Cours Maths 1 - Fonctions Réelles (PDF)

Chapitre 3 Les fonctions réelles à une variable réelle Soit f : U ! R une fonction. On dit que : f est majorée sur U si 9M 2 R; 8x 2 U; f (x) M; f est minorée sur U si9M 2 R; 8x 2 U; f (x) M; f est bornée sur U si f est à la fois majorée et minorée sur U, c’est-à-dire si 9M 2 R; 8x 2 U; jf (...

Chapitre 3 Les fonctions réelles à une variable réelle Soit f : U ! R une fonction. On dit que : f est majorée sur U si 9M 2 R; 8x 2 U; f (x) M; f est minorée sur U si9M 2 R; 8x 2 U; f (x) M; f est bornée sur U si f est à la fois majorée et minorée sur U, c’est-à-dire si 9M 2 R; 8x 2 U; jf (x)j M; f est croissante sur U si 8x; y 2 U x y =) f (x) f (y) f est décroissante sur U si 8x; y 2 U x y =) f (x) f (y) f est paire si 8x 2 R; f (x) = f ( x) f est impaire si 8x 2 R; f (x) = f ( x): Soit f : R ! R une fonction et T un nombre réel, T > 0: La fonction f est dite périodique de période T si 8x 2 R; f (x + T ) = f (x): 3.1 Limite d’une fonction xx 3.1 Limite d’une fonction Soit a 2 R. Dans tout ce chapitre, on dira qu’une fonction f de domaine de dé…nition Df est dé…nie au voisinage de a s’il existe un réel h > 0 tel que l’on soit dans un des trois cas suivants : Df \ [a h; a])nfag = [a h; a[i.e. f est dé…nie dans un voisinage à gauche de a et éventuel- lement non dé…nie en a ; Df \[a; a+h])nfag =]a; a+h] i.e. f est dé…nie dans un voisinage à droite de a et éventuellement non dé…nie en a ; Df \ [a h; a + h])nfag = [a h; a + h]nfag i.e. f est dé…nie dans un voisinage de a et éventuellement nondé…nie en a. Dé…nition 3.1.1 Soit a; l 2 R. Soit f une fonction dé…nie au voisinage de a. On dit que f admet l pour limite en a si 8 > 0; 9 > 0; 8x 2 Df ; jx aj < ) jf (x) lj < " on écrit lim f (x) = l: x!a Exemple 3.1.1 lim (3x + 1) = 1 x!0 " " 8" > 0; 9 = > 0; 8x 2 Df ; ; jx 0j < ) j(3x + 1) 1j < " 3 3 3.1.1 Limite à gauche, à droite Dé…nition 3.1.2 Soit a 2 R et l 2 R. Soit f une fonction dé…nie au voisinage de a. 1 On dit que f admet l pour limite à gauche en a si la restriction de f à Df \] 1; a[ admet l pour limite en a. Dans ce cas, cette limite est unique et on la note lim f (x) = l x!a 8 > 0; 9 > 0; 8x 2 Df ; ; a < x < a ) jf (x) lj < " 2- On dit que f admet l pour limite à droite en a si la restriction de f à Df \]a; +1[admet l pour limite on la note lim+ f (x) = l x!a 8 > 0; 9 > 0; 8x 2 Df ; a < x < a + ) jf (x) lj < " 3.1 Limite d’une fonction xxi Exemple 3.1.2 f : R!R 2x + 1 si x 0 x ! f (x) = 4x + 5 si x < 0 On a lim f (x) = 1 et lim f (x) = 5: x!0+ x!0 Dans ce cas on dit que f n’admet pas une limiteen 0. Proposition 3.1.1 lim f (x) = l () lim+ f (x) = lim f (x) = l x!a x!a x!a 3.1.2 Unicité de la limite Théorème 3.1.1 Soit f une fonction dé…nie au voisinage de a. Si f admet une limite l en a, elle est unique. On note alors lim f (x) = l x!a Si f est dé…nie en a et admet une limite en a, alors lim f (x) = f (a) x!a 3.1.3 Caractérisation séquentielle de la limite Théorème 3.1.2 Caractérisation séquentielle de la limite Soit f une fonction dé…nie au voisinage de a 2 R. Soit l 2 R. Les propositions suivantes sont équivalentes : (i) lim f (x) = l x!a (ii) Pour toute suite (un ) à valeurs dans Df de limite a, (f (un )) a pour limite l. 3.1.4 Méthode. Pour montrer qu’une fonction f n’admet pas de limite en a, il su¢ t de trouver deux suites (un ) et (vn )de même limite a telles que (f (un )) et (f (vn ));possèdent des limites di¤érentes. 1 Exemple 3.1.3 La fonction x ! sin n’admet pas de limite en 0. x 1 1 (un = ); (vn = ) 2 + 2n + 2n 3.1 Limite d’une fonction xxii (f (un )) ! 1; (f (vn )) ! 0; possèdent des limites di¤érentes Théorème 3.1.3 Soient f et g deux fonction dé…nie au voisinage de a 2 R. Soient l; l0; 2 R: Théorème 3.1.4 Si lim f (x) = l et lim g (x) = l0 x!a x!a Alors 1) lim f (x) + g (x) = l + l0 x!a 2) lim f (x) g (x) = ll0 x!a 3) lim fg(x) (x) = l l0 si l0 = 6 0 x!a 3.1.5 Composition de limites Proposition 3.1.2 Soient f une fonction dé…nie au voisinage de a 2 R et g une fonction dé…nie au voisinage de b 2 R. Soit en…n l 2 R: Si lim f (x) = b et limg (x) = l alors lim g f (x) = l x!a x!b x!a 3.1.6 Passage à la limite Soient f et g deux fonction dé…nie au voisinage de a 2 R. Soient l; l0; m; M 2 R: (i) Si lim f (x) = l et lim g (x) = l0 et si f g au voisinage de a, alors l l0. x!a x!a (ii)lim f (x) = l et f M au voisinage de a, alors l M: x!a (iii) Si lim f (x) = l et f m au voisinage de a, alors l lim f (x) = l. x!a x!a 3.1.7 Théorèmes d’encadrement, de minoration et de majoration Théorème 3.1.5 Théorèmes d’encadrement, de minoration et de majoration Soient a; l 2 R. Soit f ,m et M trois fonctions dé…nies au voisinage de a. Théorème 3.1.6 Théorème des gendarmes/d’encadrement : Si lim h (x) = l et lim g (x) = l et h f g au voisinage de a, alors f admet une limite en x!a x!a a et celle-ci vaut l. 3.2 Continuité d’une fonction xxiii Théorème 3.1.7 Théorème de minoration : Si lim lim g (x) = 1 et g f au voisinage de a, alors f admet une limite en a et celle-ci vaut x!a +1. Théorème 3.1.8 Théorème de majoration : Si lim lim g (x) = 1 et g f au voisinage de a, alors f admet une limite en a et celle-ci x!a vaut 1. Corollaire 3.1.1 Soient f et g deux fonctions dé…nies au voisinage de a 2 R. Si jf j g au voisinage de a et si llim g (x)= 0, alors lim f (x) = 0 x!a x!a Corollaire 3.1.2 Soient f et g deux fonctions dé…nies au voisinage de a 2 R. Si f est bornée au voisinage de a et si lim g (x)= 0, alors lim f (x) g (x) = 0 x!a x!a Exemple 3.1.4 1 lim x sin =0 x!0 x 1 car sin bornée etlim x = 0 x x!0 3.2 Continuité d’une fonction Dé…nition 3.2.1. Soit a un réel et f une fonction dé…nie au voisinage de a. On dit que f est continue en a si f est dé…nie en a et lim f (x) = f (a) x!a C’est-à-dire 8 > 0; 9 > 0; 8x 2 Df ; ; jx aj < ) jf (x) f (a)j < " Exemple 3.2.1 La fonction f : R!R 8 1< x ! f (x) = e x2 si x 0 : 0 si x < 0 est continue en 0: 3.2 Continuité d’une fonction xxiv car 1 lim e x2 = 0 = f (0) x!0 Dé…nition 3.2.2 Soit a un réel et f une fonction dé…nie au voisinage de a. On dit que f 1)f est continue à gauche en a si lim f (x) = f (a) x!a C’est-à-dire 8 > 0; 9 > 0; 8x 2 Df ; a < x < a ) jf (x) f (a)j < ".2)f est continue à droite en a si lim f (x) = f (a) x!a+ C’est-à-dire 8 > 0; 9 > 0; 8x 2 Df ; a < x < a + ) jf (x) f (a)j < " Exemple 3.2.2 La fonction f : R!R 8 < 3x 1 si x > 1 x ! f (x) = 2 si x = 1 : 3x si x < 1 est continue en 0: car lim+ f (x) = 2 = f (1) et lim f (x) = 3 6= f (1) x!0 x!0 f est continue à droite en 1 mais n’est pas ontinue à gauche en 1. dans ce cas f n’est pas ontinue en 1: Proposition 3.2.1 f est dé…nie en a () f est continue à droite et continue à gauche en a. 3.2.1 Prolongement par continuité Dé…nition 3.2.3 Soit f un efonction dé…nie au voisinage de a mais non dé…nie en a. On dit que f est prolongeable par continuité en a si f admet une limite …nie l en a. Le prolongement g de f dé…nie par f (x) si x 6= a g (x) = l si x = a est alors continu en a. 3.2 Continuité d’une fonction xxv 1 1 Exemple 3.2.3 f (x) = x sin et lim x sin = 0 x x!0 x Le prolongement g de f dé…nie par ( 1 x sin si x 6= 0 g (x) = x 0 si x = 0 3.2.2 Continuité ponctuelle et composition Proposition 3.2.2 Soit f une fonction dé…nie au voisinage de a et continue en a. Soit g une fonction dé…nie au voisinage de f(a) et continue en f(a). Alors g f est continue en a. 3.2.3 Continuité sur un intervalle Dans ce paragraphe, I désigne un intervalle. Dé…nition 3.2.4 Continuité sur un intervalle Soitf : I ! R. On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point de I: On note C(I; R) ou C 0 (I; R) l’ensemble des fonctions continues sur I à valeurs dans R 3.2.4 Théorème des valeurs intermédiaires Théorème 3.2.1 Soit f une fonction continue sur intervalle [a; b]. Pour tout réel y compris entre f (a) et f (b), il existe x 2 [a; b] tel que y = f (x):: Proposition 3.2.3 Soit f une fonction continue sur intervalle [a; b]. Pour tout réel y compris entre f (a) f (b) < 0, il existe x 2 [a; b] tel que f (x) = 0: Exemple 3.2.4 Montrons que x + xe(x 1)(x+2) = 0 admet une solution On pose f (x) = x + xe(x 1)(x+2) et on aussi f (1) = 2 0 et f ( 2) = 4 < 0: alors il existe x tel que f (x) = 0: 3.2.5 Opérations sur les fonctions continues Théorème 3.2.2. Soient f et g deux fonctions continues au point a. Alorsf + g; f g; f g f sont continues, ainsi que si g(a) 6= 0: g 3.3 Dérivabilité xxvi 3.3 Dérivabilité Dé…nition 3.3.1. Soit f une fonction et a 2 Df. On dit que f est dérivable au point a si l’accroissement …ni f (x) f (a) x a a une limite lorsque x tend vers a. 0 df Cette limite est appelée dérivée de f au point a, alors notée f (a), ou bien dx (a) : 3.3.1 Opérations sur les dérivées Théorème 3.3.1 Soient f et g deux fonctions dérivables au point a. Alorsf + g; f g; f g f sont dérivables en a, ainsi que si g(a) 6= 0: On a de plus les formules : g (f + g)0 (a) = f 0(a) + g0(a); (f g)0 (a) = f 0(a) g0(a); (f g)0 (a) = f (a)g0(a) + f 0(a)g(a) 0 f f 0(a)g(a) f (a)g0(a) (x) = g [g(a)]2 Preuve :.comme exercice. Théorème 3.3.2 Soit f une fonction dérivable en a, et g une fonction dérivable en f(a) = b. Alors g f est dérivable en a, et l’on a : (g f )0(a) = f 0(a):g0 (f (a)) 5 4 Exemple 3.3.1 f (x) = (x3 + 1) =) f 0 (x) = 15x (x3 + 1) p 3x2 f (x) = x3 + 1 =) f 0 (x) = p 2 x3 + 1 Proposition 3.3.1. Si f est croissante sur un intervalle f et dérivable en a 2 Df , alors f 0(a) 0. Si f est décroissante, alors f 0(a) 0: 3.3.2 La dérivée d’une fonction composée Dé…nition 3.3.2.Soit f une fonction dé…nie sur un intervalle I On dit que f admet un maximum local en a 2 I s’il existe " > 0 tel que pour tout x 2 I\]a "; a + "[, on a f (x) f (a). Si l’inégalité est vraie pour tous les x 2 I, on dit que f a un maximum global en a. Si c’est l’inégalité inverse f (x) f (a) qui a lieu, on parle de minimum local ou global. 3.3 Dérivabilité xxvii 3.3.3 Condition nécessaire de 1er ordre Théorème 3.3.3 Si f est dé…nie sur un intervalle ouvert I =]a; b[, est dérivable et admet 0 un maximum ou minimum local en a 2 I, alors f (a) = 0: 3.3.4 théorème de rolle Théorème 3.3.4 (Rolle). Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b], avec a < b, dérivable sur ]a; b[, et telle que f (a) = f (b). Alors il existe un point c 2]a; b[ tel que f 0(c) = 0. 3.3.5 théorème des accroissements …nis Théorème 3.3.5 (des accroissements …nis). Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b] avec a < b, dérivable sur ]a; b[. Alors il existe au moins un point c 2]a; b[ tel que : 0 f (x) f (a) f (c) = x a Preuve. f (b) f (a) g (x) = f (x) (x a) b a : Alors g est continue sur [a; b], et dérivable sur ]a; b[,.De plus g(a) = f (a) et g(b) = f (a). On peut donc appliquer le théorème de Rolle à g, et déduire qu’il existe c tel que f (b) f (a) 0 = g0(c) = f 0 (c) (c a). C’est ce qu’il fallait démontrer. b a