Cinématique Newtonienne - Lycée Banville - 2024-2025 - PDF

**Lycée BANVILLE Année : 2024-2025** ***Séance : Cours** Spé Phys-Chim Term Gr02* ***Thème 2 : Mouvement et interactions -- Décrire un mouvement*** **Cinématique newtonienne ** **ou** **comment décrire le mouvement d'un solide par la connaissance** **des caractéristiques de ses vecteurs positi...

**Lycée BANVILLE Année : 2024-2025** ***Séance : Cours** Spé Phys-Chim Term Gr02* ***Thème 2 : Mouvement et interactions -- Décrire un mouvement*** **Cinématique newtonienne ** **ou** **comment décrire le mouvement d'un solide par la connaissance** **des caractéristiques de ses vecteurs position, vitesse et accélération.** ***Newton :*** physicien, mathématicien et astronome anglais (1642-1727), il exposa les bases de sa mécanique en 1687 dans l\'ouvrage : \"Les principes mathématiques de la philosophie naturelle\". **[I. Mise en place du vocabulaire]** **[1. Notion de système - Centre d'inertie G d'un système]** **\* Système :** on appelle système, un objet que l\'on distingue de son environnement pour une étude particulière. Ce qui n'est pas le système est le milieu extérieur. **Il faut toujours préciser le système que l\'on étudie.** **\* Centre d'inertie :** on appelle centre d'inertie G d'un système, le barycentre du système, relatif à la masse. (*Si, le système possède un plan de symétrie, G appartient à ce plan. S'il possède un axe de symétrie, G est situé sur cet axe).* **[2. Notion de référentiel, de trajectoire -- Relativité du mouvement]** **\* Référentiel :** un référentiel est un solide de référence par rapport auquel on décrit le mouvement du système étudié. *Un référentiel est dit galiléen si les lois de Newton dans ce référentiel sont applicables.* Référentiels héliocentrique et géocentrique **\* Trajectoire :** courbe joignant les positions successives du centre d\'inertie du mobile. Si la courbe est une droite ou une portion de droite, la trajectoire et le mouvement sont qualifiés de **rectiligne**. Si la courbe est un cercle ou une portion de cercle, la trajectoire et le mouvement sont qualifiés de **circulaire**. Si la courbe est une parabole ou une portion de parabole, la trajectoire et le mouvement sont qualifiés de **parabolique**. Dans le cas où la trajectoire est une courbe quelconque, le mouvement est dit **curviligne** (quelconque) Le mouvement et ses propriétés sont relatifs au référentiel dans lequel on les décrit. La trajectoire d\'un mobile dépend du référentiel choisi pour décrire son mouvement. **Il faut toujours préciser le référentiel choisi pour l\'étude du mouvement d\'un solide.** **[3. Repères d\'espace et de temps ]** [a) Repère d'espace orthonormé fixe -- Vecteur position ] Un repère d\'espace fixe lié au référentiel (R) est l\'association d\'un point O, immobile dans le référentiel, nommé origine et d\'une base formée de trois vecteurs immobiles dans le référentiel. On note un tel repère dans l\'espace. Si le point G est le centre d'inertie du solide qui se déplace, le vecteur position correspond au vecteur [\$\\overrightarrow{\\text{OG\\ }}\$]{.math.inline} \ [\$\$\\overrightarrow{\\text{OG}} = x\\left( t \\right).\\overrightarrow{i}\\ + \\ \\ y\\left( t \\right).\\overrightarrow{j}\\ + \\ \\ z\\left( t \\right).\\overrightarrow{k}\$\$]{.math.display}\ [b) Repère mobile -- Base de Frenet] *Lorsque le solide est assujetti à se déplacer sur une courbe, on peut choisir un sens positif sur la trajectoire. La position du système à la date t est repérée par la mesure de l\'arc OG. Ce nombre algébrique est appelé **abscisse curviligne** du système à la date t et noté souvent s.* Si la trajectoire du centre d'inertie G du système étudié est quelconque, on peut assimiler les portions de courbes à des arcs de cercle fictifs. Dans ce cas, il est judicieux d'utiliser le repère mobile ou intrinsèque [(*G*, *t⃗*, *n⃗*)]{.math.inline} : - le vecteur unitaire [*t⃗* ]{.math.inline}(vecteur tangentiel) est tangent au cercle fictif décrit par G, il est orienté dans le même sens que la trajectoire du système ; - le vecteur unitaire [*n⃗*]{.math.inline} (vecteur normal) est perpendiculaire à et il est dirigé vers le centre du cercle fictif décrit par G, il est dit centripète. [C) Repère temps] Ce repère correspond à l'association d\'un instant origine, ou origine du temps ( t = 0 s), choisi arbitrairement et d\'une unité de durée, associée à un compteur de temps, le chronomètre. **Il faut toujours préciser les repères espace et temps choisis pour l\'étude du mouvement d\'un solide.** **[II. Connaissance du vecteur vitesse ou comment débuter une étude cinématique du mouvement]** **[1. Vitesse moyenne -- Vitesse instantanée]** **\* Vitesse moyenne d\'un point mobile :** quotient de la longueur l de son parcours par la durée τ correspondante : **\* Vitesse instantanée d\'un point mobile à la date t~1~ :** elle est pratiquement égale à la vitesse moyenne entre deux dates t~0~ et t~2~ très proches l\'une de l\'autre et encadrant la date t~1~. (Vitesse indiquée par le compteur d\'une voiture par exemple) **Attention la vitesse d\'un solide dépend du référentiel choisi pour décrire son mouvement.** **[2. Vecteur vitesse]** [a) Caractéristiques du vecteur vitesse - Représentation] À la date t~1~ où un point mobile M passe par la position M~1~, son vecteur vitesse , par rapport à un référentiel donné possède les caractéristiques suivantes : !(media/image7.png). [b) Expression des coordonnées du vecteur vitesse instantanée dans un repère orthonormé fixe] x(t), y(t) et z(t) sont des fonctions du temps appelées **équations horaires paramétriques (paramètre : temps t) du mouvement**, t est la variable ou le paramètre. \ [*V⃗* = *V*~*x*~(*t*).*i⃗* +  *V*~*y*~(*t*).*j⃗* +  *V*~*z*~(*t*).*k⃗*]{.math.display}\ [c) Expression des coordonnées du vecteur vitesse instantanée dans un repère mobile] Dans ce repère mobile, le vecteur vitesse, étant toujours tangent à la trajectoire, il est colinéaire au vecteur [*t⃗*]{.math.inline} : [*v⃗*= *v*~*t*~.*t⃗*]{.math.inline} s(t) est une fonctions du temps appelée **équation horaire paramétrique (paramètre : temps t) du mouvement**, t est la variable ou le paramètre. [d) Comment déterminer le vecteur vitesse sur un enregistrement de mouvement *(Cf. Tutoriel -- Cf TP n° 10)*] Sur les enregistrements de trajectoires, on représente de manière approchée le vecteur vitesse par une flèche : III. Approfondissement de l'étude cinématique par la connaissance du vecteur accélération ========================================================================================= **[1. Définition]**. Le vecteur accélération instantanée du centre d'inertie d'un solide est défini comme la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse du centre d'inertie : [\$\\overrightarrow{a} = \\ \\frac{d\\overrightarrow{v}}{\\text{dt}}\$]{.math.inline} *[Remarques :]* \ [\$\$\\overrightarrow{a}\\ \\neq \\ \\overrightarrow{O}\\ \\ \\ \\leftrightarrow \\ \\ \\ \\overrightarrow{v}\\ \\neq \\ \\overrightarrow{\\text{Ct}}\\text{\\ \\ \\ }\\mathbf{\\text{au\\ moins\\ une}}\\ des\\ 3\\ caractéristiques\\ \\left( direction,\\ sens,\\ norme \\right)\\text{du\\ vecteur\\ vitesse\\ }\$\$]{.math.display}\ [ change au cours du temps]{.math.inline} ***- Attention, si au cours d'un mouvement, [seule la norme du vecteur vitesse est constante], l'accélération est non nulle.*** *- Comme le vecteur vitesse, le vecteur accélération est relatif à un référentiel.* *- Dans le système international, le m.s^-2^ est l'unité de l'accélération, \[a\] = L.T ^-2^. Pour une accélération de 10 m.s^-2^, la norme du vecteur vitesse augmente de 10 m.s^-1^ toutes les secondes.* **[2. Détermination pratique de l'accélération moyenne]** *[Remarque :]* *- le vecteur accélération est de même sens et de même direction que la variation du vecteur vitesse entre les deux dates considérées.* 3. Expression des composantes du vecteur accélération ===================================================== [a. Dans un repère orthonormé fixe] Soit le repère orthonormé (O,), on pose G centre d'inertie du système étudié : \ [*a⃗* = *a*~*x*~(*t*).*i⃗* +  *a*~*y*~(*t*).*j⃗* +  *a*~*z*~(*t*).*k⃗*]{.math.display}\ [b. Dans un repère mobile -- Base de Frenet] \- le vecteur accélération possède deux composantes : une tangentielle et une normale : IV. Étude de quelques mouvements particuliers *(Cf TP)* ======================================================= [1. Mouvement rectiligne ] \- Trajectoire : droite, portion de droite, succession de droites. \- Repère choisi : un seul axe : (0x) par exemple \- Vitesse : \> 0, \< 0 (projection) Vecteur vitesse : même sens et même direction en tout point (à chaque instant) \- Accélération : \> 0, \< 0 (projection) [2. Mouvement rectiligne uniforme] \- Trajectoire : droite, portion de droite, succession de droites. \- Repère choisi : un seul axe : (0x) par exemple \- Vitesse : le vecteur vitesse est un vecteur constant (direction constante, sens contant et norme constante) \- Accélération : le vecteur accélération est égale à vecteur nul. (Pas d'accélération) -- -- -- -- -- -- [3. Mouvement rectiligne uniformément accéléré] \- Trajectoire : droite, portion de droite, succession de droites. \- Repère choisi : un seul axe : (0x) par exemple \- Vitesse : ce n'est pas un vecteur constant (au moins une des caractéristiques n'est pas constante : direction, sens, norme). \- Accélération : le vecteur accélération n'est pas égale à vecteur nul, il est colinéaire au vecteur vitesse. La norme du vecteur accélération est constante d'où la caractéristique du mouvement : uniformément accéléré. Si le vecteur accélération est de même sens que le vecteur vitesse, le mouvement est dit **accéléré**. Si les deux vecteurs ont des sens opposés, le mouvement est dit **décéléré**, **freiné ou retardé**. -- -- -- -- -- -- [4. Mouvement circulaire ] \- Trajectoire : cercle ou portion de cercle. \- Repère choisi : repère de Frenet (repère mobile ou intrinsèque) \- Vitesse : le vecteur vitesse n'est pas un vecteur constant car sa direction et son sens ne sont pas constants. \- Accélération : le vecteur accélération n'est pas égal à vecteur nul car le vecteur vitesse n'est pas un vecteur constant. [5. Mouvement circulaire uniforme] \- Trajectoire : cercle ou portion de cercle. \- Repère choisi : repère de Frenet (repère mobile ou intrinsèque) \- Vitesse : le vecteur vitesse n'est pas un vecteur constant car sa direction et son sens ne sont pas constants, mais le mouvement étant uniforme la norme du vecteur vitesse est constante. \- Accélération : le vecteur accélération n'est pas égal à vecteur nul car le vecteur vitesse n'est pas un vecteur constant.