Обыкновенные дроби PDF

Обыкновенные дроби Доля целого Доля это каждая из равных частей, на которые поделено целое. Для примера возьмем два мандарина. Когда мы их почистим, то получим в каждом мандарине разное количество долек или долей. В одном может быть 6, а в другом --- целых 9. Размеры долей у каждого мандарина тож...

Обыкновенные дроби Доля целого Доля это каждая из равных частей, на которые поделено целое. Для примера возьмем два мандарина. Когда мы их почистим, то получим в каждом мандарине разное количество долек или долей. В одном может быть 6, а в другом --- целых 9. Размеры долей у каждого мандарина тоже разные. У каждой доли есть свое название: оно зависит от количества долей в конкретном предмете. Если в мандарине шесть долей --- каждая из них будет определяться, как одна шестая от целого. Половина --- одна вторая доля предмета или 1/2. Треть --- одна третья доля предмета или 1/3. Четверть --- одна четвертая доля предмета или 1/4. Понятие доли можно применить не только к предметам, но и величинам. Так, например, картина занимает четверть стены --- при этом ее ширина треть метра. Как устроена обыкновенная дробь В дроби число над чертой называется числителем и является делимым, а число под чертой называется знаменателем и является делителем. Пример: в дроби 3/4, 3 --- числитель, 4 --- знаменатель. Обыкновенная дробь --- это запись вида m/n, где m и n любые натуральные числа. Такие дроби записываются с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной черты, которая называется чертой дроби. Иногда ставится не горизонтальная черта, а косая. Числитель обыкновенной дроби m/n --- это натуральное число m, которое стоит над чертой. Числитель это делимое --- то, что мы делим. Знаменатель обыкновенной дроби m/n --- натуральное число n, которое стоит под чертой. Знаменатель это делитель --- то, на сколько делим. Черта между числителем и знаменателем --- символ деления.  Равные обыкновенные дроби --- обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых справедливо равенство: a \* d = b \* c. Пример равных дробей: 1/2 и 2/4, так как 1 \* 4 = 2 \* 2. Неравные обыкновенные дроби --- обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых равенство: a \* d = b \* c не является верным. Как устроена десятичная дробь 1/4 это 0,25. Чтобы перевести дробь 1/4 в десятичную форму, нужно разделить числитель (1) на знаменатель (4), то есть 1 : 4 = 0,25. Пример: 1/4 килограмма равна 0,25 килограмма. В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. Выходит, что десятичная дробь --- это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так: 0,3 4,23 9,939 Конечная десятичная дробь --- это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено. Бесконечная десятичная дробь --- это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой. Свойства дробей Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной. Формула выглядит так: где a, b, k --- натуральные числа. Основные свойства Дробь не имеет значения, если знаменатель равен нулю. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель --- нет. Две дроби a/b и c/d называются равными, если a \* d = b \* c. Обыкновенная и десятичная дробь --- давние друзья. Вот, как они связаны: Целая часть десятичной дроби равна целой части смешанной дроби. Если числитель меньше знаменателя, то целая часть равна нулю. Дробная часть десятичной дроби содержит те же цифры, что и числитель этой же дроби в обыкновенном виде, если в знаменателе обыкновенной дроби числа 10, 100, 1000 и т. д. Количество цифр после запятой зависит от количества нулей в знаменателе обыкновенной дроби, если в знаменателе обыкновенной дроби числа 10, 100, 1000 и т. д. То есть 1 цифра --- делитель 10, 4 цифры --- делитель 10000. Действия с дробями С дробями можно выполнять те же действия, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. А еще дроби можно сокращать и сравнивать между собой. Давайте попробуем. Сравнение дробей Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше. Сравним 1/5 и 4/5. Как рассуждаем:   В обеих дробях знаменатель равен 5. В первой дроби числитель равен 1, во второй дроби равен 4. 1 \< 4 Поэтому первая дробь 1/5 меньше второй 4/5. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Сравним 1/2 и 1/8. Как рассуждаем: Представим, что у нас есть торт. Так как знаменатель первой дроби равен 2, то делим торт на две части и забираем себе одну, то есть половину торта. Знаменатель второй дроби равен 8, делим торт на восемь частей и забираем крохотный кусочек. Половина торта больше больше маленького кусочка. Таким образом 1/2 \> 1/8. Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю. А после приведения дробей к общему знаменателю, можно применить правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями. Пример. Сравнить 2/7 и 1/14. Как рассуждаем:   Приведем дроби к общему знаменателю: Сравним дроби с одинаковыми знаменателями: Ответ: 2/7 \> 1/14. Важно запомнить: любая неправильная дробь больше любой правильной. Потому что неправильная дробь всегда больше или равна 1, а правильная дробь всегда меньше 1. Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно: привести дроби к общему знаменателю; сравнить полученные дроби. Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно: Найти общее кратное знаменателей дробей, которое станет их общим знаменателем. Разделить общий знаменатель на знаменатель данных дробей, то есть найти для каждой дроби дополнительный множитель. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель. Сокращение дробей Сокращение дроби --- это деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число. Сократить дробь значит сделать ее короче и проще для восприятия. Например, дробь 1/3 выглядит намного проще и красивее, чем 27/81. Сокращение дроби выглядит так: зачеркивают числитель и знаменатель, а рядом записывают результаты деления числителя и знаменателя на одно и то же число. В этом примере делим обе части дроби на двойку. Можно никуда не спешить и сокращать дроби последовательно, в несколько действий. Сложение и вычитание дробей При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой вычитают числитель второй) и оставляют тот же знаменатель. Не забудьте проверить, можно ли сократить дробь и выделить целую часть. При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями нужно найти наименьший общий знаменатель, сложить или вычесть полученные дроби (используем предыдущее правило). Вот, что делать:   Найдем наименьшее общее кратное для определения единого делителя. Для этого запишем в столбик числа, которые в сумме дают значения делителей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК. НОК (15, 18) = 3 \* 2 \* 3 \* 5 = 90 Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для этого НОК делим на каждый знаменатель: 90 : 15 = 6, 90 : 18 = 5. Полученные числа запишем справа сверху над числителем. Воспользуемся одним из основных свойств дробей: перемножим числитель и знаменатель на дополнительный множитель. После умножения знаменатель должен быть равен наименьшему общему кратному, которое мы ранее высчитывали. Затем можно перейти к сложению. Проверим полученный результат: если числитель больше знаменателя, нужно преобразовать дробь в смешанное число; если есть что сократить, нужно выполнить сокращение. Ход решения одной строкой: Сложение или вычитание смешанных чисел можно привести к отдельному сложению их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:   Сложить целые части. Сложить дробные части. Необходимо приводить к общему, если знаменатели разные. Для этого воспользуемся знаниями из предыдущего примера. Суммировать полученные результаты. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части. Умножение и деление дробей Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель --- произведению знаменателей: Не забываем про сокращение. Это может облегчить вычисления. Чтобы умножить два смешанных числа, надо:   преобразовать смешанные дроби в неправильные; перемножить числители и знаменатели дробей; сократить полученную дробь; если получилась неправильная дробь, преобразовать в смешанную. Чтобы разделить дробь на дробь нужно выполнить следующую последовательность действий: числитель первой умножить на знаменатель второй, результат произведения записать в числитель новой дроби; знаменатель первой умножить на числитель второй, результат произведения записать в знаменатель новой дроби. Другими словами это правило звучит так: чтобы разделить одну дробь на другую, надо первую умножить на обратную от второй. Числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными. Как делить дроби с разными знаменателями? На самом деле одинаковые или разные знаменатели у дробей --- неважно, потому что все дроби делятся по правилу, описанному выше. Для деления смешанных чисел необходимо: представить числа в виде неправильных дробей; разделить то, что получилось друг на друга.