Mesure de Lebesgue sur (0,1)
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Mesure de Lebesgue sur (0,1)

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Questions and Answers

Qu'est-ce qu'un ouvert de (0,1)?

Un intervalle (a,b) où a et b sont des éléments de (0,1) tels que (a,b) = b-a.

Comment définit-on la longueur d'un ouvert I?

l(I) = ∑i∈I (bi-ai).

La longueur d'un ouvert Ω est toujours inférieure ou égale à 1.

True

Qu'est-ce qui définit une partie E comme mesurable au sens de Lebesgue?

<p>E est mesurable si pour tout ε &gt; 0, il existe un F fermé tel que F ⊂ E ⊂ (0,1) et l((0,1)-F) ≤ ε.</p> Signup and view all the answers

Si E et E’ sont mesurables, alors E ⊂ E’ implique l(E) ≤ l(E’).

<p>True</p> Signup and view all the answers

Si F est fermé, alors l(F) = 1 - l((0,1[-F).

<p>true</p> Signup and view all the answers

Quelle est la relation entre deux ouverts Ω1 et Ω2?

<p>l(Ω1 ∪ Ω2) = l(Ω1) + l(Ω2) - l(Ω1∩Ω2).</p> Signup and view all the answers

Quel est le critère de compacité pour un ensemble K dans (0,1)?

<p>K est compact si il est fermé et borné.</p> Signup and view all the answers

Quelle est la formule pour la longueur d'un ouvert Ω contenant des composantes disjointes?

<p>l(Ω) = sup{l(K), K compact K ⊂ (Ω)}</p> Signup and view all the answers

Quelle est la caractéristique principale des composantes connexes Di dans l'ensemble I?

<p>Elles sont de la forme (a<sub>i</sub>, b<sub>i</sub>].</p> Signup and view all the answers

Qu'est-ce qui garantit que l'ensemble I est au plus dénombrable?

<p>La somme des longueurs est limitée à 1.</p> Signup and view all the answers

Comment est définie la longueur d'un ensemble E mesurable au sens de Lebesgue?

<p>l(E) = sup {l(F)} quand F est fermé.</p> Signup and view all the answers

Quelle relation d'équivalence est impliquée pour les éléments d'I?

<p>Chaque paire d'éléments d'I peut être reliée par un intervalle ouvert.</p> Signup and view all the answers

Si F ⊂ E ⊂ (0,1), quel est le critère pour que E soit mesurable au sens de Lebesgue?

<p>Pour tout ε &gt; 0, l((0,1) - F) doit être inférieur ou égal à ε.</p> Signup and view all the answers

Si K est un ensemble compact dans (0,1), laquelle des affirmations suivantes est vraie concernant K et les ouverts qui le recouvrent?

<p>K peut être extrait de tout recouvrement d'ouverts par un sous-recouvrement fini.</p> Signup and view all the answers

Quelle relation établit le lemme 3 concernant les longueurs d'ouverts et fermés?

<p>l(Ω<sub>1</sub> ∪ Ω<sub>2</sub>) = l(Ω<sub>1</sub> + Ω<sub>2</sub>) - l(Ω<sub>1</sub> ∩ Ω<sub>2</sub>)</p> Signup and view all the answers

Quelle condition est nécessaire pour que l'ensemble K soit considéré comme compact dans R?

<p>K doit être fermé et borné.</p> Signup and view all the answers

Que peut-on déduire du fait qu'une suite croissante d'ouverts {ℓj} satisfait l(Ω) = limj→∞ l(ℓj)?

<p>Ω a une longueur finie.</p> Signup and view all the answers

Lorsqu'une partie F est fermée dans (0,1), quelle est la relation entre la longueur de F et l'intervalle (0,1) - F?

<p>l(F) + l((0,1) - F) = 1</p> Signup and view all the answers

Study Notes

La mesure de Lebesgue sur (0,1)

  • La mesure de Lebesgue est une généralisation de la notion de longueur pour les ensembles de nombres réels compris entre 0 et 1.
  • La mesure de Lebesgue est définie pour les ensembles mesurables au sens de Lebesgue.
  • Un ensemble est mesurable au sens de Lebesgue s’il peut être approché “par le haut” par des ensembles ouverts et “par le bas” par des ensembles fermés.
  • Pour tout ensemble mesurable E, il existe une mesure de Lebesgue l(E) qui représente sa longueur généralisée.

Définitions

  • Un ouvert de (0,1) est un ensemble qui peut être écrit comme une réunion d’intervalles ouverts.
  • La longueur d’un ouvert est définie comme la somme des longueurs de ses composantes connexes.
  • La longueur d’un fermé est définie comme le complémentaire de la longueur de son ouvert complémentaire.
  • Un ensemble E est mesurable au sens de Lebesgue si pour tout ε > 0, il existe un ensemble fermé F et un ensemble ouvert A tels que F ⊂ E ⊂ A et la différence entre les longueurs de A et F est inférieure à ε.

Propriétés de la mesure de Lebesgue

  • La mesure de Lebesgue est une fonction non négative et monotone.
  • La mesure de Lebesgue est additive pour les ensembles mesurables disjoints.
  • La mesure de Lebesgue est invariante par translation.
  • La mesure de Lebesgue est σ-additive.
  • La mesure de Lebesgue est une mesure complète.

Lemmes clés

  • Lemme 1: La longueur d’un ouvert est égale à la borne supérieure des longueurs des ensembles compacts contenus dans l’ouvert.
  • Lemme 2: La longueur d’une réunion croissante d’ouverts est égale à la limite de la longueur des ouverts.
  • Lemme 3: La mesure de Lebesgue satisfait la propriété de sous-additivité pour les unions finies d’ensembles mesurables.
  • Lemme 4: Les ouverts et les fermés sont mesurables.

Propriétés supplémentaires

  • La mesure de Lebesgue est une mesure complète.
  • La mesure de Lebesgue est une mesure régulière.
  • La mesure de Lebesgue est une mesure borélienne.

Théorèmes clés

  • Théorème de Fubini-Tonelli: Le théorème de Fubini-Tonelli permet de calculer l’intégrale d’une fonction sur un produit d’espaces mesurables en termes d’intégrales itérées.
  • Théorème de Radon-Nikodym: Le théorème de Radon-Nikodym établit une relation entre les mesures finiment additives et les mesures σ-additives.

Applications de la mesure de Lebesgue

  • La mesure de Lebesgue a de nombreuses applications en mathématiques, y compris :
    • La théorie de la probabilité.
    • L’analyse fonctionnelle.
    • La théorie de la mesure.
    • La théorie des processus stochastiques.
    • La théorie ergodique.

Mesure de Lebesgue sur (0,1)

  • La mesure de Lebesgue est définie sur l'intervalle ouvert (0,1).

Définitions

  • La longueur d'un intervalle ouvert (a,b) est b-a.
  • Un ouvert I de (0,1) est une réunion de ses composantes connexes.
  • Les composantes connexes sont ouvertes.
  • Chaque composante connexe Di peut être représentée par (ai, bi[ avec ai < bi.

Propriétés

  • La somme des longueurs des composantes connexes d'un ouvert I est finie et inférieure à 1.
  • La mesure de Lebesgue d'un ouvert I, notée l(I), est la somme des longueurs de ses composantes connexes.

Définitions

  • La mesure de Lebesgue d'un fermé F de (0,1) est définie comme 1 moins la mesure de Lebesgue de son complémentaire.
  • Un ensemble E est mesurable au sens de Lebesgue si pour tout ε>0 il existe un fermé F et un ouvert A tels que F ⊂ E ⊂ A et la mesure de Lebesgue de A moins la mesure de Lebesgue de F est inférieure ou égale à ε.
  • La mesure de Lebesgue d'un ensemble mesurable est définie comme la borne supérieure des mesures de Lebesgue des fermés contenus dans l'ensemble.

Propriétés

  • La mesure de Lebesgue d'un ouvert est inférieure ou égale à 1.
  • La mesure de Lebesgue d'un ouvert est inférieure ou égale à la mesure de Lebesgue de son adhérence.
  • La mesure de Lebesgue d'une union d'ouverts disjoints est égale à la somme des mesures de Lebesgue de ces ouverts.

Rappel

  • Un compact de R est un ensemble fermé et borné.
  • Un compact de (0,1) est un fermé de R contenu dans un intervalle fermé de (0,1).

Lemme 1

  • La mesure de Lebesgue d'un ouvert est la borne supérieure des mesures de Lebesgue des compacts contenus dans l'ouvert.

Lemme 2

  • La mesure de Lebesgue d'une suite croissante d'ouverts converge vers la mesure de Lebesgue de leur réunion.

Lemme 3

  • La mesure de Lebesgue d'une union d'ouverts ou de fermés est égale à la somme des mesures de Lebesgue de ces ensembles moins la mesure de Lebesgue de leur intersection.

Définition

  • Un ensemble E de (0,1) est mesurable si pour tout ε>0 il existe un fermé F et un ouvert A tels que F ⊂ E ⊂ A et la mesure de Lebesgue de A moins la mesure de Lebesgue de F est inférieure ou égale à ε.

Baguettes

  • Si E et E' sont deux ensembles mesurables et E ⊂ E', alors la mesure de Lebesgue de E est inférieure ou égale à la mesure de Lebesgue de E'.
  • Les ouverts sont mesurables.
  • Si E est mesurable, alors son complémentaire est mesurable et la mesure de Lebesgue du complémentaire est égale à 1 moins la mesure de Lebesgue de E.

Lemme 4

  • Si E1 et E2 sont deux ensembles mesurables, alors leur union est mesurable.
  • Si de plus, E1 et E2 sont disjoints, alors la mesure de Lebesgue de leur union est égale à la somme des mesures de Lebesgue de E1 et E2.

Conséquence

  • Si E1 et E2 sont deux ensembles mesurables, alors leur intersection est mesurable.
  • Si E1, … , EN sont des ensembles mesurables, alors leur union est mesurable et la mesure de Lebesgue de l'union est inférieure ou égale à la somme des mesures de Lebesgue des Ei.
  • Si de plus, les Ei sont disjoints, alors la mesure de Lebesgue de l'union est égale à la somme des mesures de Lebesgue des Ei.

Lemme 5

  • La mesure de Lebesgue d'une suite croissante d'ensembles mesurables converge vers la mesure de Lebesgue de leur réunion.

Théorème

  • Si {Ei}i∈N est une suite d'ensembles mesurables dans [0,1[, alors leur union est mesurable et la mesure de Lebesgue de l'union est inférieure ou égale à la somme des mesures de Lebesgue des Ei.
  • Si de plus, les Ei sont disjoints, alors la mesure de Lebesgue de l'union est égale à la somme des mesures de Lebesgue des Ei.

Définition

  • Un ensemble E de IR est mesurable au sens de Lebesgue si pour tout entier n, l'intersection de E avec l'intervalle semi-ouvert [n, n+1[ est mesurable.

Théorème

  • Si E est mesurable, alors le complémentaire de E est mesurable.

Tribu

  • La tribu de Lebesgue sur IR est l'ensemble de tous les ensembles mesurables au sens de Lebesgue.

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Description

Ce quiz explore la mesure de Lebesgue, une généralisation de la notion de longueur pour les ensembles de nombres réels entre 0 et 1. Il couvre les définitions essentielles, les ensembles mesurables et les propriétés des ouverts et des fermés. Testez vos connaissances sur ce concept fondamental en analyse réelle.

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