Cinématique du point matériel - Chapitre 2 PDF

Table des matières 2 Cinématique du point matériel 21 1 Introduction...................................... 21 1.1 Notion de référentiel, repère et système de coordonnées.......... 21 1.2...

Table des matières 2 Cinématique du point matériel 21 1 Introduction...................................... 21 1.1 Notion de référentiel, repère et système de coordonnées.......... 21 1.2 Trajectoire.................................. 23 2 Mouvement d’un point matériel........................... 23 2.1 Vecteur position................................ 23 2.2 Vecteur déplacement............................. 24 2.3 Vecteur vitesse................................ 24 2.4 Vecteur accélération............................. 24 3 Étude du mouvement en coordonnées cartésiennes................. 25 3.1 Exemple d’application : Mouvement rectiligne............... 28 3.1.1 Définitions............................. 28 3.1.2 Relations intégrales......................... 31 3.1.3 Mouvements rectilignes particuliers................ 33 4 Étude du mouvement dans le plan.......................... 36 4.1 Coordonnées curvilignes........................... 36 4.1.1 Base de Frenet........................... 36 4.1.2 Abscisse et vitesse curvilignes.................. 37 4.1.3 Les composantes intrinsèques du vecteur accélération..... 38 4.2 Coordonnées polaires............................. 39 4.2.1 Système de coordonnées polaires................. 39 4.2.2 Vecteurs position, vitesse et accélération............. 40 4.3 Exemple d’application : Mouvement circulaire............... 42 5 Étude du mouvement dans l’espace - Coordonnées cylindriques.......... 45 5.1 Base cylindrique............................... 45 5.2 Vecteurs position, vitesse et accélération.................. 47 6 Mouvement relatif - Changement de repère..................... 48 6.1 Position du problème............................. 48 6.2 Loi de composition des vitesses....................... 49 6.3 Loi de composition des accélérations.................... 50 i Chapitre 2 Cinématique du point matériel 1 Introduction Le mouvement d’un objet correspond à un changement continu de positions occupées par cet objet. La branche de la physique qui étudie les mouvements est la mécanique qui se subdivise en deux sous-branches que sont la cinématique et la dynamique. La cinématique consiste à décrire ce mouvement sans s’attacher aux causes qui le pro- duisent, alors que la dynamique relie les causes du mouvement, que sont les forces, au mouve- ment lui-même. Nous nous limiterons dans tout ce qui suit à l’étude du mouvement des points matériels. Par définition un point matériel est un objet sans dimensions spatiales. Bien entendu, dans la plupart des cas, il s’agit d’une approche (approximation), les objets réels occupant généralement un certain espace. Néanmoins, ce concept est utile dans bon nombre de situations réelles où on ne s’intéresse pas aux rotations de l’objet sur lui-même ou lorsque les dimensions de l’objet peuvent être négligées. Par exemple, si nous souhaitons décrire le mouvement de la terre autour du soleil, nous pouvons considérer la terre comme un point matériel. Nous obtenons ainsi des données correctes sur son orbite. Cette approximation est justifiée par le fait que le rayon de l’orbite de la terre est très grand par rapport aux dimensions de la terre et du soleil. En résumé La cinématique décrit le mouvement et la dynamique l’explique (en termes de forces). Point matériel : modèle mathématique qui consiste à associer à un objet matériel en mouvement un point géométrique sans dimensions affecté de la masse totale de l’objet. 1.1 Notion de référentiel, repère et système de coordonnées Nous introduisons la notion de référentiel et de système de coordonnées par ces quelques extraits du livre d’Einstein 1. 1. Albert Einstein, La relativité, Petite Bibliothèque Payot Paris (1964), traduit par Maurice Solovine. 21 22 Cinématique du point matériel “...Toute description d’un lieu où se produit un évènement, ou bien où se trouve un objet, consiste en ceci qu’on indique le point d’un corps rigide (corps de référence) avec lequel cet évènement coı̈ncide...” “...On voit par cette considération qu’on obtient un avantage pour la description des lieux si l’on réussit à se rendre indépendant des points pourvus de noms qui existent sur le corps rigide auquel est rapportée l’indication des lieux. C’est ce que atteint la Physique dans ses mesures par l’emploi du système de coordonnées cartésien. Ce système se compose de trois plans rigides perpendiculaires deux à deux et liés à un corps rigide...” Les notions de référentiel et de système de coordonnées sont définies dans le livre de Gruber 2 comme suit : Définition 1 On appelle référentiel R, un ensemble de N points (N > 4), non coplanaires, immobiles les uns par rapport aux autres, par rapport auxquels on étudie le mouvement d’un système. Par extension, on appelle aussi référentiel l’ensemble de tous les points immobiles par rapport aux N points considérés. L’observateur et ses appareils de mesure sont supposés immobiles par rapport à R. Définition 2 On appelle système de coordonnées à l’instant t, toute paramétrisation des points du référentiel au moyen de trois nombres réels (q1 , q2 , q3 ). L’essentiel La description du mouvement d’un solide se fait relativement à un référentiel, corps solide rigide. Pour rendre compte quantitativement de la position d’un mobile à tout instant relativement à un référentiel donné, on choisit un repère rigidement lié à ce référentiel et on lui associe un système de coordonnées. Exemple Pour étudier le mouvement d’une planète (que l’on peut considérer comme un point matériel) en orbite autour du soleil : Le référentiel choisi est : le soleil et trois étoiles fixes (référentiel héliocentrique). Le repère choisi : repère orthonormé dont l’origine O est confondue avec le centre du soleil et les trois axes orthogonaux deux à deux sont orientés vers les trois étoiles fixes. Le systèmes de coordonnées choisi : système de coordonnées sphériques caractérisées par une longueur r et deux angles θ et ϕ. 2. Christian Gruber, Willy Benoit Mécanique Générale, nouvelle édition revue et augmentée, Presses poly- techniques et universitaires romandes, Lausanne (1998). 2. Mouvement d’un point matériel 23 − →r u − u→ ϕ − →θ u r θ O ϕ 1.2 Trajectoire M1 b M2 On décrit le mouvement d’un point matériel si on connait à t1 b t2 chaque instant sa position dans l’espace. L’ensemble de ces positions b M3 (M1 , M2 , M3 , M4 ,...) constitue la trajectoire. t3 La trajectoire est la courbe décrite par le point matériel b M4 t4 dans le référentiel d’étude. 2 Mouvement d’un point matériel Considérons un point matériel M en mouvement par rapport à un référentiel R coı̈ncidant avec l’origine O d’un repère orthonormé. 2.1 Vecteur position M1 b M2 La position du point matériel M est déterminée par le vecteur b −−→ position OM reliant l’origine O à la position occupée par ce point −−−→ OM1 −−−→ M3 OM2 b matériel à un instant t quelconque. −−−→ OM3 b Le vecteur position varie en module et en direction au cours du temps : O −−→ −−−→ OM (t1 ) = OM1 −−→ −−−→ OM (t2 ) = OM2.... =.. −−→ −−→ OM (ti ) = OMi 24 Cinématique du point matériel 2.2 Vecteur déplacement M1 b M2 b Le déplacement du point matériel de la position M1 , repérée −−−−→ M1 M2 −−−→ par le vecteur position OM1 , à la position M2 , repérée par le vecteur −−−→ OM1 −−−→ −−−−→ position OM2 , est déterminé par le vecteur déplacement M1 M2 tel −−−→ OM2 que : −−−−→ −−−→ −−−→ b M1 M2 = OM2 − OM1 O Le vecteur déplacement est indépendant de l’origine O ou du repère choisi. Si M1 et M2 sont très proches, le déplacement du point matériel entre ces deux positions devient −−→ infiniment petit. On parle alors de déplacement élémentaire représenté par le vecteur dOM tel que : −−→ −−−→ −−−→ dOM = OM2 − OM1 2.3 Vecteur vitesse Le vecteur vitesse moyenne du point matériel M entre deux instants t1 et t2 , corres- pondant aux positions M1 et M2 , est défini par le vecteur → − v m tel que : −−−−→ −−−→ −−−→ −−→ → − M1 M2 OM2 − OM1 ∆OM vm= = = t2 − t1 t2 − t1 ∆t M1 M2 Le module de → −v m est : k→ −v m k = vm =. → − ∆t v m a la même direction et le même sens que le vecteur déplacement. Le vecteur vitesse instantanée du point matériel M à un instant particulier t1 6 t 6 t2 , correspondant à une position donnée M , est défini comme la limite du vecteur vitesse moyenne dans l’intervalle de temps [t1 , t2 ] lorsque celui-ci tend vers zéro : −−→ → − → − ∆OM v = lim v m = lim ∆t−→0 ∆t−→0 ∆t On reconnait l’expression de la dérivée et on note : −−→ → − dOM v = dt Le vecteur vitesse instantanée est la dérivée par rapport au temps du vecteur position. Il caractérise la façon dont varie le vecteur position au cours du temps. Le vecteur vitesse instantanée est tangent à la trajectoire. Son sens est celui du mouve- ment. L’unité de la vitesse dans le système international est le m · s−1. 2.4 Vecteur accélération Le vecteur accélération moyenne du point matériel M entre deux instants t1 et t2 , correspondant aux positions M1 et M2 , est défini par le vecteur → − a m tel que : ∆v→ − → −am = ∆t → − → − → − où ∆ v = v 2 − v 1 est la variation du vecteur vitesse instantanée entre ces deux instants. 3. Étude du mouvement en coordonnées cartésiennes 25 M1 − → v1 b M2 b v− → 2 − → am −→ △v v− → 2 −− → v1 Le vecteur accélération instantanée du point matériel M à un instant particulier t1 6 t 6 t2 , correspondant à une position donnée M , est défini comme la limite du vecteur accélération moyenne dans l’intervalle de temps [t1 , t2 ] lorsque celui-ci tend vers zéro : → − ∆→ − v a = lim ∆t−→0 ∆t On reconnait l’expression de la dérivée et on note : −−→ → − d→ −v d2 OM a = = dt dt2 Le vecteur accélération instantanée est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse. Il caractérise la façon dont varie le vecteur vitesse au cours du temps. L’unité de l’accélération dans le système international est le m · s−2. 3 Étude du mouvement en coordonnées cartésiennes On considère le système de coordonnées cartésiennes (x, y, z)pour décrire le mouvement →− → − → − du point matériel M dans la base orthonormée directe i , j , k. z M − → k − → j y − → i O x ˆ Le vecteur position est donné par : −−→ →− → − → − OM (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k Les composantes, fonction du temps, x (t), y (t) et z (t) sont appelées équations paramé- triques du mouvement en coordonnées cartésiennes. 26 Cinématique du point matériel   x1 ˆ Si le point matériel M subit un déplacement élémentaire de la position M1  y1 vers une   z1   x1 + dx position très proche M2  y1 + dy , le vecteur déplacement élémentaire est donné par :   z1 + dz −−→ −−−→ −−−→ → − → − → − dOM = OM2 − OM1 = dx i + dy j + dz k ˆ Le vecteur vitesse s’écrit comme suit : −−→ → − → − → − → − dOM (t) dx → − di dy → − dj dz → − dk v (t) = = i +x + j +y + k +z dt dt dt dt dt dt dt → − → − → − les vecteurs unitaires i , j et k étant invariants dans le temps : → − → − → − di dj dk → − = = = 0 dt dt dt on déduit que : → − →− → − → − v (t) = vx (t) i + vy (t) j + vz (t) k Les composantes de la vitesse sont données par :  dx  v =  x dt   dy vy = dt    v = dz z dt Remarque Pour le vecteur vitesse, on utilise souvent la notation simplifiée suivante : → − → − → − → − v (t) = ẋ i + ẏ j + ż k avec : dx ẋ = dt dy ẏ = dt dz ż = dt Le module de → − v est : k→ − q p vk= vx2 + vy2 + vz2 = ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ˆ Le vecteur accélération est donné par : −−→ → − d→ − v (t) d2 OM (t) dvx → − dvy → − dvz → − d2 x → − d2 y → − d2 z → − a (t) = = = i + j + k = i + j + k dt dt2 dt dt dt dt2 dt2 dt2 3. Étude du mouvement en coordonnées cartésiennes 27 soit : → − →− → − → − a (t) = ax (t) i + ay (t) j + az (t) k Les composantes de l’accélération sont données par :  dvx d2 x ax = dt = dt2    2 ay = dv y dt = ddt2y   a = dvz = d2 z  z dt dt2 Remarque Pour le vecteur accélération, on utilise souvent la notation simplifiée suivante : → − → − → − → − a (t) = ẍ i + ÿ j + z̈ k avec : d2 x ẍ = dt2 d2 y ÿ = dt2 d2 z z̈ = dt2 Le module de → − a est : k→ − q p ak= a2x + a2y + a2z = ẍ2 + ÿ 2 + z̈ 2 Exemple : Mouvement à deux dimensions Les équations paramétriques du mouvement d’un point matériel M sont données en fonction du temps par :  x (t) = 4t y (t) = −5t2 + 2t + 1 −−→ → −
→ − Le vecteur position s’écrit alors : OM = (4t) i + −5t2 + 2t + 1 j dx → − dy → − → − → − Le vecteur vitesse a pour expression : → − v = i + j = 4 i + (−10t + 2) j dt dt dvx → − dvy → − → − Le vecteur accélération est donné par : → − a = i + j = −10 j dt dt À l’instant t1 = 1s, on aura : −−−→ → − → − OM1 = 4 i −2 j → − → − → − v 1 = 4 i −8 j → − → − a1 = −10 j 28 Cinématique du point matériel À l’instant t2 = 2s, on aura : −−−→ → − → − OM2 = 8 i − 15 j → − → − → − v 2 = 4 i − 18 j → − → − a 1 = −10 j Pour ce mouvement, l’accélération est indépendante du temps. Les vecteurs déplacement, vitesse moyenne et accélération moyenne entre les instants t1 et t2 auront pour expression : −−−−→ −−−→ −−−→ → − → − M1 M2 = OM2 − OM1 = 4 i − 13 j −−−−→ → − → − → −v =M 1 M2 = 4 i − 13 j m t2 −t1 → − → − → − → − am = vt22 − v1 −t1 = −10 j 3.1 Exemple d’application : Mouvement rectiligne Le choix de ce mouvement est motivé par sa facilité de description à travers des équations simples. x Mb → − O i Un mouvement rectiligne s’effectue le long d’une trajectoire droite.  → − Ce mouvement peut alors être étudié dans un repère à une dimension O, i dont l’axe Ox est porté par la trajectoire. 3.1.1 Définitions Le vecteur position, dépendant du temps, a pour expression : −−→ →− OM (t) = x (t) i La relation x = f (t) constitue l’équation horaire du mouvement et la courbe représenta- tive de cette fonction constitue le diagramme des espaces. Le vecteur déplacement, dépendant du temps, entre deux positions M1 et M2 , a pour expression : −−−−→ −−−→ −−−→ →− M1 M2 (t) = OM2 (t) − OM1 (t) = (x2 (t) − x1 (t)) i Le vecteur déplacement élémentaire, dépendant du temps, entre deux positions très proches M1 et M2 , a pour expression : −−−→ −−−→ −−−→ →− dOM (t) = OM2 (t) − OM1 (t) = dx (t) i 3. Étude du mouvement en coordonnées cartésiennes 29 Le vecteur vitesse, dépendant ou pas du temps, a pour expression : −−→ → − dOM dx → − → − v = = i = vx (t) i dt dt La relation vx = f (t) constitue l’équation horaire de la vitesse et la courbe représentative de cette fonction constitue le diagramme des vitesses. Le vecteur accélération, dépendant ou pas du temps, a pour expression : −−→ → − d2 OM d2 x → − →− a = 2 = 2 i = ax (t) i dt dt La relation ax = f (t) constitue l’équation horaire de l’accélération et la courbe repré- sentative de cette fonction constitue le diagramme des accélérations. Exemple Un mobile, que l’on considèrera comme un point matériel, effectue un mouvement rectiligne suivant l’axe Ox. L’équation horaire du mouvement est donnée par : x (t) = t2 + t + 2 (x est en mètres et.t est en secondes) Représentons le vecteur position aux instants t = 0 s et t = 1 s. −−−→ → − À t = 0 s, x = 2 m et OM1 (t = 0 s) = 2 i −−−→ → − À t = 1 s, x = 4 m et OM2 (t = 1 s) = 4 i Représentons le vecteur déplacement entre les instants t = 0 s et t = 1 s. −−−−→ → − ∆x = x (t = 1 s) − x (t = 0 s) = 2 m et M 1 M2 = 2 i Représentons le vecteur vitesse aux instants t = 0 s et t = 1 s. dx → − → − vx = = 2t + 1 et v (t) = (2t + 1) i dt → − À t = 0 s, vx = 1 m · s−1 et → −v (t = 0 s) = i → − → − À t = 1 s, vx = 3 m · s−1 et v (t = 1 s) = 3 i − → v (t = 0) − → v (t = 1) b b − → x=2 x=4 i b b O t=0 t=1 X b b −−−→ −−−−→ OM1 M1 M2 b −−−→ OM2 Remarques Il ne faut pas confondre le module du vecteur déplacement entre deux positions M1 et M2 avec la distance parcourue entre ces deux positions. Si l’on considère le mouvement rectiligne suivant le trajet M1 → O → M2 sur l’axe Ox, le 30 Cinématique du point matériel −−−−→ module du vecteur déplacement est M1 M2 = |x2 − x1 |, tandis que la distance parcourue est −−−→ −−−→ d = M1 O + OM2 = |x1 | + |x2 |. − → i b M1 M2 b O x1 x2 x b b b −−−→ −−−−→ M1 O M1 M2 b b −−−→ OM2 À partir du diagramme des espaces, on peut déterminer la vitesse moyenne entre deux instants t1 et t2 , correspondant aux positions M1 et M2 , en calculant la pente de la droite passant par les points A1 (t1 , x1 ) et A2 (t2 , x2 ) (voir figure ci-dessous) : x2 − x1 4x vx m = = t2 − t1 4t À partir du diagramme des espaces, on peut aussi déterminer la vitesse instantanée à un instant donné  ti en calculant la pente de la tangente à la courbe x (t) au point Ai (ti , xi ) et d’équation dx x= (t − ti ) + x (t = ti ) (voir figure ci-dessous) : dt t=ti   dx vx (t = ti ) = dt t=ti x(t) e x(t) ent ng Ta A2 x2 b Ai xi b △x A1 x1 b △t t1 t2 t ti t Vitesse moyenne Vitesse instantanne De même, on peut, à partir du diagramme des vitesses, déterminer l’accélération moyenne entre deux instants t1 et t2 , correspondant aux positions M1 et M2 , en calculant la pente de la droite passant par les points (t1 , v1x ) et (t2 , v2x ) : vx 2 − vx 1 4vx axm = = t2 − t1 4t À partir du diagramme des vitesses, on peut aussi déterminer l’accélération instantanée à un instant  donné  ti en calculant la pente de la tangente à la courbe vx (t) à cet instant et d’équation dvx vx = (t − ti ) + vx (t = ti ) : dt t=ti   dvx ax (t = ti ) = dt t=ti 3. Étude du mouvement en coordonnées cartésiennes 31 3.1.2 Relations intégrales Nous avons vu dans ce qui précède comment passer, par dérivation, de la position vers la vitesse et de la vitesse vers l’accélération. Dans cette partie, nous montrerons le passage en sens inverse par intégration. Vitesse  position Connaissant l’équation horaire de la vitesse vx (t), on pourra déterminer l’équation horaire du mouvement sachant que : dx vx (t) = dt soit : dx = vx (t) dt par intégration entre deux instants t1 et t2 , on obtient la variation de la position : ˆ t2 x (t2 ) − x (t1 ) = vx (t) dt t1 Si la position x0 du mobile à un instant particulier t0 est connue, il est ainsi possible de déterminer la position à n’importe quel instant t selon l’expression : ˆ t x (t) = x0 + vx (t) dt t0 Accélération  vitesse Connaissant l’équation horaire de l’accélération ax (t), on pourra déterminer l’équation horaire de la vitesse sachant que : dvx ax (t) = dt soit : dvx = ax (t) dt par intégration entre deux instants t1 et t2 , on obtient la variation de la vitesse : ˆ t2 vx (t2 ) − vx (t1 ) = ax (t) dt t1 Si la vitesse vx0 du mobile à un instant particulier t0 est connue, il est ainsi possible de déter- miner la vitesse à n’importe quel instant t selon l’expression : ˆ t vx (t) = vx0 + ax (t) dt t0 32 Cinématique du point matériel Remarques ´t Graphiquement, le déplacement 4x = x (t2 ) − x (t1 ) = t12 vx (t) dt représente l’aire algébrique (négative si elle se trouve au dessous de l’axe des temps et positive si elle est au dessus) délimitée par la courbe de vx (t), l’axe des temps et les droites verticales t = t1 et t = t2. Graphiquement, la distance parcourue entre deux instants donnés représente la somme des valeurs absolues des aires algébriques délimitées par la courbe de vx (t), l’axe des temps et les droites verticales correspondant à ces instants. ´t De même, graphiquement, la variation de vitesse 4vx = vx (t2 ) − vx (t1 ) = t12 ax (t) dt représente l’aire algébrique (négative si elle se trouve au dessous de l’axe des temps et positive si elle est au dessus) délimitée par la courbe de ax (t), l’axe des temps et les droites verticales t = t1 et t = t2. vx (t) ax (t) △x △vx t1 t2 t t1 t2 t Exemple 1 L’équation horaire de l’accélération d’un point matériel est : ax (t) = 2t Sachant qu’à l’instant t = 0 s, la vitesse est vx0 = 1 m · s−1 , déterminons l’équation horaire de la vitesse : ˆ t ˆ t vx (t) = vx0 + ax (t) dt = 1 + 2t dt 0 0 2 = 1+t Sachant qu’à l’instant t = 0 s, la position est x0 = 2 m, déterminons l’équation horaire du mouvement : ˆ t ˆ t 1 + t2 dt
x (t) = x0 + vx (t) dt = 2 + 0 0 t3 = 2+t+ 3 3. Étude du mouvement en coordonnées cartésiennes 33 Exemple 2 Soit le diagramme des vitesses suivant : vx (m/s) 2 S1 3 4 2 S2 t(s) S3 -2 Sachant qu’à l’instant t = 0 s, le mobile se trouve au point d’abscisse x0 = 1 m, déterminons x (t = 2 s) et x (t = 4 s) : ˆ t=2 2×2 x (t = 2 s) = x0 + vx (t) dt = 1 + aire S1 = 1 + = 3m 0 2 ˆ t=4 ˆ t=3 ˆ t=4 x (t = 4 s) = x (t = 2 s) + vx (t) dt = x (t = 2 s) + vx (t) dt + vx (t) dt t=2 t=2 t=3 = 3 + aire S2 + aire S3 = 0m Le déplacement entre les instants t = 2 s et t = 4 s est : x (t = 4 s) − x (t = 2 s) = 0 − 3 = −3 m ou : ˆ t=4 ˆ t=3 ˆ t=4 x (t = 4 s) − x (t = 2 s) = vx (t) dt = vx (t) dt + vx (t) dt t=2 t=2 t=3 = aire S2 + aire S3 = −3 m La distance parcourue entre les instants t = 2 s et t = 4 s est : (−2) × 1 d = |aire S2 | + |aire S3 | = + |((−2) × 1)| = 3 m 2 le mouvement rectiligne étudié est résumé dans la figure ci-dessous. O → − x=1 x=3 i b b t=2 x t=4 t=0 b b M M2 b 1 d −−−−→ M1 M2 3.1.3 Mouvements rectilignes particuliers Mouvement Rectiligne Uniforme (M. R. U.) Le mouvement rectiligne uniforme est caractérisé par : une vitesse constante : vx (t) = v0 = Cte 6= 0 une accélération nulle : ax = dv0 dt =0 une équation horaire du mouvement qui s’obtient par intégration de la vitesse : ˆx(t) ˆt dx = v0 dt =⇒ x (t) = x (t0 ) + v0 (t − t0 ) x(t0 ) t0 34 Cinématique du point matériel L’allure des diagrammes des accélérations, vitesses et espaces est illustrée dans les figures ci- dessous : ax (t) vx (t) x(t) v0 > 0 >0 si v 0 x0 t si v v0 < 0 0 0 (vecteurs vitesse et accélération → − → − dans le même sens) et uniformément décéléré si a · v < 0 (vecteurs vitesse et accélération opposés en sens). À partir des équations horaires x (t) et vx (t), on tire une troisième expression en éliminant (t − t0 ) : vx2 (t) − vx2 (t0 ) = 2a0 [x (t) − x (t0 )] L’allure des diagrammes des accélérations, vitesses et espaces est illustrée dans les figures ci- dessous : 3. Étude du mouvement en coordonnées cartésiennes 35 ax (t) vx (t) x(t) a0 < 0 a0 > 0 si vx > 0 >0 si a 0 vx0 a >0 si v 0 > t si a x 0 vx0 0 < x0 0 a0 < 0 t t Diagramme des accélérations Diagramme des vitesses Diagramme des espaces L’accélération moyenne et l’accélération instantanée sont confondues et obtenues graphique- ment par la pente de la droite vx (t). Mouvement rectiligne sinusoı̈dal Le mouvement rectiligne sinusoı̈dal d’un mobile M est défini sur l’axe (x0 Ox) par : −−→ →− OM = x (t) i , x (t) = A cos (ωt + ϕ) x(t) : représente l’amplitude du mouvement ; ωt + ϕ : représente la phase ; ϕ : représente la phase initiale ; A : représente l’amplitude maximale du mouvement ; ω : représente la pulsation du mouvement ou la fréquence angulaire. La période T et la 2π fréquencef du mouvement sont reliées à la pulsation par la relation ω = = 2πf. T x(t) T +A t −A L’abscisse x de M varie entre A et −A. L’équation horaire de la vitesse est donnée par : dx vx (t) = = −Aω sin (ωt + ϕ) dt L’équation horaire de l’accélération est donnée par : dvx ax (t) = = −Aω 2 cos (ωt + ϕ) = −ω 2 x (t) dt 36 Cinématique du point matériel La position x (t) vérifie l’équation différentielle : d2 x + ω2x = 0 dt2 4 Étude du mouvement dans le plan 4.1 Coordonnées curvilignes 4.1.1 Base de Frenet Pour un point matériel M en mouvement, dans un plan, sur une trajectoire curviligne, les vecteurs vitesse et accélération peuvent parfois être exprimés d’une façon plus commode dans une base orthonormée dite base de Frenet. Cette base, liée au point M , est formée des vecteurs : → − ut : Vecteur unitaire tangent à la trajectoire à tout instant et orienté dans le sens du mouvement. − → : Vecteur unitaire normal à → u − ut dirigé vers l’intérieur de la concavité et tel que n d → − u − →=ρ u t (relation qui sera démontrée plus tard). n ds ρ est appelé rayon de courbure et s est appelée abscisse curviligne. Remarques La base de Frenet, étant liée au point M , les directions des vecteurs unitaires →− ut et − u→n peuvent varier au cours du temps. En un point donné M de la trajectoire curviligne, le rayon de courbure ρ est la longueur définie telle que les normales à la trajectoire en ce point et en un autre point très proche M 0 se coupent en un point C, centre d’un cercle tangent à la trajectoire et localement confondu avec elle au voisinage du point M. Si ρ est constant en tout point de la trajectoire, le mouvement est alors circulaire de rayon ρ. → − u M M′ t b b →n − u ρ − → un → − ut 4. Étude du mouvement dans le plan 37 4.1.2 Abscisse et vitesse curvilignes Lorsqu’un point matériel M est en mouvement dans un plan, sur une trajectoire curviligne, on peut repérer sa position par son abscisse curviligne. Celle-ci est définie comme suit : On oriente la trajectoire dans le sens du mouvement. On choisit un point fixe O comme origine des abscisses curvilignes. L’abscisse curviligne est alors la mesure algébrique s de l’arc de la trajectoire parcourue _ par le point matériel : s = OM. t) −v → s( −−→ − → dOM u t b b M M′ dθ ρ b O ⊕ Lorsqu’on fait varier de manière élémentaire la position du point M à un instant t vers la position voisine M 0 à l’instant t + dt, le long de la trajectoire curviligne (voir figure ci-dessus), son abscisse curviligne passe de s à s + ds, le rayon de courbure ρ balayant un angle élémentaire dθ. Le vecteur déplacement élémentaire est tangent à la trajectoire et s’écrit comme : −−→ −−−→ dOM = M M 0 = ds → − ut = ρ dθ → − ut Dans la base de Frenet, le vecteur vitesse, tangent à la trajectoire, peut s’écrire : _ → − dOM → − ds → − v (t) = ut = ut = v(t)− → ut dt dt ds où v(t) = = ṡ correspond à la valeur algébrique de la vitesse curviligne. dt Complément Retrouvons l’expression du vecteur unitaire − u→ n : → − ut étant un vecteur unitaire tournant (cf. chapitre 1 §4.8), sa dérivée par rapport à l’abscisse curviligne s, peut s’écrire comme : d→ − ut d→− ut dθ = · ds dθ ds sachant que : dθ 1 ds = ρ dθ =⇒ = ds ρ et que lorsque la concavité de la trajectoire est telle que − u→ → − n est perpendiculaire à ut dans le sens trigono- métrique direct : d→ − ut =− u→ n dθ 38 Cinématique du point matériel alors : d→ − ut 1→ = −un ds ρ Notons que lorsque la concavité est telle que − u→ → − n est perpendiculaire à ut dans le sens opposé au sens trigonométrique : d→ − ut d→− ut 1→ = −−u→ n =⇒ =− − un dθ ds ρ 4.1.3 Les composantes intrinsèques du vecteur accélération Dans la base de Frenet, l’expression du vecteur accélération est alors donnée par : − → at M → − d→− ut → − v d b a (t) = = (v (t) → − ut ) →n − dt dt u −a → dv →− d→− ut →n − a = ut + v dt dt dv → d → − ut ds = − ut + v dt ds dt soit : → − dv → − v2 → a (t) = ut + − un = at → − ut + an − → un dt ρ avec :  a dv t = dt a v2 n = ρ Les composantes intrinsèques de l’accélération sont alors : La composante tangentielle → − at = at → − ut qui est liée au changement du module de la vitesse. → − − → La composante normale an = an un qui est liée au changement de la direction du vecteur vitesse. Le module de l’accélération est donné par : s  2  2 2 dv v q → − 2 k a k = at + a2n = + dt ρ Exemple Un point matériel se déplace sur une trajectoire circulaire de rayon R = 6 m. Son abscisse curviligne est donnée par : s (t) = t2 + 2t. L’expression du vecteur vitesse est : → − ds → − v (t) = ut = (2t + 2) → − ut dt 4. Étude du mouvement dans le plan 39 L’expression du vecteur accélération est : → − dv → − v2 − a (t) = ut + u→ n dt ρ 2 d (2t + 2) → − (2t + 2) − = ut + u→ n dt R 2 (2t + 2) − = 2→ − ut + u→n R 2 (2t + 2) − = 2→ − ut + u→n 6 2 2 (t + 1) − = 2→ − ut + u→ n 3 La vitesse du mobile à l’instant t = 2 s est : v = 6 m.s−1 Les composantes intrinsèques de l’accélération à l’instant t = 2 s sont :  a t = 2 m.s−2 a = 6 m.s−2 n Le module de l’accélération à l’instant t = 2 s est : q p √ √ a = a2t + a2n = 22 + 62 = 40 = 2 10 m.s−2 4.2 Coordonnées polaires 4.2.1 Système de coordonnées polaires Lorsqu’un point matériel M est en mouvement dans un plan, on peut repérer sa position par ses coordonnées polaires r (t) et θ (t) telles que : r est la coordonnée radiale (également appelée rayon). Elle exprime la distance du point M à un point central appelé pôle. Ce dernier est équivalent à l’origine O des coordonnées cartésiennes (r ≥ 0). θ est la coordonnée angulaire (également appelée angle polaire ou azimut). Elle exprime −−→ la mesure, dans le sens trigonométrique (sens positif), de l’angle entre le vecteur OM et la demi-droite d’angle 0◦ , appelée axe polaire et équivalente à l’axe des abscisses en coordonnées cartésiennes (0 ≤ θ ≤ 2π). y M′ − →θ u b − →r u rd b r sin θ θ dr M r+dr r dθ θ O r cos θ x 40 Cinématique du point matériel La base polaire est formée des vecteurs unitaires (→ − ur , → − uθ ) tels que : → − −−→ ur est dans la même direction et le même sens que le vecteur OM. → − uθ est perpendiculaire à → − ur dans le sens trigonométrique, soit, d’après les propriétés de de dérivation du vecteur unitaire tournant : d→− ur d→− uθ ur ⊥ →− uθ , → − uθ = , → − ur = − dθ dθ Relation entre coordonnées et base cartésiennes et coordonnées et base polaires  x = r cos θ y = r sin θ soit : p r= x2 + y 2 et : → − → −  → −ur = cos θ i + sin θ j →− → − → − uθ = − sin θ i + cos θ j 4.2.2 Vecteurs position, vitesse et accélération −−→ Le vecteur position OM est donné par : −−→ OM (t) = → −r (t) = r (t) → − ur Les coordonnées polaires θ = θ (t) et r = r (t) sont appelées équations paramétriques du mouvement. Le vecteur déplacement élémentaire est représenté sur la figure ci-dessus où dr représente le déplacement dans la direction de → − ur et le déplacement résultant de l’accroissement dθ de l’angle polaire θ s’effectue sur un arc de longueur r dθ et tangent à → − uθ. Ainsi : −−→ −−−→ dOM = M M 0 = dr → − ur + r dθ → − uθ Le vecteur vitesse s’obtient en dérivant le vecteur → − r (t) par rapport au temps : → − dr d → dr → d→ − ur → − v (t) = = − (r ur ) = − ur + r dt dt dt dt Puisque le vecteur unitaire → − ur est variable en fonction du temps : d→ −ur d→ − ur dθ = · dt dθ dt sachant que : → − d→− ur uθ = dθ Il vient alors : → − dr → − dθ → − v (t) = ur + r uθ = vr → − ur + vθ → − uθ dt dt 4. Étude du mouvement dans le plan 41 dr vr = : est la composante radiale du vecteur vitesse. dt dθ vθ = r : est la composante transversale du vecteur vitesse. dt Le vecteur accélération est obtenu en dérivant le vecteur vitesse : → − d→ −v d2 r − dr d→− ur dr dθ → d2 θ − dθ d→ − uθ a (t) = = 2→ ur + · + · − uθ + r 2 → uθ + r · dt dt dt dt dt dt dt dt dt comme pour le vecteur unitaire → − ur , le vecteur unitaire → −uθ est variable en fonction du temps : d→ − ur d→ − ur dθ dθ →− d→ − uθ d→− uθ dθ dθ − = · = uθ et = · =− → ur dt dθ dt dt dt dθ dt dt Il vient alors : "  2 # d2 r d2 θ →   → − dθ → − dr dθ a (t) = 2 −r ur + 2 · +r 2 − uθ = ar → − u r + aθ → − uθ dt dt dt dt dt  2 d2 r dθ ar = 2 − r : est la composante radiale du vecteur accélération. dt dt dr dθ d2 θ aθ = 2 · + r 2 : est la composante transversale du vecteur accélération. dt dt dt Remarques Pour les vecteurs vitesse et accélération, on utilise souvent la notation simplifiée suivante : → − v (t) = ṙ − → + rθ̇ − u → u r θ → − 2 − → + 2ṙθ̇ + rθ̈ −→     a (t) = r̈ − rθ̇ u r uθ avec : dr ṙ = dt d2 r r̈ = dt2 dθ θ̇ = dt d2 θ θ̈ = dt2 Exemple Les équations paramétriques du mouvement d’un mobile en coordonnées polaires sont π r (t) = 2 + t (ten secondes et ren mètres) , θ (t) = t (en radians) 4 42 Cinématique du point matériel Représentons le vecteur position aux instants t = 1 s et t = 2 s : π r (t = 1 s) = 3 m , θ (t = 1 s) = rad. 4 π r (t = 2 s) = 4 m , θ (t = 2 s) = rad. 2 Y b M (t = 2) b M (t = 1) 1m π 4 O X Calculons les composantes radiale et transversale du vecteur vitesse à l’instant t = 1 s : vr (t = 1 s) = dr (t = 1 s) dt = 1 m · s−1 3π m · s−1  dθ  vθ (t = 1 s) = r · dt (t = 1 s) = 4 Calculons les composantes radiale et transversale du vecteur accélération à l’instant t = 1 s : h i 3π 2 ar (t = 1 s) = r̈ − rθ̇2 (t = 1 s) = − m · s−2 16 h i π aθ (t = 1 s) = 2ṙθ̇ + rθ̈ (t = 1 s) = m · s−2 2 4.3 Exemple d’application : Mouvement circulaire − → ut b M − u→ n − →r u − →θ R u θ θ=0 O 4. Étude du mouvement dans le plan 43 La trajectoire est un cercle de rayon r (t) = R = Cte. En plus de la base cartésienne, ce mouvement peut être étudié dans une base de Frenet ou dans une base polaire. L’abscisse curviligne est reliée aux coordonnées polaires par la relation suivante : s (t) = R · θ (t) Le vecteur position a pour expression : −−→ OM = R → − ur Le vecteur vitesse est donné dans la base polaire par l’expression suivante : −−→ → − dOM d→ − ur dθ → − v (t) = =R =R uθ dt dt dt Le vecteur vitesse est donné dans la base de Frenet par l’expression suivante : → − ds → dθ → v (t) = v → − ut = − ut = R − ut dt dt dθ Dans les deux systèmes de coordonnées, le module de la vitesse est v = R · ω où ω = dt représente la vitesse angulaire (son unité est le rad · s−1 ). Le vecteur accélération est donné dans la base polaire par l’expression suivante : d→ − dθ d→ −   → − v d dθ → − uθ a = =R uθ + R dt dt dt dt dt sachant que : d→ − uθ d→ − uθ dθ dθ − = =− → ur dt dθ dt dt il vient : 2 2  → − dθ → − d θ→ a = −R ur + R 2 − uθ dt dt Le vecteur accélération est donné dans la base de Frenet par l’expression suivante : 2 v2 −    → − dv → − → d dθ → − 1 dθ − → a = ut + un = R ut + R u n dt R dt dt R dt soit : 2 2  → − d θ− dθ a =R 2 → ut + R − → un dt dt √ Dans les deux systèmes de coordonnées, le module de l’accélération est a = R ω 4 + α2 où dω d2 θ α= = 2 représentent l’accélération angulaire (son unité est le rad · s−2 ). dt dt 44 Cinématique du point matériel Complément Si l’accélération angulaire est connue à chaque instant, il est possible de connaitre par intégration la vitesse angulaire et la position angulaire : ˆ t dω α = θ ¨= =⇒ ω (t) − ω (t0 ) = α dt dt t0 ˆ t dθ ω = θ̇ = =⇒ θ (t) − θ (t0 ) = ω dt dt t0 Graphiquement, l