Resistência dos Materiais - Aulas (PDF)

Curso: Engenharia de Electromecânica UOR 2º ANO RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Dário Pascoal, 2021 1  RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS UNIT. 3 – Deformação e Propriedad...

Curso: Engenharia de Electromecânica UOR 2º ANO RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Dário Pascoal, 2021 1  RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS UNIT. 3 – Deformação e Propriedades Mecânicas dos Materiais Palavras chaves: lei de Hooke, deformação plástica 2  RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 1. INTRODUÇÃO AOS CONCEITOS 2. Tensão. 3. Deformação e Propriedades Mecânicas dos Materiais 4. Carga Axial 5. Torção 6. Flexão 7. Cisalhamento Transversal 8. Cargas Combinadas 9. Transformação de Tensão 10. Transformação da Deformação 11. Projecto de Vigas e Eixos 12. Deflexão de Vigas e Eixos 13. Flambagem de Colunas Bibliografia 1. Beer, F. P., & E. Russel Johnston, J. (1982). Resistência dos Materiais (3ª edição ed.). (M.-H. d. Brasil, & 1. Pearson Education do Brasil, Trads.) Brasil: McGraw-Hill do Brasil. 2. Hibbeler, R. C. (2003-2004). Resistência dos Materiais (5ª Edição ed.). S. Paulo, Brasil: Pearson Education, Brasil. 3  DIAGNÓSTICO O que ficou claro no capitulo anterior? As diferentes Tensões nos diferentes componentes e conexões de uma estrutura causadas pelas cargas aplicadas Projecção de Componentes e Conexões para não ficarem comprometidos em certas condições de carregamento Determinação das Forças pela aplicação das Condições da Estática A estática assume estruturas rígidas e indeformáveis O que se espera que domines no final do Capitulo??? 1. Caracteriza a Deformação Especifica Normal (𝝐𝒙 ) 2. Entenda o diagrama de Tensão-Deformação e a região da Lei de Hooke 3. Solução de Problemas Estaticamente Indeterminados e problemas que envolvam temperatura 4. Deformação especifica Lateral (Coeficiente de Poisson) 5. Carregamento Multiaxial e Modulo de Compressibilidade Volumétrica 6. Deformações de Cisalhamento 7. Principio de Saint-Venant e Deformações Plásticas 4  TENSÃO - DEFORMAÇÃO Deformação de Cisalhamento As tensões de cisalhamento tenderão a deformar um elemento em forma de cubo do material transformando-o em um paralelepípedo oblíquo. Dois dos ângulos formados pelas quatro faces sob tensão são reduzidos, enquanto os outros dois são aumentados Enquanto as Tensões Normais tendem a provocar uma mudança no Volume, as Tensões de Cisalhamento Provocam uma mudança de Forma 5  TENSÃO - DEFORMAÇÃO Deformação de Cisalhamento Quando a deformação envolve uma redução do ângulo formado pelas duas faces orientadas, respectivamente, na direcção positiva dos eixos x e y dizemos que a deformação de cisalhamento 𝜸𝒙𝒚 é positiva; caso contrário, dizemos que ela é negativa 𝜋 + 𝛾𝑥𝑦 𝜸𝒙𝒚 → 𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝐶𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 2 correspondente às direcções x e 𝜋 y. Este pequeno ângulo é Expresso em − 𝛾𝑥𝑦 2 radianos 𝑃𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑦 = ; 𝜏𝑥𝑦 = 𝐺𝛾𝑥𝑦 ; 𝐴 6  TENSÃO - DEFORMAÇÃO Deformação de Cisalhamento Um bloco rectangular de um material com um módulo de elasticidade transversal G = 620 MPa é colado a duas placas rígidas horizontais. A placa inferior é fixa, enquanto a placa superior está submetida a uma força horizontal P. Sabendo que a placa superior se desloca 1 mm sob a acção da força, determine : (a) a deformação de cisalhamento média no material e (b) a força P que atua na placa superior. a) 𝜸𝒙𝒚 =? 𝟎. 𝟎𝟐𝟎𝒓𝒂𝒅 P=? 𝟏𝟒𝟖, 𝟖 𝒌𝑵 b) 7  TENSÃO - DEFORMAÇÃO Lei de Hooke para tensão e deformação de cisalhamento 𝜏𝑥𝑦 = 𝐺𝛾𝑥𝑦 ; 𝜏𝑧𝑥 = 𝐺𝛾𝑧𝑥 ; 𝜏𝑦𝑧 = 𝐺𝛾𝑦𝑧 Onde G é denominado Módulo de Rigidez ou de Elasticidade Transversal do material Lei Generalizada de Hooke para Carregamentos Multiaxiais (ambas Tensões) 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎𝑧 𝝐𝒙 = + − υ − υ 𝑬 𝑬 𝑬 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎𝑧 𝝐𝒚 = −υ + − υ 𝑬 𝑬 𝑬 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎𝑧 𝝐𝒛 = −υ − υ + 𝑬 𝑬 𝑬 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑥 𝛾𝑥𝑦 = 𝛾𝑦𝑧 = 𝛾𝑧𝑥 = 𝐺 𝐺 𝐺 8  TENSÃO - DEFORMAÇÃO Deformação de cisalhamento: relação entre E, "υ" e G Das equações anteriores nota-se a existência de 3 constantes importantes 𝑮, E,υ. Estas constantes são importantíssimas se quisermos determinar ou melhor, prever as deformações provocadas por um conjunto arbitrário de Tensões 𝟏 − υ𝜺𝒙 tan 𝜷 = 𝟏 + 𝜺𝒙 (𝟏 + υ)𝜺𝒙 𝝅 𝜸𝒎 𝜸𝒎 = 𝜸𝒎 = (𝟏 + υ)𝜺𝒙 𝜷= − 𝟏−υ 𝟒 𝟐 𝜸 𝟏 + 𝟐 𝜺𝒙 𝟏 − 𝟐𝒎 tan 𝜷 = 𝜸 𝟏 + 𝟐𝒎 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝜸𝒎 = 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑠. 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 9  TENSÃO - DEFORMAÇÃO Deformação de cisalhamento: relação entre E, N e G 𝜸𝒎 = (𝟏 + υ)𝜺𝒙 Aplicando a Lei de Hooke para Cisalhamento e Tensão Normal teriamos: 𝝉𝒎 𝝈𝒙 = (𝟏 + υ) 𝑮 𝑬 Agrupando os módulos e as Tensões em lados diferentes: 𝑬 𝝈𝒙 = (𝟏 + υ) 𝑮 𝝉𝒎 𝑷 𝑷 𝝈𝒙 𝑪𝒐𝒎𝒐 𝝈𝒙 = 𝑨 𝒆 𝒏𝒆𝒔𝒕𝒆 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒏𝒅𝒆 − 𝒔𝒆 𝝉𝒎 = 𝟐𝑨 , 𝒆𝒏𝒕ã𝒐 ∶ 𝝉𝒎 =2 𝑬 Expressão que relaciona o Modulo de = (𝟏 + υ) 𝟐𝑮 Elasticidade e Elasticidade Transversal: 10  TENSÃO - DEFORMAÇÃO CASO PARTICULAR: Relações de Tensão-Deformação para materiais compósitos reforçados com fibras 𝝐𝒚 𝝐𝒛 υ𝑥𝑦 = − υ𝑥𝑧 = − 𝝐𝒙 𝝐𝒙 Lei Generalizada de Hooke para um carregamento multiaxial será expressa, tendo em conta E, G e υ diferentes 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎𝑧 𝝐𝒙 = + − υ𝑦𝑥 − υ𝑧𝑥 𝐸𝑥 𝐸𝑦 𝐸𝑧 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎𝑧 𝝐𝒚 = −υ𝑥𝑦 + − υ𝑧𝑦 𝐸𝑥 𝐸𝑦 𝐸𝑧 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎𝑧 𝝐𝒛 = −υ𝑥𝑧 − υ𝑦𝑧 + 𝐸𝑥 𝐸𝑦 𝐸𝑧 υ𝑥𝑦 υ𝑥𝑦 υ𝑦𝑧 υ𝑧𝑦 υ𝑧𝑥 υ𝑥𝑧 = = = 𝐸𝑥 𝑬𝒚 𝐸𝑦 𝑬𝒛 𝐸𝑧 𝑬𝒙 Nota: O primeiro índice do υ𝑥𝑦 é da direcção da Força e o segundo da direcção 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑥 𝛾𝑥𝑦 = 𝛾𝑦𝑧 = 𝛾𝑧𝑥 = da Contracção 𝑮𝒙𝒚 𝑮𝒚𝒛 𝑮𝒛𝒙 11  TENSÃO - DEFORMAÇÃO CASO PARTICULAR: Relações de tensão-deformação para materiais compósitos reforçados com fibras (EXEMPLO) Um cubo de 60 mm é feito de camadas de grafite epóxi com fibras alinhadas na direcção x. O cubo está submetido a uma força de compressão de 140 kN na direcção x. As propriedades do material compósito são: Ex = 155,0 GPa, Ey = 12,10 GPa, Ez = 12,10 GPa, υ𝑥𝑦 = 0,248, υ𝑥𝑍 = 0,248 e υ𝑌𝑍 =0,458. Determine as variações nas dimensões do cubo, sabendo que (a) o cubo está livre para se deformar nas direcções y e z (1ª Fig.) e (b) o cubo está livre para se deformar na direcção z, mas está impedido de se deformar na direcção y por duas placas sem atrito (2ª Fig.) 𝜹𝒙 =? −𝟏𝟓. 𝟎𝟓 𝝁𝒎 𝜹𝒙 =? −𝟏𝟒. 𝟗𝟖 𝝁𝒎 a) 𝜹 =? +𝟑. 𝟕𝟑 𝝁𝒎 b) 𝜹𝒚 =? 𝟎 𝝁𝒎 𝒚 12 𝜹𝒛 =? +𝟑. 𝟕𝟑 𝝁𝒎 𝜹𝒚 =? +𝟓. 𝟒𝟒 𝝁𝒎  TENSÃO - DEFORMAÇÃO PROBLEMA RESOLVIDO 2.5 Um Um círculo de diâmetro d = 220 mm é desenhado em uma placa de alumínio livre de tensões de espessura t = 19 mm. Forças atuando posteriormente no plano da placa provocam tensões normais 𝜎𝑥 = 82 MPa e 𝜎𝑧 = 138 MPa. Para E = 69 GPa e υ = 1/3, determine a variação (a) do comprimento do diâmetro AB, (b) do comprimento do diâmetro CD, (c) da espessura da placa e (d) do volume da placa. 𝜺𝒙 =? +𝟎. 𝟓𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝒎𝒎/𝒎𝒎 a) 𝜹𝑩 𝑨 =? +𝟎. 𝟏𝟎𝟒 𝒎𝒎 𝜺𝒚 =? −𝟏. 𝟎𝟔𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝒎𝒎/𝒎𝒎 b) 𝜹𝑪 𝑫 =? +𝟎. 𝟓𝟑𝟓 𝒎𝒎 d) ∆𝑽 = 𝟐. 𝟗𝟏𝟔 𝒎𝒎𝟑 𝜺𝒛 =? +𝟏. 𝟔𝟎𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝒎𝒎/𝒎𝒎 c) 𝜹𝒕 =? −𝟎. 𝟐𝟎 𝒎𝒎 13  TENSÃO - DEFORMAÇÃO princípio de Saint-Venant ((1797-1886)) “As Tensões e Deformações produzidas em pontos de um corpo são mais proporcionais quanto mais distantes do local de aplicação da força ou carga sobre o corpo”. Isto é, excepto nas vizinhanças imediatas dos pontos de aplicação das forças, a distribuição de tensões pode ser considerada independentemente do modo real de aplicação das forças 14  UNIT. 3 – TENSÃO DEFORMAÇÃO TAREFA 3 da Unidade Baseado na resolução dos exemplos das pag. 112 e 117 e problema resolvido da pag. 118, da Bibliografia a ser utilizada, Resolver os Exercícios De 2.69 a 2.71, da Pag 121 De 2.76 a 2.80, da Pag 122-123 De 2.87 a 2.92, da Pag 123-124 15