Fonctions réelles et limites

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Questions and Answers

Pour quelles valeurs de x la fonction f est-elle définie par f(x) = 3x?

Pour x = 1

Pour x > 1

Pour x < 1 (correct)

Pour x = 0

Quelle est la condition pour qu'une fonction f soit prolongée par continuité en a?

f doit être continue à gauche seulement

lim f(x) doit exister en a (correct)

f doit être continue à droite seulement

f(a) doit être défini

Quelle affirmation est correcte concernant la continuité de la fonction f en 1?

f n'est pas continue en 1 (correct)

f est continue en 1

f est continue à droite uniquement

f est continue à gauche uniquement

Selon le théorème des valeurs intermédiaires, que peut-on conclure si f est continue sur l'intervalle [a, b]?

Il existe un x tel que y = f(x) pour tout y entre f(a) et f(b) Signup and view all the answers

Quelle est la forme de la fonction g définie pour prolonger f à x = 0?

g(x) = x sin(x) si x ≠ 0, g(0) = 0 Signup and view all the answers

Quelles sont les conditions qui rendent une fonction continue sur un intervalle?

Elle doit être définie et continue en tous points de l'intervalle Signup and view all the answers

En quoi consiste la continuité à droite d'une fonction f en un point a?

lim f(x) lorsque x s'approche de a par la droite est égal à f(a) Signup and view all the answers

Si une fonction f est définie au voisinage de a et continue en a, que peut-on dire de g(f) où g est elle aussi continue?

g(f) est continue en tous points Signup and view all the answers

Quelle affirmation est vraie concernant les fonctions continues f et g au point a?

La continuité de g au point a n'est pas nécessaire. Signup and view all the answers

Comment peut-on définir qu'une fonction f est dérivable au point a?

Si l'accroissement f(x) - f(a) a une limite lorsque x tend vers a. Signup and view all the answers

Qu'est-ce qui est vrai concernant la dérivée de la fonction composée g(f(x))?

Il est nécessaire que f soit dérivable et g soit dérivable en f(a). Signup and view all the answers

Quelle formule est correcte pour la dérivation de la somme de deux fonctions f et g?

(f + g)'(a) = f'(a) + g'(a) Signup and view all the answers

Selon la proposition 3.3.1, si f est croissante sur un intervalle et dérivable en a, quelle affirmation est vraie?

f'(a) peut être positif ou zéro. Signup and view all the answers

Pour quel cas la fonction f(x) = x + xe(x - 1)(x + 2) est-elle égale à zéro?

Il existe x tel que f(x) = 0 pour tout x dans [1, 2]. Signup and view all the answers

Quel effet a la multiplication d'une fonction f par une fonction g non nulle sur la continuité?

f * g est continue si f est continue. Signup and view all the answers

Quelle est la condition nécessaire pour que (f * g)'(a) soit valide?

Les deux fonctions doivent être dérivables en a. Signup and view all the answers

Quel est le résultat de la limite suivante : $\lim_{x \to 0} \frac{x \sin(1/x)}{x}$ ?

0 Signup and view all the answers

Dans quelle condition la fonction $f$ est-elle continue en $a$ ?

Si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ Signup and view all the answers

Quel est le corollaire lié à la limite de deux fonctions $f$ et $g$ si $\lim_{x \to a} g(x) = 0$ et $|f| \leq g$ ?

Alors $\lim_{x \to a} f(x) = 0$ Signup and view all the answers

Qu'est-ce que signifie que $f$ est bornée au voisinage de $a$ ?

Pour tout $\epsilon > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que pour tout $x$ dans le voisinage, $|f(x)| < C$ Signup and view all the answers

Quelle définition correspond à la continuité à gauche d'une fonction $f$ en $a$ ?

$\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$ Signup and view all the answers

Que peut-on dire lorsque $\lim_{x \to a} g(x) = 0$ et que $f$ est bornée au voisinage de $a$ ?

Alors $\lim_{x \to a} f(x) g(x) = 0$ Signup and view all the answers

Quelle est la continuité à droite en un point $a$ ?

$\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ Signup and view all the answers

Quand deux fonctions, f et g, ont des limites différentes à un même point a, que peut-on conclure sur leurs valeurs à ce point?

Une fonction peut être définie à a tandis que l'autre ne l'est pas. Signup and view all the answers

Que se passe-t-il si lim f(x) = l et lim g(x) = l0, avec l0 ≠ 0?

lim f(x) + g(x) = l + l0. Signup and view all the answers

Si f est définie au voisinage de a et que lim f(x) = l, que peut-on dire sur la continuité de f à a?

f pourrait être discontinue à a. Signup and view all the answers

Selon le théorème des gendarmes, que peut-on dire de la limite de f si lim h(x) = l et h(x) encadre f(x)?

f admet une limite égale à l. Signup and view all the answers

Que vérifie lim g f(x) lorsqu'on sait que lim f(x) = b et lim g(x) = l?

lim g f(x) = l. Signup and view all the answers

Quelle est la condition pour qu'une fonction f ait une limite l en a?

f doit avoir une limite à gauche et à droite qui sont toutes deux égales à l. Signup and view all the answers

Si lim g(x) = 1 et g encadre f au voisinage de a, que peut-on déduire sur lim f(x)?

lim f(x) doit également être 1. Signup and view all the answers

Quel est le résultat de lim (f(x) + g(x)) lorsque les limites de f et g existent et sont différentes?

La limite est l + l0. Signup and view all the answers

Que signifie lim+ f (x) = l?

La limite de f à droite de a est l. Signup and view all the answers

Que se passe-t-il si une fonction admet des limites différentes lorsqu'on approche a par deux suites distinctes?

La fonction n'admet pas de limite en a. Signup and view all the answers

Quand dit-on que f admet une limite à a selon le théorème de majoration?

Si lim g(x) = 1 et g est inférieur à f. Signup and view all the answers

Quelle est la conclusion de l'exemple de la fonction définie par f(x) = 2x + 1 si x ≥ 0 et f(x) = 4x + 5 si x < 0?

f n'admet pas de limite en 0. Signup and view all the answers

Que signifie le théorème de caractérisation séquentielle de la limite?

La limite d'une fonction en a est la même que la limite de toutes les suites convergentes à a. Signup and view all the answers

Dans quel cas lim f (x) = l et lim+ f (x) = l sont-elles équivalentes?

Lorsque f admet une limite unique en a. Signup and view all the answers

Quel est un exemple de fonction qui n'admet pas de limite en 0?

f(x) = sin(n) où n n'est pas défini. Signup and view all the answers

Quelle condition doit être remplie pour qu'une limite soit considérée comme unique?

Les limites à gauche et à droite doivent être égales. Signup and view all the answers

Qu'est-ce qui caractérise qu'une fonction soit majorée sur un ensemble U ?

Il existe un nombre réel M tel que pour tout x dans U, f(x) soit inférieur ou égal à M. Signup and view all the answers

Comment peut-on dire qu'une fonction est paire ?

f(x) = f(-x) pour tout x dans R. Signup and view all the answers

Quelle est la définition d'une fonction minorée sur un ensemble U ?

Il existe un nombre réel M tel que pour tout x dans U, f(x) est supérieur ou égal à M. Signup and view all the answers

Qu'est-ce qu'une fonction périodique de période T ?

f(x + T) = f(x) pour tout x dans R. Signup and view all the answers

Quel type de fonction est décrit par la condition f(x) = -f(-x) ?

Fonction impaire. Signup and view all the answers

Dans le contexte de la limite, que signifie que f admet l pour limite en a ?

Pour chaque ε > 0, il existe un δ > 0 tel que pour tout x dans Df, |x - a| < δ implique |f(x) - l| < ε. Signup and view all the answers

Qu'implique la notion de limite à gauche pour une fonction ?

La restriction de f à Df entre a et a-h doit admettre l pour limite. Signup and view all the answers

Que désigne le symbole lim f(x) lorsque x tend vers a dans le contexte des limites ?

La valeur que prend f(x) lorsque x se rapproche de a. Signup and view all the answers

Study Notes

Fonctions réelles à une variable réelle

Fonction majorée: Existe M ∈ R tel que pour tout x ∈ U, f(x) < M.
Fonction minorée: Existe M ∈ R tel que pour tout x ∈ U, f(x) ≥ M.
Fonction bornée: Fonction à la fois majorée et minorée sur U. Existe M ∈ R tel que pour tout x ∈ U, |f(x)| < M.
Fonction croissante: Pour tout x, y ∈ U, si x < y alors f(x) ≤ f(y).
Fonction décroissante: Pour tout x, y ∈ U, si x < y alors f(x) ≥ f(y).
Fonction paire: Pour tout x ∈ R, f(x) = f(-x).
Fonction impaire: Pour tout x ∈ R, f(x) = -f(-x).
Fonction périodique: Pour tout x ∈ R et T > 0, f(x + T) = f(x).

Limite d'une fonction

Fonction définie au voisinage de a: Existe h > 0 tel que la fonction est définie dans un voisinage de a.
Limite en a: f admet l pour limite en a si, pour tout ε > 0, il existe α > 0 tel que pour tout x ∈ Df, |x - a| < α implique |f(x) - l| < ε. On note lim f(x) = l.
Limite à gauche: lim f(x) = l pour x → a⁻ si pour tout ε > 0, existe α > 0 tel que, pour tout x ∈ Df et a-α < x < a, on a |f(x) - l| < ε.
Limite à droite: lim f(x) = l pour x → a⁺ si pour tout ε > 0, existe α > 0 tel que, pour tout x ∈ Df et a < x < a+α, on a |f(x) - l| < ε.
Unicité de la limite: Si une fonction admet une limite en a, cette limite est unique.
Caractérisation séquentielle de la limite: lim f(x) = l si et seulement si pour toute suite (x_n) dans Df qui converge vers a, la suite (f(x_n)) converge vers l.
Limite d'une fonction composée: lim_x→a g(f(x)) = l si lim_x→a f(x) = b et lim_y→bg(y) = l.

Continuité d'une fonction

Fonction continue en a: f est continue en a si elle est définie en a et lim_x→a f(x) = f(a).
Continuité à gauche: f est continue à gauche en a si lim_x→a⁻ f(x) = f(a).
Continuité à droite: f est continue à droite en a si lim_x→a⁺ f(x) = f(a).
Fonction continue sur un intervalle: f est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point de I.
Théorème des valeurs intermédiaires: Si f est continue sur [a, b] et si y est un nombre entre f(a) et f(b), alors il existe c ∈ [a, b] tel que f(c) = y.
Prolongement par continuité: Si f est définie au voisinage de a mais n'est pas définie en a, et si lim_x→a f(x) = L, alors on peut prolonger f par continuité en a en définissant f(a) = L.

Dérivabilité

Fonction dérivable en a: f est dérivable en a si lim_x→a [f(x) - f(a)]/(x - a) existe. La limite est la dérivée de f en a, notée f'(a) ou df/dx(a).
Opérations sur les dérivées: Règles pour calculer la dérivée de sommes, produits, quotients et compositions de fonctions.
Condition nécessaire de premier ordre: Si f admet un extremum local en a et est dérivable en a, alors f'(a) = 0.
Théorème de Rolle: Si f est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[, et f(a) = f(b), alors il existe c ∈ ]a, b[ tel que f'(c) = 0.
Théorème des accroissements finis: Si f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, alors il existe c ∈ ]a, b[ tel que f'(c) = [f(b) - f(a)]/(b - a).

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Description

Testez vos connaissances sur les fonctions réelles à une variable réelle et les concepts de limites. Ce quiz couvre des notions telles que les fonctions majorées, minorées, croissantes, décroissantes et les limites en un point. Préparez-vous à approfondir votre compréhension des propriétés des fonctions en mathématiques.

Fonctions réelles et limites - Mathématiques

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