Subbab 4.2 Teorema Limit Fungsi PDF

Bab 4 Limit Teorema Limit Fungsi Subbab 4.2 Analisis I (SCMA602131) 1/15 TEOREMA LIMIT Analisis I (SCMA602131) 2/15  TEOREMA LIMIT Definisi 4.2.1 Misal f : A → R, A ⊆ R dan c ∈ R adalah suatu titik kluster dari A. Fungsi f dikatakan terbatas...

Bab 4 Limit Teorema Limit Fungsi Subbab 4.2 Analisis I (SCMA602131) 1/15 TEOREMA LIMIT Analisis I (SCMA602131) 2/15  TEOREMA LIMIT Definisi 4.2.1 Misal f : A → R, A ⊆ R dan c ∈ R adalah suatu titik kluster dari A. Fungsi f dikatakan terbatas pada lingkungan-δδ dari c jika terdapat suatu lingkungan-δ Vδ (c) dan konstanta M > 0 sedemikian sehingga berlaku |f (x)| ≤ M untuk semua x ∈ A ∩ Vδ (c). Teorema 4.2.2 Jika A ⊆ R dan f : A → R memiliki limit di c ∈ R, maka f terbatas pada persekitaran c. Analisis I (SCMA602131) 3/15 Bukti. Jika L := lim f , maka untuk ε = 1, ∃δ > 0 sehingga jika 0 < |x − c| < L, maka |f (x) − L| < 1. x→c Berdasarkan akibat 2.2.4 (a) diperoleh |f (x)| − |L| ≤ |f (x) − L| < 1 (1) sehingga, jika x ∈ A ∩ Vδ (c) dengan x ̸= c, maka |f (x)| ≤ |L| + 1. Jika c ∈/ A, pilih M = |L| + 1. Jika c ∈ A, pilih M := sup {|f (c)|, |L| + 1}. Dari pendefinisian M dan (1) dapat disimpulkan jika x ∈ A ∩ Vδ (c) maka |f (x)| ≤ M. ∴ Jika f memiliki limit di c ∈ R, maka f terbatas pada persekitaran c. Analisis I (SCMA602131) 4/15 Definisi 4.2.3 Misal f dan g adalah fungsi yang dipetakan dari A ⊆ R ke R. Penjumlahan f + g, selisih f − g dan perkalian fg yang dipetakan dari A ⊆ R adalah fungsi yang didefinisikan sebagai berikut (f + g)(x) := f (x) + g(x), (f − g)(x) := f (x) − g(x), (fg)(x) := f (x)g(x) untuk semua x ∈ A. Jika b ∈ R, perkalian bf didefinisikan sebagai (bf )(x) := bf (x) untuk x ∈ A Jika h(x) ̸= 0, untuk x ∈ A, pembagian f /h didefinisikan sebagai   f f (x) (x) := untuk x ∈ A. h h(x) Analisis I (SCMA602131) 5/15 Teorema 4.2.4 Misal f : A ⊆ R → R, dan c ∈ R adalah suatu titik kluster dari A. Jika lim f = L dan lim g = M, maka x→c x→c lim (f + g) = L + M, lim (f − g) = L − M x→c x→c lim (fg) = LM, lim (bf ) = bL, ∀b ∈ R x→c x→c Jika h : A → R dan h(x) ̸= 0 untuk semua x ∈ A, dan jika lim h = H ̸= 0, maka x→c f L lim = x→c h H Analisis I (SCMA602131) 6/15 Bukti. Similar dengan pembuktian Teorema 3.2.3. Remark. Misal f1 , f2 ,... , fn adalah fungsi yang dipetakan dari A ⊆ R ke R dan misal c adalah titik kluster dari A. Jika Lk := lim fk untuk k = 1,... , n, maka dengan Teorema 4.2.4 menggunakan x→c induksi matematika mengakibatkan L1 + L2 +... + Ln = lim (f1 + f2 +... + fn ) x→c L1 · L2 ·... · Ln = lim (f1 · f2 ·... · fn ) x→c Secara umum bisa disimpulkan jika L = lim f dan n ∈ N, maka Ln = lim (f (x))n. x→c x→c Analisis I (SCMA602131) 7/15 Contoh. 1. Diketahui lim x = c dan lim x2 = c2. Jika c > 0, maka dengan menggunakan teorema 4.2.4 x→c x→c 1 1 1 lim = = x→c x lim x c x→c 2 3 2. lim (x + 1)(x − 4) = 20. x→2 Dengan menggunakan teorema 4.2.4    2 3 2 3 lim (x + 1)(x − 4) = lim (x + 1) lim (x − 4) x→2 x→2 x→2 = 5 · 4 = 20 x3 − 4 4 3. lim =. x→2 x2 + 15 Dengan menggunakan teorema 4.2.4 (b) lim x3 − 4
x3 − 4 x→2 4 lim = = x→2 x2 + 1 lim (x2 + 1) 5 x→2 Analisis I (SCMA602131) 8/15 Contoh. x2 − 4 4 4. lim =. x→2 3x − 6 3 Jika dimisalkan f (x) := x2 − 4 dan h(x) := 3x − 6 untuk x ∈ R, maka teorema 4.2.4 (b) tidak dapat digunakan untuk menghitung lim (f (x)/h(x)) karena x→2 H = lim h(x) = lim (3x − 6) = 0 x→2 x→2 Akan tetapi jika x ̸= 2, diperoleh x2 − 4 (x − 2)(x + 2) 1 = = (x + 2) 3x − 6 3(x − 2) 3 Sehingga, x2 − 4 1 1 4 lim = lim (x + 2) = lim (x + 2) = x→2 3x − 6 x→2 3 3 x→2 3 x2 − 4 Catatan. fungsi g(x) = memiliki limit di x = 2 meskipun g(2) tidak terdefinisi. 3x − 6 Analisis I (SCMA602131) 9/15 Teorema 4.2.6 Misal f : A ⊆ R → R, dan c ∈ R adalah suatu titik kluster dari A. Jika a ≤ f (x) ≤ b untuk semua x ∈ A, x ̸= c dan jika lim f ada, maka a ≤ lim f (x) ≤ b. x→c x→c Bukti. Misal L := lim f. Berdasarkan Teorema 4.1.8 jika (xn ) adalah sebarang barisan yang konver- x→c
gen ke c dengan c ̸= xn untuk semua n ∈ N, maka barisan f (xn ) konvergen ke L. Karena a ≤ f (x) ≤ b, berdasarkan teorema 3.2.6 berlaku a ≤ L ≤ b. Teorema 4.2.7 (Teorema Apit) Misal f , g, h : A ⊆ R → R, dan c ∈ R adalah suatu titik kluster dari A. Jika f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk semua x ∈ A, x ̸= c dan jika lim f = L = lim h, maka lim g = L. x→c x→c x→c Analisis I (SCMA602131) 10/15 Contoh. 5. lim x3/2 = 0(x > 0). x→0 Misal f (x) := x3/2 untuk x > 0. Karena pertidaksamaan x ≤ x1/2 ≤ 1 berlaku untuk 0 < x ≤ 1, maka x2 ≤ f (x) = x3/2 ≤ x untuk 0 < x ≤ 1. Karena lim x2 = 0 dan lim x = 0 x→0 x→0 berdasarkan teorema apit 4.2.7 diperoleh lim x3/2 = 0. x→0 6. lim sin x = 0. x→0 Diketahui −x ≤ sin ≤ x untuk x ≥ 0 (Pembuktian pertidaksamaan diatas terdapat pada teorema 8.4.8) Karena lim (±x) = 0, berdasarkan teorema apit 4.2.7 diperoleh lim sin x = 0. x→0 x→0 Analisis I (SCMA602131) 11/15 Contoh.  cos x − 1 7. lim = 0. x→0 x   Pembuktian limit diatas tidak bisa menggunakan teorema 4.2.2 (b) karena lim x = 0. x→0 Karena 1 1 − x2 ≤ cos x ≤ 1 untuk semua x ∈ R 2 (pembuktian pertidaksamaan diatas terdapat pada teorema 8.4.8), diperoleh 1 − x ≤ (cos x − 1)/x ≤ 0 untuk x > 0 2 dan 1 0 ≤ (cos x − 1)/x ≤ − x untuk x < 0 2 Misal f (x) := −x/2 untuk x ≥ 0 , f (x) := 0 untuk x < 0, h(x) := 0 untuk x ≥ 0 dan h(x) := −x/2 untuk x < 0. Diperoleh f (x) ≤ (cos x − 1)/x ≤ h(x) untuk x ̸= 0. Karena lim f = 0 = lim h, dengan menggunakan teorema apit diperoleh lim (cos x − 1)/x = 0. x→0 x→0 x→0 Analisis I (SCMA602131) 12/15 Contoh. 8. lim (x · sin(1/x)). x→0 Misal f (x) = (x · sin(1/x)) untuk x ̸= 0. Karena −1 ≤ sin(z) ≤ 1 untuk semua z ∈ R, diperoleh −|x| ≤ f (x) = x · sin(1/x) ≤ |x| untuk semua x ∈ R, x ̸= 0. Karena lim |x| = 0, berdasarakan teorema apit diperoleh x→0 lim f (x) = lim (x · sin(1/x)) = 0 x→0 x→0 Analisis I (SCMA602131) 13/15 Teorema 4.2.9 Misal f : A ⊆ R → R, dan c ∈ R adalah suatu titik kluster dari A. Jika lim f > 0, x→c maka terdapat suatu persekitaran Vδ (c) dari c sedemikian sehingga f (x) > 0 untuk semua x ∈ A ∩ Vδ (c), x ̸= c. Bukti. 1 Misal L := lim f , L > 0. Dengan menggunakan definisi 4.1.4 dan memilih ε = L > 0 x→c 2 1 didapatkan δ > 0 sehingga jika 0 < |x − c| < δ dan x ∈ A, maka |f (x) − L| < L. Berlaku jika 2 x ∈ A ∩ Vδ (c), maka 1 1 − L < f (x) − L < L 2 2 1 f (x) > L 2 Untuk kasus L < 0, argumen yang serupa berlaku. Analisis I (SCMA602131) 14/15 Robert G. Bartle & Donald R. Sherbert, 2000, Introduction to Real Analysis, edisi 4, John Wiley & Sons, Inc. Daftar Pustaka Analisis I (SCMA602131) 15/15