Analyse 1 MIP - Chapitre 2 - 2023-2024 (PDF)

Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence S...

Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Ch.2 : Suites numériques Troncc ommun MIP(Mathématique, Physique, Informatique) et IA(Informatique Appliquée) Abdelkhalek El amrani Department de mathématiques Faculté des Sciences Dhar El Mahraz Atlas Fès, Maroc. [email protected] 1/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Plan 1. Généralités 7. Suites de Cauchy et complétude de R 2. Opérations sur les limites des 8. Valeur d’adhérence et théorème de suites Bolzano-Weierstrass 3. Suites équivalentes et suites 9. Suites arithmétiques, suites géométriques et négligeables suites arithmético-géométriques 4. Critères de convergence 9.1 Suites arithmétiques 5. Suites telles que 9.2 Suites géométriques | uun+1 n |⩽ q < 1 9.3 Suites arithmético-géométriques 6. Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités 2/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Définition 1.1 Une suite de nombres réels, suite numérique ou suite réelle est une application : f : N −→ R, n 7−→ f (n) = xn , elle est souvent notée : (xn ) , (xn )n ou (xn )n∈N et pour n fixé dans N, l’élément xn de R est appelé terme du rang n ou d’indice n ou terme général de la suite (xn ). Il arrive que l’application f soit définie sur une partie infinie I ⊂ N, on parle dans ce cas de la suite (xn )n∈I indexée par I. Définition 1.2 Si (xn ) est une suite réelle telle qu’il existe p ∈ N vérifiant : (∀n ∈ N) n ⩾ p =⇒ xn = xp ; on dit que la suite (xn ) est stationnaire ou constante à partir du rang p. Si p = 0 alors (∀n ∈ N) xn = x0 et (xn ) est dite constante. 3/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Définitions 1.1 Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Une suite (xn ) de nombres réels est dite : 1 croissante (resp. strictement croissante) si, et seulement si, (∀n ∈ N) xn ⩽ xn+1 (resp. xn < xn+1 ). 2 décroissante (resp. strictement décroissante) si, et seulement si, (∀n ∈ N) xn+1 ⩽ xn (resp. xn+1 < xn ). 3 monotone (resp. strictement monotone) si, et seulement si, (xn ) est croissante ou décroissante (resp. strictement croissante ou strictement décroissante). 4 majorée si, et seulement si, l’ensemble {xn : n ∈ N} est majoré : (∃M ∈ R) : (∀n ∈ N) xn ⩽ M. 5 minorée si, et seulement si, l’ensemble {xn : n ∈ N} est minoré : (∃m ∈ R) : (∀n ∈ N) m ⩽ xn. 6 bornée si, et seulement
si, elle est à la fois majorée et minorée : ∃ (m, M ) ∈ R2 : (∀n ∈ N) m ⩽ xn ⩽ M ; ceci est équivalent à (∃M > 0) : (∀n ∈ N) | xn |⩽ M. 4/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Exemples 1.1 les suites suivantes sont des suites numériques : n2 +1 1 (∀n ∈ N) xn = n2 +4. 2 (∀n ∈ N) xn = n + ln (n). 3 (∀n ∈ N) xn = y0 + y21 + y222 +... + y2nn , où (yn ) est une suite numérique positive et majorée. √ 4 (∀n ∈ N) xn+1 = xn yn , yn+1 = xn +y 2 n , x0 et y0 sont deux réels fixés tels que 0 < x0 < y0. 5 (∀n ∈ N∗ ) xn+1 = xn +x n−1 et x0 et x1 sont deux réels fixés. √ 2 6 (∀n ∈ N) xn+1 = xn + 2 et x0 = 1. q 7 (∀n ∈ N) xn+1 = 1+x 2 n et x0 = 3.   8 (∀n ∈ N) xn+1 = 21 xn + xAn et x0 = a où a et A sont deux un réels positifs. 5/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Définition 1.3 Soient (xn ) et (yn ) deux suites réelles, on définit : La somme : (xn ) + (yn ) = (xn + yn ). Le produit : (xn ) (yn ) = (xn yn ). Le produit par un réel λ : λ. (xn ) = (λ.xn ). (xn ) ⩽ (yn ) ⇐⇒ (∀n ∈ N) xn ⩽ yn. 6/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Définitions 1.2 Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Soit (xn ) une suite de nombres réels. 1 On dit que (xn ) est convergente si, et seulement si, il existe un nombre réel x tel que (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N) : ((∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒| xn − x |< ε). Dans ce cas, on dit aussi que (xn ) converge vers x ou a pour limite x ou tend vers x et on écrit lim xn = x ou xn −→ x. n→+∞ Dans le cas contraire, on dit que (xn ) diverge ou est divergente. 2 On dit que (xn ) tend vers +∞ (resp. −∞) ou admet +∞ (resp. −∞ ) pour limite et on note lim xn = +∞ ou xn −→ +∞ n→+∞ (resp. lim xn = −∞ ou xn −→ −∞) si, et seulement si, n→+∞ (∀A > 0) (∃n0 ∈ N) : (∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒ xn > A (resp. xn < −A). Remarque 1.1 xn −→ +∞ ⇐⇒ −xn −→ −∞ et xn −→ x ⇐⇒| xn − x |−→ 0. 7/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Proposition 1.1 Si (xn ) est une suite de nombres réels convergente vers une limite réelle x, alors cette limite est unique. ′ Preuve. On suppose que (xn ) converge vers une autre limite x ′ ′ différente de x, alors | x − x |> 0 donc pour ε = 14 | x − x |, il existe n0 ∈ N et n1 ∈ N tels que pour tout n ∈ N on a : ′ n ⩾ n0 =⇒| xn − x |< ε et n ⩾ n1 =⇒| xn − x |< ε. On considère N = max (n0 , n1 ) , on a : ′ ′ 0 0, q.n= n−→+∞ −∞ si q < 0,    1 si q = 1 2 lim q n = +∞ si q > 1 n→+∞ 0 si | q |< 1  Preuve. Soit (xn ) une suite de nombres réels. 1 Si (xn ) est stationnaire, alors (∃p ∈ N) : (∀n ∈ N) n ⩾ p =⇒ xn = xp. Soit ε > 0, alors pour n0 = p on a : (∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒ xn − xp = 0. Donc (∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒| xn − xp |< ε , c-à-d xn −→ x. 9/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques 2. Si xn −→ x, alors pour ε = 1, il existe n0 ∈ N∗ : (∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒| xn − x |< 1. Or pour tout n ∈ N, | xn | =| xn − x + x | ⩽| xn − x | + | x |, donc (∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒| xn |< 1+ | x |. Soit M = max (| x0 |, | x1 |,..., | xn0 −1 |, 1+ | x |) , alors : (∀n ∈ N) | xn |⩽ M. 3. 1 Si q = 0, alors (∀n ∈ N) qn = 0, alors, selon  1, qn −→ 0. Si q > 0, alors pour tout A > 0, si N = E A q + 1, on a (∀n ∈ N) n ⩾ N =⇒ qn > A, d’où qn −→ +∞. Si q < 0, alors (−q) n −→ +∞, alors qn −→ +∞ (Remarque 1.1). 2 En exercice (utiliser l’inégalité de Bernoulli avec x = q − 1 si q > 1, et le fait que 0 < q < 1 ⇐⇒ 1q > 1). 10/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Proposition 1.3 Soient (xn ) et (xn ) deux suites numériques et soit l ∈ R. Alors : Si (∀n ∈ N) | xn − l |⩽ yn et lim yn = 0, alors (xn ) est convergente n→+∞ et lim xn = l. n→+∞ Preuve. Soit ε > 0, alors : (∃n0 ∈ N) : ((∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒ yn < ε) (yn ⩾ 0). D’où pour ce n0 et pour tout n ∈ N, on a : n ⩾ n0 =⇒| xn − l |⩽ yn =⇒| xn − l |< ε. Donc (xn ) est convergente et lim xn = l. n→+∞ Remarque 1.2 La proposition précédente reste vraie si la première inégalité est stricte ou vraie à partir d’un certain rang. 11/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Théorème 2.1 Soient (xn ) et (yn ) deux suites numériques convergentes vers les deux nombres réels x et y respectivement et λ ∈ R. Alors : 1 (xn ) + (yn ) −→ x + y. 2 λ. (xn ) −→ λ.x 3(xn ) (yn ) −→ xy. Preuve. 1 Soit ε > 0, il existe n0 ∈ N et
n1 ∈ N tels que pour tout n ∈
N on a : n ⩾ n0 =⇒| xn − x |< 2ε et n ⩾ n1 =⇒| yn − y |< 2ε. On considère N = max (n0 , n1 ) , alors, pour tout n ∈ N tel que n ⩾ N on a : | xn + yn − (x + y) | ⩽| xn − x | + | yn − y | ε ε < + 2 2 ⩽ ε. 2 Si λ = 0, alors la suite λ (xn ) est nulle, donc convergente vers 0 (= λ.x). 12/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Si λ ̸= 0. Soit ε > 0, il existe n0 ∈ N tel que pour tout n ∈ N on a : ε n ⩾ n0 =⇒| xn − x |< (car xn −→ x) |λ| =⇒| λ || xn − x |< ε =⇒| λxn − λx |< ε. Donc λxn −→ λx. 3. Pour tout n ∈ N, on a : | xn yn − xy | =| (xn − x) yn + (yn − y) x | ⩽| xn − x | | yn | + | yn − y | | x | ⩽ M | xn − x | + | x | | yn − y |, où M est un rée strictement positif, qui existe car (yn ) est convergente, donc bornée. Et comme xn −→ x et yn −→ y, alors | xn − x |−→ 0 et | yn − y |−→ 0 et par suite M | xn − x | + | x | | yn − y |−→ 0 donc, selon la proposition 1.3, (xn yn ) est convergente et xn yn −→ xy. 13/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Proposition 2.1 Soient x ∈ R∗ et (xn ) une suite numérique telle que (∀n ∈ N) xn ̸= 0. Si xn −→ x alors x1n −→ x1. Preuve. Pour tout n ∈ N on a : 1 1 x − xn − = xn x xn x | xn − x | =. | xn | | x | |x| Or xn −→ x, alors pour > 0, il existe n0 ∈ N tel que 2 |x| (∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒| xn − x |< 2 |x| =⇒|| xn | − | x ||< 2 |x| |x| =⇒ − 0 , alors xn.yn −→ +∞ (resp. − ∞). 6 Si xn −→ +∞ (resp. − ∞) et (∀n ∈ N) yn ⩽ l < 0 , alors xn.yn −→ −∞ (resp. + ∞). 1 7 Si xn −→ +∞ ou − ∞ et (∀n ∈ N) xn ̸= 0, alors xn −→ 0. Preuve. Immédiate (à titre d’exercice). 16/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Remarque 2.1 Faire attention aux formes indéterminées suivantes : Si xn −→ +∞ et yn −→ −∞, on ne peut rien dire de la limite de (xn + yn ) en général. Si xn −→ ±∞ et yn −→ 0, on ne peut rien dire de la limite de (xn.yn ) en général.  Si xn −→ ±∞ et yn −→ ±∞, on ne peut rien dire sur la limite de xn yn en général. Proposition 2.2 Soient (xn ) et (yn ) deux suites numériques qui coïncident à partir d’un certain rang c-à-d : (∃p ∈ N) : (∀n ∈ N) n ⩾ p =⇒ xn = yn. Alors, pour tout x ∈ R ∪ {+∞, −∞} , xn −→ x ⇐⇒ yn −→ x. ((xn ) et (yn ) sont alors de même nature : convergent toutes les deux, tendent toutes les deux vers +∞ ou −∞ ou n’ont pas de limite finie ou infinie toutes les deux). 17/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Preuve. Pour x ∈ R. On suppose que xn −→ x. Soit ε > 0, il existe n0 ∈ N : (∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒| xn − x |< ε. Soit N = max (p, n0 ) , alors (∀n ∈ N) n ⩾ N =⇒ n ⩾ p et n ⩾ n0 =⇒ xn = yn et | xn − x |< ε =⇒| yn − x |< ε. Donc yn −→ x. (xn ) et (yn ) jouent deux rôles symétriques, donc yn −→ x =⇒ xn −→ x. Démonstration analogue pour x = +∞ ou x = −∞. La démonstration du cas restant se fait par contra-posée. Exercice 2.1 Soit (xn ) une suite numérique. 1 Montrer que, si (xn ) converge vers l, alors la suite (| xn |) est convergente et on a : lim | xn |=| lim xn |. n→+∞ n→+∞ 2 Montrer que, si (xn ) tend vers +∞ ou − ∞, alors la suite (| xn |) tend vers +∞. 18/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Définition 3.1 Soient (xn ) et (yn ) deux suites réelles. On dit que (xn ) est négligeable devant (yn ), et l’on note xn = o (yn ), si et seulement si, il existe une suite (εn ) telle que : ( (∀n ∈ N) xn = εn yn lim εn = 0. n→+∞ Remarque 3.1 Si yn ̸= 0 à partir d’un certain rang, alors xn xn = o (yn ) si et seulement si lim = 0. n→+∞ yn 19/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Définition 3.2 Deux suites réelles (xn ) et (yn ) sont dites équivalentes si, et seulement si xn − yn = o(yn ). On note alors xn ∼ yn. Remarque 3.2 Si yn ̸= 0 à partir d’un certain rang, alors xn ∼ yn si et seulement si xn lim = 1. n→∞ yn Exemple 3.1 1 1 1 Considérons, pour chaque n ∈ N∗ xn = 2 et yn =. Posons εn =. n n n On a alors , pour tout n ∈ N∗ :   1 1 1 1 1 1 xn = εn yn ; lim = 0. D’où 2 = o et 2 + ∼. n→∞ n n n n n n 20/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Proposition 3.1 Soient (xn ) et (yn ) deux suites numériques, alors : 1 Si xn → 0 et (yn ) est bornée, alors xn yn → 0. 2 Si xn → l, alors | xn |→| l |. La réciproque est fausse. Preuve. 1 (yn ) est bornée, alors (∃M > 0) : (∀n ∈ N) | yn |⩽ M, d’où (∀n ∈ N) | xn.yn |⩽ M | xn |, or xn → 0, d’où M | xn |−→ 0; donc selon 4 de la proposition 4.1, lim xn.yn = 0. n→+∞ 2 Soit ε > 0, alors (∃n0 ∈ N) : (∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒| xn − l |< ε, d’où (∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒|| xn | − | l ||⩽| xn − l |< ε, donc lim | xn |=| l |. n→+∞ n Pour xn = (−1) on a : (∀n ∈ N) | xn |= 1 d’où | xn |→ 1, alors que (xn ) n’a pas de limite. 21/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Corollaire 3.1 Soient (xn ) et (yn ) deux suites numériques, alors : 1 Si xn = o (yn ) et (yn ) est bornée, alors xn → 0. 2 Si xn ∼ yn , alors (xn ) et (yn ) sont de même nature : convergent ou diverge au même temps. Et si l’une tend vers une limite, l’autre tend vers la même limite. Preuve. Il suffit d’appliquer la proposition précédente et les opérations sur les limites des suites. 22/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Théorème 4.1 Soit (xn ) une suite numérique, alors : 1 Si (xn ) est croissante et majorée, alors (xn ) est convergente vers sa borne supérieure sup xn = sup ({xn / n ∈ N}). n 2 Si (xn ) est décroissante et minorée, alors (xn ) est convergente vers sa borne inférieure inf xn = inf ({xn / n ∈ N}). n Preuve. 1 Supposons que (xn ) est croissante et majorée, posons M = sup xn. n Soit ε > 0, (∃n0 ∈ N) : M − ε < xn0 ⩽ M. Et comme (xn ) est croissante, alors (∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒ M − ε < xn0 ⩽ xn ⩽ M < M + ε =⇒| xn − M |< ε. 2 Supposons que (xn ) est décroissante et minorée, posons m = inf xn. n 23/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Soit ε > 0 , (∃n0 ∈ N) : m ⩽ xn0 < m + ε. Et comme (xn ) est décroissante, alors (∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒ m − ε < m ⩽ xn ⩽ xn0 < m + ε =⇒| xn − m |< ε. Remarque 4.1 Soit (xn ) une suite numérique, alors : 1 Si (xn ) est croissante et non majorée, alors xn −→ +∞. 2 Si (xn ) est décroissante et non minorée, alors xn −→ −∞. 24/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Proposition 4.1 Soient (xn ) , (yn ) et (zn ) trois suites numériques, alors : 1 Si (∀n ∈ N) xn ⩽ yn et si (xn ) et (yn ) sont convergentes vers x et y respectivement alors x ⩽ y. 2 Si (xn ) est convergente et α et β sont deux réels tels que (∀n ∈ N) xn ⩽ α (resp. (∀n ∈ N) β ⩽ xn ) alors lim xn ⩽ α   n→+∞ resp. β ⩽ lim xn. n→+∞ 3 Si (∀n ∈ N) xn ⩽ zn ⩽ yn et si (xn ) et (yn ) sont convergentes vers la même limite l, alors lim zn = l. n→+∞ 4 Si l ∈ R et (∀n ∈ N) | xn − l |⩽ yn et si lim yn = 0, alors (xn ) n→+∞ est convergente et lim xn = l. n→+∞ 5 Si (∀n ∈ N) xn ⩽ yn. Alors : (xn −→ +∞ =⇒ yn −→ +∞) et (yn −→ −∞ =⇒ xn −→ −∞). 25/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Preuve. 1 Sinon, c-à-d si y < x; soit ε = 13 (x − y) , alors ε > 0 et il existe n0 et n1 dans N tels que pour tout n ∈ N, on a : (n ⩾ n0 =⇒ x − ε < xn < x + ε) et (n ⩾ n1 =⇒ y − ε < yn < y + ε) ; d’où pour N = max (n0 , n1 ) , on a : x − ε < xN ⩽ yN < y + ε =⇒ x − ε < y + ε =⇒ 0 < x − y < 2ε 2 =⇒ 0 < x − y < (x − y) 3 2 =⇒ 1 < , ce qui est impossible. 3 2 Il suffit de prendre (yn ) la suite constante (α) (resp. (β)) dans 1. 3 Soit ε > 0, il existe n0 dans N tel que  −ε < xn − l < ε (∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒ −ε < yn − l < ε 26/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques et alors, pour tout n ∈ N, n ⩾ n0 =⇒ −ε < xn − l ⩽ zn − l ⩽ yn − l < ε =⇒| zn − l |< ε. Donc (zn ) est convergente et lim zn = l. n→+∞ 4. Pour tout n ∈ N, | xn − l |⩽ yn ⇐⇒ l − yn ⩽ xn ⩽ l + yn , il suffit alors d’appliquer le résultat précédent (les deux suites (l − yn ) et (l + yn ) sont convergentes vers la même limite l). 5. Il suffit d’appliquer la définition. Remarque 4.2 Les propriétés précédentes restent vraies, si les inégalités des hypothèses sont strictes ou vraies à partir d’un certain rang. 27/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Théorème 5.1 Soit (un ) une suite de nombres réels non nuls. On suppose qu’il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n (ou seulement à partir d’un certain rang) on ait : | uun+1 n |⩽ q < 1. Alors (un ) est convergente et lim un = 0. n−→+∞ Preuve. On suppose que la propriété | uun+1 n |⩽ q < 1 est vraie pour tout entier naturel n (la preuve dans le cas où cette propriété n’est vraie qu’à partir d’un certain rang n’est pas très différente). Montrons, alors que (∀n ∈ N) | un |⩽| u0 | q n. Par récurrence, la propriété est trivialement vérifiée pour n = 0. Soit n ∈ N, supposons que | un |⩽| u0 | q n , alors un+1 | un+1 =| un |. | | un ⩽| u0 | q n.q ⩽| u0 | q n+1. Donc, selon le principe de récurrence, (∀n ∈ N) | un |⩽| u0 | q n. 28/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Or lim | u0 | q n = 0, car | q |< 1, d’où la suite (un ) est convergente n−→+∞ et lim un = 0. n−→+∞ Corollaire 5.1 Soit (un ) une suite de nombres réels non nuls. un+1 Si lim = 0, alors (un ) est convergente et lim un = 0. n−→+∞ un n−→+∞ un+1 Preuve. Il suffit d’appliquer la définition de lim = 0 pour un n−→+∞ un ε < 1 (ε < 12 par exemple) et le théorème précédent. Exemple 5.1 n
Pour tout a ∈ R, la suite an! est convergente vers 0. En effet, le résultat est trivialement vérifié pour a = 0. Soit a ∈ R∗ , alors an+1 un+1 (n+1)! (∀n ∈ N) | | = | an | un n! |a| =. n+1 29/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques un+1 |a| un+1 D’où lim | |= lim = 0, d’où lim = 0. Le n−→+∞ un n−→+∞ n + 1 n−→+∞ un résultat se déduit alors du corollaire précédent. Remarques 5.1 1 Avec les notations du théorème précédent, si on a pour tout entier naturel n à partir d’un certain rang : | uun+1 n |⩾ q > 1, alors la suite (un ) diverge. En effet, il suffit d’appliquer le théorème à la suite de terme général u1n pour voir que lim | un |= +∞. n−→+∞ 2 Toujours avec les notations du théorème précédent, si q = 1 on ne peut rien dire : Pour la suite (un ) définie par n (∀n ∈ N) un = (−1) , on a (∀n ∈ N) | uun+1 n |= 1 (∗) et (un ) est divergente. Toute suite constante, non nulle, vérifie (∗) et elle est convergente. Exercice 5.1 Soit (xn ) une suite numérique. Montrer que : 1 Si (xn ) est décroissante et tend vers 0, alors (∀n ∈ N) xn ⩾ 0. 2 Si (xn ) est croissante et tend vers 0, alors (∀n ∈ N) xn ⩽ 0. 30/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Définition 6.1 On dit que deux suites (xn ) et (yn ) sont adjacentes si, et seulement si, l’une est croissante, l’autre est décroissante et lim yn − xn = 0. n→+∞ Théorème 6.1 Soient (xn ) et (yn ) deux suites adjacentes telles que (xn ) est croissante et (yn ) est décroissante, alors : 1 (∀n ∈ N) xn ⩽ yn. 2 Les deux suites (xn ) et (yn ) sont convergentes, et elles convergent vers la même limite. 31/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Preuve. 1 Considérons la suite de terme général zn = yn − xn , alors (∀n ∈ N) zn+1 − zn = (yn+1 − yn ) + (xn − xn+1 ) d’où (∀n ∈ N) zn+1 − zn ⩽ 0 d’où la suite (zn ) est décroissante et lim zn = 0, alors, d’après l’exercice précédent, (∀n ∈ N) zn ⩾ 0. n→+∞ Donc (∀n ∈ N) xn ⩽ yn. 2 On a : (∀n ∈ N) x0 ⩽ xn ⩽ yn ⩽ y0 , d’où (xn ) est croissante majorée par y0 et (yn ) est décroissante minorée par x0 , elles sont ′ donc convergentes ; soient lim xn = l et lim yn = l alors n→+∞ n→+∞ ′ ′ lim yn − xn = 0 = l − l , donc l = l. n→+∞ 32/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Exemple 6.1 Les suites (xn ) et (yn ) définies pour n > 0 par : 1 1 1 1 xn = 1 + 1! + 2! +... + n! et yn = xn + n!n sont adjacentes. ∗ 1 (xn ) est croissante : (∀n ∈ N ) xn+1 − xn = (n+1)! , d’où xn+1 > xn. ∗ (yn ) est décroissante : pour tout n ∈ N on a : 1 1 1 yn+1 − yn = + − (n + 1)! (n + 1)! (n + 1) n!n ! 1 1 1 1 = + − n! n + 1 (n + 1)2 n 2 1 n (n + 1) + n − (n + 1) = 2 n! n (n + 1) 1 n2 + n + n − n2 − 2n − 1 = 2 n! n (n + 1) 1 =− 2. n!n (n + 1) 33/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Et alors, (∀n ∈ N∗ ) yn+1 − yn < 0. (∀n ∈ N∗ ) yn − xn = n!n1 , d’où yn − xn −→ 0. Exercice 6.1 Montrer que la limite commune des deux suites précédentes est irrationnelle. Exercice 6.2 (−1)n−1 Soit (un )n⩾1 la suite de terme général : un = 1 − 12 + 13 +... + n. Pour tout n de N, considérons xn = u2n et yn = u2n+1. 1 Montrer que les deux suites (xn ) et (yn ) sont adjacentes. 2 En déduire la nature de la suite (un ). 34/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Théorème (P ropriété des segments emboités) 6.1 Si ([an , bn ]) est une suite décroissante ((∀n ∈ N) [an+1 , bn+1 ] ⊂ [an , bn ]) d’intervalles fermés et bornés \(segments) de R telle que bn − an −→ 0, alors leur intersection J = [an , bn ] est réduite à un point. n∈N Preuve. Pour tout n ∈ N, [an+1 , bn+1 ] ⊂ [an , bn ] , donc an ⩽ an+1 et bn+1 ⩽ bn c-à-d (an ) est croissante et (bn ) est décroissante ; il s’agit alors de deux suites adjacentes puisque bn − an −→ 0. Soit l ∈ R la limite commune de (an ) et (bn ) on a : l = sup an = inf bn , n n (∀n ∈ N) an ⩽ l ⩽ bn , d’où l ∈ J et J ̸= ∅. ′ ′ Supposons que J contient un autre point l avec l ⩾ l (par exemple) , ′ donc pour tout n ∈ N on a : an ⩽ l ⩽ l ⩽ bn , d’où ′ ′ (∀n ∈ N) | l − l |⩽| bn − an |. Comme bn − an −→ 0, alors l = l. 35/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Définition 7.1 On dit qu’une suite réelle (xn ) est de Cauchy (ou vérifie la condition ou le critère de Cauchy) si, et seulement si, (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N) : ∀ (m, n) ∈ N2 (m ⩾ n0 et n ⩾ n0 ) =⇒| xn −xm |< ε.
Exercice 7.1 Soit (xn ) une suite réelle. Montrer que : (xn ) est de Cauchy si, et seulement si, (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N) : ∀ (m, n) ∈ N2 n ⩾ n0 =⇒| xn+m − xn |< ε.
Proposition 7.1 1 Toute suite réelle convergente est une suite de Cauchy. 2 Toute suite réelle de Cauchy est une suite bornée. Preuve. Soit (xn ) une suite réelle, alors : 36/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques 1 Si (xn ) est convergente vers un réel x. Soit ε > 0, il existe n0 ∈ N tel que (∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒| xn − x |< 2ε. Donc pour tout (m, n) ∈ N2 : n ⩾ n0 et m ⩾ n0 , on a : | xn − xm | =| (xn − x) − (xm − x) | ⩽| xn − x | + | xm − x | ε ε < + 2 2 = ε. 2 Si (xn ) est de Cauchy , alors, pour ε = 1, ∃n0 ∈ N : ∀ (m, n) ∈ N2 : n ⩾ n0 et m ⩾ n0 , on a : | xn − xm |< 1, d’où pour tout n ∈ N : n ⩾ n0 on a : | xn | =| xn − xn0 + xn0 | ⩽| xn − xn0 | + | xn0 | ⩽ 1+ | xn0 |. Soit A = max {| x0 |, | x1 |,..., | xn0 |, 1+ | xn0 |} , alors (∀n ∈ N) | xn |⩽ A. 37/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Théorème(R est est complet) 7.1 Une suite (xn ) d’éléments de R est convergente (vers une limite finie) si, et seulement si, elle vérifie le critère de Cauchy. On dit que R est complet. Preuve. =⇒ ] Proposition 7.1. ⇐= ] (xn ) est une suite de Cauchy, elle est donc bornée. Pour tout p ∈ N, soient Xp = {xn / n ∈ N et n ⩾ p} , ap = inf (Xp ) et bp = sup (Xp ) (existent car Xp est non vide et borné). On a : (bn ) et (an ) sont adjacentes, en effet : (∀p ∈ N) Xp+1 ⊂ Xp , ap ⩽ ap+1 et bp+1 ⩽ bp ; donc (an ) est croissante et (bn ) est décroissante. Soient ε > 0
et n0 ∈ N tel que ∀ (n, m) ∈ N2 n ⩾ n0 et m ⩾ n0 =⇒| xn − xm |< 3ε. Soit p ⩾ n0 , alors, par définition de bp (= sup (Xp )) , il existe n ∈ N : n ⩾ p ⩾ n0 et bp − 3ε < xn ⩽ bp ; et par définition de ap (= inf (Xp )) , 38/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques il existe m ∈ N : m ⩾ p ⩾ n0 et ap ⩽ xm < ap + 3ε ; et par suite : 0 ⩽ bp − xn < 3ε et − 3ε < ap − xm ⩽ 0, ou encore | bp − xn |< 3ε et | ap − xm |< 3ε. On a donc | bp − ap | ⩽| bp − xn | + | xn − xm | + | xm − ap | ε m =⇒ φ (n) > φ (m)). (On montre par récurrence que (∀n ∈ N) φ (n) ⩾ n). Exemple 8.1
1 Soit (xn ) = (6n) et φ (n) = 3n, la sous-suite xφ(n) = (18n). n 2 Pour (xn )n= ((−1) )n et φ (n) = 2n , la sous-suite
2n xφ(n) = (−1) c’est la suite constante égale à 1 pour tout n n ∈ N. n 3 Soit (xn ) la suite de terme général : xn = 1−(−1) n2 , alors : (i) Pour (∀n ∈ N) φ (n) = 2n : x2n = 0. 2 (ii) Pour (∀n ∈ N) φ (n) = 2n + 1 : x2n+1 = (2n+1)2. 2 (iii) Pour (∀n ∈ N) φ (n) = 4n + 3 : x4n+3 = (4n+3)2. 41/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Proposition 8.1 Soit (xn ) une suite numérique qui tend vers un x appartenant à R ∪ {+∞, −∞}. Alors toute suite extraite de (xn ) tend vers x. Preuve.
Pour x ∈ R. Supposons que la suite (xn ) tend vers x et soit xφ(n) une suite extraite de (xn ). Soit ε > 0, il existe n0 ∈ N tel que (∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒| xn − x |< ε; d’où (∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒ φ (n) ⩾ n ⩾ n0 =⇒| xφ(n) − x |< ε. Donc xφ(n) −→ x. Les cas où x ∈ {+∞, −∞} se traitent de la même façon. 42/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Proposition 8.2 Soit (xn ) une suite numérique. 1 Si (xn ) admet une suite extraite divergente, alors elle est divergente. 2 Si (xn ) admet deux suites extraites convergeant vers deux limites différentes, alors (xn ) diverge. 3 Pour x ∈ R ∪ {+∞, −∞} on a :  (x2n ) tend vers x (xn ) tend vers x ⇔ (x2n+1 ) tend vers x Preuve. 1. et 2. sont évidentes d’après la proposition précédente. 3. Si xn −→ x, alors d’après la proposition précédente, x2n −→ l et x2n+1 −→ x. Réciproquement, on suppose que x2n −→ x et x2n+1 −→ x où x ∈ R. Soit ε > 0, il existe n1 ∈ N et n2 ∈ N tels que (∀n ∈ N) n ⩾ n1 =⇒| x2n − x |< ε et n ⩾ n2 =⇒| x2n+1 − x |< ε. Soit N = max (2n1 , 2n2 + 1) , alors, pour tout p ∈ N tel que p ⩾ N, on a : 43/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Si p est pair, p ⩾ N =⇒ p ⩾ 2n1 p =⇒ ⩾ n1 2 =⇒| x2 p2 − x |< ε =⇒| xp − x |< ε. Si p est impair, p ⩾ N =⇒ p ⩾ 2n2 + 1 p−1 =⇒ ⩾ n2 2 =⇒| x2 p−1 +1 − x |< ε 2 =⇒| xp − x |< ε. Donc (∀p ∈ N) p ⩾ N =⇒| xp − x |< ε. Ce qui montre que lim xp = x. p→+∞ Les cas où x ∈ {+∞, −∞} se traitent de la même façon. 44/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Exemples 8.1 n Soient (xn ) et (yn )n⩾2 les suites de termes généraux xn = (−1) et n n+(−1) yn = n2 −1 , alors pour tout n ∈ N on a : 1 x2n = 1 et x2n+1 = −1 d’où x2n −→ 1 et x2n+1 −→ −1 donc (xn ) diverge. 1 1 2 y2n = 2n−1 et y2n+1 = 2n+2 si n ̸= 0, d’où : y2n → 0 et y2n+1 → 0, donc (yn )n⩾2 converge vers 0. 45/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Définition 8.2 Soient (xn ) une suite numérique et x un élément de R ∪ {+∞, −∞}. On dit que x est une valeur d’adhérence de (xn ) si, et seulement si, x est limite d’une sous-suite de (xn ). Exemple 8.2 La suite définie par : (∀n ∈ N) xn = n2 sin nπ
4 admet 0 , +∞ et − ∞ comme valeurs d’adhérences. x8n −→ 0, x8n+1 −→ +∞ et x8n+5 −→ −∞. 46/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Proposition 8.3 Soient (xn ) une suite numérique et x un nombre réel. 1 x est une valeur d’adhérence de (xn ) si, et seulement si, pour tout ε > 0, l’ensemble ]x − ε, x + ε[ contient une infinité de termes de la suite (xn ) , c-à-d : {n ∈ N : xn ∈ ]x − ε, x + ε[} est infini. 2 +∞ (resp. − ∞) est une valeur d’adhérence de (xn ) si, et seulement si, pour tout A > 0, l’ensemble ]A, +∞[ (resp. ]−∞, −A[) contient une infinité de termes de la suite (xn ) c-à-d : {n ∈ N : xn ∈ ]A, +∞[} (resp. {n ∈ N : xn ∈ ]−∞, −A[} ) est infini. Preuve. 1 Soit ε > 0, alors x étant une valeur d’adhérence de (xn ) , il existe une application φ : N −→ N strictement croissante telle que xφ(n) −→ x, d’où (∃n0 ∈ N) : (∀n ∈ N) n ⩾ n0 =⇒ xφ(n) ∈ ]x − ε, x + ε[ , 47/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques donc ]x − ε, x + ε[ contient une infinité d’éléments de la suite (xn ) car {φ (n) : n ⩾ n0 } est infini (car sinon, soit N = max ({φ (n) : n ⩾ n0 }) , on a φ (N + 1) ⩽ N et φ (N + 1) ⩾ N + 1 > N, ce qui  est absurde). ⇐=] On a : (∀n ∈ N∗ ) In = x − n1 , x + n1 contient une infinité de  termes de la suite (xn ) c-à-d : {m ∈ N : xm ∈ In } est infini. Pour k = 0, on prend φ (0) = 0, Pour k = 1, {m ∈ N : xm ∈ I1 } est infini, soit φ (1) ∈ N∗ tel que xφ(1) ∈ I1 , on a bien φ (1) > φ (0). Pour k = 2, I2 contient une infinité de termes de la suite (xn ) , donc {m ∈ N : m > φ (1) et xm ∈ I2 } = ̸ ∅, sinon {m ∈ N : xm ∈ I2 } ⊂ {m ∈ N : m ⩽ φ (1)} absurde (le premier ensemble est infini, le second est fini) ; soit φ (2) ∈ N∗ tel que xφ(2) ∈ I2 et φ (2) > φ (1). Soit n ∈ N∗ , supposons construit φ (k) pour tout k ∈ N et 0 ⩽ k ⩽ n tels que (∀k ∈ {0, 1, 2,...., n − 1}) φ (k + 1) > φ (k) , alors In+1 48/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques contient une infinité de termes de la suite (xn ) , donc {m ∈ N : m > φ (n) et xm ∈ In+1 } = ̸ ∅ , sinon {m ∈ N : xm ∈ In+1 } ⊂ {m ∈ N : m ⩽ φ (n)} , absurde (le premier ensemble est infini, le second est fini) ; soit φ (n + 1) ∈ N tel que xφ(n+1) ∈ In+1 et φ (n + 1) > φ (n). Donc, par le principe de récurrence, (∀n ∈ N∗ ) (∃φ (n) ∈ N) : xφ(n) ∈ In et φ (n) > φ (n − 1) avec φ (0) = 0. On définit ainsi une application φ : N −→ N strictement
croissante telle que (∀n ∈ N∗ ) x − n1 < xφ(n) < x + n1 ; donc xφ(n) est une sous-suite de (xn ) et lim xφ(n) = x. n→+∞ 2. Même démonstration que 1, en considérant pour tout n ∈ N∗ , In = ]n, +∞[ (resp. ]−∞, n[). 49/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Lemme 8.1 Soit A ⊆ N. Alors A est inf ini ⇐⇒ (∀N ∈ N∗ ) (∃n ⩾ N ) : n ∈ A. Preuve. =⇒ ] Sinon, (∃N ∈ N∗ ) : (∀n ⩾ N ) : n ∈ / A, d’où A ⊂ {0, 1, 2,..., N − 1} , absurde. ⇐= ] Sinon, c-à-d : on suppose que A est fini. Soit M = M ax (A) , alors (∀n ⩾ M + 1) n ∈ / A, absurde. Corollaire 8.1 Soient (xn ) une suite numérique et x un nombre réel. 1 x est une valeur d’adhérence de (xn ) si, et seulement si, (∀ε > 0) (∀N ∈ N) (∃n ⩾ N ) :| xn − x |< ε. 2 +∞ (resp. − ∞) est une valeur d’adhérence de (xn ) si, et seulement si, (∀A > 0) (∀N ∈ N) (∃n ⩾ N ) : xn > A (resp. xn < −A). 50/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Preuve. 1 D’après la proposition 8.3, on a : x valeur d′ adhérence de (xn ) ⇐⇒ (∀ε > 0) Aε = {n ∈ N / xn ∈ ]x − ε, x + ε[} est infini. =⇒ ] Soient ε > 0 et N ∈ N, alors : Aε = {n ∈ N / xn ∈ ]x − ε, x + ε[} = {n ∈ N / | xn − x |< ε}. Donc x valeur d′ adhérence de (xn ) =⇒ Aε est inf ini =⇒ (∃n ⩾ N ) | xn − x |< ε d′ apres ` le lemme précédent. ⇐= ] Soit ε > 0 et soit N ∈ N, il existe n ⩾ N : | xn − x |< ε c-à-d : (∃n ⩾ N ) : xn ∈ Aε , d’où, d’après le lemme précédent, Aε est infinie, donc x est une valeur d’adhérence de la suite (xn ). 2 Pour +∞ (resp. − ∞) (traiter à titre d’exercice). 51/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Théorème (de Bolzano − W eierstrass) 8.1 De toute suite bornée de nombres réels on peut extraire une sous-suite convergente c-à-d : Toute suite bornée admet une valeur d’adhérence. Preuve. Soient (xn ) une suite bornée de nombres réels et a et b deux nombre réels tels que (∀n ∈ N) a ⩽ xn ⩽ b. On a : I0 = {n ∈ N / xn ∈ [a, b]} est infini (= N). Soit c = a+b 2 (c’est le milieu du segment [a, b]). On considère les deux intervalles [a, c] et [c, b]. Des deux ensembles {n ∈ N / xn ∈ [a, c]} et {n ∈ N / xn ∈ [c, b]} , un au moins est infini. 52/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques On désigne par I1 celui des deux intervalles [a, c] ou [c, b] qui contient une infinité de termes de la suite (xn ) par φ (1) l’entier le plus petit élément de {n ∈ N / xn ∈ I1 } , on a xφ(1) ∈ I1 ( dans le cas où les deux intervalles ci-dessus contiennent une infinité de termes de la suite, on choisit arbitrairement un parmi eux) ; on note y1 = xφ(1). La longueur de I1 est b−a 2 et {n ∈ N / xn ∈ I1 } est infini. On recommence sur I1 , ce qui a été fait sur I0 , en considérant le milieu de I1 , on a deux intervalles dont l’un au moins contient une infinité de termes de la suite (xn ) (car {n ∈ N / xn ∈ I1 } est infini). On désigne par I2 cet intervalle et par φ (2) le plus petit élément de {n ∈ N / xn ∈ I2 et n > φ (1)} (̸= ∅ déjà vu), on a : φ (2) > φ (1) et xφ(2) ∈ I2. La longueur de I2 est b−a22 et {n ∈ N / xn ∈ I2 } est infini ; on note y2 = xφ(2). 53/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques On définit, par récurrence, une suite d’intervalles (In )n⩾0 et une suite
(yn )n⩾0 = xφ(n) n⩾0 telles que : ∗ I0 = [a, b] , y0 = x0 , ∗ pour tout n ∈ N; on définit yn+1 = xφ(n+1) par : ∗ In+1 ⊂ In avec In+1 la moitié de In qui contient une infinité de termes de la suite (xn ) et φ (n + 1) le plus petit élément de {k ∈ N / xk ∈ In+1 et k > φ (n)} , donc φ (n + 1) > φ (n) et on note yn+1 = xφ(n+1). On  a donc
(yn ) = xφ(n) est une suite extraite de (xn ) (φ est strictement crois (∀n ∈ N) yn ∈ In et la longueur de In est b−a 2n. (yn ) de Cauchy : Soit ε > 0, il existe N ∈ N tel que b−a2N < ε; donc (∀n ∈ N) n ⩾ N =⇒ yn ∈ In (⊂ IN ) , d’où b−a ∀ (m, n) ∈ N2 n ⩾ N et m ⩾ N =⇒| yn − ym | < N
2 < ε. Donc (yn ) est de Cauchy, elle est donc convergente. D’où le résultat. 54/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères Suites arithmétiques u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 Suites géométriques un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites arithmético-géométriques Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Définition 9.1 Une suite (xn ) est dite arithmétique si, et seulement si, il existe r ∈ R, tel que, pour tout n ∈ N, xn+1 = xn + r; r est appelé la raison de la suite (xn ). Proposition 9.1 Soit (xn ) une suite arithmétique de raison r, alors :
1 (∀n ∈ N) xn = x0 + nr et plus généralement ∀ (n, p) ∈ N2 xn = xp + (n − p) r. 2 i. Si r = 0 alors (xn ) est constante et lim xn = x0. n→+∞ ii. Si r > 0 alors (xn ) est strictement croissante et lim xn = +∞. n→+∞ iii. Si r < 0 alors (xn ) est strictement décroissante et lim xn = −∞. n→+∞ 55/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères Suites arithmétiques u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 Suites géométriques un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites arithmético-géométriques Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Définition 9.2 Une suite (xn ) est dite géométrique si, et seulement si, il existe q ∈ R, tel que, pour tout n ∈ N, xn+1 = qxn ; q est appelé la raison de (xn ). Proposition 9.2    0 si | q |< 1 1 si q = 1  1 Soit q ∈ R, alors : lim q n = n→+∞  +∞ si q > 1 n′ existe pas  si q ⩽ −1  2 Soit (xn ) une suite géométrique de raison q, alors : i. (∀n ∈ N) xn = x0 q n et plus généralement ∀ (n, p) ∈ N2
xn = xp q n−p si q ̸= 0. ii. Si x0 ̸= 0, alors (xn ) converge si et seulement si | q |< 1 ou q = 1. Preuve. Voir le cours de 1ere et 2eme sciences.(Faites la à titre d’exercice). 56/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères Suites arithmétiques u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 Suites géométriques un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites arithmético-géométriques Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Proposition (Approximation d′ un nombre réel par des décimaux) 9.1 Tout nombre réel x est limite d’une suite unique (xn ) strictement croissante de nombres décimaux. En particulier, pour chaque n ∈ N, xn ⩽ x < xn + 10−n , xn est alors une valeur approchée par défaut de x à 10−n près. Preuve. Soit x ∈ R, selon la proposition 3.3 du chapitre précédent E (10n x)   −n (∀n ∈ N) (∃!xn ∈ D) : xn ⩽ x < xn + 10 xn =. 10n Et alors, (∀n ∈ N) 0 ⩽ x − xn < 10−n. Et comme  n −n 1 lim 10 = lim = 0, n−→+∞ n−→+∞ 10 alors lim xn = x. 57/62  Généralités Opérations sur les limites des suites Suites équivalentes et suites négligeables Critères Suites arithmétiques u de convergence Suites telles que | n+1 |⩽ q < 1 Suites géométriques un Suites adjacentes et propriété des intervalles emboités Suites arithmético-géométriques Suites de Cauchy et complétude de R Valeur d’adhérence et théorème de Bolzano-Weierstrass Suites arithmétiques, suites géométriques et suites arithmético-géométriques Proposition 9.3 Soit (xn ) une suite numérique. Pour chaque n de N, soit Sn = x0 + x1 +... + xn , (Sn ) est appelée suite