Cours de Géométrie et Algèbre PDF

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Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Cours de Géométrie et Algèbre Prof : Fatima Ezzahra FIKRI 1/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique 1 Les Suites 2 Limites des fonctions numériques de la variable réelle 3 Fonctions Continues 4 Fonctions dérivables 5 Fonctions hyperboliques 6 Développements limités 7 Etude de courbes paramétriques 2/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Ch 1 : Les suites Définition: - Une suite est une application u de N dans R. - Pour n ∈ N, on note u(n) par un et on l’appelle n-ème terme ou terme général de la suite. Exemple √ √ √ 1. ( n)n≥0 est la suite de termes : 0, 1, 2, 3,.... 2. (−1)n est la suite de termes : +1, - 1, +1, - 1,... Suite majorée, minorée, bornée Définition Soit (un )n∈N une suite. - (un )n∈N est majorée si ∃M ∈ R : ∀n ∈ N un ≤ M - (un )n∈N est minorée si ∃m ∈ R : ∀n ∈ N un ≥ m - (un )n∈N est bornée si elle est majorée et minorée, ce qui revient à dire : ∃M ∈ R : ∀n ∈ N |un | ≤ M. 2/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Définition : Soit (un )n∈N une suite. - (un )n∈N est croissante si ∀n ∈ N : un+1 ≥ un. - (un )n∈N est décroissante si ∀n ∈ N : un+1 ≤ un - (un )n∈N est monotone si elle est croissante ou décroissante 3/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Limite finie, limite infinie Dédifinition : Soit (un )n∈N une suite. La suite (un )n∈N a pour limite l ∈ R si : pour tout ε > 0, il existe un entier naturel n0 tel que si n ≥ n0 alors |un − l| ≤ ε: ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N (∀n ∈ N) (n ≥ n0 ⇒ |un − l| < ε) On dit aussi que la suite (un )n∈N tend vers l. Dédifinition : 1. La suite (un )n∈N tend vers +∞ et on note limn→+∞ un = +∞ si : ∀A > 0 ∃n0 ∈ N (∀n ∈ N) (n ≥ n0 ⇒ un > A) 2. La suite (un )n∈N tend vers −∞ et on note limn→+∞ un = −∞ si : ∀A > 0 ∃n0 ∈ N (∀n ∈ N) (n ≥ n0 ⇒ un < −A) 4/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Définition : Une suite (un )n∈N est convergente si elle admet une limite finie. Elle est divergente sinon (c’est-à-dire soit la suite tend vers ∞, soit elle n’admet pas de limite). Proposition : Si une suite est convergente, sa limite est unique. Proposition : Toute suite convergente est bornée. 5/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Suites arithmitiques Une suite (un )n∈N est une suite arithmétique s’il existe un nombre r tel que pour tout entier n, on a : un+1 − un = r Le nombre r est appelé raison de la suite Proposition : Soit (un )n∈N une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0. Alors Pour tout entier naturel n on a : un = u0 + nr un = up + (n − p)r Proposition : Soient (un )n∈N une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0 et Sn = u0 + u1 + u2 +... + un. Alors n+1 Sn = (u0 + un ) 2 6/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Suites géométrique Une suite (vn )n∈N est une suite géométrique s’il existe un nombre q tel que pour tout entier n, on a : vn+1 = qvn Le nombre q est appelé raison de la suite Proposition : Soit (vn )n∈N une suite géométrique de raison q et de premier terme v0. Alors Pour tout entier naturel n on a : vn = qn v0 vn = qn−p vp 7/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Proposition : Soit (vn )n∈N une suite géométrique de raison q et de premier terme non nul v0. Pour v0 > 0 - Si q > 1 alors la suite (vn )n∈N est croissante. - Si 0 < q < 1 alors la suite (vn )n∈N est décroissante. Pour v0 < 0 - Si q > 1 alors la suite (vn )n∈N est décroissante. - Si 0 < q < 1 alors la suite (vn )n∈N est croissante. Démonstration : Dans le cas où v0 > 0 vn+1 − vn = q n+1 v0 − q n v0 = qn v0 (q − 1). Si q > 1 alors vn+1 − vn > 0 et la suite (vn )n∈N est croissante. Si q < 1 alors vn+1 − vn < 0 et la suite (vn )n∈N est décroissante. Exemple : La suite géométrique (vn )n∈N définie par vn = −3n est décroissante car le premier terme est négatif et la raison est supérieure à 1. 8/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Soient (vn )n∈N une suite géométrique de raison q et de premier terme v0 et Sn = v0 + v1 + v2 +... + vn. Alors 1 − qn+1 Sn = v0 1−q Suites adjacentes : définition : Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites. Elles sont adjacentes si elles vérifient les conditions suivantes : 1. L’une est croissante 2. L’autre est décroissante 3. limn→+∞ (un − vn ) = 0. 9/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Définition : Soit x0 ∈ I (un intervalle de R). f admet en x0 la limite l si: ∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x ∈ I [0 < |x − x0 | < η ⇒ |f (x) − l| < ε]. On note: lim f (x) = l x→x0 Définition ( Limite à droite) Soit x0 ∈ I (un intervalle de R). f admet à droite de x0 la limite l1 si: ∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x ∈ I [0 < x − x0 < η ⇒ |f (x) − l1 | < ε]. On note: limx→x + f (x) = l1 = f (x0+ ) 0 10/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Définition ( Limite à gauche) Soit x0 ∈ I (un intervalle de R). f admet à droite de x0 la limite l2 si: ∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x ∈ I [0 < x0 − x < η ⇒ |f (x) − l2 | < ε]. On note: limx→x − f (x) = l2 = f (x0− ) 0 Théorème : La fonction f admet une limite l ∈ R en un point x0 ∈ I si et seulement si f admet une limite à droite et une limite à gauche en x0 et que ces deux limites sont égales à l. Démonstration : Supposons que f admet une limite l en x0. Donc par définition: ∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x ∈ I [0 < |x − x0 | < η ⇒ |f (x) − l| < ε]. Ce qui entraine les deux possibilités: ∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x ∈ I [0 < x − x0 < η ⇒ |f (x) − l| < ε]. et 11/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique ∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x ∈ I [0 < x0 − x < η ⇒ |f (x) − l| < ε]. f admet une limite à droite et une limite à gauche. Inversement: Supposons que f (x0+ ) = f (x0− ) = l Donc ∀ε > 0 ∃η1 > 0 ∀x ∈ I [0 < x − x0 < η1 ⇒ |f (x) − l| < ε]. et ∀ε > 0 ∃η2 > 0 ∀x ∈ I [0 < x0 − x < η2 ⇒ |f (x) − l| < ε]. En posant η = inf (η1 , η2 ), On aura: ∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x ∈ I [0 < |x − x0 | < η ⇒ |f (x) − l| < ε]. 12/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Propriétés des limites Propriété : Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I de R et admettant des limites finies l1 et l2 en un point x0 ∈ I. Alors: 1 limx→x0 (f (x) + g (x)) = limx→x0 f (x) + limx→x0 g (x) = l1 + l2 2 limx→x0 (αf (x)) = α limx→x0 f (x) = αl1 , pour tout α ∈ R 3 limx→x0 f (x) × g (x) = limx→x0 f (x) × limx→x0 g (x) = l1 × l2. Théorème : Soit f une fonction définie sur I (sauf peut être au point x0 ∈ I ) et admettant une limite finie l en x0. Si f ≥ 0 alors. √ limx→x0 f (x) = l −9 2 Exemple : On a limx→3 xx−3 = limx→3 (x + 3) = 6. q x 2 −9 √ Donc limx→3 x−3 = 6. 13/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Théorème : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. Soient a ∈ I et l ∈ R. Alors: limx→a f (x) = l si et seulement si pour toute suite (xn )n dans I qui converge vers a, la suite (f (xn ))n converge vers l. Exercice : Les limites suivantes existent-elles? Si oui, les déterminer. √ √ 1+x − 1−x x 2 + |x| a) lim , b) lim x→0 x x→0 x 14/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique (a) On a √ √ √ √ √ √ 1+x − 1−x ( 1 + x − 1 − x)( 1 + x + 1 − x) lim = lim √ √ x→0 x x→0 x( 1 + x + 1 − x) (1 + x) − (1 − x) = lim √ √ x→0 x( 1 + x + 1 − x) 2 = lim √ √ x→0 1+x + 1−x =1 (b) Nous avons, pour x 6= 0, x 2 + |x| |x| =x+ = x + signe(x) x x où signe(x) vaut 1 quand x est positif ou nul, et -1 quand x est strictement négatif. La limite à droite en 0 de l’expression obtenue vaut 1, et la limite à gauche vaut -1, donc l’expression de départ n’admet pas de limite en 0. 15/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Définition : Soient f une fonction numérique définie sur un intervalle (ouvert) I et x0 ∈ I. f est continue en x0 si lim f(x) = f(x0 ). x→x0 C’est à dire: ∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x ∈ I [0 < |x − x0 | < η ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε]. Définition : Soit f une fonction numérique sur un intervalle I de R. f est uniformément continue sur I si: ∀ε > 0 ∃η > 0 ∀x, x 0 ∈ I [0 < |x − x 0 | < η ⇒ |f (x) − f (x 0 )| < ε]. Exemple: Soit f une fonction k-lipschitzienne sur I c’est-à-dire que ∀x, x 0 ∈ I |f (x) − f (x 0 )| < k|x − x 0 |, où k ∈ R∗+ Alors f est uniformément continue. En effet pour ε > 0 on prendre η = ε/k. 16/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Proposition : Une fonction uniformément continue sur I est continue sur I. Remarque : La réciproque est fausse. En effet : Soient I = R et f (x) = x 2. Cette fonction est continue sur R. Supposons qui elle est uniformément continue. Pour ε = 1 ∃η > 0 ∀x, x 0 ∈ I [0 < |x − x 0 | < η ⇒ |f (x) − f (x 0 )| < 1]. Soient x = η1 et x 0 = η1 + η2. Alors on a η η2 |x − x 0 | = | | < η et |f (x) − f (x 0 )| = |x 2 − x 02 | = 1 + > 1. 2 4 D’où f n’est pas uniformément continue. Théorème : Toute fonction définie et continue sur un intervalle fermé borné [a,b] et telle que f(a) × f(b) < 0 Alors, il existe c ∈]a, b[ tel que f(c) = 0. 17/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Théorème des valeurs intermédiaires Théorème : Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I de R. Soit x1 < x2 deux éléments de I. Alors pour toute valeur c, comprise entre f (x1 ) et (x2 ), il existe x0 ∈]x1 , x2 [ tel que f (x0 ) = c. Démonstration : Soit, par exemple f (x1 ) < f (x2 ). Soit c ∈]f (x1 ), f (x2 )[. Considérons la fonction g définie sur l’intervalle fermé borné [x1 , x2 ] par: g(x) = f(x) − c on a g (x1 ) = f (x1 ) − c < 0 g (x2 ) = f (x2 ) − c > 0 Donc, d’après le théorème précèdent, il existe x0 ∈]x1 , x2 [ tel que: g (x0 ) = 0. C’est à dire: ∃x0 ∈]x1 , x2 [: f (x0 ) = c. 18/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Corollaire : L’image d’un intervalle de R, par une fonction continue est un intervalle. Théorème du point fixe. Théorème : Soit f : [a, b] → [a, b] une fonction continue. Alors, il existe au moins un point x0 ∈ [a, b] tel que f (x0 ) = x0 Preuve : Soit la fonction définie sur [a, b] (et à valeurs dans R) par: g(x) = f(x) − x g est continue sur [a, b] et on a : g (a) ≥ 0 et g (b) ≤ 0 car f est à valeurs dans l’intervalle [a, b]. Donc il existe au moins un point x0 ∈ [a, b] tel que g (x0 ) = 0, c’est à dire f (x0 ) = x0. 19/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Définition :Soit f : I → I. f est dite contractante s’il existe une constante k ∈]0, 1[ telle que: ∀x, y ∈ I , |f (x) − f (y )| < k|x − y | Remarque : Toute fonction contractante est Lipschitzienne donc uniformément continue, donc continue. Contractante ⇒ Lipschitzienne ⇒ Uniformément continue ⇒ Continue. Théorème : Soit f : [a, b] → [a, b] une fonction contractante, alors f admet un point fixe unique. Démonstration : Unicité: f étant continue, si l est une limite alors elle doit vérifier: f (l) = l Supposons qu’il existe l1 et l2 deux réels vérifiant f (l1 ) = l1 et f (l2 ) = l2. On aura alors: |l1 − l2 | = |f (l1 ) − f (l2 )| ≤ k|l1 − l2 | Ceci est en contradiction avec le fait que k ∈]0, 1[. Donc l1 = l2. 20/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Fonctions dérivables La dérivée d’une fonction Définition : Soient f : I → R et a ∈ I. f est dérivable au point a si f (x) − f (a) x −a tend vers une limite quand x tend vers a. Si elle existe, cette limite, notée f 0 (a), s’appelle la dérivée de f en a et on écrit f (x) − f (a) lim = f 0 (a). x→a x −a Si f est dérivable en a alors on a: f(x) = f(a) + (x − a)f 0 (a) + (x − a)ε(x) avec limx→a ε(x) = 0. 21/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Définition : Soient f : I → R et x0 ∈ I. f est dérivable f (x)−f (a) 1 à droite de x0 si limx→x + x−a existe et est finie,et est 0 noté : f (x) − f (x0 ) lim+ = fd0 (x0 ) ( ou f 0 (x0+ )). x→x0 x − x0 2 à gauche de x0 si limx→x − f (x)−f x−a (a) existe et est finie,et est 0 noté : f (x) − f (a) lim = fg0 (x0 ) ( ou f 0 (x0− )). x→x0− x −a Proposition : Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. Définition : On dit que la fonction f : I → R est dérivable si f est dérivable en tout a ∈ I. On définit alors sa dérivée f 0 : I → R. 22/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Théorème de Rolle : Soit f : [a, b] → R une fonction continue sur l’intervalle fermé [a, b] et dérivable sur l’intervalle ouvert ]a, b[ et vérifiant f(a) = f(b). Alors il existe un c ∈]a, b[ tel que f 0 (c) = 0. Remarque : Les conditions du théorème sont suffisantes mais non nécessaires. En effet f (x) = x 3 ne satisfait pas toutes les hypoths̀es du théorème de Rolle sur [−1, 1] et pourtant f 0 (0) = 0. Exemple : La fonction polynômiale définie par: P(x) = 3x 4 − 11x 3 + 12x 2 − 4x + 2 s’annule au moins une fois sur ]0, 1[. En effet, P continue sur l’intervalle fermé [0, 1] et dérivable sur l’intervalle ouvert ]0, 1[ et vérifiant f (0) = f (1) = 2. Alors il existe un c ∈]0, 1[ tel que f 0 (c) = 0. 23/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Théorème des accroissements finis Soit f : [a, b] → R une fonction continue sur l’intervalle fermé [a, b] et dérivable sur l’intervalle ouvert ]a, b[. Alors il existe c ∈]a, b[ tel que f (b) − f (a) = (b − a)f 0 (c) C’est une généralisation du théorème de Rolle. Régle de l’Hospital Soient f et g deux fonctions définies sur [a, b] (sauf peut être en x0 ∈]a, b[) dérivables sur ]a, b[ (sauf peut être en x0 ) telles que: g 0 (x0 ) 6= 0 et limx→x0 gf (x) 0 ∞ (x) est une forme indéterminée ( 0 , ∞ ). Si f 0 (x) lim 0 =l ∈R x→x0 g (x) alors f (x) lim = l. x→x0 g (x) 24/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique x 2 −sin2 (x) Exemple: Calculons limx→0 x4 (forme indéterminée 00 ) x 2 − sin2 (x) 2x − 2sin(x)cos(x) lim 4 = lim x→0 x x→0 4x 3 2x − sin(2x) = lim x→0 4x 3 2 − 2cos(2x) = lim x→0 12x 2 4sin(2x) = lim x→0 24x 8cos(2x) 1 = lim = x→0 24 3 25/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Fonctions Convexes Définition : f : [a, b] → R est une fonction convexe si pour tout x, y ∈ [a, b] et tout λ ∈ [0, 1] on a: f (λx + (1 − λ)y ) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y ). Exemple : x → x 2 est convexe (sur R). Théorème : Soit f une fonction dérivable. Alors f est convexe si et seulement si f 0 est croissante (si f est deux fois dérivable f 00 est positive). 26/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Fonctions hyperboliques On définit les fonctions suivantes: (cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique, tangente hyperbolique) ex + e−x chx = 2 ex − e−x shx = 2 shx thx = chx Il s’en suit que pour tout x ∈ R chx + shx = e x chx − shx = e −x ch2 x − sh2 x = e x 27/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Cosinus hyperbolique Etude de Ch : e x + e −x chx = 2 C’est une fonction définie, continue et dérivable sur R. Elle est paire et sa courbe représentative admet l’axe des ordonnées pour axe de symétrie; ch0 x = shx ∀x ∈ R. Donc sh est strictement croissante. Par ailleurs: ∀x ∈ R chx − shx = e −x > 0. Donc la courbe de ch est située au dessus de la courbe de sh; (remarquer que cette différence tend vers 0). 28/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Tangente hyperbolique Remarques La fonction th est impaire. Pour tout x ∈ R, on a 1 − th2 x = ch12 x On rencontre parfois la fonction cotangente hyperbolique qui est la 1 fonction thx (mais qui n’est pas définie en 0. Proposition: La fonction th est dérivable sur R et sa dérivée est donnée par : th0 (x) = 1 − th2 x = ch12 x Etude des variations. Il suffit d’étudier th sur [0, +∞[ puisqu’il s’agit d’une fonction impaire. La dérivée de th est ch12 donc th est strictement croissante sur R. 29/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Fonctions hyperboliques réciproques Réciproque de la fonction sinus hyperbolique La fonction sh est continue et strictement croissante sur R Définition : On appelle fonction argument sinus hyperbolique, et on note Argsh : R → R, x → Argshx l’application réciproque de la fonction sinus hyperbolique. Proposition: La fonction Argsh est dérivable sur R et 1 ∀x ∈ R Argsh0 (x) = √ 1 + x2 30/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Fonctions hyperboliques réciproques Réciproque de la fonction cosinus hyperbolique La fonction ch est continue et strictement croissante sur [0, +∞[ vers [1, +∞[. Définition : On appelle fonction argument cosinus hyperbolique, et on note Argch : [1, +∞[→ [0, +∞[, x → Argshx l’application réciproque de la fonction cosinus hyperbolique. Proposition: La fonction Argch est dérivable sur ]1, +∞[ et 1 ∀x ∈]1, +∞[ Argch0 (x) = √ x2 − 1 31/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Fonctions hyperboliques réciproques Réciproque de la fonction tangente hyperbolique La fonction th est continue et strictement croissante sur R. Définition : On appelle fonction argument tangente hyperbolique, et on note Argth :] − 1, 1[→ R, x → Argthx l’application réciproque de la fonction tangente hyperbolique. Proposition: La fonction Argth est dérivable sur ] − 1, 1[ et 1 ∀x ∈] − 1, 1[ Argth0 (x) = 1 − x2 32/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique ch(a + b) = ch a ch b + sh a sh b ch(a - b) = ch a ch b - sh a sh b sh(a + b) = sh a ch b + ch a sh b sh(a - b) = sh a ch b - ch a sh b Proposition: √ 1 Pour tout x ∈ R, on a : Argshx = ln(x + x 2 + 1) √ 2 Pour tout x ≥ 1, on a : Argchx = ln(x + x 2 − 1) 3 Pour tout x ∈] − 1, 1[, on a : Argthx = 21 ln( 1+x 1−x ). 33/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Polynôme de Taylor Soit n un entier. Soit f une fonction de R dans R, définie sur un intervalle ouvert I contenant un point a, dérivable n − 1 fois sur I, et dont la dérivée n-ième en a existe. On appelle polynôme de Taylor d’ordre n en a de f , le polynôme : f 0 (a) f 00 (a) f n (a) Pn (x) = f(a) + (x − a) + (x − a)2 +... + (x − a)n 1! 2! n! On appelle reste de Taylor d’ordre n en a de f, la fonction Rn (x) = f(x) − Pn (x) Définition : Soient I un intervalle ouvert, a un point de I et n un entier. On dit que f admet un développement limité d’ordre n en a lorsqu’il existe un polynôme Pn tel que le reste Rn soit négligeable devant ◦((x − a)n ) := (x − a)n ε(x). Remarque : Nous simplifierons les écritures en n’écrivant plus que des développements limités en 0. 34/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Taylor avec reste intégral Théorème : Soit n un entier et I un intervalle ouvert contenant 0. Soit f une fonction de classe C n+1 sur I (c’est-à-dire n+1 fois dérivable, de dérivée (n+1)-ième continue). Soit Rn son reste de Taylor d’ordre n en 0. x f (n+1) (t) Z Rn (x) = (x − t)n dt 0 n! Opérations sur les développements limités : Soient n un entier et I un intervalle ouvert contenant 0. Soient f et g deux fonctions définies sur I, admettant chacune un développement limité d’ordre n en 0. f (x) = Pn (x) + ◦(x n ) et g (x) = Qn (x) + ◦(x n ) 35/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique 1 Somme : f + g admet un développement limité en 0, dont le polynôme de Taylor est la somme de ceux de f et g. 2 Produit : f × g admet un développement limité en 0, dont le polynôme de Taylor est constitué des termes de degrés inférieurs ou égaux à n dans le produit Pn × Qn. 3 Composition : si f (0) = 0, alors g ◦ f admet un développement limité en 0, dont le polynôme de Taylor est constitué des termes de degrés inférieurs ou égaux à n dans le polynôme composé Qn ◦ Pn. 36/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Exemple : Soit f (x) = 1 − x − x 2 + ◦(x 2 ) et g (x) = 2x + x 2 + ◦(x 2 ), Alors f (x) + g (x) = 1 + x + ◦(x 2 ) , f (x)g (x) = 2x − x 2 + ◦(x 2 ), f ◦ g (x) = 1 − 2x − 5x 2 + ◦(x 2 ). Théorème : Soient n un entier et I un intervalle ouvert contenant 0. Soit f une fonction n - 1 fois dérivable sur I, dont la dérivée n-ième en 0 existe. Soit Pn son polynôme de Taylor d’ordre n, et Rn le reste. f (x) = Pn (x) + Rn (x), Rn (x) = ◦(x n ) 1) dérivation : la dérivée f 0 admet un développement limité d’ordre n-1 en 0, dont le polynôme de Taylor est la dérivée de celui de f. f 0 (x) = Pn0 (x) + ◦(x n−1 ) 2) intégration : toute primitive de f admet un développement limité d’ordre n + 1 en 0, dont le polynôme de Taylor est une primitive de celui de f. 37/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Exemple : Si f (x) = 1 − x + x 2 + ◦(x 2 ), et F est une primitive de f , alors : x2 x3 f 0 (x) = −1 + 2x + ◦(x) et F (x) = F (0) + x − + + ◦(x 3 ). 2 3 38/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Développement des fonctions usuelles : Tous les développement limités de cette section sont au voisinage de 0. Soit n un entier, α un réel. x x2 xn 1 ex = 1 + 1! + 2! +... + n! + ◦(x n ). 1 2 1−x = 1 + x + x 2 +.... + x n + ◦(x n ). 3 (1 + x)α = 1 + αx + α(α−1) 2 2! x +... + α(α−1)...(α−n+1) n n! x + ◦(x n ) x3 x5 (−1)n x 2n+1 4 sin(x) = x − 3! + 5! +... + (2n+1)! + ◦(x 2n+1 ) x2 x4 (−1)n x 2n 5 cos(x) = 1 − 2! + 4! +... + (2n)! + ◦(x 2n ) e x −e −x x3 x5 x 2n+1 6 sinh(x) = 2 =x+ 3! + 5! +... + (2n+1)! + ◦(x 2n+1 ) e x −e −x x2 x4 (−1)n x 2n 7 cosh(x) = 2 =1+ 2! + 4! +... + (2n)! + ◦(x 2n ) x2 x3 (−1)n x n+1 8 ln(x + 1) = x − 2! + 3! +... + (n+1)! + ◦(x n+1 ) 39/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Fonctions équivalentes : Soient f et g deux fonctions définies sur un voisinage de x0. f ∼ g (équivalentes au voisinage de x0 ) si et seulement si: f (x) − g (x) =x0 ◦(x) Exemple : Au voisinage de 0, on 1 sin(x) ∼ x, tan(x) ∼ x, ln(1+x) ∼ x, e x −1 ∼ x, −1 ∼ x. 1−x −1 x Exercice : Calculer la limite limx→0 (sinx) x x −1 Remarquons que : ∀x ∈]0, 1[, x x − 1 = e xlnx − 1 6= 0. Au voisinage de 0 on a : sinx ∼ x, on déduit ln(sinx) ∼ ln(x). On a aussi limx→0 xln(x) = 0, d’où sinx x − 1 e xln(sinx) − 1 xln(sinx) xlnx = ∼ ∼ = 1. xx − 1 e xlnx − 1 xlnx xlnx Finalement (sinx)x − 1 lim = 1. x→0 xx − 1 40/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Définition : Soient deux fonctions f et g définies sur le même sous-ensemble D. Le point M(t) = (f (t); g (t)) décrit un sous-ensemble (C ) du plan lorsque t varie dans D. Une représentation paramétrique d’une courbe (C ) est un système d’équations (C ) : {x = f (t); y = g (t)} Ces équations sont appelées équations paramétriques de (C ). On note parfois {x = x(t); y = y (t)}. Le domaine de définition D = Dx ∩ Dy Exemple : Trouvez le domaine de définition de la courbe t2 paramétrée : {x(t) = t−1 , y (t) = t 2 t−1 } Asymptotes : Asymptote verticale : On obtient une telle asymptote lorsque lim x(t) = a, avec a ∈ R t→t0 lim y (t) = ∞ t→t0 41/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique L’asymptote verticale est une droite qui a pour équation x = a. Si x(t) − a est positif, la courbe est à droite de l’asymptote, sinon elle est à gauche. La courbe coupe l’asymptote lorsque x(t) = a. Asymptote horizontale : Cette fois, x tend vers l’infini et y tend vers une valeur finie b lorsque t tend vers t0. lim x(t) = ∞, t→t0 lim y (t) = b t→t0 L’asymptote horizontale est une droite qui a pour quation y = b. Si y (t) − b est positif, la courbe est en dessus de l’asymptote, sinon elle est en dessous. La courbe coupe l’asymptote lorsque y (t) = b. 42/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Asymptote oblique : Une asymptote oblique ne peut exister que si x et y tendent tous deux vers l’infini lorsque t tend vers t0. lim x(t) = ∞, t→t0 lim y (t) = ∞ t→t0 La droite y = ax + b est une asymptote oblique si : y (t) lim = a, lim (y (t) − ax(t)) = b t→t0 x(t) t→t0 La position de la courbe est donnée par le signe de y (t) − ax(t) − b. Si cette expression est positive, la courbe est en dessus de l’asymptote, sinon, elle est en dessous. 43/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Dérivées et points particuliers: dy y 0 (t) dx = x 0 (t) Si x 0 (t0 ) 6= 0 et y 0 (t0 ) = 0, la courbe admet une tangente horizontale en M(t0 ). Si x 0 (t0 = 0 et y 0 (t0 6= 0, la courbe admet une tangente verticale en M(t0 ). Si x 0 (t0 = 0 et y 0 (t0 = 0, la courbe admet un point singulier en M(t0 ). 44/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1 Les Suites Limites des fonctions numériques de la variable réelle Fonctions Continues Fonctions dérivables Fonctions hyperbolique Exemple Etudier la courbe t2 x(t) = t −1 (1) t y (t) = 2 t −1 45/45 Prof :F. Fatima Ezzahra Cours de Géométrie et Algèbre S1