressivement** la plus petite des arêtes comme ci-dessous* *→ Accepter le message d'erreur par **OK*** +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | Forme initiale | Déformation | Poursuite du | | produite par | raccourcissant un | raccourcissement où | | extrusion d'un | côté du polygone | les bords des congés | | polygone à 4 côtés | extrudé, conduisant à | ne sont plus: | | avec un congé de | la ***suppression | | | rayon identique sur | d'une face plane*** | \- ni les faces | | les 4 arêtes entre | entre 2 des congés. | initiales, | | les ***4 faces | | | | verticales*** | Le logiciel a pu | \- ni des congés | | | ***cicatriser*** en | voisins. | | | enchaînant les 2 | | | | congés autour de | L'opération de congé | | | l'arête remplaçant la | est désactivée parce | | | face manquante. | qu'elle est ***non | | | | cicatrisable*** & | | | | ***invalide** = | | | | cliquer le* *pour | | | | **réduire** le rayon | | | | des congés, ex: 5mm* | +=======================+=======================+=======================+ |  | | ) | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ D'une manière générale, l'ajout ou la suppression d'une face, d'une arête ou d'un sommet remet en cause les numéros d'identification de ce type d'éléments, et peut vite conduire à des invalidités dès lors que le logiciel ne parvient plus à établir les correspondances entre éléments. +-----------------------------------------------------------------------+ | Un invariant topologique fondamental: *la* CARACTÉRISTIQUE d'EULER | | ================================================================== | +-----------------------------------------------------------------------+ A la suite de son analyse de la parité des graphes, et sur la base des 3 constituants signalés ci-dessus, Euler a mis en évidence un nombre ***E*** caractérisant tout polyèdre. Cette caractéristique ***E*** est égale à la somme des nombre de faces ***F*** et de sommets ***S***, diminuée du nombre des arêtes ***A***. ***E =F-A+S*** NB = Dans l'écriture de cette caractéristique, les signes alternent comme la parité de la dimension des éléments: \- signe ***positif*** = sommet ou point de dimension ***0*** = ***pair*** \- signe ***négatif*** = arête de dimension ***1*** = ***impair*** \- signe ***positif*** = face de dimension ***2*** = ***pair*** Dans le cas de polyèdres ***fermés non troués***, cette caractéristique d'Euler ***E*** demeure égale à ***2*** quelles qu'en soient les déformations: ***E =F-A+S = 2*** Ainsi verra-t-on, en [***[6-THa]***](https://docs.google.com/document/d/1KfbeCa2bcT_dgheOHAkre7sg3RWGs5HAcoT8SoXvw_0/edit#heading=h.srgboubjw6u), que cette valeur ***2*** de la caractéristique d'Euler se trouve vérifiée pour chacun des 5 polyèdres réguliers convexes qui concluent les Eléments d'Euclide. *Caractéristique d'Euler pour les 5 **polyèdres réguliers convexes**:* +-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+ | ***Polyèdre | ***Faces*** | ***Arêtes** | ***Sommets* | ***F - A + | | s | | * | ** | S*** | | Réguliers | ***+*** | | | | | Convexes:** | | ***-*** | ***+*** | | | * | | | | | +=============+=============+=============+=============+=============+ | *Tétraèdre: | 4 | 6 | 4 | ***2*** | | * | | | | | +-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+ | *Cube (ou | 6 | 12 | 8 | ***2*** | | Hexaèdre):* | | | | | +-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+ | *Octaèdre:* | 8 | 12 | 6 | ***2*** | +-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+ | *Dodécaèdre | 12 | 30 | 20 | ***2*** | | :* | | | | | +-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+ | *Icosaèdre: | 20 | 30 | 12 | ***2*** | | * | | | | | +-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+ Mais, dans cette section dédiée à la topologie, on ignore toute mesure de longueur ou d'angle, ce qui nous empêche d'établir les relations d'égalité entre ces mesures qui caractérisent les ***polyèdres réguliers***. Dans la formule d'Euler ***F-A+S***, le nombre ***2*** caractérise l'***absence de coupure*** trouant le polyèdre (voir [***[ci-dessous]***](#_uqclif2abecr)), et cette caractéristique demeure ***invariante*** quelles que soient les modifications de grandeur, de forme et de position résultant de déformations continues du solide sans pratiquer ***ni coupure***, ***ni couture***. +-----------------------------------------------------------------------+ | **Démonstration de la caractéristique d'Euler *E=2*** | | | | pour tout polyèdre ***sans trou*** | +-----------------------------------------------------------------------+ Soit la caractéristique d'Euler ***E*** d'un polyèdre quelconque ***sans trou*** dans l'espace: ***E = F-A+S*** Dans l'ignorance provisoire de sa valeur ***E=2***, on notera celle-ci ***E = F-A+S = n~0~*** avant de faire subir à ce polyèdre non troué quelconque plusieurs transformations qui réduiront ce solide à un ***simple triangle plan***. Le but est d'examiner l'évolution de la caractéristique d'Euler ***Er*** du polyèdre ***r***estant au travers toutes les transformations qui le réduisent à un triangle Parce que la topologie cubique est la plus fréquente en architecture, on partira de l'exemple d'un polyèdre à ***6*** faces, ***12*** arêtes et ***8*** sommets, en veillant à ce que les transformations opérées sur ce cube topologique aient les mêmes conséquences sur tout autre polyèdre non troué. *→ Ouvrir* *→ Cacher*  *→ Montrer* *→ Déplier le noeud de*  *→ Montrer* *& Activer la Caméra Perspective*  Pour réduire ce polyèdre dans l'espace à un triangle plan, on opèrera 2 types de déformations: \- d'abord des déformations ***continues*** qui laisseront ***Er*** ***invariant*** \- puis d'autres déformations ***discontinues*** opérant une série de coupures qui altèreront chacun des nombres ***F, A, S*** du polyèdre initial, mais ne diminueront ***Er*** que d'une seule unité au regard de sa valeur initiale ***Er = n~0~*** **1 - Passage de *l'espace* au *plan*** [Déformations ***continues***] ne modifiant aucun des nombres ***F, A, S*** *→ **Déplacer** les sommets de la face supérieure en les maintenant à **l'intérieur** du contour apparent du cube dans cette vue de dessus.*  On choisit arbitrairement la face sur laquelle on pose ce polyèdre au sol. *→ Activer la Caméra de dessus* On déforme ce polyèdre en étendant sa face au sol de sorte que, vu de dessus, le ***contour*** au sol ***englobe*** toutes les autres arêtes et qu'aucune face ne se superpose à aucune autre. Cette opération a pour but d'éviter la projection des faces en polygones ***croisés*** ([***[ci-dessous]***](#qfwga3cmvc1j))  Jusqu'ici, on n'a donc pratiqué que des ***déformations continues*** topologiquement invariantes qui ont préservé les nombres de faces, d'arêtes et de sommets: ***F, A, S***. La caractéristique d'Euler ne diffère donc pas de sa valeur initiale: ***Er = n~0~*** *[Retrait d\'une face:]* Coupure n'affectant que le nombre de faces = ***F*** *→ Déplier* *→ Cacher*  *→ Orienter la vue de manière à observer l'absence de face au dess**o**us du cube* On a retiré la face au sol, ce qui retire une face mais ne change ni le nombre d'arêtes ***A***, ni le nombre de sommets ***S***. → Le nombre d'Euler du polyèdre restant devient ***Er = (F-1) - A + S = (F - A + S) - 1 = n~0~ - 1*** *[Projection du polyèdre:]* Déformation ***continue*** ne modifiant aucun des nombres ***F, A, S*** *→ Cacher:* *dans* *→ Activer la Caméra Perspective*  *→ Déplier* *→ Montrer:*  On déforme continûment le polyèdre pour le projeter au sol ce qui conserve les nombres de faces, d'arêtes et de sommets. → Cet aplatissement est une déformation topologiquement invariante qui ne change pas les nombres ***F, S, A***. En conséquence la caractéristique d'Euler du polyèdre restant demeure: ***Er = n~0~ - 1***  **2 - Triangulation & Réduction à un unique triangle** Toutes les opérations suivantes seront des coupures modifiant ***2*** des ***3*** nombres ***F, A, S*** ce qui affectera donc la topologie du polyèdre projeté. Toutefois, ces modifications des nombres ***F, A, S*** effectuées par ces coupures se compensent de sorte qu'elles préservent la caractéristique ***Er*** en dépit de l'altération de la topologie du polyèdre restant. *[Triangulation des faces:]* On triangule chaque face projetée au sol en introduisant des arêtes supplémentaires entre sommets jusqu'à ce qu'il ne reste plus que des faces triangulaires: *→ Cacher* *→ Déplier*  *→ Montrer progressivement*  Chaque ligne de subdivision (= de ***coupure***) introduit une arête & une face supplémentaires → En conséquence, la caractéristique ***Er*** demeure inchangée en dépit de la variation des nombres ***F, A, S***: ***Er = \[(F+1) - (A+1) + S\] - 1= (F-A+S) - 1= n~0~ - 1*** On va alors supprimer successivement tous les triangles, en les considérant dans l'ordre du nombre de bords extérieurs croissant: \- d'abord les ***jaunes*** à ***1 seul bord extérieur*** avant toute suppression, \- puis les ***roses*** à ***2 bords extérieurs*** restants après suppression des triangles ***jaunes*** \- jusqu'à ce que ne demeure qu'un seul triangle ***vert*** à ***3 bords extérieurs*** ***→** Montrer progressivement*  *[Suppression des triangles **jaunes** à **1** bord extérieur:]* \- chaque triangle supprimé retire une face et une arête, sans affecter le nombre de sommets \- donc la caractéristique ***Er*** demeure inchangée en dépit de la variation des nombres ***F, A, S***: ***Er = \[(F-1) - (A-1) + S\] - 1 = (F-A+S) - 1 = n~0~ - 1*** *→ Cacher*  *[Suppression des triangles **roses** à **2** bords extérieurs:]* Chaque triangle supprimé retire une face, 2 arêtes, et un sommet. \- donc la caractéristique ***Er*** demeure inchangée en dépit de la variation des nombres ***F, A, S***: ***Er = \[(F-1) - (A-2) + (S-1)\] - 1 = (F-A+S) - 1 = n~0~ - 1*** *→ Cacher*  *[Décompte final sur le triangle vert restant à **3** bords extérieurs :]* \- Le triangle restant comporte ***1*** face, ***3*** arêtes et ***3*** sommets. \- La caractéristique d'Euler de ce triangle est donc: ***Er =*** ***(1-3+3) = 1*** \- Par ailleurs, on a vu que toutes les déformations avait préservé ***Er = n~0~ - 1*** ***→*** Donc ***Er = n~0~ - 1 = 1*** → ***n~0~ = 2*** → La caractéristique d'Euler du polyèdre initial était donc ***E =*** ***n~0~ = 2*** ***Résumé de la démonstration:*** +-----------------------------------------------------------------------+ | Soit un polyèdre initial quelconque sans trou, où ***E = F-A+S*** | | | | Dans l'ignorance où nous sommes des nombres ***F, A, S*** de ce | | polyèdre générique sans trou, on dira que sa caractéristique d'Euler | | est: ***E = n~0~***. | | | | La procédure consiste à suivre l\'évolution de la caractéristique | | ***Er*** du polyèdre qui se modifie en subissant les opérations | | suivantes: | | | | *[Retrait d\'une face:]* | | | | \- ne retire aucune arête, ni aucun sommet | | | | \- donc ***Er = (F-1) - A + S= (F-A+S) - 1 = n~0~-1*** | | | | *[Projection du polyèdre:]* | | | | \- ne retire aucune face, ni arête, ni aucun sommet | | | | \- donc ***Er = n~0~-1*** | | | | *[Triangulation des faces:]* | | | | \- chaque ligne de subdivision introduit une arête et une face | | supplémentaires | | | | \- donc ***Er = (F+1) - (A+1) + S = (F-A+S) +(1-1) = n~0~-1*** | | | | *[Suppression des triangles **jaunes** à **1** bord | | extérieur:]* | | | | \- chaque triangle supprimé retire une face et une arête, sans | | affecter le nombre de sommets | | | | \- donc ***Er = (F-1) - (A-1) + S = (F-A+S) + (1-1) = n~0~-1*** | | | | *[Suppression des triangles **roses** à **2** bords | | extérieurs:]* | | | | \- chaque triangle supprimé retire 2 arêtes, un sommet et une face, | | | | \- donc ***Er = (F-1) - (A-2) + (S-1) = (F-A+S) + (-1+2-1) = | | n~0~-1*** | | | | *[Décompte final sur le triangle vert restant à **3** bords | | extérieurs:]* | | | | \- Le triangle restant comporte une face, 3 arêtes et 3 sommets. | | | | \- donc ***Er = (F-A+S) = (1-3+3) = 1 = n~0~-1*** | | | | \- donc la caractéristique d'Euler du polyèdre initial quelconque | | sans trou était ***E = n~0~ = 2*** | +-----------------------------------------------------------------------+ Ce processus et le décompte associé de la caractéristique d'Euler est indépendant du polyèdre initial, pour autant que celui-ci soit un polyèdre sans trou. En augmentant la polyédrisation de la forme initiale, c'est à dire en multipliant le nombre de faces, d'arêtes et de sommets, on peut produire, ***à la limite***, la forme d'une ***sphère*** qui conserve la même caractéristique d'Euler = ***2*** En revanche, la suppression d'une seule face du polyèdre convertit le ***solide fermé*** en une ***surface*** ***ouverte*** ne délimitant plus aucun espace intérieur dans l'espace. C'est le cas de la collection de faces aplaties qu'on examinait dans la démonstration précédente. En augmentant la polygonisation du contour extérieur, on peut produire, ***à la limite***, la surface d'un ***disque*** qui aura même caractéristique d'Euler que le triangle de la démonstration = ***1***. En effet, si l'on considère un triangle initial ou tout autre polygone convexe de caractéristique ***E = F-A+S = 1***, l'augmentation d'un côté entraîne aussitôt l'introduction d'un sommet supplémentaire, tout en ne constituant toujours qu'une seule face. → La caractéristique du polygone au côté supplémentaire demeurera donc toujours: ***E = (F+0) - (A+1) + (S+1) = F-A+S = 1*** *Caractéristique d'Euler de toute surface topologiquement équivalente à une face triangulaire,* *pour un **nombre de côtés** **c** croissant à l'infini* +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | ***c = 3*** | ***c+1*** | Passage à la limite: | | | | ***c → ∞*** | | E = F-A+S = ***1*** | E = (F+0) - (A+1) + | | | | (S+1) = ***1*** | E = ***1*** | +=======================+=======================+=======================+ | |  | | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ Enfin, le percement d'un trou dans le solide initial peut produire par augmentation de sa polyédrisation un solide équivalent à celui d'un ***tore***, c'est à dire d'un solide de révolution d'un cercle autour d'un axe extérieur à ce cercle. On peut démontrer que la caractéristique d'Euler de ce type de solide à un seul trou est ***nulle***. Cette démonstration sort du programme de ce cours, où nous voulons surtout comprendre comment ces notions de topologie sont mises en œuvre dans les logiciels de CAO. NB = On reviendra sur les ***tores*** pour étudier la courbure de leur surface en [***[9-APd]***](https://docs.google.com/document/d/1Lyl--SXyL8OYK3DVBYh948c5MBkFVu7pZLill_c211k/edit#heading=h.qclvzxsi8g6d) et pour y tracer le réseau des cercles de Villarceau. ***Caractéristique d'Euler pour diverses configurations topologiques:*** +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | ***E = 2*** | ***E = 1*** | ***E = 0*** | +=======================+=======================+=======================+ | Polyèdre sans | Polyèdre converti en | Polyèdre avec 1 | | trou | suppression d'une | 0.png) | | | face | | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | Sphère | Disque | Tore\ | | | | | | |  | | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ Pour le polyèdre troué → *Ouvrir :* *du dossier* +-----------------------------------------------------------------------+ | COUPURES & COUTURES de SEGMENTS dans les ESQUISSES | | ================================================== | +-----------------------------------------------------------------------+ ***Démarche:*** Le but de cette section est d'examiner comment les esquisses de TopSolid gèrent les ***coutures*** & les ***coupures*** de différents types de profils en utilisant quelques-uns des concepts topologiques fondamentaux que nous avons passés en revue. ***Couture des résultats d'une esquisse:*** Un des services rendus par une esquisse 2D est précisément de ***coudre*** automatiquement les segments qui sont les ***résultats*** de l'esquisse & délimitent des zones ***fermées*** afin de créer des objets topologiquement cohérents, ex : - Des ***formes plates*** dans le plan de l'esquisse = cas du triangle final de la démonstration de la caractéristique d'Euler = ***Surface à 1 bord*** - Des ***surfaces*** extrudées sur la base de profils: - - - Des ***solides sans bord*** extrudés sur la base de profils ***fermés*** = cas le plus courant. Les bords sont des ensembles d'arêtes adjacentes ne limitant chacune qu'une seule face. ***Surface plate à 1 bord*** ***Surface à 2 bords*** ***Solide sans bord*** ------------------------------ ------------------------- ------------------------   - - - - - ***Les 3 topologies d'un contour fermé, ex: cas d'un pentagone quelconque.*** +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | ***Convexe:*** | ***Concave:*** | ***Croisée:*** | +=======================+=======================+=======================+ |. ***Toutes*** les |. ***Au moins une*** |. ***Certaines*** | | diagonales rouges | diagonale rouge est | diagonales rouges | | sont ***internes*** | ***externe*** au | sont ***externes*** | | au polygone. | polygone. | au polygone. | | | | | |. Nombre de |. Nombre de |. Nombre de | | franchissements de | franchissements de | franchissements de | | frontières par | frontières par | frontières par ***au | | ***tout*** chemin | ***tout*** chemin | moins un*** chemin | | retournant à sa | retournant à sa | retournant à sa | | région initiale = | région initiale = | région initiale = | | ***pair*** | ***pair*** | ***impair*** | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | |  | | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ A l'encontre de certains préjugés, la géométrie ne se limite donc pas à l'étude des polygones: \- réguliers \- convexes qui seront examinés en [***[5-THb]***](https://docs.google.com/document/d/191D77aCzKOFrp_WmpuvLicKoITXo7p9tG-fhsTwOaxg/edit#heading=h.y5h7zm2oomqv). Ainsi, deux des théorèmes majeurs de la géométrie projective sont relatifs à un hexagone quelconque qui peut être indifféremment: convexe, concave ou croisé, comme on le verra au chapitre 10. ***Configurations entrelacées des théorèmes de Pascal & Brianchon:*** +-----------------------------------+-----------------------------------+ | ***Théorème de Pascal :*** | ***Théorème de Brianchon :*** | | | | | ***(1640)*** | ***(1810)*** | +===================================+===================================+ |  | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ ***Conséquences sur les logiciels de CAO:*** → On ne peut extruder un ***solide*** que sur la base d'un contour fermé non croisé. = ce solide doit avoir un intérieur clairement délimité pour qu'on puisse en calculer: \- le volume, \- la masse, \- le centre de gravité, \-... etc. → Le logiciel doit donc contrôler la cohérence topologique des contours en vue d'une éventuelle extrusion. Critère fondamental = le contour extrudé ne doit comporter que des sommets à 2 arêtes !!! ----------------------------------------------------------------------------------------- \- Aussi, pour TopSolid, des segments ne sont-ils cousables en un contour extrudable que si, vers chaque sommet du contour, ne convergent que ****** segments. → Exprimé en termes de graphes, ce critère revient à exiger que tous les sommets soient de degré ***2***. Tout segment allant vers un sommet de degré déjà égal à ***2*** sera automatiquement non cousu pour tâcher de préserver un contour extrudable. ***Extrudabilité de différents types de contour = distinction intérieur / extérieur*** +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ |. Contour |. Contour maintenu |. Contour | | ***extrudable*** | ***extrudable*** | ***extrudable*** par | | naturellement, = | grâce à la | neutralisation de la | | ***tous*** les | neutralisation de la | couture des segments | | sommets sont de degré | couture d'un des | vers les 2 sommets de | | ***2***. | segments vers les 2 | degré ***supérieur à | | | sommets de degré | 2***, | | | ***3*** | | | | | → mais cela ne | | | = ce 3ème segment en | suffirait pas à en | | | pointillé rouge est | produire la ***forme | | | ignoré parce qu'il | plate*** en raison du | | | n'est ***pas cousu*** | segment ***ouvert*** | | | au profil résultant | rouge qui ne délimite | | | de l'esquisse!!! | aucune portion de | | | | plan. | +=======================+=======================+=======================+ |  | | ) | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ *[Notions de topologie implémentées dans les solveurs de CAO :]* *→ Ouvrir* On va Éditer & Tenter d'extruder l'une après l'autre les 5 esquisses du dossier  *Pour l'extrusion: **- MC sur le fond de la ZG dans l'esquisse \> Extrudée*** *→ Vous pouvez également partir d'un nouveau document Pièce pour y créer l'esquisse SK1 que vous enrichirez progressivement comme les esquisses SK2, SK3, SK4 & SK5 en tentant chaque fois d'extruder selon les indications données dans les exercices de [**[4-EXa]**](https://docs.google.com/document/d/1ZzMLcY8Ul4cRphmnsIdamutuwKkTBMA6Si4FbOg05kA/edit#heading=h.cs80sgg6h7ls).* - ***SK1 = Segment*** en mode ***Construction:*** \- Cette ligne de construction intermédiaire n'étant pas considérée comme résultat, et on n'en demande ***pas*** la ***couture***, même si celle-ci était envisageable. *→ Editer & tenter d'extruder* *→ MC sur le fond de la ZG → L'extrusion n'est **pas proposée** au menu contextuel, ni aucune opération de forme ou de surface.* ------------------------ ----------------  Pas extrudable ------------------------ ---------------- *- Quitter* - ***SK2 = Segment*** en mode ***Pas construction ***= Segments ***cousables*** à d'autres segments participant du résultat de l'esquisse, pour autant que soit respecté le critère de convergence limitée à **2** segments vers chacun des sommets. *→ Editer* *& Extruder de 33mm* *- MC sur le fond de la ZG \> Extrudée* *→ Le segment est une ligne **ouverte**: son extrusion est une **surface**.* -- -- -- -- *→ Cacher les dossiers* *&* - ***SK3 = Profil*** = ***Ensemble*** de segments ***cousus*** = c'est généralement le ***résultat*** attendu d'une esquisse destinée à effectuer une opération de forme de type: extrusion, poche, bossage,... etc, qui portent sur l'ensemble des segments cousus produisant un contour fermé cohérent. *→ Editer & Extruder*  +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | *Profil cousu fermé* | *Extruder de 33mm* | *Editer l'Extrudée | | | | dans la ZG* | | *avant extrusion* | *- Décocher* | | | | | *- Cocher* | | | |  | +=======================+=======================+=======================+ | |  | | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ *→ Croiser le contour & cliquer OK dans le message d'erreur* ------------------------- --  ------------------------- -- *→ Cliquer le* *d'invalidité, décroiser le contour & quitter* ------------------------ --  ------------------------ -- *→ Cacher les dossiers* *&* - ***SK4 = Segment*** en mode *Pas construction* ***non cousu*** = Segment ***cousable***, connecté à un profil, mais ***non cousu*** parce qu'au moins un des sommets aux extrémités du segment est de ***degré supérieur à 2***. La couture n'est pas effectuée parce que l'intérieur du solide extrudé d'un tel contour ne pourrait pas être correctement distingué de son extérieur (vu [***[ci-dessus]***](#crit%C3%A8re-fondamental-le-contour-extrud%C3%A9-ne-doit-comporter-que-des-sommets-%C3%A0-2-ar%C3%AAtes)). *→ Editer & Extruder*  +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | *Profil cousu fermé à | *Extruder de 33mm* | *Editer l'Extrudée | | l'extérieur sans | | dans la ZG* | | coudre la diagonale* | *- Décocher* | | | | | *- Cocher* | | | |  | +=======================+=======================+=======================+ | |  | | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ *→ L'extrusion produit un solide parce que le contour est bien refermé de manière cohérente grâce à la **non couture** de la diagonale.* *→ Cacher les dossiers*  *&* - ***Profil non cousu*** = ***Collection*** de segments éventuellement ***cousables***, mais ***non cousus***, dont on neutralise la couture pour des usages particuliers tels que la conception de poutres ou de treillis métalliques. Ces profils n'étant pas cousus, seuls leurs segments sont utilisables, ***individuellement***, pour des opérations de forme. On parlera alors de géométrie ***non-eulérienne*** (English = non-manifold geometry). *→ Editer & tenter d'extruder*  *→ L'extrusion n'est **pas proposée** au menu contextuel, ni aucune opération de forme ou de surface.* -- ---------------- Pas extrudable -- ---------------- *- Quitter* ***→ Toutes ces manipulations fondamentales sont reprises en détail dans [[4-EXa]](https://docs.google.com/document/d/1ZzMLcY8Ul4cRphmnsIdamutuwKkTBMA6Si4FbOg05kA/edit#heading=h.cs80sgg6h7ls).*** ***CONCLUSION:*** ***Cousabilité, Visibilité & Trait par défaut de 5 types de lignes sur TopSolid:*** +-----------------+-----------------+-----------------+-----------------+ | | ***Couture*** | ***Visibilité** | ***Type de | | | | * | Trait*** | +=================+=================+=================+=================+ | Segment | Non cousable | par défaut | par défaut en | | | | ***Internes*** | | | en mode | | | ***traitillé | | | | = ***pas | fin*** | | ***Construction | | visibles*** au | | | :*** | | dehors de | | | | | l'esquisse | | +-----------------+-----------------+-----------------+-----------------+ | Segment | Cousable | par défaut | par défaut en | | | | ***Pas | | | en mode | | internes***, | ***trait | | | | | continu | | ***Pas | | = | moyen*** | | construction:** | | ***visibles*** | | | *  | | au dehors de | | | | | l'esquisse, | | +-----------------+-----------------+-----------------+-----------------+ | Segment | Cousable, | par défaut | par défaut en | | | | ***Pas | | | en mode | mais non cousu | internes***, | ***trait*** | | | pour non | | ***pointillé | | *Pas | respect du | = | moyen*** | | construction* | critère des 2 | ***visibles*** | | | | segments | au dehors de | | | ***non | | l'esquisse, | | | cousu:***  | | | | +-----------------+-----------------+-----------------+-----------------+ | ***Profil | Cousu | par défaut | par défaut en | | cousu:*** | | ***Pas | | | | | internes***, | ***trait | | | | | continu | | | | = | moyen*** | | | | ***visibles*** | | | | | au dehors de | | | | | l'esquisse, | | +-----------------+-----------------+-----------------+-----------------+ | ***Profil non | Non cousu | par défaut | par défaut en | | cousu:*** | | ***Pas | | | | | internes***, | ***trait | | | | | continu fin*** | | | | = | | | | | ***visibles*** | | | | | au dehors de | | | | | l'esquisse, | | +-----------------+-----------------+-----------------+-----------------+ ***SYNTHÈSE = Cousabilité & Visibilité des 4 types de traits par défaut sur TopSolid:*** +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | ***Traits*** | ***Traitillés ou | ***Continu:*** | | | Pointillés:*** | | +=======================+=======================+=======================+ | ***- Fin:*** | Segment en mode | Profil rendu ***non | | | *Construction* | cousu***, | | | | | | | ***non cousable***. | même si cousable. | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | ***- Moyen:*** | Segment ***non | Segment | | | cousu*** pour cause | ***cousable*** en | | | de non respect du | mode | | | critère des 2 | | | | segments par sommets | *Pas Construction* | | | | | | | | à un profil | | | | ***cousu*** | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ Toutes ces notions sont mises en oeuvre dans les 2 exercices du [***[4-EXa]***](https://docs.google.com/document/d/1ZzMLcY8Ul4cRphmnsIdamutuwKkTBMA6Si4FbOg05kA/edit#heading=h.20s7n9j5cy1) *[Pour approfondir:]* \- les conséquences pratiques de la topologie dans l'impression 3D: → [[https://www.sculpteo.com/blog/2017/10/18/how-to-fix-non-manifold-geometry/]](https://www.sculpteo.com/blog/2017/10/18/how-to-fix-non-manifold-geometry/) \- les fondements de la topologie: R. H. Bing: Elementary Point Set Topology dans The American Mathematical Monthly \... Vol. 67, No. 7, Aug. - Sep., 1960. Se souvenir de l'importance du ***textile***, des nœuds et des coutures pour l'architecte Gottfried Semper !!! Pour approfondir sur les liens entre Topologie et architecture (hors-programme) : -  - -