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Questions and Answers
Qu'est-ce qu'un ouvert de (0,1)?
Qu'est-ce qu'un ouvert de (0,1)?
Un intervalle (a,b) où a et b sont des éléments de (0,1) tels que (a,b) = b-a.
Comment définit-on la longueur d'un ouvert I?
Comment définit-on la longueur d'un ouvert I?
l(I) = ∑i∈I (bi-ai).
La longueur d'un ouvert Ω est toujours inférieure ou égale à 1.
La longueur d'un ouvert Ω est toujours inférieure ou égale à 1.
True
Qu'est-ce qui définit une partie E comme mesurable au sens de Lebesgue?
Qu'est-ce qui définit une partie E comme mesurable au sens de Lebesgue?
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Si E et E’ sont mesurables, alors E ⊂ E’ implique l(E) ≤ l(E’).
Si E et E’ sont mesurables, alors E ⊂ E’ implique l(E) ≤ l(E’).
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Si F est fermé, alors l(F) = 1 - l((0,1[-F).
Si F est fermé, alors l(F) = 1 - l((0,1[-F).
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Quelle est la relation entre deux ouverts Ω1 et Ω2?
Quelle est la relation entre deux ouverts Ω1 et Ω2?
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Quel est le critère de compacité pour un ensemble K dans (0,1)?
Quel est le critère de compacité pour un ensemble K dans (0,1)?
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Quelle est la formule pour la longueur d'un ouvert Ω contenant des composantes disjointes?
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Quelle est la caractéristique principale des composantes connexes Di dans l'ensemble I?
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Qu'est-ce qui garantit que l'ensemble I est au plus dénombrable?
Qu'est-ce qui garantit que l'ensemble I est au plus dénombrable?
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Comment est définie la longueur d'un ensemble E mesurable au sens de Lebesgue?
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Quelle relation d'équivalence est impliquée pour les éléments d'I?
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Si F ⊂ E ⊂ (0,1), quel est le critère pour que E soit mesurable au sens de Lebesgue?
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Si K est un ensemble compact dans (0,1), laquelle des affirmations suivantes est vraie concernant K et les ouverts qui le recouvrent?
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Quelle relation établit le lemme 3 concernant les longueurs d'ouverts et fermés?
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Quelle condition est nécessaire pour que l'ensemble K soit considéré comme compact dans R?
Quelle condition est nécessaire pour que l'ensemble K soit considéré comme compact dans R?
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Que peut-on déduire du fait qu'une suite croissante d'ouverts {ℓj} satisfait l(Ω) = limj→∞ l(ℓj)?
Que peut-on déduire du fait qu'une suite croissante d'ouverts {ℓj} satisfait l(Ω) = limj→∞ l(ℓj)?
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Lorsqu'une partie F est fermée dans (0,1), quelle est la relation entre la longueur de F et l'intervalle (0,1) - F?
Lorsqu'une partie F est fermée dans (0,1), quelle est la relation entre la longueur de F et l'intervalle (0,1) - F?
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Study Notes
La mesure de Lebesgue sur (0,1)
- La mesure de Lebesgue est une généralisation de la notion de longueur pour les ensembles de nombres réels compris entre 0 et 1.
- La mesure de Lebesgue est définie pour les ensembles mesurables au sens de Lebesgue.
- Un ensemble est mesurable au sens de Lebesgue s’il peut être approché “par le haut” par des ensembles ouverts et “par le bas” par des ensembles fermés.
- Pour tout ensemble mesurable E, il existe une mesure de Lebesgue l(E) qui représente sa longueur généralisée.
Définitions
- Un ouvert de (0,1) est un ensemble qui peut être écrit comme une réunion d’intervalles ouverts.
- La longueur d’un ouvert est définie comme la somme des longueurs de ses composantes connexes.
- La longueur d’un fermé est définie comme le complémentaire de la longueur de son ouvert complémentaire.
- Un ensemble E est mesurable au sens de Lebesgue si pour tout ε > 0, il existe un ensemble fermé F et un ensemble ouvert A tels que F ⊂ E ⊂ A et la différence entre les longueurs de A et F est inférieure à ε.
Propriétés de la mesure de Lebesgue
- La mesure de Lebesgue est une fonction non négative et monotone.
- La mesure de Lebesgue est additive pour les ensembles mesurables disjoints.
- La mesure de Lebesgue est invariante par translation.
- La mesure de Lebesgue est σ-additive.
- La mesure de Lebesgue est une mesure complète.
Lemmes clés
- Lemme 1: La longueur d’un ouvert est égale à la borne supérieure des longueurs des ensembles compacts contenus dans l’ouvert.
- Lemme 2: La longueur d’une réunion croissante d’ouverts est égale à la limite de la longueur des ouverts.
- Lemme 3: La mesure de Lebesgue satisfait la propriété de sous-additivité pour les unions finies d’ensembles mesurables.
- Lemme 4: Les ouverts et les fermés sont mesurables.
Propriétés supplémentaires
- La mesure de Lebesgue est une mesure complète.
- La mesure de Lebesgue est une mesure régulière.
- La mesure de Lebesgue est une mesure borélienne.
Théorèmes clés
- Théorème de Fubini-Tonelli: Le théorème de Fubini-Tonelli permet de calculer l’intégrale d’une fonction sur un produit d’espaces mesurables en termes d’intégrales itérées.
- Théorème de Radon-Nikodym: Le théorème de Radon-Nikodym établit une relation entre les mesures finiment additives et les mesures σ-additives.
Applications de la mesure de Lebesgue
- La mesure de Lebesgue a de nombreuses applications en mathématiques, y compris :
- La théorie de la probabilité.
- L’analyse fonctionnelle.
- La théorie de la mesure.
- La théorie des processus stochastiques.
- La théorie ergodique.
Mesure de Lebesgue sur (0,1)
- La mesure de Lebesgue est définie sur l'intervalle ouvert (0,1).
Définitions
- La longueur d'un intervalle ouvert (a,b) est b-a.
- Un ouvert I de (0,1) est une réunion de ses composantes connexes.
- Les composantes connexes sont ouvertes.
- Chaque composante connexe Di peut être représentée par (ai, bi[ avec ai < bi.
Propriétés
- La somme des longueurs des composantes connexes d'un ouvert I est finie et inférieure à 1.
- La mesure de Lebesgue d'un ouvert I, notée l(I), est la somme des longueurs de ses composantes connexes.
Définitions
- La mesure de Lebesgue d'un fermé F de (0,1) est définie comme 1 moins la mesure de Lebesgue de son complémentaire.
- Un ensemble E est mesurable au sens de Lebesgue si pour tout ε>0 il existe un fermé F et un ouvert A tels que F ⊂ E ⊂ A et la mesure de Lebesgue de A moins la mesure de Lebesgue de F est inférieure ou égale à ε.
- La mesure de Lebesgue d'un ensemble mesurable est définie comme la borne supérieure des mesures de Lebesgue des fermés contenus dans l'ensemble.
Propriétés
- La mesure de Lebesgue d'un ouvert est inférieure ou égale à 1.
- La mesure de Lebesgue d'un ouvert est inférieure ou égale à la mesure de Lebesgue de son adhérence.
- La mesure de Lebesgue d'une union d'ouverts disjoints est égale à la somme des mesures de Lebesgue de ces ouverts.
Rappel
- Un compact de R est un ensemble fermé et borné.
- Un compact de (0,1) est un fermé de R contenu dans un intervalle fermé de (0,1).
Lemme 1
- La mesure de Lebesgue d'un ouvert est la borne supérieure des mesures de Lebesgue des compacts contenus dans l'ouvert.
Lemme 2
- La mesure de Lebesgue d'une suite croissante d'ouverts converge vers la mesure de Lebesgue de leur réunion.
Lemme 3
- La mesure de Lebesgue d'une union d'ouverts ou de fermés est égale à la somme des mesures de Lebesgue de ces ensembles moins la mesure de Lebesgue de leur intersection.
Définition
- Un ensemble E de (0,1) est mesurable si pour tout ε>0 il existe un fermé F et un ouvert A tels que F ⊂ E ⊂ A et la mesure de Lebesgue de A moins la mesure de Lebesgue de F est inférieure ou égale à ε.
Baguettes
- Si E et E' sont deux ensembles mesurables et E ⊂ E', alors la mesure de Lebesgue de E est inférieure ou égale à la mesure de Lebesgue de E'.
- Les ouverts sont mesurables.
- Si E est mesurable, alors son complémentaire est mesurable et la mesure de Lebesgue du complémentaire est égale à 1 moins la mesure de Lebesgue de E.
Lemme 4
- Si E1 et E2 sont deux ensembles mesurables, alors leur union est mesurable.
- Si de plus, E1 et E2 sont disjoints, alors la mesure de Lebesgue de leur union est égale à la somme des mesures de Lebesgue de E1 et E2.
Conséquence
- Si E1 et E2 sont deux ensembles mesurables, alors leur intersection est mesurable.
- Si E1, … , EN sont des ensembles mesurables, alors leur union est mesurable et la mesure de Lebesgue de l'union est inférieure ou égale à la somme des mesures de Lebesgue des Ei.
- Si de plus, les Ei sont disjoints, alors la mesure de Lebesgue de l'union est égale à la somme des mesures de Lebesgue des Ei.
Lemme 5
- La mesure de Lebesgue d'une suite croissante d'ensembles mesurables converge vers la mesure de Lebesgue de leur réunion.
Théorème
- Si {Ei}i∈N est une suite d'ensembles mesurables dans [0,1[, alors leur union est mesurable et la mesure de Lebesgue de l'union est inférieure ou égale à la somme des mesures de Lebesgue des Ei.
- Si de plus, les Ei sont disjoints, alors la mesure de Lebesgue de l'union est égale à la somme des mesures de Lebesgue des Ei.
Définition
- Un ensemble E de IR est mesurable au sens de Lebesgue si pour tout entier n, l'intersection de E avec l'intervalle semi-ouvert [n, n+1[ est mesurable.
Théorème
- Si E est mesurable, alors le complémentaire de E est mesurable.
Tribu
- La tribu de Lebesgue sur IR est l'ensemble de tous les ensembles mesurables au sens de Lebesgue.
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Description
Ce quiz explore la mesure de Lebesgue, une généralisation de la notion de longueur pour les ensembles de nombres réels entre 0 et 1. Il couvre les définitions essentielles, les ensembles mesurables et les propriétés des ouverts et des fermés. Testez vos connaissances sur ce concept fondamental en analyse réelle.
