Chapitre 1 : Séries Numériques PDF

Chapitre 1 : Séries numériques LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 1 / 32 Contents 1 Notions et propriétés générales 2 Séries à termes positifs Critère de c...

Chapitre 1 : Séries numériques LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 1 / 32 Contents 1 Notions et propriétés générales 2 Séries à termes positifs Critère de comparaison Critère d’équivalence Critère intégrale (supplémentaire) Critère de Riemann Règle de convergence de Cauchy et de D’Alembert 3 Séries à termes quelconques Notion de convergence absolue Règle d’Abel Séries alternées Technique du développement limité LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 2 / 32  Notions et propriétés générales LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 3 / 32 Définition 1 Soit (un )n∈N une suite numérique réelle. 1 On appelle série numérique réelle de terme général un l’expression : +∞ X X u0 + u1 + u2 +... + un +... = un = un n=0 n≥0 + u1 + u2 +... + un = n P 2 La suite (Sn )n∈N où Sn = u0P k=0 uk est appelée suite des +∞ sommes partielles de la série n=0 un. P+∞ 3 On dira que n=0 un converge si et seulement si sa suite des sommes partielles (Sn )n∈N converge. c-à-d ssi limn→+∞ Sn existe et est finie. Si S ∈PR désigne la limite de laP suite (Sn )n∈N , on dit que S est la somme de la série +∞ n=0 u n et on note S = +∞ n=0 un. Dans le cas contraire on dira que la série numérique +∞ P n=0 un diverge. LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 4 / 32 Remarque 1 1 La définition (1.3) constitue un premier critère donnant une condition à la fois nécessaire et suffisante de convergence des séries numériques. 2 Si la suite (un )n≥k n’est définie qu’à partir d’un certain rang k, il en est de même pour la suite des sommes partiellesP qui lui est associée (Sn )n≥k et donc même pour la série en question et l’on écrit n≥k un. 3 La nature d’une série numérique P ne change pas si on modifie un nombre fini de ses termes, on notera donc souvent un sans préciser l’indice initial (seule sa somme change). 1 Exemple 1 : Montrons que la série numérique de terme général un = , n≥2 n(n − 1) converge et sa somme vaut 1. On a la décomposition en éléments simples suivantes : 1 1 1 un = = un = − , n≥2 n(n − 1) n−1 n La suite des sommes  partielles   est donnée  par :   Pn 1 1 1 1 1 1 Sn = k=2 uk = 1 − + − +... + − = 1 − , n ≥ 2. 2 2 3 n−1 n n Donc limn→+∞ Sn = 1, par conséquent la série converge et sa somme +∞ P k=2 un = 1. LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 5 / 32  1 Exemple 2 : Montrons que la série numérique de terme général vn = log(1 + ), n ≥ 1 n diverge. On a 1 n+1 vn = log(1 + ) = log( ) = log(n + 1) − log n, n ≥ 1 n n La suite des sommes partielles est donnée par : n X Sn = (log(k + 1) − log k) = log 2 + (log(3) − log 2) +... + (log(n + 1) − log n) k=1 = log(n + 1) −→ +∞ n→+∞ P Ainsi, la suite (Sn )n≥1 diverge. Par conséquent, vn diverge. Définition 2 P Soit n≥0 un une série numérique réelle convergente, de somme S. Alors, son reste d’ordre n noté Rn est donné par : +∞ X n X +∞ X Rn = S − Sn = un − uk = uk. n=0 k=0 k=n+1 De plus, limn→+∞ Rn = limn→+∞ S − Sn = S − S = 0. LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 6 / 32 Opérations algébriques Proposition 1 : (Opérations algébriques) P P Soient n≥0 un et n≥0 vn deux séries numériques convergentes de sommes respectives S et T et Λ un scalaire. On a les propriétés suivantes : P La série somme Pn≥0 (un + vn ) converge et sa somme vaut S + T ; La série produit n≥0 (Λun ) converge et sa somme vaut ΛS. P P Soient n≥0 un une série numérique convergente, n≥0 vn une série numérique divergente et Λ un scalaire non nul. On a les propriétés suivantes : P La série Pn≥0 (un + vn ) diverge ; La série n≥0 (Λvn ) diverge. Remarque 2 P Il résulte de la proposition 1 que si Λ est un scalaire non nul alors n≥0 (Λun ) et P P 3 n≥0 un sont de même nature. Par exemple, on peut affirmer que n(n−1) converge P 1 car on a déjà établi que n(n−1) convergeait. LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 7 / 32 Condition nécessaire Proposition 2 : (Condition nécessaire) CN P Si une série n≥0 un converge, alors limn→+∞ un = 0. P Preuve : Soit (Sn )n∈N la suite des sommes partielles associée à n≥0 un. Alors, n X n−1 X Sn = uk et Sn−1 = uk. Ainsi, Sn − Sn−1 = un , ∀ n ≥ 1. k=0 k=0 P Or, si n≥0 un converge ceci est équivalent à dire que la suite (Sn )n∈N converge vers S. Autrement dit, lim Sn = S (existe et finie), donc lim un = lim (Sn − Sn−1 ) = 0. n→+∞ n→+∞ n→+∞ Remarque 3 P Par contraposée, on déduit que si le terme général d’une série un ne tend pas vers 0, alors la série diverge. La réciproque de la proposition 2 est fausse. En effet, on a établi précédemment que 1 la série de terme général log(1 + ) divergeait et pourtant n 1 limn→+∞ log(1 + ) = 0. n LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 8 / 32 Série Géométrique Définition 3 On appelle série géométrique de raison r et de premier terme α ∈ R∗ toute série de terme général un = αrn. Examinons les conditions de convergence d’une telle série : Cas 1 : Si |r| ≥ P 1, alors limn→+∞ un = limn→+∞ αrn 6= 0. La CN n’est pas vérifiée, la série un donc diverge. Cas 2 : Si |r| < 1, n X 1 − rn+1 Sn = uk = u0 + u1 +... + un = α. 1−r k=0 n+1 limn→+∞ Sn = limn→+∞ α 1−r 1−r = α 1−r , donc la série converge et a pour somme α 1−r. On a donc la proposition suivante : Proposition 3 : (Référence 1) La série géométrique de raison r et de premier terme α ∈ R∗ converge si et seulement si α |r| < 1, elle a pour somme 1−r. LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 9 / 32 Critère de Cauchy Définition 4 : (Critère de Cauchy) P Une série numérique un est dite de Cauchy si sa suite des sommes partielles est de Cauchy i.e ∀ > 0, ∃ n0 ∈ N tel que ∀(p, q) ∈ N2 on ait : (q > p ≥ n0 ⇒ |Sq − Sp | < ) ou encore q X ∀ > 0, ∃ n0 ∈ N tel que ∀(p, q) ∈ N2 on ait : (q > p ≥ n0 ⇒ uk < ) k=p+1 Proposition 4 P Une série un converge si et seulement si elle est de Cauchy P Preuve : La série un converge ⇔ sa suite des sommes partielles (Sn )n∈N converge. Or, (Sn )n∈N converge ⇔ (Sn )n∈N de Cauchy. Ainsi, le résultat est établi. LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 10 / 32  P 1 Exemple 3 : Montrons que la série harmonique n≥1 diverge. Pour cela, il suffit de n P 1 montrer que n≥1 n’est pas de Cauchy i.e n q X ∃ > 0, ∀ n ∈ N∗ tel que ∃(p, q) ∈ N2 on ait : (q > p ≥ n ⇒ uk ≥ ) k=p+1 En effet, pour q = 2n et p = n, on a 2n X 1 1 1 1 1 ∀ n ∈ N∗ , uk = + +... + ≥ n. =. n+1 n+2 2n 2n 2 k=n+1 1 P On en déduit que pour  = , n≥1 un n’est pas de Cauchy, et donc diverge. 2 LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 11 / 32  Séries à termes positifs LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 12 / 32 Séries à termes positifs Définition 5 : P La série n≥0 un est dite à termes positifs si pour tout n ≥ 0, un ≥ 0. P Remarquons si n≥0 un à termes positifs, la suite (Sn )n∈N est croissante i.e. Sn − Sn−1 = un ≥ 0, n ≥ 1. On a donc la proposition suivante : Proposition 5 P Une série à termes positifs n≥0 un converge si et seulement si sa suite des sommes partielles (Sn )n∈N est majorée, i.e. X un converge ⇔ (Sn )n∈N est majorée. n≥0 Remarque 4 Une série à termes positifs diverge d’une seule manière, qui correspond limn→+∞ Sn = +∞. Si un ≥ 0 qu’à partir de n ≥ n0 , la nature de la série est traitée comme une série à termes positifs, (voir la remarque 1.3). LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 13 / 32 Critère de comparaison Proposition 6 : Critère de comparaison (Comp) P P Soient un et vn à termes positifs telles que ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0 : un ≤ vn P P vn converge ⇒ un converge. P P un diverge ⇒ vn diverge. P e−n e−n Exemple 4 : Montrons que converge. On a ∀n ≥ 2, un = n(n−1) ≥ 0 et n(n − 1) −n e 1 P 1 ∀n ≥ 2, ≤. Or, converge (voir l’exemple 1). D’après le n(n − 1) n(n − 1) Pn(n − 1) Critère de comparaison, on déduit que un converge. P en 1 en P1 Exemple 5 : Montrons que diverge. On a ∀n ≥ 1, 0 ≤ ≤. Or, diverge n n n n P en (voir l’exemple 3). D’après le Critère de comparaison, on déduit que diverge. n LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 14 / 32 Critère d’équivalence Proposition 7 : Critère d’équivalence (équi) P P Soient un et vn à termes strictement positifs telles que un ∼ vn. Alors les deux +∞ séries sont de même nature. Preuve : Si un ∼ vn , on a +∞ un un lim = 1 ⇔∀ > 0, ∃ n0 ∈ N tel que ∀n ≥ n0 : −1 0, ∃ n0 ∈ N tel que ∀n ≥ n0 : − + 1 < 0, ∀n ≥ 2. n−1 n +∞ n(n − 1) P 1 Or, converge (voir l’exemple 1). D’après le critère d’équivalence, la série n(n − 1) converge aussi. sin n1 diverge. On a P Exemple 7 : Montrer que 1 1 sin ∼ > 0, ∀n ≥ 1. n +∞ n P1 P 1 Or, diverge (voir l’exemple 3). D’après le critère d’équivalence, sin n diverge n aussi. LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 16 / 32 Critère intégrale (supplémentaire) Proposition 8 : Critère intégrale Soit f : [n0 , ∞[ → R+ une fonction continue et décroissante, alors X Z ∞ ( f (n) converge ) ⇔ ( f (t)dt converge ). n≥n0 n0 LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 17 / 32 Séries de Riemann Définition 6 1 On appelle série de Riemann les séries de terme général un = , α ∈ R. nα Examinons les conditions de convergence d’une telle série : 1 P Cas 1 : Si α ≤ 0, lim un = lim α 6= 0. La CN n’est pas vérifiée, n≥1 un diverge. n→+∞ n→+∞ n 1 1 P1 Cas 2 : Si 0 < α ≤ 1, on a ∀n ≥ 1, ≤ α. Or, diverge (voir l’exemple 3). P n n n D’après le critère de comparaison, n≥1 un diverge aussi. P 1 R +∞ 1 Cas 3 : Si α > 1, n≥1 α est de même nature que l’intégrale 1 dt. Comme n tα R +∞ 1 l’intégrale généralisée 1 dt converge, on déduit, d’après le critère intégrale : P tα u n≥1 n converge. On a donc la proposition suivante : Proposition 9 : (Référence2) P 1 La série de Riemann n≥1 converge si et seulement si α > 1. nα LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 18 / 32 Séries de Bertrand Définition 7 1 On appelle série de Bertrand les séries de terme général un = , α, β ∈ R. nα logβ n En utilisant la condition nécessaire de convergence des séries numériques et le critère intégrale, on aura le résultat suivant : Proposition 10 : (Référence3) P 1 La série de Bertrand n≥2 converge si et seulement si (α > 1, β ∈ R) ou nα logβ n (α = 1, β > 1). LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 19 / 32 Règle de Riemann Proposition 11 : (Règle de Riemann) P Soit un une série à termes positifs. lim nα un = 0 et α > 1, alors P Si un converge. n→+∞ lim nα un = +∞ et α ≤ 1, alors P Si un diverge. n→+∞ Preuve : C’est une conséquence immédiate du critère de comparaison combiné avec la définition de la limite d’une suite numérique. Proposition 12 un une série à termes positifs et α ∈ R tels que lim nα un = l (l ∈ R∗+ ). P Soient n→+∞ P P 1 Alors, les deux séries un et nα sont de même nature. nα l Preuve : Si lim nα un = l et l ∈ R∗+ ⇒ lim un = 1 ⇒ un ∼ α. n→+∞ n→+∞ l +∞ n On conclut, d’après le critère d’équivalence : Les deux séries sont de même nature. LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 20 / 32 Règle de Riemann nα eβn (α ∈ R et β ∈ R∗ ) converge si et seulement P Exemple : Montrons que la série si β < 0. Posons un = nα eβn , Cas 1 : Si β > 0,   log n nα +β  lim nα eβn = lim eα log n+βn = lim e n = +∞, ∀α ∈ R. n→+∞ n→+∞ n→+∞ P La CN n’est pas vérifiée, donc un diverge. Cas 2 : β < 0, Appliquons la règle de Riemann : Soit γ > 1   log n n(α+γ) +β  lim nγ un = lim nα+γ eβn = lim e n = 0, ∀α ∈ R. n→+∞ n→+∞ n→+∞ P On en déduit un converge. On a donc la référence suivante : Référence4 nα eβn (α ∈ R et β ∈ R∗ ) converge si et seulement si β < 0. P La série numérique LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 21 / 32 Règle de Cauchy Proposition 13 : (Règle de Cauchy) P √ Soit un une série à termes positifs telle que lim n u n = l. Alors : n→+∞ P Si l > 1, alors la série un diverge. P Si l < 1, alors la série un converge. Si l = 1, on ne peut pas conclure.  n2 n+1 Exemple 8 : Montrons que la série de terme général un = diverge. On a n ∀n ≥ 1, un ≥ 0. Et s  n2  n    n n+1 n+1 1 lim = lim = lim exp n log 1 + = n→+∞ n n→+∞ n n→+∞ n     1 1 lim exp n +o = lim exp (1 + o (1)) = e > 1. n→+∞ n n n→+∞ P On déduit, d’après la règle de Cauchy : un diverge. LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 22 / 32 Règle de D’Alembert Proposition 14 : (Règle de D’Alembert) P un+1 Soit un une série à termes strictement positifs telle que lim = l. Alors : n→+∞ un P Si l > 1, alors la série un diverge. P Si l < 1, alors la série un converge. Si l = 1, on ne peut pas conclure. n! Exemple 9 : Montrons que la série de terme général un = n converge. On a n ∀n ≥ 1, un > 0. n (n + 1)! nn  un+1 n lim = lim. = lim n→+∞ un n→+∞ (n + 1)n+1 n! n→+∞ n+1  −n    1 1 = lim 1+ = lim exp −n log 1 + = e−1 < 1 n→+∞ n n→+∞ n P On conclut, d’après la règle de D’Alembert : un converge. LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 23 / 32 Lien entre les règles de Cauchy et de D’Alembert Proposition P Soit un une série à termes strictement positifs. Alors, un+1 [ √ lim = l ∈ R+ {+∞} ⇒ lim n un = l. n→+∞ un n→+∞ Remarque Il résulte de la proposition précédente que : La règle de Cauchy s’applique dans tous les cas où la règle de D’Alembert s’applique. Si l’on obtient pour limite l = 1 avec la règle de D’Alembert, il est inutile d’essayer d’utiliser la règle de Cauchy car on aura la même limite l = 1. LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 24 / 32  Séries à termes quelconques LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 25 / 32 Séries absolument convergentes Définition 7 P P La série numérique un est dite absolument convergente ssi la série |un | est une série convergente. Le résultat suivant montre l’intérêt des séries à termes positifs : Proposition Toute série numérique absolument convergente est une série convergente, i.e X X |un | converge ⇒ un converge Exemple : Montrons que la série de terme général un = cos2n n converge. On a  n  n cos n 1 1 P 1 ∀n ≥ 0, ≤ n =. Or, est une série géométrique convergente 2n 2 2 2 1 P P (r = 2 < 1) On déduit, d’après le critère de comparaison : |un | converge ⇒ un converge. Remarque : Une série est dite semi-convergente si elle est convergente sans être absolument convergente. LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 26 / 32 Règle d’Abel Théorème 1 : Règle d’Abel Soient (un )n et (vn )n deux suites numériques telles que la suite (un )n est décroissante et converge vers 0. ∗ Pn ∃M ∈ R+ tq ∀n ∈ N, |Sn | = k=0 vk = |v0 + v1 + v2 +... + vn | ≤ M. P Alors la série un vn converge. Exemple : Soient P décroissante tendant vers 0 et (x 6= 2Zπ). Montrer que P (un )n une suite les deux séries un cos nx et un sin nx convergent. Appliquons la règle d’Abel : 1. (un )n une suite décroissante et lim un = 0. n→+∞ 2. Considérons la suite vn = cos nx + i sin nx = einx. On a ∀n ∈ N et x 6= 2Zπ n X 1 − ei(n+1)x 2 1 vk = |v0 + v1 + v2 +... + vn | = ≤ = 1 − eix 1 − eix sin x2 k=0 En utilisant les inégalités |Re(z)| ≤ |z| et |Im(z)| ≤ |z|, on aura ∀n ∈ N, 1 1 |1 + cos x + cos 2x +.. + cos nx| ≤ et |sin x + sin 2x +.. + sin nx| ≤. sin x2 sin x2 P P On en déduit que les deux séries un cos nx et un sin nx convergent. LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 27 / 32 Règle d’Abel Proposition : (Référence5) P 1 P 1 Soient les séries numériques suivantes : cos nx et sin nx, x ∈ R/2Zπ nα nα Si α > 1, alors les deux séries sont absolument convergentes. Si 0 < α ≤ 1, alors les deux séries sont semi-convergentes. LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 28 / 32 Séries alternées Définition : (Séries alternées) On appelle série alternée une série numérique dont le terme général est de la forme (−1)n un , où un est une suite numérique de signe constant. Théorème 2 : (Règle de Leibnitz) alors la série alternée (−1)n un P Si la suite (|un |)n est décroissante et tend vers 0, P+∞ converge et le reste à l’ordre n défini par Rn = k=n+1 (−1)k uk vérifie : |Rn | ≤ |un+1 |. (−1)n (−1)n Test : Les séries de termes généraux un = α ∈ R, v n = et wn = (−1)n nα log n sont-elles convergentes ? LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 29 / 32 Technique du développement limité P Lorsque la série un n’est pas absolument convergente et que les critères liés à Abel et Leibnitz ne s’appliquent pas, on peut essayer de déterminer un développement limité du terme général un pour n au voisinage de +∞. Si on peut déterminer la nature des séries dont le terme général intervient dans le développement limité, on pourra conclure en ayant recours à la proposition 1 et à la proposition suivante : Proposition P P Si la série un est absolument convergente alors la série o(un ) est absolument convergente. Remarque : P Si la série Pun est semi-convergente ou divergente, on ne peut rien dire sur la nature de la série o(un ). LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 30 / 32 Technique du développement limité Exemple 1 : Déterminons la nature de la série de terme général 1 1 un = , n ≥ 2. En utilisant le développement limité 1+x = 1 − x + o(x), on 1 + (−1)n n obtient (−1)n (−1)n (−1)n   1 1 un = = 1 − + o( ) n 1 + (−1)n n n n n (−1)n 1 1 = − 2 + o( 2 ) n n n Or, P (−1)n est une série alternée convergente via Leibnitz. n P 1 est une série de Riemann convergente (α = 2 > 1). n2 P 1 P 1 o( n2 ) est une série convergente car est absolument convergente. n2 P Donc, par linéarité on en déduit que la série un converge. LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 31 / 32 Technique du développement limité   (−1)n Exemple 2 : Déterminons la nature de la série de terme général un = log 1 + √ n. En utilisant le développement limité log(1 + x) = x − 21 x2 + 13 x3 + o(x3 ), on obtient (−1)n (−1)n (−1)3n     1 1 un = log 1 + √ = √ − + 3 +o 3 n n 2n 3n 2 n2 Or, P (−1)n √ est une série alternée convergente via Leibnitz. n P 1 est une série de Riemann divergente (α = 1). 2n P (−1)3n 3 est absolument convergente. 3n 2   P 1 P 1 o 3 est une série convergente car 3 est absolument convergente. n2 n2 P Donc, par linéarité on en déduit que la série un diverge. LOUNIS Ferhat 28 septembre 2022 32 / 32