4-THa - Topologie en CAO PDF

▶ Enregistrement du 17 Octobre 2024 ​ 4 - THa - SQ1 (41 min) ▶ Enregistrement du 17 Octobre 2024 ​ 4 - THa - SQ2 (28 min) 4-THa = NOTIONS ÉLÉMENTAIRES de TOPOLOGIE en CAO Naissance de la Topologie : un problème urbain​...

▶ Enregistrement du 17 Octobre 2024 ​ 4 - THa - SQ1 (41 min) ▶ Enregistrement du 17 Octobre 2024 ​ 4 - THa - SQ2 (28 min) 4-THa = NOTIONS ÉLÉMENTAIRES de TOPOLOGIE en CAO Naissance de la Topologie : un problème urbain​ 2 DÉFORMATIONS CONTINUES & HOMÉOMORPHISMES​ 5 Continuité ou discontinuité des déformations assurant la transition entre surfaces homéomorphes​ 8 DÉFORMATION CONTINUE des POLYÈDRES​ 11 Un invariant topologique fondamental: la CARACTÉRISTIQUE d’EULER​ 13 COUPURES & COUTURES de SEGMENTS dans les ESQUISSES​ 20 → ATTENTION = L’import du paquet est assez long en raison des exemples réels. Démarche: Nous poursuivons notre excursion en dehors de la géométrie à la règle & au compas en observant que les solveurs des instruments modernes que constituent les logiciels de CAO ne font pas que résoudre des équations autres que polynomiales de degré 2n permettant de construire des figures non constructibles à la règle et au compas, ainsi qu’on l’a vu en 3-THa & 3-THb. Ces solveurs constituent également des sortes de machines à coudre et à découdre les segments résultat d’une esquisse afin de délimiter des intérieurs et des extérieurs cohérents pour pouvoir calculer des volumes, des masses ou des centres de gravité. La cohérence de ces délimitations entre intérieur et extérieur fait l’objet d’une géométrie assez récente puisqu’elle fut initiée par le mathématicien suisse Euler en 1736. Cette géométrie, nommée topologie, ne s’occupe d’aucune position dans l’espace, ni d’aucune mesure de longueur ou d’angle, ni même de proportions, et elle se contente, au départ, de compter les nombres de sommets et de segments des polygones dans le plan, en y ajoutant les faces pour les polyèdres dans l’espace. Comme la notion de couture est un outil majeur des logiciels de CAO, nous allons faire une incursion rapide dans cette géométrie, dont les figures ne sont généralement pas constructibles à la règle & au compas, avant d’aborder les chapitres dédiés à la symétrie moderne dans le plan & dans l’espace. 1  Naissance de la Topologie : un problème urbain Le parcours des 7 ponts de Königsberg La ville de Königsberg, aujourd’hui Kaliningrad, est configurée par la confluence de 2 rivières autour d’une île qui délimite 4 régions du territoire reliées par 7 ponts. 3 représentations différentes des 7 ponts de Königsberg: Les habitants de la ville se demandaient désespéremment si un parcours permettrait de passer: - par chacun des 7 ponts, - une et une seule fois, - en revenant au point de départ. De séjour dans cette ville, le mathématicien suisse Euler va proposer en 1736 un critère de possibilité d’un tel parcours en considérant la parité, ou non, du nombre de ponts entre les différentes régions de la ville. Raisonnement d’Euler indépendant de l’étendue & de la forme du territoire: Dans tout parcours entre régions connectées par des ponts, on distingue 2 types de régions: - les régions intermédiaires du parcours : - si l’on veut ne passer qu’une et une seule fois sur chaque pont, ces régions intermédiaires doivent comporter un nombre pair de ponts: - une moitié pour y arriver, - l’autre moitié pour en repartir. - les régions extrêmes : - si les régions en début & fin du parcours sont distinctes, leur nombre de ponts sera impair. - si les régions en début & fin du parcours sont identiques, leur nombre de ponts sera pair. Dans ce dernier cas, toutes les régions doivent donc comporter un nombre pair de ponts. Or, précisément, dans le cas de Königsberg, les 4 régions ont toutes un nombre impair de ponts. Il est donc impossible de parcourir tous ces ponts une et une seule fois en revenant à la région de départ. Ce qui est remarquable, c’est que ce raisonnement demeure valide quelque soit l’étendue et la forme (2-THa) des régions, ou même la position des ponts. Le raisonnement se maintient donc lorsqu’on fait subir à ce territoire toutes sortes de transformations qui - déforment continûment les régions et l’emplacement des ponts - pour autant que demeurent invariants les nombres de régions et de ponts. 2 Par déformations continues, on entendra donc, provisoirement, des déformations qui maintiendront invariants les nombres : - de zones de terrain continues, - de ponts entre ces zones - Ainsi, sur la série des 3 représentations différentes des 7 ponts de Königsberg ci-dessus, faut-il envisager: - qu’à partir de la ville de Königsberg en vraie grandeur, avec ses mesures d’angle et de longueur réelles, - on produise d’abord une représentation à l’échelle d’une section plane de la ville, respectant les angles entre les rues et leurs proportions de longueur, c’est à dire leur forme, - puis qu’on déforme continûment cette représentation pour transformer chacune des 4 régions en un patatoïde jaune, dont la forme n’a plus aucune mesure d’angle, ni aucune proportion commune avec la représentation initiale, - jusqu’à réduire ces zones jaunes aux 4 points limites rouges qui constitueront les sommets d’un graphe entre lesquels on a maintenu 7 chemins. Réduction topologique des 4 régions de la ville de Königsberg à un graphe à 4 sommets: Ces déformations ne seront dites topologiquement invariantes que si elles n’introduisent: - ni coutures qui connecteraient des régions et supprimeraient les ponts entre elles, - ni coupures qui créeraient de nouvelles régions et requerraient de nouveaux ponts pour les connecter. Ce type de transformation permet alors de représenter le territoire par un graphe où: - les régions sont déformées dans des zones, jusqu’à se réduire à des points, appelés sommets, - les ponts sont réduits à des lignes arbitraires entre ces points, appelées arêtes. → Le nombre d’arêtes issues d’un sommet définit le degré de ce sommet. Ainsi dans le cas de Königsberg, le graphe comporte-t-il: - 3 sommets de degré 3 - 1 sommet de degré 5 3 L’intérêt de tels graphes est de mettre en évidence les propriétés que doivent maintenir invariantes les transformations topologiques: - nombres de sommets (points, ou régions), - nombre d’arêtes (lignes, ou ponts) afin que soient maintenues les degrés de parité caractérisant les parcours possibles. Ainsi la topologie étudie-t-elle les propriétés maintenues invariantes par ce type de transformations très générales qui ne pratiquent ni coupure, ni couture, c’est à dire par des déformations continues dont nous allons devoir préciser la nature ci-dessous, sitôt après avoir formalisé les conclusions d’Euler sur les graphes sous forme de définitions. Définitions relatives aux graphes: - Un cycle eulérien est le parcours d’un graphe passant par toutes les arêtes, une et une seule fois, pour revenir au sommet initial, tel que celui que recherchaient les habitants de Königsberg. On a vu ci-dessus qu’un tel cycle n’existe que si: tous les sommets sont de degré pair. - Une chaîne eulérienne est le parcours d’un graphe passant par toutes les arêtes, une et une seule fois, sans revenir au sommet initial. On a vu ci-dessus qu’une telle chaîne n’existe entre 2 sommets donnés que si: seuls ces 2 sommets extrêmes sont de degré impair. 4  DÉFORMATIONS CONTINUES & HOMÉOMORPHISMES Précisons maintenant la nature des déformations dont l’étude des propriétés définit la nouvelle géométrie qu’est la topologie. Correspondance 1 à 1 (mapping in English): Commençons par examiner un type de relations très générales qui établissent une correspondance 1 à 1 entre tous points de 2 ensembles de points dans l'espace: courbes, surfaces ou volume. En se tenant à des ensembles très simples, on s'aperçoit déjà que l'établissement d’une telle correspondance peut avoir des conséquences inattendues. Partons de la configuration élémentaire du théorème des similitudes où une transversale coupe en leur moitié les 2 côtés adjacents AB & AC d’un triangle ABC, parallèlement au 3ème côté BC. Le segment DE de la transversale qui se trouve à l’intérieur du triangle est donc 2 fois plus petit que la base BC. → → Montrer progressivement: En dépit de cette différence de longueur, on peut tirer une droite issue du sommet A vers tout point X de la base du triangle BC et trouver son point d’intersection Y avec DE. Et réciproquement, on peut aussi tirer une droite issue du sommet A vers tout point Y du segment DE et trouver son point d’intersection X avec la base du triangle BC. On peut ainsi définir une correspondance réciproque 1 à 1 entre tous points de ces 2 segments, quand bien même le segment BC est 2 fois plus long que le segment DE et semble bien contenir 2 fois plus de points. → Laisser montré → Montrer progressivement: → Cacher → Montrer progressivement: 5 Correspondance 1 à 1 réciproquement continue = Homéomorphisme Cette correspondance réciproque de tous les points de BC avec tous les points de DE en dépit de leur différence de longueur tient à la nature continue de ces segments. C’est cette continuité qui permet de dire que, en un certain sens, il y a autant de points sur chacun des 2 segments: le plus court et le plus long. Dans l’exemple ci-dessus, la correspondance 1 à 1 est établie par des droites qui projettent tous les points d’un des segments sur l’autre. Mais il existe toutes sortes de manière d’établir une correspondance 1 à 1 que nous n’examinerons pas ici. Si l’on se tient à l’exemple ci-dessus, la correspondance établie par le faisceau de droites issues de A entre BC & DE est elle-même réciproquement continue dès lors que: Tout point voisin de X aura son correspondant dans un point voisin de Y et réciproquement. C’est cette condition de conservation des voisinages dans les 2 sens qui fait d’une simple correspondance 1 à 1, une correspondance réciproquement continue entre 2 ensembles de points qu’on dira alors homéomorphes. Définition d’un homéomorphisme (continuous mapping in English): On appelle homéomorphisme toute correspondance 1 à 1 réciproquement continue entre 2 ensembles de points. Deux ensembles de points sont dits topologiquement équivalents s’il existe un homéomorphisme entre ces ensembles qu’on peut aussi dire homéomorphes. C’est là la véritable définition de l’équivalence topologique, qui permet d’assurer une application importante dans les logiciels de rendus graphiques: c’est le mapping des textures d’une surface rectangulaire plane vers toute autre surface homéomorphe. Mais, nous verrons plus loin que les logiciels de CAO font appel à des notions encore plus exigeantes qui requièrent des déformations sans coupure, ni couture. Exemple de correspondance 1 à 1 non réciproquement continue = Déformation non homéomorphiques en raison de coutures ou de coupures: 6 Comme signalé ci-dessus, toutes les notions examinées ci-dessus ne dépendent ni de la forme, ni de la position des points dans l’espace, Ainsi, partant d’un segment de droite AB, il est très simple d'établir une correspondance 1 à 1 entre ce segment et tout arc de cercle, ou toute courbe ouverte entre 2 extrémités A & B. Une telle correspondance 1 à 1 sera même maintenue si l’arc couvre presque le cercle entier rapprochant A & B autant que possible, mais sans les fusionner, ni les coudre. Mais dès lors qu’on coud les 2 extrémités A & B pour transformer l’arc ouvert en un cercle fermé, la continuité de la correspondance ne sera plus maintenue dans les 2 sens. → → Montrer progressivement En effet, tous points voisins sur le segment AB auront leurs correspondants dans des points voisins sur le cercle, mais les points voisins du cercle situés de part et d’autre de la couture de A’ sur B’ se retrouveront séparés sur le segment, les uns proches de l’extrémité A & les autres proches de l'extrémité B. Ainsi les coutures & les coupures suppriment-elles la réciprocité de la continuité de la correspondance 1 à 1 entre courbe ouverte et courbe fermée. Aussi les courbes ouvertes et fermées ne sont-elles pas homéomorphes en dépit de la simple correspondance 1 à 1 entre leurs points. Cette distinction est fondamentale au sens où ces 2 types de courbes, ouvertes ou fermées permettent ou non de subdiviser l’espace en 2 régions distinctes: un intérieur & un extérieur. 7  Continuité ou discontinuité des déformations assurant la transition entre surfaces homéomorphes On vient de voir comment l'introduction de couture ou de coupure dans une déformation font que la correspondance 1 à 1 résultante ne peut plus être un homéomorphisme. Inversement, l’existence d’un homéomorphisme entre 2 ensembles ne garantit pas qu’on puisse déformer continûment l’un des ensembles dans l’autre, sans devoir recourir à des coupures ou à des coutures. Ainsi, en va-t-il de la colonne de gauche du tableau ci-dessous. On peut en coudre les 2 bords AB & CD du ruban ouvert, directement pour produire une surface cylindrique, ou lui faire subir un nombre pair de demi-torsions avant la couture, comme sur la dernière image vers le bas. Les 2 surfaces ainsi produites sont bien homéomorphes, au sens où l’on peut établir une correspondance 1 à 1 réciproquement continue entre ces 2 surfaces, où à tout point voisin de A et C ou B et D du ruban à 0 demi-tour correspond un point voisin de A et C ou B et D du ruban à 2 demi-tours. Toutefois, on ne peut pas déformer un ruban dans l’autre sans devoir couper la surface pour lui faire effectuer des doubles demi-tours en plus, ou moins. Dans la colonne de droite, on effectue un nombre impair de demi-torsions avant de coudre le bord AB du ruban sur le bord inversé DC. La surface obtenue en ne pratiquant qu’un seul demi-tour est appelée ruban de Moebius du nom de l’un des mathématiciens qui l’inventa en 1858. 2 types de surfaces homéomorphes: orientées & non orientées, sans déformation continue au sein de chaque type. Couture sans inversion des bords AB & BC Couture avec inversion des bords AB & BC = Nombre de demi-torsions nul ou pair = Nombre de demi-torsions impair = Surfaces homéomorphes orientées = Surfaces homéomorphes non orientées à 2 faces à 1 seule face Ruban à 0 demi-torsion = Cylindre Ruban à 1 demi-torsion, dit de Moebius → homéomorphe avec couture / coupure → homéomorphe avec couture / coupure au Ruban à 2 demi-torsions: au Ruban à 3 demi-torsions: Animation 8  Ruban à 2 demi-torsions : Ruban à 3 demi-torsions : → homéomorphe avec couture / coupure → homéomorphe avec couture / coupure au Ruban à 0 demi-torsion: au Ruban à 1 demi-torsion: Animation Dès lors, aucune des surfaces à nombre impair de demi-torsions dans la colonne de droite n’est homéomorphe à aucune des surfaces à nombre pair de demi-torsions dans la colonne de gauche, puisqu’un point voisin de A et C dans la colonne de gauche sera voisin de A et D dans la colonne de droite, et inversement. En revanche, dans la colonne de droite, les surfaces à nombre impair de demi-torsions sont bien homéomorphes entre-elles, puisqu’à tous points voisins de A et D ou B et C du ruban à 1 demi-torsion correspond des points voisins de A et D ou B et C du ruban à 3 demi-torsions , bien qu’aucune déformation continue permette de passer de l’un à l’autre des rubans sans coupure, ni couture. Nombre de demi-torsions Nombre de demi-torsions nul ou pair impair Ruban à 0 demi-torsion = Ruban à 1 demi-torsion, dit Cylindre Pas de de Moebius déformation continue, ni d’homéomorphisme ↔ ↑ ↑ Homéomorphisme Homéomorphisme sans sans déformation continue déformation continue ↓ ↓ Ruban à 2 demi-torsions : Ruban à 3 demi-torsions : → homéomorphe avec Pas de déformation continue, ni d’homéomorphisme ↔ Ainsi toute déformation continue, sans coupure ni couture, produira-t-elle une figure homéomorphe, c'est à dire, topologiquement équivalente. Mais, l’inverse n'est pas toujours 9 vrai: il n’existe pas nécessairement de déformation continue sans couture ni coupure qui permette de passer d’une figure à une autre qui lui soit homéomorphe. Surfaces orientées & non orientées: Pour autant que le nombre de demi-torsions demeure nul ou pair, les surfaces homéomorphes cousues selon le schéma du bandeau de gauche ne sont pas continûment déformables les unes dans les autres, mais elles présentent bien toutes 2 faces distinctes, au contraire des surfaces cousues selon le schéma du bandeau de droite où l’on coud A sur D & B sur C, après un nombre impair de demi-torsions. En effet, les surfaces à nombre impair de demi-torsions ne présentent qu’une seule face. Si l’on parcourt les surfaces de la colonne de droite avec un crayon sans franchir de bord, on passera d’un côté à l’autre de la surface après chaque parcours complet. Les surfaces de droite n’ont ainsi qu’une seule face dont l’orientation s’inverse après chaque parcours. Modeleurs volumiques & modeleurs surfaciques: Pour pouvoir calculer des grandeurs physiques tels que des aires, des volumes, des masses ou des centres de gravité, les modeleurs volumiques doivent pouvoir déterminer les espaces intérieur et extérieur des objets. Ces modeleurs vont donc considérer comme invalides toutes surfaces non orientables comme celles du ruban de Moebius. D’une manière générale, un logiciel de CAO volumique, tel Catia, TopSolid, ou SolidWorks, tâchera d’éviter toute opération produisant des surfaces non orientables comme on le voit dans les manipulations ci-dessous, où TopSolid s’efforce de préserver des surface orientables, même lorsque les génératrices d’un gabarit suggère de construire un ruban de Moebius, comme dans la colonne de droite ci-dessous. Tenter d'introduire une seule demi torsion Tenter de fermer le ruban avec une seule supplémentaire: demi torsion: - Editer dans les Op’ - Editer dans les Op’ - Inverser la flèche indiquée en rouge - Cocher ci-dessous par un double clic. → TopSolid introduit une demi torsion → TopSolid introduit une demi torsion supplémentaire afin de produire une inverse afin de conserver une surface surface à 2 demi-torsions qui reste cylindrique à 0 demi-torsion qui reste orientable à 2 faces: orientable à 2 faces: 10 Pour travailler sur des surfaces non orientées avec un modeleur volumique, on pratiquera donc des coupures qui décomposeront la surface globale en: - une seule surface orientable comme sur l’image initiale de la colonne de droite ci-dessus - ou un lot de plusieurs surfaces orientables. En revanche, les logiciels qui reposent sur des modeleurs surfaciques, tels Rhino, permettent de modéliser des surfaces non orientées mais, en contrepartie, ces logiciels traiteront plus difficilement toutes les notions qui reposent sur la distinction entre intérieur & extérieur. 11  DÉFORMATION CONTINUE des POLYÈDRES Au sein de la catégorie très générale des graphes topologiques, on peut distinguer un sous ensemble particulier dont les lignes sont des arêtes: - soit de polygones 2D : figures planes fermées par des segments de droites, - soit de polyèdres 3D : figures spatiales limitées dans l’espace par des faces planes, elles-mêmes constituées de polygones plans. On est alors amené à prendre également en considération le nombre de faces planes, bordées chacune d’une boucle d’arêtes reliant les sommets de cette face. Toute déformation continue sans coupures ni couture d’un polyèdre maintiendra ces 3 nombres: - nombre de faces F - nombre de sommets S - nombre des arêtes A Aussi parlera-t-on de cube topologique pour désigner tout polyèdre obtenu par déformation continue sans coupure, ni coupure d’un cube régulier de la géométrie classique dont toutes les arêtes sont égales et tous les angles sont droits. De telles déformations altéreront les mesures des angles et des arêtes du cube, tout en préservant les valeurs de chacun des 3 nombres F=6, A=12, S=8. → La construction du cube topologique fait l’objet du 2nd exercice de 4-EXa. → Ouvrir le dossier → Ouvrir → Déplacer les sommets du cube Variétés de “cubes” topologiques maintenant invariants chacun des 3 nombres: F, A, S → Ce type d’esquisse 3D permet de concevoir et déformer des pavillons variables, comme le montre le document ci-dessous. (cours de Stéréotomie de Bernard Cache jusqu’en 2022). → Ouvrir → Montrer progressivement les éléments de → Déplacer les sommets rouges du cube Variations du cube topologique porteur de panneaux ( = cours de stéréotomie): 12 Pavillon & Projets d'étudiants 2021 (site monté par Raphaël Vouilloz de l’équipe du cours) Conséquences pratiques sur les logiciels de CAO: Le nombre et l’identification des faces, des arêtes et des sommets d’une forme revêt une importance cruciale dans un logiciel de CAO, où chacun de ces éléments porte un numéro d’identification permettant de le reconnaître au travers des déformations de cette forme. Si une déformation ne préserve pas chacun des 3 nombres F, A & S, et, par exemple: supprime une face sur laquelle s’appuie un congé, cette opération deviendra invalide, sauf si, dans certains cas favorables, le logiciel trouve le moyen de cicatriser la forme. Exemple de déformation supprimant une face d’une pièce comportant 4 congés entre 4 faces planes: → la forme est d’abord cicatrisée, puis devient invalide. → Ouvrir → Raccourcir progressivement la plus petite des arêtes comme ci-dessous → Accepter le message d’erreur par OK Forme initiale produite par Déformation raccourcissant Poursuite du extrusion d’un polygone à 4 un côté du polygone extrudé, raccourcissement où les côtés avec un congé de conduisant à la suppression bords des congés ne sont rayon identique sur les 4 d’une face plane entre 2 des plus: arêtes entre les 4 faces congés. - ni les faces initiales, verticales Le logiciel a pu cicatriser en - ni des congés voisins. enchaînant les 2 congés L’opération de congé est autour de l’arête remplaçant désactivée parce qu’elle est la face manquante. non cicatrisable & invalide = cliquer le pour réduire le rayon des congés, ex: 5mm D’une manière générale, l’ajout ou la suppression d’une face, d’une arête ou d’un sommet remet en cause les numéros d’identification de ce type d’éléments, et peut vite conduire à des invalidités dès lors que le logiciel ne parvient plus à établir les correspondances entre éléments. 13  Un invariant topologique fondamental: la CARACTÉRISTIQUE d’EULER A la suite de son analyse de la parité des graphes, et sur la base des 3 constituants signalés ci-dessus, Euler a mis en évidence un nombre E caractérisant tout polyèdre. Cette caractéristique E est égale à la somme des nombre de faces F et de sommets S, diminuée du nombre des arêtes A. E =F-A+S NB = Dans l’écriture de cette caractéristique, les signes alternent comme la parité de la dimension des éléments: - signe positif = sommet ou point de dimension 0 = pair - signe négatif = arête de dimension 1 = impair - signe positif = face de dimension 2 = pair Dans le cas de polyèdres fermés non troués, cette caractéristique d’Euler E demeure égale à 2 quelles qu’en soient les déformations: E =F-A+S = 2 Ainsi verra-t-on, en 6-THa, que cette valeur 2 de la caractéristique d’Euler se trouve vérifiée pour chacun des 5 polyèdres réguliers convexes qui concluent les Eléments d’Euclide. Caractéristique d’Euler pour les 5 polyèdres réguliers convexes: Polyèdres Réguliers Convexes: Faces Arêtes Sommets F-A+S + - + Tétraèdre: 4 6 4 2 Cube (ou Hexaèdre): 6 12 8 2 Octaèdre: 8 12 6 2 Dodécaèdre: 12 30 20 2 Icosaèdre: 20 30 12 2 Mais, dans cette section dédiée à la topologie, on ignore toute mesure de longueur ou d’angle, ce qui nous empêche d’établir les relations d’égalité entre ces mesures qui caractérisent les polyèdres réguliers. Dans la formule d’Euler F-A+S, le nombre 2 caractérise l’absence de coupure trouant le polyèdre (voir ci-dessous), et cette caractéristique demeure invariante quelles que soient les modifications de grandeur, de forme et de position résultant de déformations continues du solide sans pratiquer ni coupure, ni couture. 14  Démonstration de la caractéristique d’Euler E=2 pour tout polyèdre sans trou Soit la caractéristique d’Euler E d’un polyèdre quelconque sans trou dans l’espace: E = F-A+S Dans l’ignorance provisoire de sa valeur E=2, on notera celle-ci E = F-A+S = n0 avant de faire subir à ce polyèdre non troué quelconque plusieurs transformations qui réduiront ce solide à un simple triangle plan. Le but est d’examiner l’évolution de la caractéristique d’Euler Er du polyèdre restant au travers toutes les transformations qui le réduisent à un triangle Parce que la topologie cubique est la plus fréquente en architecture, on partira de l’exemple d’un polyèdre à 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets, en veillant à ce que les transformations opérées sur ce cube topologique aient les mêmes conséquences sur tout autre polyèdre non troué. → Ouvrir → Cacher → Montrer → Déplier le noeud de → Montrer & Activer la Caméra Perspective Pour réduire ce polyèdre dans l’espace à un triangle plan, on opèrera 2 types de déformations: - d’abord des déformations continues qui laisseront Er invariant - puis d’autres déformations discontinues opérant une série de coupures qui altèreront chacun des nombres F, A, S du polyèdre initial, mais ne diminueront Er que d’une seule unité au regard de sa valeur initiale Er = n0 1 - Passage de l’espace au plan Déformations continues ne modifiant aucun des nombres F, A, S → Déplacer les sommets de la face supérieure en les maintenant à l’intérieur du contour apparent du cube dans cette vue de dessus. On choisit arbitrairement la face sur laquelle on pose ce polyèdre au sol. 15 → Activer la Caméra de dessus On déforme ce polyèdre en étendant sa face au sol de sorte que, vu de dessus, le contour au sol englobe toutes les autres arêtes et qu’aucune face ne se superpose à aucune autre. Cette opération a pour but d’éviter la projection des faces en polygones croisés (ci-dessous) Jusqu’ici, on n’a donc pratiqué que des déformations continues topologiquement invariantes qui ont préservé les nombres de faces, d’arêtes et de sommets: F, A, S. La caractéristique d’Euler ne diffère donc pas de sa valeur initiale: Er = n0 Retrait d'une face: Coupure n’affectant que le nombre de faces = F → Déplier → Cacher → Orienter la vue de manière à observer l’absence de face au dessous du cube On a retiré la face au sol, ce qui retire une face mais ne change ni le nombre d’arêtes A, ni le nombre de sommets S. → Le nombre d’Euler du polyèdre restant devient Er = (F-1) - A + S = (F - A + S) - 1 = n0 - 1 Projection du polyèdre: Déformation continue ne modifiant aucun des nombres F, A, S → Cacher: dans → Activer la Caméra Perspective → Déplier → Montrer:​ On déforme continûment le polyèdre pour le projeter au sol ce qui conserve les nombres de faces, d’arêtes et de sommets. → Cet aplatissement est une déformation topologiquement invariante qui ne change pas les nombres F, S, A. En conséquence la caractéristique d’Euler du polyèdre restant demeure: Er = n0 - 1 16  2 - Triangulation & Réduction à un unique triangle Toutes les opérations suivantes seront des coupures modifiant 2 des 3 nombres F, A, S ce qui affectera donc la topologie du polyèdre projeté. Toutefois, ces modifications des nombres F, A, S effectuées par ces coupures se compensent de sorte qu’elles préservent la caractéristique Er en dépit de l’altération de la topologie du polyèdre restant. Triangulation des faces: On triangule chaque face projetée au sol en introduisant des arêtes supplémentaires entre sommets jusqu’à ce qu’il ne reste plus que des faces triangulaires: → Cacher → Déplier → Montrer progressivement Chaque ligne de subdivision (= de coupure) introduit une arête & une face supplémentaires → En conséquence, la caractéristique Er demeure inchangée en dépit de la variation des nombres F, A, S: Er = [(F+1) - (A+1) + S] - 1= (F-A+S) - 1= n0 - 1 On va alors supprimer successivement tous les triangles, en les considérant dans l’ordre du nombre de bords extérieurs croissant: - d’abord les jaunes à 1 seul bord extérieur avant toute suppression, - puis les roses à 2 bords extérieurs restants après suppression des triangles jaunes - jusqu’à ce que ne demeure qu’un seul triangle vert à 3 bords extérieurs → Montrer progressivement Suppression des triangles jaunes à 1 bord extérieur: - chaque triangle supprimé retire une face et une arête, sans affecter le nombre de sommets - donc la caractéristique Er demeure inchangée en dépit de la variation des nombres F, A, S: Er = [(F-1) - (A-1) + S] - 1 = (F-A+S) - 1 = n0 - 1 → Cacher 17 Suppression des triangles roses à 2 bords extérieurs: Chaque triangle supprimé retire une face, 2 arêtes, et un sommet. - donc la caractéristique Er demeure inchangée en dépit de la variation des nombres F, A, S: Er = [(F-1) - (A-2) + (S-1)] - 1 = (F-A+S) - 1 = n0 - 1 → Cacher Décompte final sur le triangle vert restant à 3 bords extérieurs : - Le triangle restant comporte 1 face, 3 arêtes et 3 sommets. - La caractéristique d’Euler de ce triangle est donc: Er = (1-3+3) = 1 - Par ailleurs, on a vu que toutes les déformations avait préservé Er = n0 - 1 → Donc Er = n0 - 1 = 1 → n0 = 2 → La caractéristique d’Euler du polyèdre initial était donc E = n0 = 2 Résumé de la démonstration: Soit un polyèdre initial quelconque sans trou, où E = F-A+S Dans l’ignorance où nous sommes des nombres F, A, S de ce polyèdre générique sans trou, on dira que sa caractéristique d’Euler est: E = n0. La procédure consiste à suivre l'évolution de la caractéristique Er du polyèdre qui se modifie en subissant les opérations suivantes: Retrait d'une face: - ne retire aucune arête, ni aucun sommet - donc Er = (F-1) - A + S= (F-A+S) - 1 = n0-1 Projection du polyèdre: - ne retire aucune face, ni arête, ni aucun sommet - donc Er = n0-1 Triangulation des faces: - chaque ligne de subdivision introduit une arête et une face supplémentaires 18  - donc Er = (F+1) - (A+1) + S = (F-A+S) +(1-1) = n0-1 Suppression des triangles jaunes à 1 bord extérieur: - chaque triangle supprimé retire une face et une arête, sans affecter le nombre de sommets - donc Er = (F-1) - (A-1) + S = (F-A+S) + (1-1) = n0-1 Suppression des triangles roses à 2 bords extérieurs: - chaque triangle supprimé retire 2 arêtes, un sommet et une face, - donc Er = (F-1) - (A-2) + (S-1) = (F-A+S) + (-1+2-1) = n0-1 Décompte final sur le triangle vert restant à 3 bords extérieurs: - Le triangle restant comporte une face, 3 arêtes et 3 sommets. - donc Er = (F-A+S) = (1-3+3) = 1 = n0-1 - donc la caractéristique d’Euler du polyèdre initial quelconque sans trou était E = n0 = 2 Ce processus et le décompte associé de la caractéristique d’Euler est indépendant du polyèdre initial, pour autant que celui-ci soit un polyèdre sans trou. En augmentant la polyédrisation de la forme initiale, c’est à dire en multipliant le nombre de faces, d’arêtes et de sommets, on peut produire, à la limite, la forme d’une sphère qui conserve la même caractéristique d’Euler =2 En revanche, la suppression d’une seule face du polyèdre convertit le solide fermé en une surface ouverte ne délimitant plus aucun espace intérieur dans l’espace. C’est le cas de la collection de faces aplaties qu’on examinait dans la démonstration précédente. En augmentant la polygonisation du contour extérieur, on peut produire, à la limite, la surface d’un disque qui aura même caractéristique d’Euler que le triangle de la démonstration = 1. En effet, si l’on considère un triangle initial ou tout autre polygone convexe de caractéristique E = F-A+S = 1, l’augmentation d’un côté entraîne aussitôt l’introduction d’un sommet supplémentaire, tout en ne constituant toujours qu’une seule face. → La caractéristique du polygone au côté supplémentaire demeurera donc toujours: E = (F+0) - (A+1) + (S+1) = F-A+S = 1 Caractéristique d’Euler de toute surface topologiquement équivalente à une face triangulaire, pour un nombre de côtés c croissant à l’infini c=3 c+1 Passage à la limite: c → ∞ E = F-A+S = 1 E = (F+0) - (A+1) + (S+1) = 1 E=1 Enfin, le percement d’un trou dans le solide initial peut produire par augmentation de sa polyédrisation un solide équivalent à celui d’un tore, c’est à dire d’un solide de révolution 19 d’un cercle autour d’un axe extérieur à ce cercle. On peut démontrer que la caractéristique d’Euler de ce type de solide à un seul trou est nulle. Cette démonstration sort du programme de ce cours, où nous voulons surtout comprendre comment ces notions de topologie sont mises en œuvre dans les logiciels de CAO. NB = On reviendra sur les tores pour étudier la courbure de leur surface en 9-APd et pour y tracer le réseau des cercles de Villarceau. Caractéristique d’Euler pour diverses configurations topologiques: E=2 E=1 E=0 Polyèdre sans trou Polyèdre converti en surface Polyèdre avec 1 trou par suppression d’une face Sphère Disque Tore​ Pour le polyèdre troué → Ouvrir : du dossier 20  COUPURES & COUTURES de SEGMENTS dans les ESQUISSES Démarche: Le but de cette section est d’examiner comment les esquisses de TopSolid gèrent les coutures & les coupures de différents types de profils en utilisant quelques-uns des concepts topologiques fondamentaux que nous avons passés en revue. Couture des résultats d’une esquisse: Un des services rendus par une esquisse 2D est précisément de coudre automatiquement les segments qui sont les résultats de l’esquisse & délimitent des zones fermées afin de créer des objets topologiquement cohérents, ex : o​ Des formes plates dans le plan de l’esquisse = cas du triangle final de la démonstration de la caractéristique d’Euler = Surface à 1 bord o​ Des surfaces extrudées sur la base de profils: ▪​ ouverts = Surface à 1 bord ▪​ ou fermés = Surface à 2 bords o​ Des solides sans bord extrudés sur la base de profils fermés = cas le plus courant. Les bords sont des ensembles d’arêtes adjacentes ne limitant chacune qu’une seule face. Surface plate à 1 bord Surface à 2 bords Solide sans bord ➔​ Un des objectifs majeurs de la topologie est d’établir une distinction cohérente entre intérieur & extérieur, sans se soucier de la forme des objets ou des contours, c'est-à-dire de leurs mesures de longueur & d’angle. ➔​ Or une courbe plane peut être fermée sans que la portion de plan délimitée par cette courbe soit elle-même fermée de manière cohérente. ➔​ La distinction entre intérieur & extérieur d’un contour n’est correctement assurée que si, pour tout chemin parcouru quelconque au travers de ce contour, on peut commuter de intérieur à extérieur à chaque passage sur ce contour, de manièr cohérente, c’est à dire sans affecter à une même zone de l’espace les 2 valeurs contradictoires : intérieur & extérieur. ➔​ Autrement dit, tout parcours partant d’une zone intérieur ou extérieur du plan, doit revenir à une zone de même valeur après un nombre pair de franchissements du contour. ➔​ Conséquence: Il suffit de trouver un seul chemin au nombre impair de franchissements avant de revenir à la zone de départ pour invalider la distinction entre intérieur ou extérieur du contour. 21  Les 3 topologies d’un contour fermé, ex: cas d’un pentagone quelconque. Convexe: Concave: Croisée:. Toutes les diagonales. Au moins une diagonale. Certaines diagonales rouges sont internes au rouge est externe au rouges sont externes au polygone. polygone. polygone.. Nombre de franchissements. Nombre de franchissements. Nombre de franchissements de frontières par tout chemin de frontières par tout chemin de frontières par au moins retournant à sa région retournant à sa région un chemin retournant à sa initiale = pair initiale = pair région initiale = impair A l’encontre de certains préjugés, la géométrie ne se limite donc pas à l’étude des polygones: - réguliers - convexes qui seront examinés en 5-THb. Ainsi, deux des théorèmes majeurs de la géométrie projective sont relatifs à un hexagone quelconque qui peut être indifféremment: convexe, concave ou croisé, comme on le verra au chapitre 10. Configurations entrelacées des théorèmes de Pascal & Brianchon: Théorème de Pascal : Théorème de Brianchon : (1640) (1810) 22 Conséquences sur les logiciels de CAO: → On ne peut extruder un solide que sur la base d’un contour fermé non croisé. = ce solide doit avoir un intérieur clairement délimité pour qu’on puisse en calculer: - le volume, - la masse, - le centre de gravité, - … etc. → Le logiciel doit donc contrôler la cohérence topologique des contours en vue d’une éventuelle extrusion. Critère fondamental = le contour extrudé ne doit comporter que des sommets à 2 arêtes !!! - Aussi, pour TopSolid, des segments ne sont-ils cousables en un contour extrudable que si, vers chaque sommet du contour, ne convergent que 2 segments. → Exprimé en termes de graphes, ce critère revient à exiger que tous les sommets soient de degré 2. Tout segment allant vers un sommet de degré déjà égal à 2 sera automatiquement non cousu pour tâcher de préserver un contour extrudable. Extrudabilité de différents types de contour = distinction intérieur / extérieur. Contour extrudable. Contour maintenu extrudable. Contour extrudable par naturellement, = tous les grâce à la neutralisation de la neutralisation de la couture des sommets sont de degré 2. couture d’un des segments vers segments vers les 2 sommets de les 2 sommets de degré 3 degré supérieur à 2, = ce 3ème segment en pointillé → mais cela ne suffirait pas à en rouge est ignoré parce qu’il n’est produire la forme plate en raison pas cousu au profil résultant de du segment ouvert rouge qui ne l’esquisse!!! délimite aucune portion de plan. Notions de topologie implémentées dans les solveurs de CAO : → Ouvrir On va Éditer & Tenter d’extruder l’une après l’autre les 5 esquisses du dossier Pour l’extrusion: - MC sur le fond de la ZG dans l’esquisse > Extrudée → Vous pouvez également partir d’un nouveau document Pièce pour y créer l’esquisse SK1 que vous enrichirez progressivement comme les esquisses SK2, SK3, SK4 & SK5 en tentant chaque fois d’extruder selon les indications données dans les exercices de 4-EXa. o​ SK1 = Segment en mode Construction: 23  - Cette ligne de construction intermédiaire n’étant pas considérée comme résultat, et on n’en demande pas la couture, même si celle-ci était envisageable. → Editer & tenter d’extruder → MC sur le fond de la ZG → L’extrusion n’est pas proposée au menu contextuel, ni aucune opération de forme ou de surface. Pas extrudable - Quitter o​ SK2 = Segment en mode Pas construction = Segments cousables à d’autres segments participant du résultat de l’esquisse, pour autant que soit respecté le critère de convergence limitée à 2 segments vers chacun des sommets. → Editer & Extruder de 33mm - MC sur le fond de la ZG > Extrudée → Le segment est une ligne ouverte: son extrusion est une surface. → Cacher les dossiers & o​ SK3 = Profil = Ensemble de segments cousus = c’est généralement le résultat attendu d’une esquisse destinée à effectuer une opération de forme de type: extrusion, poche, bossage, … etc, qui portent sur l’ensemble des segments cousus produisant un contour fermé cohérent. → Editer & Extruder Profil cousu fermé Extruder de 33mm Editer l’Extrudée dans la ZG avant extrusion - Décocher - Cocher → Croiser le contour & cliquer OK dans le message d’erreur 24 → Cliquer le d’invalidité, décroiser le contour & quitter → Cacher les dossiers & o​ SK4 = Segment en mode Pas construction non cousu = Segment cousable, connecté à un profil, mais non cousu parce qu’au moins un des sommets aux extrémités du segment est de degré supérieur à 2. La couture n’est pas effectuée parce que l’intérieur du solide extrudé d’un tel contour ne pourrait pas être correctement distingué de son extérieur (vu ci-dessus). → Editer & Extruder Profil cousu fermé à Extruder de 33mm Editer l’Extrudée dans la ZG l’extérieur sans coudre la - Décocher - Cocher diagonale → L’extrusion produit un solide parce que le contour est bien refermé de manière cohérente grâce à la non couture de la diagonale. → Cacher les dossiers & o​ Profil non cousu = Collection de segments éventuellement cousables, mais non cousus, dont on neutralise la couture pour des usages particuliers tels que la conception de poutres ou de treillis métalliques. Ces profils n’étant pas cousus, seuls leurs segments sont utilisables, individuellement, pour des opérations de forme. On parlera alors de géométrie non-eulérienne (English = non-manifold geometry). → Editer & tenter d’extruder → L’extrusion n’est pas proposée au menu contextuel, ni aucune opération de forme ou de surface. Pas extrudable - Quitter 25 → Toutes ces manipulations fondamentales sont reprises en détail dans 4-EXa. CONCLUSION: Cousabilité, Visibilité & Trait par défaut de 5 types de lignes sur TopSolid: Couture Visibilité Type de Trait Segment Non cousable par défaut Internes par défaut en en mode = pas visibles au dehors traitillé fin Construction: de l’esquisse Segment Cousable par défaut Pas internes, par défaut en en mode = visibles au dehors de trait continu moyen Pas construction: l’esquisse, Segment Cousable, par défaut Pas internes, par défaut en en mode mais non cousu = visibles au dehors de trait pointillé moyen Pas construction pour non respect l’esquisse, non cousu: du critère des 2 segments Profil cousu: Cousu par défaut Pas internes, par défaut en = visibles au dehors de trait continu moyen l’esquisse, Profil non cousu: Non cousu par défaut Pas internes, par défaut en = visibles au dehors de trait continu fin l’esquisse, SYNTHÈSE = Cousabilité & Visibilité des 4 types de traits par défaut sur TopSolid: Traits Traitillés ou Pointillés: Continu: - Fin: Segment en mode Construction Profil rendu non cousu, non cousable. même si cousable. Segment non cousu pour cause de Segment cousable en mode - Moyen: non respect du critère des 2 Pas Construction segments par sommets à un profil cousu Toutes ces notions sont mises en oeuvre dans les 2 exercices du 4-EXa Pour approfondir: - les conséquences pratiques de la topologie dans l’impression 3D: → https://www.sculpteo.com/blog/2017/10/18/how-to-fix-non-manifold-geometry/ - les fondements de la topologie: R. H. Bing: Elementary Point Set Topology dans The American Mathematical Monthly... Vol. 67, No. 7, Aug. - Sep., 1960. Se souvenir de l’importance du textile, des nœuds et des coutures pour l’architecte Gottfried Semper !!! 26 Pour approfondir sur les liens entre Topologie et architecture (hors-programme) : -​ Sculpture Continua d’Erwin Hauer (1950) https://www.erwinhauer.com/continua -​ R. Oval et al.(2019) : Feature-based topology finding of patterns for shell structures 27 -​ Nuffield Trust and University of Bristol (1955) Studies in the functions and design of hospitals ​ 28