La Mesure de Lebesgue sur (0,1) PDF

# La mesure de Lebesgue sur (0,1) ## Définitions - **Définition 1:** Si (a,b) est un ouvert de (0,1) on a fait que a ∈ (0,1), b ∈ (0,1) et (a,b) = b-a. - **Définition 2:** Soit I un ouvert de (0,1) et soit réunion de ses composantes connexes. - **Définition 3:** - Ω = ∪_i∈I D<sub>i</...

# La mesure de Lebesgue sur (0,1) ## Définitions - **Définition 1:** Si (a,b) est un ouvert de (0,1) on a fait que a ∈ (0,1), b ∈ (0,1) et (a,b) = b-a. - **Définition 2:** Soit I un ouvert de (0,1) et soit réunion de ses composantes connexes. - **Définition 3:** - Ω = ∪_i∈I D_i, composante connexe de I. - Les composantes connexes D_i sont ouvertes. - D_i = (a_i, b_i[, avec a_i < b_i. ## Propriétés - ∑_i∈I (b_i-a_i) ≤ 1, donc ∑_i∈I |b_i-a_i| est sommable. - Donc, I est au plus dénombrable. - On pose l(I) = ∑_i∈I l(D_i) = ∑_i∈I (b_i-a_i) ## Définitions - On sait définir la longueur de tout ouvert - Si F ⊂ (0,1) et est fermé alors A = (0,1[-F est ouvert - On pose l(F) = 1 - l((0,1[-F) - E ⊂ (0,1) est mesurable au sens de Lebesgue si - ∀ ε > 0 , ∃ F fermé Froment F ⊂ E ⊂ (0,1) tq l((0,1[-F) ≤ ε. - On pose: l(E) = sup {l(F)} = inf {l(A)} - F ⊂ E - A ⊂ E - F fermé - A ouvert ## Propriétés - Soit Ω un ouvert du (0,1), (Ω est un ouvert) - xRy si x ∈ (Ω,y) ∈ (Ω) ∈ (Ω) ∈ (Ω) - xRy est une relation d’équivalence. - Soit I l’ensemble des classes d’équivalence. - ∀x∀y ∈ I => [x,y] ⊂ I. - Donc, ∀x∀y ∈ I => [x,y] est un intervalle ouvert. - ∀x ∈ I, ∃δ > 0, tq x-δ, x+δ ⊂ (Ω) - Donc, ∀x ∈ I, ∃ δ>0, (x-δ,x+δ] ⊂ (Ω) - Donc, ∀x ∈ I, (x,y) ∈ I. - Si Ω = ∪_i∈I D_i, réunion disjointe - D_i = (a_i, b_i] avec a_i < b_i ## Propriétés - Par définition: l(Ω) = ∑_i∈I l(D_i) = ∑_i∈I (b_i-a_i) ## Propriétés - l(Ω) ≤ 1 car VA finie et ∀ A ∈ (Ω) , ∑_λeA l(λ) ≤ 1. - En particulier, I est dénombrable. ## Propriétés - Ω ⊂ *Ω* ⊂(0,1) et *Ω* est l’ouvert - Alors: l(Ω) ≤ l(*Ω*) (∀i ∈ I, ∃! i’ ⊂ I tq h_i < i’ et h_i < i). - ∀ i ∈ I, ∀ y ∈ (y-δ,y’] ⊂ *Ω* , l(y-δ,y) ≤ l(*Ω*) - Donc, ∑_i∈I l(D_i) = ∑_i∈I ∑<sub>y∈(y-δ,y’]} l(y-δ,y) ≤ ∑_i∈I l(*Ω*) - l(Ω) ≤ l(*Ω*) - Fubini–Tonelli ## Propriétés - Soit ℓ et *ℓ* deux ouverts de (0,1) et ℓ ⊂ *ℓ*. - Alors: l(ℓ ∪ *ℓ*) = l(ℓ) + l(*ℓ*) ## Rappel - K compact ⇒ Pour tout recouvrement par des ouverts {ℓ_i}_i∈I de K - K ⊂ U_i∈I ℓ_i - On peut extraire un sous-recouvrement fini - K ⊂ R est compact ⇒ ∃ A ⊂ I fini , K ⊂ ∪_i∈A ℓ_i - K ⊂ (0,1) est compact ⇒ K est fermé et borné. - K est fermé dans R - ∀ ε > 0 K est formé dans (0,1) et contenu dans (ε,1-ε]. - Par définition: Si F est fermé dans (0,1) - On pose l(F) = 1 - l((0,1[-F) ## Lemme 1 - Soit I un ouvert du (0,1) - on pose l(I) = sup{l(K), K compact K ⊂ (Ω)} ## Lemme 2 - Soit {ℓ_j}_j∈N une suite croissante d'ouverts et Ω = ∪_j∈N ℓ_j. Alors, l(Ω) = lim_j→∞ l(ℓ_j) ## Preuve - Pour tout j : ℓ_j ⊂ Ω ⇒ l(ℓ_j) ≤ l(Ω) - ∃ lim_j→∞ l(ℓ_j) ≤ l(Ω) - ∃ lim_j→∞ l(ℓ_j) ≤ l(Ω) ## Preuve - Soit K compact ⊂ Ω - K ⊂ (∪_j∈N ℓ_j) ⇒ ∃ j, K ⊂ ℓ_j - ⇒ l(K) ≤ l(ℓ_j) ≤ lim_j→∞ l(ℓ_j) - ⇒ l(K) ≤ lim_j→∞ l(ℓ_j) - c.q.f.d ## Lemme 3 1. Ω₁ ∪ Ω₂ et ouverts, l(Ω₁ ∪ Ω₂) = l(Ω₁) + l(Ω₂) - l(Ω₁∩Ω₂). 2. F₁ et F₂ fermés, l(F₁∪ F₂) = l(F₁) + l(F₂) - l(F₁∩F₂). 3. Ω ⊂ *Ω* et *Ω* fermé, l(Ω) - l(*Ω*) ≥ 0 ## Si vrai 1. F ⊂ Ω, Ω’ = (0,1[-F Ω ∪ Ω’ = (0,1) - l(Ω ∪ Ω’) = l(Ω) + l(Ω’) - l(Ω) + l(Ω’) = l(Ω) + l((0,1)-F) - l(Ω) + 1 - l(F) = l(Ω) + 1 = 1 + l(Ω - F) ## Preuve - On pose Ω = ∪_j∈N D_j, D_j = (a_i, b_i] On numérote les éléments de I : I = ℕ. - On pose Ω’ = ∪_j∈N D_j+1. - Par suite, Ω’ est contenu dans Ω. - Ω’ = ∪_j∈N D_j+1 = Ω₁ - De même: Ω₂ = ∪_j∈N D_2j - Ω₁ ∪ Ω₂ = (∪_j∈N D_j) ∪ (∪_j∈N D_2j). - Ω₁ ∩ Ω₂ = (∪_j∈N D_j)∩ (∪_j∈N D_2j) ## Preuve - Supposons que nous avons démontré si les ouverts sont réunion finie d’intervalles ouverts disjoints. - ∀n , l(Ω₁ ∪ Ω₂) + l(Ω₁ ∩ Ω₂) = l(Ω₁ ∪ Ω₂) + l(Ω₁ ∩ Ω₂) - l(Ω₁ ∪ Ω₂) + l(Ω₁ ∩ Ω₂) = l(Ω₁ ∪ Ω₂) + l(Ω₁ ∩ Ω₂) - On va démontrer le 1 quand Ω₁ = ∪_j∈N D_j, Ω₁ = ∪_j∈N D_j - Par récurrence sur N - quand Ω₁ = ∪_j=1^N D_j, Ω₁ = ∪_j=1^N D_j - Maintenant suppose que c’est vrai ∀M pour N = 1, … , d-1 - On apparoons N=d - l(Ω₁∪Ω₂) = l(∪_j=1^d D_j ∪ ∪_j=1^d D_j) = l(∪_j=1^d-1 D_j ∪ ∪_j=1^d-1 D_j) + l (D_d ∪ D_d) - = … = l(Ω₁∪Ω₂) + l(Ω₁∪Ω₂) - l(Ω₁∩Ω₂) - Reste à voir que c’est vrai pour N ≥ 1, ym par récurrence sur N. ## Définition - On dit qu’une partie E de (0,1) est mesurable si - ∀ ε > 0, ∃ F fermé Froment F ⊂ E ⊂ (0,1) et ∀ A ouvert l(A)-l(F) ≤ ε. - On pose: l(E) = sup {l(F)}, F formé F ⊂ E} = inf {l(A)}, A ouvert E ⊂ A} ## Baguettes 1. E et E’ sont mesurables ⇒ E ⊂ E’, l(E) ≤ l(E’) 2. Les ouverts sont mesurables (lemme 4) - l(Ω) = sup {l(K)}, K compact K ⊂ Ω} 3. Si E est mesurable E’ = (0,1[-E est mesurable et l(E’) = 1 - l(E) ## Lemme 4 - Si E₁ et E₂ sont mesurables, alors E₁∪E₂ est mesurable. - S’il plus, E₁∩E₂ = ∅, alors l(E₁∪E₂) = l(E₁) + l(E₂) ## Preuve - ∃ε > 0 F₁ ⊂ E₁ ⊂ Ω₁, l(Ω₁)-l(F₁) ≤ ε ⇒ l(Ω₁) ≤ l(F₁) + ε - F₂ ⊂ E₂ ⊂ Ω₂ , l(Ω₂ - l(F₂) ≤ ε ⇒ l(Ω₂) ≤ l(F₂) + ε - (F₁∪F₂) ⊂ (E₁∪E₂) ⊂ Ω₁∪Ω₂ - l(Ω₁∪Ω₂) - l(F₁∪F₂) = l(Ω₁) + l(Ω₂) - l(Ω₁∩Ω₂) - = -(l(F₁) + ε) + (l(F₂) + ε) - l(Ω₁∩Ω₂) - = -(l(F₁) + ε) + (l(F₂) + ε) - l(F₁∩F₂) - = (l(Ω₁)- ε) - (l(F₁∩ F₂)) ≤ 2ε, - cqfd: E₁∪E₂ est mesurable. - Si F₁∩F₂ = ∅ ⇒ l(F₁∪F₂) = l(F₁) + l(F₂) - Si F₁∩F₂ = ∅ ⇒ l(F₁∪F₂) = l(F₁) + l(F₂) + ε ≤ l(E₁) + ε + l(E₂) + ε - l(E₁∪E₂) ≥ l(F₁∪F₂) ≥ l(E₁) + l(E₂) - 2ε - D’où l’égalité: l(E₁∪E₂) = l(E₁) + l(E₂) ## Conséquence 1. Si E₁ et E₂ sont mesurables, E₁∩E₂ = (E₁∪E₂)^C est mesurable. 2. Si E₁, … , E_N sont mesurables. - E = ∪_i=1^N E_i, est mesurable. - (l(E) ≤ ∑_i=1^N l(E_i) - Si les E_i sont deux à deux disjoints alors, l(E) = ∑_i=1^N l(E_i) 3. Si E₁ et E₂ sont mesurables, l(E₁∪E₂) + l(E₁∩E₂) = l(E₁) + l(E₂) - Raisonner sur le diagramme - E₁ = E₁∩E₂ - E₂ = E₂∩E₂ - E₁∩E₂ ## Lemme 5 - Soit {C_j}_j∈N, C₁ ⊂ C₂ ⊂ … une suite croissante de parties mesurables de (0,1). - Alors E = ∪_j∈N C_j est mesurable et l(E) = lim_j→∞ l(C_j) ## Preuve 1. ∃ F_j ⊂ C_j ⊂ &_j, l(ℓ_j)-l(F_j) ≤ ε ≤ 2^j ε 2. Posons, F₁∪F₂∪…∪F_n = F_n ∪ (∪_j=1^n-1 (F_j-F_j-1)) - F_n ⊂ E ⊂ ℓ_n - l(ℓ_n) ≤ l(F_n) + l(∪_j=1^n-1 (F_j-F_j-1)) ≤ l(ℓ_n) + ∑_j=1^n-1 l(F_j-F_j-1) - l(ℓ_n) ≤ l(F_n) + ε + ε … + ε - l)ℓ_n) - l(F_n) ≤ ε + ε … + ε ≤ ∑_j=1ⁿ 2_jε ≤ 2ε - l(F_n) 3. Posons, Ω = ∪_j∈N ℓ_j - E = ∪_j∈N F_j - ∀n, F_n ⊂ E ⊂ ℓ_n - ℓ_n, est une suite croissante d’ouverts, de réunion ℓ_n. - Donc, lim_n→∞l(ℓ_n) = l(Ω) - ⇒ ∀N, l(ℓ_N) ≤ l(Ω) - ⇒ ∀N, l(F_N) ≤ l(Ω) ≤ l(ℓ_N) + 2ε. - ⇒ ∀N, ∀j ≥ N, l(F_j) ≤ l(Ω). - ∀ Y_j ≤ E ⊂ ε_j ⇒ l(E_j) ≤ l(E) ⇒ lim_j→∞ l(E_j) ≤ l(E) - ⇒ l(E) ≤ l(Ω) ≤ l(F_N) + 2ε ≤ l(E_N) + 2ε ≤ lim_n→∞ l(E_N) + 2ε ≤ l(E) + 2ε ## Théoreme - Si {E_i}_i∈N, une suite de parties mesurales dans [0,1[. - Alors: 1. E = ∪_i∈N E_i est mesurable. 2. l(E) ≤ ∑_i∈N l(E_i) 3. Si les E_i sont 2 à 2 disjoints alors l(E) = ∑_i∈N l(E_i) ## Preuve - On sait déjà 1), 2), et 3) pour les réunions finies. - Losons É'_n = ∪_i=1ⁿ E_i - Alors E'_n est mesurable la suite E'_n est croissante et E = ∪_n∈N E'_n - Donc E est mesurable et l(E) = lim_n→∞, l(E'_n) - Or l(E'_n) ≤ ∑_i=1ⁿ l(E_i) - l et l’égalité si les E_i sont 2 à 2 disjoints. - cqfd. ## Preuve - On peut faire ce que l’on vient de faire vor tout intervalle [a,b]. ## Définition - E ⊂ IR est mesurable au sens de Lebesgue si - ∀ n ∈ ℤ, E∩ [n, n+1[ est mesurable - On pose: l(E) = ∑_n=-∞^+∞ ((E∩[n.n+1]) ∈ R+ = [0,+∞) ## Théoreme 1. E est menuralle ⇒ E^C = IR - E est mesurable. ## Tribu 2. Si {E_i}_i∈N famille denombrable de parties memuralli alors ∪_i∈N E_i est menuralle 3. Les overts sont menuralle ## Memre 4. l(Ф) = 0 5. ℓ(E) ≥ 0 - Si {E_i}_i∈N famille denombrable de mesurables 2 à 2 disjoints l(∪_i∈N E_i) = Σ_i∈N l(E_i) - appliquer Fubini- Tonelli.