Dispense di Geometria - Quadriche (Prof.ssa Laura Geatti) PDF

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Versione preliminare 6 dicembre 2018 II Università degli Studi di Roma TOR VERGATA Dispense di Geometria. Capitolo 3. 8. Quadriche in R3. In questo paragrafo studiamo le quadriche in R3.   x1 Definizione. Una quadrica in R3 è l’insieme dei punti P =  x2  che soddisfano un’equazione x3 di secondo grado ax21 + bx22 + cx23 + dx1 x2 + ex1 x3 + f x2 x3 + gx1 + hx2 + jx3 + k = 0, dove a, b, c, d, e, f, g, h, j, k ∈ R, con a, b, c, d, e, f non tutti nulli. Come le coniche di R2 , anche le quadriche di R3 possono avere forme geometriche diverse. Diamo ora un metodo per determinare la struttura geometrica di una quadrica data. Il procedimento è simile a quello seguito nel paragrafo 7 nello studio delle coniche. Alla parte quadratica dell’equazione della quadrica   x1 Q x2  = ax21 + bx22 + cx23 + dx1 x2 + ex1 x3 + f x2 x3  x3 associamo la matrice simmetrica 3 × 3   a d/2 e/2 A =  d/2 b f /2  , e/2 f /2 c cosı̀ da scrivere           x1 x1 x1 x1 x1 Q x2  = hA x2 ,  x2 i = t  x2 A x2 . x3 x3 x3 x3 x3 Poiché la matrice A è simmetrica, esiste una base ortonormale {e01 , e02 , e03 } di R3 formata da au- tovettori di A. La matrice del cambiamento di base, dalla base {e01 , e02 , e03 } alla base canonica {e1 , e2 , e3 }, è una matrice ortogonale M , contenente i vettori {e01 , e02 , e03 } nelle sue colonne. La matrice M ha la proprietà che M −1 AM = t M AM = A0 , 1 ove A0 èuna matrice diagonale, avente sulla diagonale gli autovalori λ1 , λ2 , λ3 ∈ R di A. x01 Se  x02  sono le coordinate indotte dalla base {e01 , e02 , e03 }, si ha x03    0 x1 x1  x2  = M  x02 . (1) x3 x03 Ne segue che       x1 x1 x1 Q x2  = hA x2 ,  x2 i x3 x3 x3  0  0 x1 x1 = hAM  x02  , M  x02 i x03 x03  0  0 x1 x1 = hM −1 AM  x02  ,  x02 i x03 x03  0  0 x1 x1 = hA0  x02  ,  x02 i = λ1 x02 02 02 1 + λ2 x2 + λ3 x3. 0 0 x3 x3 Dunque, mediante il cambiamento di coordinate (1) otteniamo un’equazione senza termini “misti” di secondo grado λ1 (x01 )2 + λ2 (x02 )2 + λ3 (x03 )2 + g 0 x01 + h0 x02 + j 0 x03 + k 0 = 0. (2) Come nel caso delle coniche, procediamo adesso alla semplificazione dei termini di grado uno e di grado zero dell’equazione (2). Poiché il numero dei casi da trattare è rilevante, li suddividiamo in 5 famiglie, e per ognuna di esse discutiamo i relativi sottocasi. Alla fine, avremo 17 tipi diversi di quadriche! La suddivisione è basata sul rango della matrice A, ossia il numero di autovalori non nulli di A, ed il segno degli autovalori di A. Le 5 famiglie sono le seguenti: I. Il rango di A è uguale a 3 ed i 3 autovalori hanno lo stesso segno. II. Il rango di A è uguale a 3 ed i 3 autovalori non hanno lo stesso segno. III. Il rango di A è uguale a 2 ed i 2 autovalori non nulli hanno lo stesso segno. IV. Il rango di A è uguale a 2 ed i 2 autovalori non nulli non hanno lo stesso segno. V. Il rango di A è uguale a 1. I. Moltiplicando eventualmente l’equazione (2) per −1, possiamo assumere che i coefficienti λi siano positivi. In questo caso possiamo eliminare i termini lineari tramite una traslazione. Più precisamente, sia  0   00 g0  x1 x1 − 2λ 1  x02  =  h0 .  x002 − 2λ 2  x03 00 x − j0 3 2λ3 2  Con questa sostituzione, l’equazione della quadrica diventa λ1 (x001 )2 + λ2 (x002 )2 + λ3 (x003 )2 = k 00. A questo punto ci sono tre possibilità: 1. k 00 > 0. In questo caso, la quadrica è un’ellissoide. 2. k 00 = 0. In questo caso, abbiamo x001 = x002 = x003 = 0 e la quadrica consiste nel punto (0, 0, 0). 3. k 00 < 0. In questo caso la quadrica non ha punti. II. Possiamo assumere λ1 , λ2 > 0 e λ3 < 0. Anche in questo caso, possiamo eliminare i termini lineari tramite una traslazione e ridurre l’equazione della quadrica nella forma λ1 (x001 )2 + λ2 (x002 )2 + λ3 (x003 )2 = k 00. Anche questa volta ci sono tre possibilità: 4. k 00 > 0. In questo caso la quadrica è un iperboloide ad una falda. 5. k 00 = 0. In questo caso la quadrica è un cono. 6. k 00 < 0. In questo caso la quadrica è un iperboloide a due falde. III. Possiamo supporre λ1 , λ2 > 0 e λ3 = 0. Mediante una traslazione, possiamo eliminare i termini lineari che contengono x01 e x02. L’equazione diventa λ1 (x001 )2 + λ2 (x002 )2 + j 00 x003 = k 00. 7. Se il coefficiente j 00 non è nullo, possiamo eliminare il termine noto con una traslazione, riducendo l’equazione nella forma λ1 (x000 2 000 2 00 000 1 ) + λ2 (x2 ) + j x3 = 0. La quadrica è un paraboloide ellittico. Se j 00 = 0, cioè l’equazione è della forma λ1 (x001 )2 + λ2 (x002 )2 = k 00 , ci sono tre possibilità: 8. Se k 00 > 0, la quadrica è un cilindro ellittico. 9. Se k 00 = 0, allora x001 = x002 = 0 e la quadrica coincide con l’asse x003. 10. Se k 00 < 0, allora la quadrica non ha punti. IV. Possiamo supporre λ1 > 0, λ2 < 0 e λ3 = 0. Con una traslazione, possiamo eliminare i termini lineari che contengono x01 e x02. L’equazione diventa cosı̀ λ1 (x001 )2 + λ2 (x002 )2 + j 00 x003 = k 00. 11. Se j 00 6= 0 possiamo eliminare il termine noto tramite una traslazione. La quadrica è una sella. 12. Se j 00 = 0 ma k 00 6= 0, allora la quadrica è un cilindro iperbolico. 13. se j 00 =pk 00 = 0, allora la quadrica è l’unione dei due piani incidenti aventi equazioni x001 = ± −λ2 /λ1 · x002. 3  V. Possiamo supporre che λ1 sia l’unico autovalore non nullo e che sia positivo. Con una trasla- zione, possiamo eliminare il termine lineare in x01. L’equazione della quadrica diventa λ1 (x001 )2 + h00 x002 + j 00 x003 = k 00. 14. Se h00 , j 00 non sono entrambi nulli, mediante il cambiamento di coordinate ortogonale x000      00  1 1 p 0 p 0 x1  x000 2  =  0 j 00 / pj 00 2 + h00 2 h00 /p j 00 2 + h00 2   x002  , x000 3 0 −h00 / j 00 2 + h00 2 j 00 / j 00 2 + h00 2 x003 l’equazione della quadrica diventa λ1 (x000 2 000 000 00 000 1 ) + h x3 = k , dove h 6= 0. Dopo l’elimina- zione del termine noto, con una traslazione, troviamo infine λ1 (x̃1 )2 + h̃x̃3 = 0. La quadrica è un cilindro parabolico. Se h00 = j 00 = 0, cioè l’equazione è della forma λ1 (x001 )2 = k 00 , ci sono tre casi: p 15. Se k 00 > 0, la quadrica è l’unione dei due piani paralleli di equazioni x00 = ± k 00 /λ1. 16. Se k 00 = 0, la quadrica è l’unione di due piani coincidenti, di equazione x001 = 0. 17. se k 00 < 0, la quadrica non ha punti. Osservazione. Dalla discussione precedente, risulta che, mediante un cambiamento di coordinate isometrico, un’equazione di secondo grado nello spazio può essere portata in una e una sola delle 17 forme individuate. Il procedimento descritto si chiama “riduzione della quadrica a forma canonica metrica” e la classificazione prodotta è la “classificazione metrica delle quadriche”. Forma canonica affine di una conica o di una quadrica. Come la riduzione in forma canonica metrica, la riduzione in forma canonica affine di una conica o di una quadrica consiste nella ricerca di un sistema di riferimento rispetto al quale l’equazione che la definisce risulti “più semplice possibile”. In questo caso, i cambiamenti di coordinate ammessi non sono necessariamente isometrie, ma trasformazioni affini qualunque x 7→ Ax + b, dove A è una matrice invertibile e b è un vettore. Ad esempio, si ammettono anche le dilatazioni. Si può dimostrare che, tramite cambiamenti di coordinate affini, l’equazione di una conica o di una quadrica può essere trasformata in una equazione i cui coefficienti siano uguali a 1, −1 o 0, a seconda del segno o della nullità dei corrispondenti coefficienti nell’equazione canonica metrica. Questa equazione prende il nome di “equazione canonica affine” della conica o della quadrica. È facile verificare che essa può essere ottenuta, mediante una opportuna dilatazione, dall’equazione canonica metrica. 4 Tabella 14. Lista completa, senza ripetizioni, delle quadriche dello spazio in forma canonica affine. I. 1. X12 + X22 + X32 = 1 ellissoide I. 2. X12 + X22 + X32 = 0 punto I. 3. X12 + X22 + X32 = −1 ∅ II. 4. X12 + X22 − X32 = 1 iperboloide ad una falda II. 5. X12 + X22 − X32 = 0 cono II. 6. X12 + X22 − X32 = −1 iperboloide a due falde III. 7. X12 + X22 + X3 = 0 paraboloide ellittico III. 8. X12 + X22 = 1 cilindro ellittico III. 9. X12 + X22 = 0 una retta III. 10. X12 + X22 = −1 ∅ IV. 11. X12 − X22 + X3 = 0 sella IV. 12. X12 − X22 = 1 cilindro iperbolico IV. 13. X12 − X22 = 0 due piani incidenti V. 14. X12 + X2 = 0 cilindro parabolico V. 15. X12 = 1 due piani paralleli V. 16. X12 = 0 due piani coincidenti V. 17. X12 = −1 ∅ 5  L’ellissoide. L’iperboloide ad una falda. 6 L’iperboloide a due falde. Il paraboloide ellittico. 7 La sella. Il cono. 8 Esempio 8.1. Consideriamo la seguente quadrica in R3 x21 − 2x1 x2 − 2x1 x3 + 2x1 − 4x2 + 4 = 0. La forma quadratica ad essa associata è       x1 x1 1 −1 −1 x1 Q x2  = x21 − 2x1 x2 − 2x1 x3 = t  x2   −1 0 0   x2 . x3 x3 −1 0 0 x3   1 −1 −1 Gli autovalori della matrice A =  −1 0 0  sono λ = 2, −1, 0 ed i rispettivi autospazi sono   −1    0 0    −2   1   0  V2 = span  1  , V−1 = span  1  e V0 = span  1 . La matrice ortogonale 1 1 −1        2 − √6 √13  0 M =  √16 √1 √1   3 2  √1 √1 − 12 √ 6 3 rappresenta il cambiamento di coordinate da una base ortonormale di autovettori di A nella base canonica. Dunque, dalla sostituzione x = M x0 si ottiene l’equazione della quadrica nelle coordinate x01 , x02 , x03 8 2 4 2(x01 )2 − (x02 )2 − √ x01 − √ x02 − √ x03 + 4 = 0. 6 3 2 Mediante una traslazione, possiamo eliminare adesso i termini di primo grado in x01 e x02 ed il termine noto. La traslazione è precisamente 2 x01 = x001 + √ , 6 1 x02 = x002 − √ , 3 3 x03 = x003 + √ , 2 2 e l’equazione che si ottiene √ 2(x001 )2 − (x002 )2 − 2 2x003 = 0 rappresenta la forma canonica metrica della quadrica. La quadrica è una sella. Tramite il cambia- mento di coordinate affine 1 x001 = √ X1 , 2 00 x2 = X2 , 1 x003 = − √ X3 , 2 2 troviamo infine la forma canonica affine della quadrica X12 − X22 + X3 = 0. 9  Fig.1. La quadrica x21 − 2x1 x2 − 2x1 x3 + 2x1 − 4x2 + 4 = 0.. Esempio 8.2. Consideriamo la quadrica di equazione x21 + x22 + 2x1 x2 + 2x2 − 2x3 + 10 = 0.   1 1 0 Sia A = 1  1 0  la matrice rappresentativa della corrispondente forma quadratica 0 0 0  x1 Q x2  = x21 + x22 + 2x1 x2. x3     1  Gli autovalori e gli autospazi di A sono rispettivamente λ = 2 con V2 = span  1 , e λ = 0 con  0        1 0  V0 = span  −1 , 0 . Ne segue che il cambiamento di coordinate ortonormale x = M x0 ,   0 1    √ √  1/√2 1/ √2 0 ove la matrice M è data da M =  1/ 2 −1/ 2 0 , porta l’equazione nella forma 0 0 1 √ √ 2 0 2 0 (x01 )2 + x1 + x − x03 + 5 = 0. 2 2 2 Adesso, la traslazione √ 2 x01 = x001 − , 4√ 39 2 x02 = x002 − , 8 x03 = x003 , 10  elimina il termine di primo grado in x01 ed il termine noto, riducendo l’equazione nella forma √ 2 00 4(x001 )2 + x − x003 = 0. 2 2 L’equazione canonica metrica della quadrica √ 6 X12 + X2 = 0 8 si ottiene con un ultimo cambiamento di coordinate x001 = X1 , √ √ 00 3 6 x2 = X2 + X3 3√ 3√ 6 3 x003 = − X2 + X3. 3 3 La quadrica è un cilindro parabolico. Fig.2. La quadrica x21 + x22 + 2x1 x2 + 2x2 − 2x3 + 10 = 0.. Esercizi. (8.A) Portare le seguenti quadriche in forma canonica metrica mediante una isometria. (i) 4Z 2 + 2X + 3Y + 8Z = 0; (ii) 3X 2 + 6Y 2 + 2Z 2 + 12X + 12Y + 12Z + 42 = 0; (iii) −3X 2 + 3Y 2 − 12XZ + 12Y Z + 4X + 4Y − 2Z = 0; (8.B) Portare le seguenti quadriche in forma canonica metrica mediante una isometria. (i) 7X 2 + 4Y 2 − 2Z 2 − 20XY + 4XZ − 16Y Z + 6X + 3Y − 6Z = 0; (ii) 40X 2 + 13Y 2 + 45Z 2 + 36XY − 12XZ + 24Y Z + 15X − 30Y + 10Z + 7 = 0. (8.C) Determinare il tipo (affine) delle seguenti quadriche: (i) X 2 + 4XY + 4Y 2 + 2XZ + 4Y Z + Z 2 + 8X + 4Z = 0; (ii) X 2 + 6XY − 4XZ + Y Z + 4Z 2 + 2X − 4Z + 5 = 0; (iii) 3X 2 + 2XY + 2Y 2 + 6Y Z + 7Z 2 + 2X + 2Y + 4Z + 1 = 0; 11 (8.D) Determinare il tipo (affine) delle seguenti quadriche: (i) 2X 2 + 8XY − 2Y 2 + 12XZ + 4Y Z + 8Z 2 + 4X + 8Y + 12Z + 2 = 0; (ii) 2X 2 + 2XY + 3Y 2 − 4XZ + 2Y Z + 2X − 2Y + 4Z = 0. (8.E) Per ogni t ∈ R determinare il tipo (affine) delle seguenti quadriche: (i) X 2 + tXY + Y 2 + Z 2 + 2X − 2Y = 0; (ii) X 2 + tXY + Y 2 − 4Y Z + Z 2 + 2X − 4Z = 0; (iii) X 2 + Y 2 − Z 2 − 2X − 2Y − 2Z = tXY. 12