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Questions and Answers
Pour quelles valeurs de x la fonction f est-elle définie par f(x) = 3x?
Pour quelles valeurs de x la fonction f est-elle définie par f(x) = 3x?
- Pour x = 1
- Pour x > 1
- Pour x < 1 (correct)
- Pour x = 0
Quelle est la condition pour qu'une fonction f soit prolongée par continuité en a?
Quelle est la condition pour qu'une fonction f soit prolongée par continuité en a?
- f doit être continue à gauche seulement
- lim f(x) doit exister en a (correct)
- f doit être continue à droite seulement
- f(a) doit être défini
Quelle affirmation est correcte concernant la continuité de la fonction f en 1?
Quelle affirmation est correcte concernant la continuité de la fonction f en 1?
- f n'est pas continue en 1 (correct)
- f est continue en 1
- f est continue à droite uniquement
- f est continue à gauche uniquement
Selon le théorème des valeurs intermédiaires, que peut-on conclure si f est continue sur l'intervalle [a, b]?
Selon le théorème des valeurs intermédiaires, que peut-on conclure si f est continue sur l'intervalle [a, b]?
Quelle est la forme de la fonction g définie pour prolonger f à x = 0?
Quelle est la forme de la fonction g définie pour prolonger f à x = 0?
Quelles sont les conditions qui rendent une fonction continue sur un intervalle?
Quelles sont les conditions qui rendent une fonction continue sur un intervalle?
En quoi consiste la continuité à droite d'une fonction f en un point a?
En quoi consiste la continuité à droite d'une fonction f en un point a?
Si une fonction f est définie au voisinage de a et continue en a, que peut-on dire de g(f) où g est elle aussi continue?
Si une fonction f est définie au voisinage de a et continue en a, que peut-on dire de g(f) où g est elle aussi continue?
Quelle affirmation est vraie concernant les fonctions continues f et g au point a?
Quelle affirmation est vraie concernant les fonctions continues f et g au point a?
Comment peut-on définir qu'une fonction f est dérivable au point a?
Comment peut-on définir qu'une fonction f est dérivable au point a?
Qu'est-ce qui est vrai concernant la dérivée de la fonction composée g(f(x))?
Qu'est-ce qui est vrai concernant la dérivée de la fonction composée g(f(x))?
Quelle formule est correcte pour la dérivation de la somme de deux fonctions f et g?
Quelle formule est correcte pour la dérivation de la somme de deux fonctions f et g?
Selon la proposition 3.3.1, si f est croissante sur un intervalle et dérivable en a, quelle affirmation est vraie?
Selon la proposition 3.3.1, si f est croissante sur un intervalle et dérivable en a, quelle affirmation est vraie?
Pour quel cas la fonction f(x) = x + xe(x - 1)(x + 2) est-elle égale à zéro?
Pour quel cas la fonction f(x) = x + xe(x - 1)(x + 2) est-elle égale à zéro?
Quel effet a la multiplication d'une fonction f par une fonction g non nulle sur la continuité?
Quel effet a la multiplication d'une fonction f par une fonction g non nulle sur la continuité?
Quelle est la condition nécessaire pour que (f * g)'(a) soit valide?
Quelle est la condition nécessaire pour que (f * g)'(a) soit valide?
Quel est le résultat de la limite suivante : $\lim_{x \to 0} \frac{x \sin(1/x)}{x}$ ?
Quel est le résultat de la limite suivante : $\lim_{x \to 0} \frac{x \sin(1/x)}{x}$ ?
Dans quelle condition la fonction $f$ est-elle continue en $a$ ?
Dans quelle condition la fonction $f$ est-elle continue en $a$ ?
Quel est le corollaire lié à la limite de deux fonctions $f$ et $g$ si $\lim_{x \to a} g(x) = 0$ et $|f| \leq g$ ?
Quel est le corollaire lié à la limite de deux fonctions $f$ et $g$ si $\lim_{x \to a} g(x) = 0$ et $|f| \leq g$ ?
Qu'est-ce que signifie que $f$ est bornée au voisinage de $a$ ?
Qu'est-ce que signifie que $f$ est bornée au voisinage de $a$ ?
Quelle définition correspond à la continuité à gauche d'une fonction $f$ en $a$ ?
Quelle définition correspond à la continuité à gauche d'une fonction $f$ en $a$ ?
Que peut-on dire lorsque $\lim_{x \to a} g(x) = 0$ et que $f$ est bornée au voisinage de $a$ ?
Que peut-on dire lorsque $\lim_{x \to a} g(x) = 0$ et que $f$ est bornée au voisinage de $a$ ?
Quelle est la continuité à droite en un point $a$ ?
Quelle est la continuité à droite en un point $a$ ?
Quand deux fonctions, f et g, ont des limites différentes à un même point a, que peut-on conclure sur leurs valeurs à ce point?
Quand deux fonctions, f et g, ont des limites différentes à un même point a, que peut-on conclure sur leurs valeurs à ce point?
Que se passe-t-il si lim f(x) = l et lim g(x) = l0, avec l0 ≠ 0?
Que se passe-t-il si lim f(x) = l et lim g(x) = l0, avec l0 ≠ 0?
Si f est définie au voisinage de a et que lim f(x) = l, que peut-on dire sur la continuité de f à a?
Si f est définie au voisinage de a et que lim f(x) = l, que peut-on dire sur la continuité de f à a?
Selon le théorème des gendarmes, que peut-on dire de la limite de f si lim h(x) = l et h(x) encadre f(x)?
Selon le théorème des gendarmes, que peut-on dire de la limite de f si lim h(x) = l et h(x) encadre f(x)?
Que vérifie lim g f(x) lorsqu'on sait que lim f(x) = b et lim g(x) = l?
Que vérifie lim g f(x) lorsqu'on sait que lim f(x) = b et lim g(x) = l?
Quelle est la condition pour qu'une fonction f ait une limite l en a?
Quelle est la condition pour qu'une fonction f ait une limite l en a?
Si lim g(x) = 1 et g encadre f au voisinage de a, que peut-on déduire sur lim f(x)?
Si lim g(x) = 1 et g encadre f au voisinage de a, que peut-on déduire sur lim f(x)?
Quel est le résultat de lim (f(x) + g(x)) lorsque les limites de f et g existent et sont différentes?
Quel est le résultat de lim (f(x) + g(x)) lorsque les limites de f et g existent et sont différentes?
Que signifie lim+ f (x) = l?
Que signifie lim+ f (x) = l?
Que se passe-t-il si une fonction admet des limites différentes lorsqu'on approche a par deux suites distinctes?
Que se passe-t-il si une fonction admet des limites différentes lorsqu'on approche a par deux suites distinctes?
Quand dit-on que f admet une limite à a selon le théorème de majoration?
Quand dit-on que f admet une limite à a selon le théorème de majoration?
Quelle est la conclusion de l'exemple de la fonction définie par f(x) = 2x + 1 si x ≥ 0 et f(x) = 4x + 5 si x < 0?
Quelle est la conclusion de l'exemple de la fonction définie par f(x) = 2x + 1 si x ≥ 0 et f(x) = 4x + 5 si x < 0?
Que signifie le théorème de caractérisation séquentielle de la limite?
Que signifie le théorème de caractérisation séquentielle de la limite?
Dans quel cas lim f (x) = l et lim+ f (x) = l sont-elles équivalentes?
Dans quel cas lim f (x) = l et lim+ f (x) = l sont-elles équivalentes?
Quel est un exemple de fonction qui n'admet pas de limite en 0?
Quel est un exemple de fonction qui n'admet pas de limite en 0?
Quelle condition doit être remplie pour qu'une limite soit considérée comme unique?
Quelle condition doit être remplie pour qu'une limite soit considérée comme unique?
Qu'est-ce qui caractérise qu'une fonction soit majorée sur un ensemble U ?
Qu'est-ce qui caractérise qu'une fonction soit majorée sur un ensemble U ?
Comment peut-on dire qu'une fonction est paire ?
Comment peut-on dire qu'une fonction est paire ?
Quelle est la définition d'une fonction minorée sur un ensemble U ?
Quelle est la définition d'une fonction minorée sur un ensemble U ?
Qu'est-ce qu'une fonction périodique de période T ?
Qu'est-ce qu'une fonction périodique de période T ?
Quel type de fonction est décrit par la condition f(x) = -f(-x) ?
Quel type de fonction est décrit par la condition f(x) = -f(-x) ?
Dans le contexte de la limite, que signifie que f admet l pour limite en a ?
Dans le contexte de la limite, que signifie que f admet l pour limite en a ?
Qu'implique la notion de limite à gauche pour une fonction ?
Qu'implique la notion de limite à gauche pour une fonction ?
Que désigne le symbole lim f(x) lorsque x tend vers a dans le contexte des limites ?
Que désigne le symbole lim f(x) lorsque x tend vers a dans le contexte des limites ?
Flashcards
Continuity at a point
Continuity at a point
A function is continuous at a point 'a' if the limit of the function as 'x' approaches 'a' equals the function's value at 'a'.
Continuity from the right
Continuity from the right
The limit of a function as 'x' approaches 'a' from the right equals the function's value at 'a'.
Continuity from the left
Continuity from the left
The limit of a function as 'x' approaches 'a' from the left equals the function's value at 'a'.
Extending function by continuity
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Continuous Function
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Continuous on an interval
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Intermediate Value Theorem (IVT)
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Composition of continuous functions
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Intermediate Value Theorem
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Continuous function
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Derivation at Point a
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Derivative of a function
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Sum Rule (Derivatives)
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Difference Rule (Derivatives)
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Product Rule (Derivatives)
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Quotient Rule (Derivatives)
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Limit of a function at a point
Limit of a function at a point
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One-sided limit (right)
One-sided limit (right)
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One-sided limit (left)
One-sided limit (left)
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Limit uniqueness
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Sequential characterization of limit
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Limit does not exist
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Function limit
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Limit uniqueness theorem
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Continuity at a point
Continuity at a point
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Continuity from the right
Continuity from the right
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Continuity from the left
Continuity from the left
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Limit of a product
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Function bounded near a
Function bounded near a
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Limit approaching zero
Limit approaching zero
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Limit of x sin(1/x) as x->0
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Continuous function (definition)
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Function bounded on U
Function bounded on U
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Function periodic with period T
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Function increasing on U
Function increasing on U
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Function decreasing on U
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Even function
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Odd function
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Limit of a function at a point a
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Function defined at the neighbourhood of a
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Function Limit at a Point
Function Limit at a Point
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Limit Existence Theorem
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Limit Uniqueness
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Limit Rules
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Composition of Limits
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Limit of a Sum
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Limits (In theorems)
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Limit Theorem
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Study Notes
Fonctions réelles à une variable réelle
- Fonction majorée: Existe M ∈ R tel que pour tout x ∈ U, f(x) < M.
- Fonction minorée: Existe M ∈ R tel que pour tout x ∈ U, f(x) ≥ M.
- Fonction bornée: Fonction à la fois majorée et minorée sur U. Existe M ∈ R tel que pour tout x ∈ U, |f(x)| < M.
- Fonction croissante: Pour tout x, y ∈ U, si x < y alors f(x) ≤ f(y).
- Fonction décroissante: Pour tout x, y ∈ U, si x < y alors f(x) ≥ f(y).
- Fonction paire: Pour tout x ∈ R, f(x) = f(-x).
- Fonction impaire: Pour tout x ∈ R, f(x) = -f(-x).
- Fonction périodique: Pour tout x ∈ R et T > 0, f(x + T) = f(x).
Limite d'une fonction
- Fonction définie au voisinage de a: Existe h > 0 tel que la fonction est définie dans un voisinage de a.
- Limite en a: f admet l pour limite en a si, pour tout ε > 0, il existe α > 0 tel que pour tout x ∈ Df, |x - a| < α implique |f(x) - l| < ε. On note lim f(x) = l.
- Limite à gauche: lim f(x) = l pour x → a⁻ si pour tout ε > 0, existe α > 0 tel que, pour tout x ∈ Df et a-α < x < a, on a |f(x) - l| < ε.
- Limite à droite: lim f(x) = l pour x → a⁺ si pour tout ε > 0, existe α > 0 tel que, pour tout x ∈ Df et a < x < a+α, on a |f(x) - l| < ε.
- Unicité de la limite: Si une fonction admet une limite en a, cette limite est unique.
- Caractérisation séquentielle de la limite: lim f(x) = l si et seulement si pour toute suite (xn) dans Df qui converge vers a, la suite (f(xn)) converge vers l.
- Limite d'une fonction composée: limx→a g(f(x)) = l si limx→a f(x) = b et limy→bg(y) = l.
Continuité d'une fonction
- Fonction continue en a: f est continue en a si elle est définie en a et limx→a f(x) = f(a).
- Continuité à gauche: f est continue à gauche en a si limx→a⁻ f(x) = f(a).
- Continuité à droite: f est continue à droite en a si limx→a⁺ f(x) = f(a).
- Fonction continue sur un intervalle: f est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point de I.
- Théorème des valeurs intermédiaires: Si f est continue sur [a, b] et si y est un nombre entre f(a) et f(b), alors il existe c ∈ [a, b] tel que f(c) = y.
- Prolongement par continuité: Si f est définie au voisinage de a mais n'est pas définie en a, et si limx→a f(x) = L, alors on peut prolonger f par continuité en a en définissant f(a) = L.
Dérivabilité
- Fonction dérivable en a: f est dérivable en a si limx→a [f(x) - f(a)]/(x - a) existe. La limite est la dérivée de f en a, notée f'(a) ou df/dx(a).
- Opérations sur les dérivées: Règles pour calculer la dérivée de sommes, produits, quotients et compositions de fonctions.
- Condition nécessaire de premier ordre: Si f admet un extremum local en a et est dérivable en a, alors f'(a) = 0.
- Théorème de Rolle: Si f est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[, et f(a) = f(b), alors il existe c ∈ ]a, b[ tel que f'(c) = 0.
- Théorème des accroissements finis: Si f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, alors il existe c ∈ ]a, b[ tel que f'(c) = [f(b) - f(a)]/(b - a).
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Description
Testez vos connaissances sur les fonctions réelles à une variable réelle et les concepts de limites. Ce quiz couvre des notions telles que les fonctions majorées, minorées, croissantes, décroissantes et les limites en un point. Préparez-vous à approfondir votre compréhension des propriétés des fonctions en mathématiques.
