Equilibre d'un solide soumis à trois forces PDF
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This document provides a theoretical explanation of the equilibrium of a rigid body subjected to three non-parallel forces. It explains the conditions of equilibrium and presents different approaches for solving these problems, including graphical and analytical methods. It then describes an application scenario dealing with forces on a slope (inclined plane).
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Equilibre d’un solide soumis à trois forces non parallèles I-Condition d’équilibre d’un solide soumis à trois forces : 1-Expérience : On étudie l’équilibre d’une plaque de masse négligeable. La plaque est soumis à l’action de trois forces 𝐹⃗1 , 𝐹⃗2 et 𝐹⃗3. 2-Observat...
Equilibre d’un solide soumis à trois forces non parallèles I-Condition d’équilibre d’un solide soumis à trois forces : 1-Expérience : On étudie l’équilibre d’une plaque de masse négligeable. La plaque est soumis à l’action de trois forces 𝐹⃗1 , 𝐹⃗2 et 𝐹⃗3. 2-Observations : On constate que les trois forces 𝐹⃗1 , 𝐹⃗2 et 𝐹⃗3 : Sont situées dans le même plan, on dit qu’elles sont coplanaires ; Se coupent en un même point O, on dit qu’elles sont concourantes. 3-Relation entre les vecteurs forces : 3-1-Méthode graphique : En traçant le polygone des forces à une échelle choisie. On place l’origine d’un des vecteurs à l’extrémité de l’autre vecteur et on complète le triangle. La ligne polygonale des trois forces est fermée traduit graphiquement la relation vectorielle : ⃗𝑭⃗𝟏 + ⃗𝑭⃗𝟐 + ⃗𝑭⃗𝟑 = ⃗𝟎⃗ 3-2-Méthode analytique : Dans un repère orthonormé les coordonnées de chaque force sont : 𝑭 =𝟑 𝑭 = −𝟑 𝑭 =𝟎 ⃗𝑭⃗𝟏 ( 𝟏𝒙 ) ⃗𝑭⃗𝟐 ( 𝟐𝒙 ) ⃗𝑭⃗𝟑 ( 𝟑𝒙 𝑭𝟏𝒚 = 𝟎 𝑭𝟐𝒚 = 𝟒 𝑭𝟑𝒚 = −𝟒) La projection des trois forces sur l’axe Ox et Oy donne : 𝑭𝟏𝒙 + 𝑭𝟐𝒙 + 𝑭𝟑𝒙 = 𝟎 {𝑭 + 𝑭 + 𝑭 = 𝟎 𝟏𝒚 𝟐𝒚 𝟑𝒚 1 ⃗⃗𝟏 + 𝑭 Donc : 𝑭 ⃗⃗𝟐 + 𝑭 ⃗⃗ ⃗⃗𝟑 = 𝟎 4-Condition d’équilibre : Si un slide soumis à trois forces ⃗𝑭⃗𝟏 , ⃗𝑭⃗𝟐 et ⃗𝑭⃗𝟑 non parallèles est en équilibre : -les trois forces sont coplanaires et concourantes. -la somme vectorielle des trois forces est égale au vecteur nul : 𝑭 ⃗⃗𝟏 + 𝑭 ⃗⃗𝟐 + 𝑭 ⃗⃗𝟑 = 𝟎 ⃗⃗ II-Force de frottement : 1-Expérience : Sur une table horizontal, on place un corps (C) sur lequel on exerce une force 𝐹⃗ à l’aide d’un dynamomètre (D), comme l’indique la figure. On augmente successivement l’intensité de la force 𝐹⃗ jusqu’à ce que le corps (C) se mette en mouvement. 2-Angle de frottement : On constate que la réaction 𝑅⃗⃗ exercée par la table n’est pas perpendiculaire à la surface de contact, elle forme un angle 𝜑 avec la normale qu’on appelle angle de frottement. On peut décomposer la réaction 𝑅⃗⃗ en deux composantes : 𝑅⃗⃗𝑁 : La composante normale. 𝑅⃗⃗𝑇 : La composante tangentielle qui s’appelle force de frottement 𝑓⃗. 𝑹𝑻 𝒕𝒂𝒏𝝋 = 𝑹𝑵 On appelle le coefficient de frottement : 𝒌 = 𝒕𝒂𝒏𝝋 2 3-Angle de frottement statique : Le corps (C) est en équilibre sous l’action de trois forces : 𝐹⃗ , 𝑅⃗⃗ et son poids 𝑃⃗⃗. A cause de frottement le corps (C) reste en équilibre tend que la force 𝐹⃗ est intérieure à une valeur minimale 𝐹⃗𝑚. 𝑭 < 𝑭𝒎 le solide est en équilibre 𝝋 < 𝝋𝟎 tel que 𝝋𝟎 est l’angle de frottement statique. 𝑭 > 𝑭𝒎 le solide est en mouvement 𝝋 > 𝝋𝟎. On définit le coefficient de l’angle statique 𝒌𝟎 par la relation : 𝒌𝟎 = 𝒕𝒂𝒏𝝋𝟎 III-Exercice d’application : Un solide (S) est attaché à un fil inextensible sur un plan incliné faisant un angle 𝜶 avec l’horizontale (voir figure). Le contact entre la plan incliné et le solide se fait sans frottements. Déterminer les intensités des forces appliquées sur le solide (S). On donne 𝒎 = 𝟓𝟎𝟎 𝒈 ; 𝒈 = 𝟏𝟎 𝑵. 𝒌𝒈−𝟏 et 𝜶 = 𝟑𝟎°. Solution : -système étudié : le corps (S) -bilan des forces qui s’exercent sur le corps (S) : 𝑅⃗⃗ : la réaction du plan incliné. 𝑇⃗⃗ : la tension du fil. 𝑃⃗⃗ : le poids du solide (S). 3 -Le solide (S) est en équilibre on ⃗⃗ = ⃗𝟎⃗ ⃗⃗⃗ + ⃗𝑻⃗ + ⃗𝑷 écrit : 𝑹 La projection des forces sur les axes Ox et Oy : 𝑅𝑥 + 𝑇𝑥 + 𝑃𝑥 = 0 {𝑅 + 𝑇 + 𝑃 = 0 𝑦 𝑦 𝑦 Les coordonnées des forces dans le repère (O,𝑖⃗, 𝑗⃗ )sont : 𝑅𝑥 = 0 𝑇 =𝑇 𝑃𝑥 = 𝑚. 𝑔. 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑅⃗⃗ {𝑅 = 𝑅 ⃗⃗ { 𝑥 𝑇 𝑃⃗⃗ {𝑃 = 𝑚. 𝑔. 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑦 𝑇𝑦 = 0 𝑦 0 + 𝑇 + 𝑚. 𝑔. 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 0 𝑇 = 𝑚. 𝑔. 𝑠𝑖𝑛𝛼 { ⟹ { 𝑅 + 0 + 𝑚. 𝑔. 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0 𝑅 = 𝑚. 𝑔. 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑇 = 0,5 × 10 × sin(30°) 𝑻 = 𝟐, 𝟓 𝑵 A.N : { ⟹{ 𝑅 = 0,5 × 10 × cos(30°) 𝑹 = 𝟒, 𝟑𝟑 𝑵 Remarque : Les mêmes résultats sont obtenus en utilisant la méthode graphique. 4