SF1668 Matematisk och numerisk analys I Tentamen PDF 2022

SF1668 Matematisk och numerisk analys I Tentamen Måndag, 17 januari 2022 Skrivtid: 08:00–13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maxi...

SF1668 Matematisk och numerisk analys I Tentamen Måndag, 17 januari 2022 Skrivtid: 08:00–13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen utgörs av de tre första uppgifterna. Till antalet erhållna poäng från del A adderas dina bonuspoäng. Poängsumman på uppgift 1 på del A kan dock som högst bli 12 poäng. De tre följande upp- gifterna utgör del B och de tre sista uppgifterna del C, som främst är till för de högre betygen. Bonuspoäng från kontrollskrivningen kan ersätta uppgift 4 på tentamen. Betygsgränserna vid tentamen kommer att ges av Betyg A B C D E Fx Total poäng 27 24 21 18 16 15 varav från del C 6 3 – – – – För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa. Det innebär speciellt att införda beteckningar definieras, att den logiska strukturen tydligt beskrivs i ord eller symboler och att resonemangen är väl motiverade och tydligt förklarade. Lösningar som allvar- ligt brister i dessa avseenden bedöms med högst två poäng. D EL A 1. Beräkna följande integraler. Z √2 x (a) 4 dx. (Ledning: Använd substitutionen u = x2.) (2 p) Z0 π x + 1 (b) x2 sin x dx. (2 p) 0 2. Bestäm den lösning till differentialekvationen y 00 + 2y 0 + y = 2 cos x som uppfyller begynnelsevillkoren y(0) = 2 och y 0 (0) = −1. (4 p) R5 3. Integralen 1 f (t)dt ska beräknas numeriskt med hjälp av värden enligt följande tabell t 1 2 3 4 5 f (t) 2 13 21 20 4 (a) Gör tre numeriska beräkningar av integralens värde med trapetsregeln och steglängderna 4, 2 och 1. (2 p) (b) Gör en skattning av noggrannhetsordningen baserat på resultaten från de tre beräkningarna i del (a). (2 p)  D EL B 4. Funktionen f ges av x f (x) = √. +1x4 Hitta största och minsta värde (d.v.s. globalt maximum och globalt minimum), eller förklara varför de inte existerar. (4 p) 5. Avgör om följande serier konvergerar eller divergerar: ∞ X n+1 (a). (2 p) n=1 2n ∞ X 2022n (b) √ (2 p) n=1 n! 6. Begynnelsevärdesproblemet y 0 (t) = (y(t))2 − 4t + 5, y(1) = α ska lösas numeriskt. (a) Använd två steg med metoden Euler framåt med steglängden 0,5 för att beräkna en ap- proximation av y(2) om α = 1. (1 p) (b) Beskriv en algoritm, gärna med MATLAB-kod, som bestämmer α så att y(2) = 3,5 där y(2) ska beräknas med Euler framåt med steglängden h = 0,01. (3 p) (Ledning: Fixpunktsmetoden kan användas med omskrivningen α = α − (y(2) − 3,5) med startgissningen α = 1 och  = 0,01. ) D EL C 7. Kurvan C definieras av ekvationen 1 − x2 y tan (x − y 2 ) =. 2x Använd implicit derivering för att bestämma en ekvation för den räta linje som tangerar kurvan C i punkten (x, y) = (1, 1). (4 p) 8. Låt funktionen f (x) vara definierad av ( 1
x2 sin x för x 6= 0, f (x) = 0 för x = 0. Använd definitionen av derivata för att beräkna f 0 (0), eller förklara varför derivatan inte existerar för x = 0. (4 p) 9. Beräkna gränsvärdet n X i2 lim. n→∞ i=1 n3 (4 p)