Capítulo 5 RM 2024A_merged Resistencia de Materiales PDF

Escuela Politécnica Nacional Facultad de Ingeniería Civil y Ambiental Carrera de Ingeniería Civil Cátedra: Resistencia de Materiales. Capítulo 5: Flexión en vigas, Flexión Plástica, vigas de dos materiales. Sumario: 5.1. Teoría...

Escuela Politécnica Nacional Facultad de Ingeniería Civil y Ambiental Carrera de Ingeniería Civil Cátedra: Resistencia de Materiales. Capítulo 5: Flexión en vigas, Flexión Plástica, vigas de dos materiales. Sumario: 5.1. Teoría de esfuerzo y deformación elástica. 5.2. Diseño de vigas por esfuerzos de flexión. 5.3. Elementos hechos de varios materiales. 5.4. Teoría de esfuerzo de deformación plástica. 5.5. Deflexiones en elementos sometidos a flexión. 5.1. Teoría de esfuerzo y deformación elástica. En ingeniería se denomina flexión al tipo de deformación que presenta un elemento estructural alargado en una dirección perpendicular a su eje longitudinal. El término "alargado" se aplica cuando una dimensión es dominante frente a las otras. Un caso típico son las vigas, las que están diseñadas para trabajar, principalmente, por flexión. Igualmente, el concepto de flexión se extiende a elementos estructurales superficiales como placas o láminas. El rasgo más destacado es que un objeto sometido a flexión presenta una superficie de puntos llamada fibra neutra, tal que la distancia a lo largo de cualquier curva contenida en ella no varía con respecto al valor antes de la deformación. La fuerza que provoca la flexión se denomina momento flector. Un ejemplo de flexión mecánica es la barra de la figura que a continuación se muestra, la misma se encuentra inicialmente en estado de reposo; posteriormente es sometido a la acción de una fuerza, en consecuencia, se dobla en el mismo sentido de la fuerza. Figura 5.1. Barra sometida a flexión Resumiendo: La flexión es la deformación que provoca una curvatura en el eje de una barra recta o una variación de su curvatura en el eje de una barra curva. Producto de la misma en la sección transversal una parte se comprime y otra se tracciona. Es el caso de solicitación cuando en las secciones transversales de la barra surgen momentos flectores. Tipos de Flexión. 1 Plana. (Que está contenida en un plano) 144 2 Transversal. (Perpendicular al eje longitudinal, existiendo momento flector y fuerza cortante). Se combina con la anterior y se convierte en Transversal plana. 3 Pura. (Sólo existe momento flector, no hay cortante ni axial) 4 Oblicua o esviada. (La carga que produce la flexión no está en la dirección de ninguno de los ejes principales de la sección transversal, pero pasa por el centroide). La flexión transversal y la pura son casos particulares de la flexión plana, por lo que en algunos casos a la primera le llaman flexión transversal plana. Se dice que la flexión es simple cuando la deformada del eje de la barra es una curva contenida en el plano de las solicitaciones. Si el plano de las solicitaciones pasa por uno de los ejes principales de inercia de la sección transversal, entonces la flexión se denomina simple o plana. Figura 5.2. Flexión simple o plana. Para el análisis de la flexión es de suma importante tener presente las siguientes hipótesis. 1. En las secciones simples, las secciones transversales que eran planas antes de la deformación (de la aplicación de las cargas), permanecen planas después de ellas. (Hipótesis de las Secciones Planas o de Bernoulli). 2. Las fibras longitudinales no ejercen presión recíproca, sino que se alargan o se acortan longitudinalmente por el efecto de los esfuerzos normales. Esto significa que  y  0 y que los esfuerzos son constantes en todo el ancho de la sección. 3. Se cumple la Ley de Hooke, la cual plantea que los esfuerzos son proporcionales a las deformaciones.     E Como se analizó anteriormente, la flexión es el efecto de curvatura que se origina en el eje longitudinal de un elemento, producto de la acción de la resultante de las cargas exteriores (activas y reactivas), produciéndose rotación de las secciones transversales. Para ejemplificar este efecto observe lo que sucede en el caso de una viga en voladizo sometida a la acción de cargas verticales (Figura 5.3a): Debido a la diferencia entre las direcciones de las cargas exteriores y de las interiores, las primeras tienden a producir un efecto de deslizamiento de las fibras verticales conocido como esfuerzo cortante vertical (Figura 5.3b). La deformación por flexión produce un acortamiento de las fibras inferiores (efecto de compresión) y un alargamiento de las fibras superiores (efecto de tracción). Las 145 fibras horizontales intentan deslizarse unas sobre otras, originándose esfuerzos tangenciales horizontales (Figura 5.3c). La resultante de las fuerzas normales de compresión y la resultante de las fuerzas normales de tracción producen el momento de giro interno (Figura 5.3d) El momento de giro de las fuerzas exteriores en una sección, debe ser compensado por el momento o par interno, para que exista equilibrio rotatorio (Figura 5.3e). Mientras más alejada esté la carga exterior de la sección, mayor será el esfuerzo de flexión (tracción, compresión) que origina, pues para el equilibrio rotatorio el esfuerzo de tracción o compresión, multiplicado por su brazo, debe ser igual al momento externo. Por supuesto, que para una viga en voladizo los mayores esfuerzos se producen en el empotramiento. Figura 5.3. Efectos producidos por la Flexión. En resumen: en las secciones transversales de la viga en voladizo se generan dos solicitaciones: un momento flector en un plano perpendicular a la sección transversal y una fuerza cortante tangente a la sección transversal (Figura 5.3f). Igualmente, en cada punto de la sección transversal pueden producirse esfuerzos normales de tracción o compresión debido al momento flector y esfuerzos tangenciales debido a la fuerza cortante. 146 5.1.1. Determinación de los esfuerzos normales producto de la flexión. Analizando como es la deformación que ocurre en un 5.4, se observa que las fibras que corresponden al centroide no se desplazan, por lo que no existe ningún esfuerzo sobre ellas. A medida que se aleja del mismo, en la zona de tracción el alargamiento es mayor y en la zona de compresión el acortamiento es mayor también. Por esta razón, al alejarse del centroide los esfuerzos aumentan linealmente, siendo mayores en las fibras más alejadas. Diferencial de una sección transversal POSICIÓN INICIAL M M DEFORMADA Figura 5.4. Diferencial de sección transversal sometido a flexión. Partiendo de lo anterior en los libros de Resistencia de Materiales puede encontrarse como llegar a la obtención de la siguiente ecuación para determinar los esfuerzos normales debido a la flexión. M   Y Fórmula de Navier  M: Momento flector que hay en la sección donde se va a calcular σ I: Inercia de la sección transversal respecto al eje donde ocurre la flexión (IX o IY) Y: Distancia de la línea neutra al punto de la sección donde se va a calcular σ. Es (+) en la zona de tracción y (-) en la zona de compresión. Siempre que no hay axial, y existe sólo momento flector y cortante lo cual es lo tratado en este capítulo, la línea neutra o capa neutra coincide con el centro del área de la sección transversal (centroide). Para éste efecto no interesa el cortante. Los esfuerzos normales tienen el signo de la tracción o compresión que producen.  max : Es el punto más traccionado. Se aclara que, aunque no es tratado en este capítulo, en una barra sometida a flexo-compresión puede quedar el caso en que toda la sección está a compresión, entonces se corresponderá con el punto menos comprimido. Matemáticamente es el esfuerzo más grande.  min : Es el punto más comprimido. Igualmente se aclara que, aunque no es tratado en este capítulo, en una barra sometida a flexo-tracción puede quedar el caso en que toda la sección está a tracción, entonces se corresponderá con el punto menos traccionado. Matemáticamente es el esfuerzo más pequeño. Para el caso de flexión sin axial que es lo que se estudia en este tema. M M M M max   Ymax   min    Ymax   (Para secciones simétricas)  S  S S  Módulo resistente a la flexión o módulo de la sección a la flexión Ymax Para secciones no simétricas. 147  M M M M  max   Ymax t   min    Ymax c    St  Sc St   Sc   Ymax t Ymax c Fórmulas para calcular el módulo de la sección a la flexión Sección Circular: S    d 3 / 32  0,1 d 3 Sección Rectangular: S  b  h 2 / 6 I   d e 4 / 64    d i 4 / 64   de3 Sección Anular: S     (1  C 4 ) Ymax de / 2 32 siendo C = di / de di: Diámetro interior de: Diámetro exterior Perfiles laminados: Cada fabricante lo presenta en las Tablas del surtido. Para determinar la distribución de esfuerzos normales en una sección transversal es necesario solo evaluar la expresión de Navier para los puntos extremos (uno de tracción y el otro de compresión), debido a que la misma representa la ecuación de una recta. Al dibujar este gráfico se unirán con una línea recta las magnitudes representadas en estos dos puntos, debiendo pasar por el centroide, por no existir esfuerzos normales en este lugar. La parte donde no hay esfuerzos normales se llama Línea Neutra y cuando solo hay flexión transversal (como en este capítulo) esta coincide con el eje respecto al cual ocurre la flexión. 5.2. Diseño de vigas por esfuerzos de flexión. Ejemplo de cálculo. La viga que se muestra tiene una sección transversal T construida con planchas de acero. Calcule la distribución de esfuerzos normales en la sección transversal del centro. P=15kN q=30kN/m 20cm A B 10,6 1 2cm 2m 2m 21,4 2 30cm 67,5 67,5 2cm Esquema de análisis Sección transversal Figura 5.5. Modelo de cálculo y sección transversal de la viga sometida a flexión. Solución: q  L P 30  4 15 Por simetría: Ray  Rby      67,5kN 2 2 2 2 q  L2 P  L 30  4 2 15  4 Momento en el centro: M      75kN  m 8 4 8 4 148  P=15kN q=30kN/m A B 2m 2m M 75 Figura 5.6 Gráfico de Momento flector. Determinación del eje centroidal y la inercia respecto a él. Se asumirá un eje centroidal inicial que pasa la parte inferior de la sección. Figura Área Y Área Y۰ 1 20 ۰2 = 40 31 40 ۰31 = 1240 2 30 ۰2 = 60 15 60∙۰15 = 900 Suma 100 cm2 2140 cm3 Yc   Area  Y  2140  21,4cm (El centroide se encuentra a 21,4 cm de abajo)  Area 100 La inercia respecto al eje x centroidal se determina usando el teorema de los ejes paralelos:  x   ( x  A  Y 2 )  x  (20  23 / 12  20  2  9,6 2 )  (2  30 3 / 12  2  30  6,4 2 )  10657,3cm4 Determinación de los módulos de la sección a la flexión: S xt   x  10657,3  498cm3 Ymax t 21,4 S xc   x  10657,3  1005,4cm3 Ymax c 10,6 Construcción del gráfico de esfuerzo normal σ en la sección del centro de la viga. M 75  10 3  max    150,6MPa S xt 498  10  6 M 75  10 3  min     74,6MPa S xc 1005,4  10  6 Lo mismo fuera calcularlo por: M 75  10 3  max   Ymax t   0,214  150,6MPa x 10657,3  10  8 M 75  10 3  min    Ymax c    0,106  74,6MPa x 10657,3  10  8 149  74,6 - + 150,6 Sección  (MPa) Figura 5.7 Gráfico de distribución de esfuerzos normales en sección transversal. 5.3. Elementos hechos de varios materiales. La construcción compuesta consiste en combinar dos materiales en una unidad estructural para trabajo conjunto, aprovechando al máximo las características de cada uno de ellos. Hay combinaciones innumerables: acero y hormigón, madera y hormigón, hormigón prefabricado y hormigón colocado en obra, madera y acero, entre otras. La combinación de materiales de construcción más importante y más frecuentemente empleada tanto en edificación como en la construcción de puentes es la de acero y hormigón. El hormigón armado es un material heterogéneo, formado por hormigón y armadura de acero. El hormigón es un material formado por cemento, áridos, y agua, y en el que, en general, actualmente, entra un cuarto componente, los aditivos. 5.3.1. Introducción (Fuente Resistencia de Materiales Pytel-Singer Pg. 336-339) En los tiempos de escasez y carestía de acero surgió la tendencia de reforzar las vigas de madera mediante placas de acero, en lugar de emplear perfiles laminados. Hoy en día, ya no suelen emplearse las vigas de madera reforzadas, excepto en aquellos casos en que exista abundancia y bajo costo de la madera y el costo de transporte del acero sea elevado. El tipo de viga reforzada más utilizado es la de concreto armado. La teoría de la flexión estudiada no se puede aplicar directamente a las vigas compuestas (o de varios materiales), ya que aquella se basa en la hipótesis de homogeneidad de la viga, lo que lleva consigo que, al permanecer planas las secciones que eran planas, las deformaciones sean directamente proporcionales a la distancia a la línea neutra, y lo mismo ocurre con los esfuerzos. En el estudio de las vigas compuestas se hace la misma hipótesis de que las secciones planas permanecen planas, es decir, que la deformación es directamente proporcional a la distancia a la línea neutra, pero no ocurre igual con los esfuerzos, al no ser homogéneo el material. El método a seguir en el estudio de las vigas compuestas suele ser su transformación en una viga homogénea equivalente a la que se aplique directamente las fórmulas de la flexión. Los principios en que se basa esta transformación son que la deformación y la capacidad de carga no varíen. Examinemos, en primer lugar, el caso general de vigas compuestas de diferentes materiales. En vigas de concreto armado, también se puede utilizar la trasformación en una viga equivalente. 150 5.3.2. Vigas de distintos materiales. (Fuente Pytel-Singer Pg. 336-339) La viga de madera de la figura 5.8a esta reforzada en su cara inferior con una placa de acero firmemente asegurada a la madera de forma que no pueda haber deslizamiento entre ambos materiales cuando la viga se deforme. En este caso, no se cumplen todas las hipótesis que se hicieron en el capítulo 1 para la flexión, porque allí se suponía la viga homogénea y, por tanto, no se pueden aplicar directamente los resultados obtenidos a la viga que ahora se considera. Sin embargo, mediante ciertas modificaciones o transformaciones es posible obtener una sección equivalente que sea de uno solo de los materiales, y a la que se puedan aplicar las conocidas fórmulas de la flexión. Para ellos, consideramos una fibra longitudinal de acero en el punto A. puesto que se supone que la madera y el acero están perfectamente unidos (atornillados, por ejemplo), las deformaciones de las fibras del acero y de la madera en el punto A han de ser iguales, es decir, 𝜖𝑎 = 𝜖𝑚. Expresando esta relación en función a los esfuerzos y de los módulos elásticos (Ley de Hooke) se tiene: 𝜎𝑎 𝜎𝑚 𝜎𝑎 𝜎𝑚 𝐸𝑎 𝜖𝑎 = 𝜖𝑚 = 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝜖𝑎 = 𝜖𝑚 ⇒ = ⇒ 𝜎𝑎 = ( ) 𝜎𝑚 (a) 𝐸𝑎 𝐸𝑚 𝐸𝑎 𝐸𝑚 𝐸𝑚 Figura 5.8 Viga de madera reforzada con placa de acero. Esta misma relación se ha de cumplir entre los esfuerzos y los módulos elásticos en cualquier punto del acero, entre la fibra de metal que pasa por él y la fibra de madera equivalente. Además, para la equivalencia completa, las cargas soportadas por una fibra cualquiera de acero y su equivalente en madera han de ser iguales, es decir, 𝑃𝑎 = 𝑃𝑚 , lo que en función de las secciones de la fibra de acero y de su equivalente en madera permite escribir: 𝑃𝑎 = 𝐴𝑎 𝜎𝑎 𝑃𝑚 = 𝐴𝑚 𝜎𝑚 ⇒ 𝐴𝑎 𝜎𝑎 = 𝐴𝑚 𝜎𝑚 (b) Aa: Área de acero real de la placa. Am: Área de acero equivalente en madera de la placa. De las ecuaciones (a) y (b) resulta: 𝐸𝑎 𝐴𝑎 ( ) 𝜎𝑚 = 𝐴𝑚 𝜎𝑚 𝐸𝑚 Dividiendo entre 𝜎𝑚 y llamando 𝑛 a la relación 𝐸𝑎 ⁄𝐸𝑚 , se obtiene finalmente: 𝐴𝑚 = 𝑛 𝐴𝑎 Esto significa que el área de la sección equivalente en madera (equivalente a la sección de cada fibra de acero) es n veces el área de la sección de acero. La forma, 151 dimensiones y situación del área equivalente quedan completamente determinadas por la condición de que las fibras de madera, equivalentes a las fibras de acero, tienen que estar a la misma distancia de la línea neutra, para que se verifique la condición de igual deformación de la ecuación (a). n: conocido como Relación modular o Coeficiente de equivalencia. En resumen, la sección de madera equivalente a la de acero en n veces más ancha. En la figura 5.8b aparece representada la sección equivalente de madera. Se puede proceder a la inversa, es decir, obtener la sección equivalente en acero sustituyendo la parte de madera por otra de acero de anchura 1/n de la que tenía la madera, como se observa en la figura 5.8c. En estas condiciones, ya se puede aplicar directamente la fórmula de flexión a cualquiera de las secciones equivalentes. Si se aplica a la sección equivalente en madera, el esfuerzo real en el acero es, de acuerdo a la ecuación (a), n veces el esfuerzo en la madera equivalente. Si se aplica a la sección equivalente en acero, el esfuerzo real en la madera es 1/n del esfuerzo en el acero equivalente a esta madera. El mismo procedimiento se emplea en vigas compuestas de más de dos materiales. Por ejemplo, en la sección experimental de la figura 5.9a, que consiste en un núcleo o alma de aluminio, se han asegurado firmemente una placa de acero y otra de bronce. Aplicando al acero y al bronce las relaciones de sus módulos elásticos al del aluminio, la sección compuesta se trasforma en su equivalente en aluminio que muestra la figura 5.9b, a la cual se aplica la fórmula de la flexión. En todos los casos, la línea neutra pasa por el centro de gravedad de la sección equivalente, y el momento de inercia por emplear es el de la sección transformada con respecto a la línea neutra. Figura 5.9 Viga de aluminio reforzada con placas de acero y de bronce. Ejemplo ilustrativo. (Fuente Pytel-Singer Pg. 336-339) Una viga de madera de 150 x 300 mm se refuerza en su parte inferior con una placa de acero de 75 mm de anchura y 10 mm de espesor. Calcular el momento flexionante máximo que puede soportar si los esfuerzos admisibles son: 𝜎𝑎 𝑎𝑑𝑚 = 120 𝑀𝑃𝑎, 𝜎𝑚 𝑎𝑑𝑚 = 8 𝑀𝑃𝑎, 𝐸𝑎 ⁄𝐸𝑚 = 𝑛 = 20 152  Figura 5.10 Viga de madera reforzada con placa de acero. Solución: Aunque como se ha dicho, raramente se emplea este refuerzo de las vigas de madera con placas de acero, este problema aclara varios conceptos y detalles de cálculo que luego aparecerán en las vigas de concreto armado. El primer punto por considerar es el de la posición de la línea neutra. Como ésta pasa por el centro de gravedad de la sección equivalente, figura 5.10b, tomando momentos de las áreas, con respeto a un eje que pasa por el borde inferior de la viga, resulta: Yc   Area  Y  (150  300  160)  (10  1500  5) 7275000   121,25mm  Area (150  300)  (10  1500) 60000 Para calcular el momento de inercia con respecto al eje neutro (E.N.), se determina con respecto al eje que pasa por la unión del alma y el ala de la viga en T invertida que es la sección equivalente, y se aplica después el teorema de Steiner como se indica. En este caso, para una sección rectangular se tiene: 2 𝑏ℎ3 ℎ 2 𝑏ℎ3 𝑏ℎ3 𝑏ℎ3 𝐼 =𝐼+𝐴 𝑦 = + (𝑏 ℎ) ( ) = + = 12 2 12 4 3 3 3 3 𝑏ℎ 150(300) 1500(10) 𝐼=∑ = + = 1350,5 106 𝑚𝑚4 3 3 3 [𝐼 = 𝐼 − 𝐴 𝑑 2 ] 𝐼𝐸.𝑁 = (1350,5 106 ) − (60 103 )(121,25 − 10)2 = 607,906 106 𝑚𝑚4 Como ejercitación de determinará ahora la inercia de forma directa respecto a su eje centroidal usando la expresión.  EN   ( x  A  Y 2 ) 150(300)3 1500(10)3 𝐼𝐸.𝑁 = + (150 300)(160 − 121,25)2 + + (1500 10)116,252 12 12 = 607,609 106 𝑚𝑚4 El momento que puede soportar la sección, en función del esfuerzo admisible en la madera es: (evaluado en la zona superior de madera) 𝑀 𝑦 𝜎𝑚 𝑎𝑑𝑚 𝐼 𝜎= ≤ 𝜎𝑚 𝑎𝑑𝑚 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑎𝑙 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 ⇛ 𝑀 = 𝐼 𝑦 153  ( 8 106 𝑃𝑎)(607,609 10−6 𝑚4 ) 𝑀𝑚 = = 25719 𝑁 𝑚 ≈ 25,719 𝑘𝑁 𝑚 189 × 10−3 𝑚 En la zona de madera equivalente al acero, el esfuerzo máximo (admisible) es: 𝜎𝑎 𝑎𝑑𝑚 120 𝜎𝑚𝑒 𝑎𝑑𝑚 = = = 6 𝑀𝑃𝑎 𝑛 20 Por lo que el momento correspondiente al esfuerzo admisible en el acero es: ( 6 106 𝑃𝑎)(607,609 10−6 𝑚4 ) 𝑀𝑎 = = 30129 𝑁 𝑚 ≈ 30,129 𝑘𝑁 𝑚 121 10−3 𝑚 El menor de los dos momentos obtenidos, es decir, 𝑀𝑚 = 25,719 𝑘𝑁 𝑚, es el momento máximo que puede soportar la sección. En este caso hay exceso de acero, por lo que la viga se llama sobrearmada o sobrerreforzada. Se deja propuesto que el estudiante resuelva este problema utilizando una sección equivalente de acero. 5.3.3. Vigas de acero con losa de hormigón armado Sobre las vigas de acero, normalmente se funden losas de hormigón armado para conformar el piso, en estructuras como edificios y puentes. Es necesario aclarar que, debido a que es necesario que los esfuerzos cortantes sean transmitidos de un material a otro, se utilizan los denominados conectores de cortante, los cuales se sueldan o atornillan en las vigas de acero y al fundir la losa quedan dentro de esta. Las vigas de acero con losas de hormigón armado son un ejemplo de viga mixta. Las vigas mixtas son aquellas en que se unen dos materiales estructurales para darle mejores resultados frente a los esfuerzos. En las vigas de estructura de acero con losas de hormigón, el acero proporciona ligereza, resistencia a la tracción y elasticidad. Por su parte, el hormigón aporta masa, resistencia a la compresión y rigidez. Estos dos materiales tienen facilidad para actuar conjuntamente ya que su coeficiente de dilatación térmica es similar (acero: 12 10-6/ oC); hormigón: 8 a 12 10-6/ oC). Para que exista una adecuada colaboración en las vigas mixtas es indispensable la acción simultánea de los dos materiales, es decir, que respondan como uno solo a las solicitaciones. Si no existe esta simultaneidad, habrá porciones del material sin colaboración, lo que provocará que las características favorables de cada material sean desaprovechadas. Figura 5.11. Viga de acero con una losa de hormigón armado unidas mediante pernos soldados a la viga y quedando dentro de la losa antes de hormigonar. 154  Figura 5.12. Viga y deck de acero unidas con una losa de hormigón mediante pernos soldados a la viga pasando a través de la deck y quedando dentro de la losa antes de hormigonar. La más utilizada tanto nacional como internacional es la combinación acero hormigón, como se muestran en las figuras 5.11, 5.12 y 5.13. Figura 5.13. Viga de dos materiales compuesta por viga de acero embebida o ahogada dentro del hormigón y unidas con una losa de hormigón armado. 5.3.4. Otros casos de vigas compuestas o reforzadas. Figura 5.14. Viga de dos materiales compuesta por viga de madera unidas por pernos conectores con una losa de hormigón armado. Figura 5.15. Viga de hormigón armado prefabricada con los aceros de los estribos salientes hacia arriba para unirla a una losa de hormigón que se realizará en obra. El acero del estribo funcionara como conector. 5.4. Teoría de esfuerzo de deformación plástica. Para estudiar los esfuerzos de flexión plástica partimos de considerar una viga de sección rectangular y los diagramas de esfuerzos que se muestran en la figura 5.16. Para este análisis inicial se supondrá que la parte a compresión de la viga está 155 completamente soportada contra el pandeo lateral, por lo que no fallará por esta razón. Si la viga está sujeta a momento flector, el esfuerzo en cualquier punto puede calcularse con la fórmula de Navier para la flexión: (σb = fb = M Y / I). Debe recordarse que esta expresión es aplicable solamente cuando el máximo esfuerzo calculado en la viga es menor que el límite elástico. La fórmula se basa en las hipótesis elásticas usuales: el esfuerzo es proporcional a la deformación unitaria, una sección plana antes de la flexión permanece plana después de la aplicación de las cargas, etc. Para determinar los esfuerzos máximos el valor (I / Ymax) es una constante para una sección específica y se denomina módulo elástico de la sección (S). La fórmula de la flexión puede escribirse entonces de la manera siguiente: M M M M  b  fb  Y  max   Ymax   Ymax  Fy   y   S  Inicialmente, cuando el momento se aplica a la viga, el esfuerzo varía linealmente, desde el eje neutro hasta las fibras extremas. Esta situación se muestra en la figura 5.16b). Si se incrementa el momento se mantendrá la variación lineal de los esfuerzos hasta que se alcanza el esfuerzo de fluencia en las fibras extremas como se muestra en la parte c) de la figura. El momento de fluencia de una sección transversal se define como el momento para el cual empiezan a fluir las fibras extremas de la sección. Si el momento en una viga de acero dúctil se incrementa más allá del momento de fluencia, las fibras extremas que se encontraban previamente sometidas al esfuerzo de fluencia se mantendrán bajo este mismo esfuerzo, pero en estado de fluencia y el momento resistente adicional necesario lo proporcionarán las fibras más cercanas al eje neutro. Este proceso continuará con más y más partes de la sección transversal de la viga, alcanzando el esfuerzo de fluencia como se muestra en los diagramas de esfuerzos d) y e) de la figura, hasta que finalmente se alcanza la distribución plástica total mostrada en f). Cuando la distribución de esfuerzos ha alcanzado esta etapa se dice que se ha formado una articulación plástica porque no puede resistirse en esta sección ningún momento adicional. Cualquier momento adicional aplicado en la sección causará una rotación (articulaciones plásticas) en la viga con poco incremento del esfuerzo. Figura 5.16. Distribución de los esfuerzos por flexión. El momento plástico es el momento que producirá una plastificación completa en una sección transversal del elemento creándose ahí mismo una articulación 156 plástica. La explicación anterior ignora la existencia de pandeo lateral – torsional y del pandeo local. lo cual se estudiará la Materia Estructuras de Acero. Figura 5.17. Una articulación plástica. En la figura 5.17, se muestra una viga simple con una articulación plástica. La carga mostrada que se aplica a la viga crece en magnitud hasta que se alcanza el momento de fluencia con las fibras extremas sometidas al esfuerzo Fy (σy), la magnitud de la carga continúa incrementándose y las fibras extremas empiezan a fluir; la plastificación se extiende hacia otras fibras fuera de la sección de momento máximo como se indica en la figura. La longitud en donde se presenta esta plastificación hacia ambos lados de la sección considerada, depende de las condiciones de carga y de la sección transversal del miembro. Para una carga concentrada aplicada en el centro del claro de una viga simplemente apoyada con sección rectangular, la plastificación en las fibras extremas en el momento que se forma la articulación plástica se extenderá sobre un tercio de la luz. En un perfil W en circunstancias similares, la fluencia se extended aproximadamente sobre un octavo de la luz. Durante este mismo período, las fibras interiores en la sección de momento máximo fluirán gradualmente hasta que todas alcancen el esfuerzo Fy y se forme una articulación plástica como se ve en la figura 5.17. Aunque el efecto de una articulación plástica se extiende sobre un cierto tramo a lo largo de la viga, se supone que la articulación está concentrada en una sola sección para propósitos de análisis. Para el cálculo de deflexiones y para el diseño del soporte lateral, la longitud sobre la cual se extiende la fluencia es de gran importancia. Cuando los pórticos o marcos de acero se cargan hasta la falla, los puntos en donde se concentra la rotación (articulaciones plásticas) resultan visibles al observador antes de que ésta ocurra. Hasta hace pocos años, casi todas las vigas de acero se diseñaban con base en la teoría elástica. La carga máxima que una estructura podía soportar se suponía igual a la carga que primero generaba un esfuerzo igual al de fluencia del material. Los elementos se diseñaban de manera que los esfuerzos de flexión calculados para cargas de servicio no excediesen el esfuerzo de fluencia dividido entre un factor de seguridad (1.5 a 2). Las estructuras se diseñaron durante muchas décadas mediante este método con resultados satisfactorios. Sin embargo, los proyectistas saben desde hace muchos años que los elementos dúctiles no fallan sino hasta 157 que ocurre una gran plastificación después de que se alcanza el esfuerzo de fluencia. Esto significa que tales elementos tienen mayores márgenes de seguridad contra la falla que lo que parece indicar la teoría elástica. Para ver la diferencia entre la teoría elástica y la plástica se ejemplificará con una sección rectangular como se muestra a continuación, aunque se sabe que secciones rectangulares muy raras veces se usan en edificaciones de acero. Figura 5.18. Determinación del módulo elástico de una sección rectangular. El momento de fluencia My es igual al esfuerzo de fluencia por el módulo elástico. El módulo elástico es igual a (I / Ymax) ó (b d2 / 6) para una sección rectangular; el momento de fluencia es entonces igual a F y  b  d 2 6. Este mismo valor puede obtenerse considerando el par interno resistente mostrado en la figura 5.18. En la misma C representa la resultante de los esfuerzos de compresión y T los de tracción. El momento resistente es igual a T ó C multiplicado por el brazo entre ellos:  b  d   2  Fy  b  d 2 M y   Fy  d   4  3  6 Se observa que para una viga de sección rectangular el módulo elástico de la sección es igual nuevamente a b  d 2 6 e el momento elástico F y  b  d 2 6. Figura 5.19. Determinación del módulo plástico de una sección rectangular. El momento resistente plástico Mp, o momento nominal de la sección, Mn, puede determinarse de manera similar. Este momento plástico o nominal es igual a T o C veces el brazo entre ellos. Para la viga rectangular de la figura 5.19 se tiene: 158  d  b  d   d  Fy  b  d 2 Mn  M p  T   Fy      2  2  2 4 El momento plástico es igual al esfuerzo de fluencia multiplicado por el módulo plástico. De la expresión anterior para una sección rectangular, se ve que el módulo plástico, Z, es igual a (b d2 / 4). La relación del momento plástico Mp al momento de fluencia My se denomina factor de forma. Los factores de forma son iguales a 1.50 en las secciones rectangulares y varían entre 1.10 y 1.20 en las secciones laminadas estándar. El factor de forma, para una sección rectangular, es igual a Mp Fy  Z Z bd2 /4     1,5 (Para una sección rectangular) My Fy  S S bd2 /6 Figura 5.20. Valor aproximado de factor de forma para algunas secciones usuales El módulo plástico es igual al momento estático de las áreas a tracción y a compresión respecto al eje neutro plástico. A menos que la sección sea simétrica, el eje neutro para la condición plástica no coincidirá con el de la condición elástica. La compresión interna total debe ser igual a la tracción interna total. Como todas las fibras tienen el mismo esfuerzo (Fy) en la condición plástica, las áreas arriba y abajo del eje neutro plástico deben ser iguales. Esta situación no se presenta en secciones asimétricas en la condición elástica. Ejemplo de cálculo 1: En una viga de acero solicitada a flexión, considerando un comportamiento, primero elástico y luego plástico para comparar los resultados obtenidos en ambos casos, Seguidamente se realiza el análisis global de la misma viga mediante el método plástico con el objeto de mostrar dicho proceso y comparar los resultados obtenidos con el análisis global en régimen elástico. Por motivos didácticos la viga se supone como un perfil IPE 300 de acero S 275 (Fy = 262MPa) y 8 metros de longitud, como se muestra en la figura 5.21. Figura 5.21. Modelo de análisis de la viga. 159 Con este fin se considera una viga empotrada - apoyada, de longitud L con carga uniformemente distribuida de valor qd, para proceder a realizar sus respectivos diagramas de corte y momento como se muestra en la figura 5.22. 3 𝑞𝑑 𝐿 5 𝑞𝑑 𝐿 9 𝑞𝑑 𝐿2 𝑞𝑑 𝐿2 𝑉𝐴 = → 𝑉𝐵 = 𝑀𝐶 = → 𝑀𝐵 = 8 8 128 8 Figura 5.22. Diagrama de solicitaciones Sección en régimen elástico. Primero se obtiene la distribución de esfuerzos normales en el empotramiento, por ser donde está el mayor momento flector, obtenida para el IPE 300 a partir de la ley de Navier-Bernoulli. En la figura 5.23, se puede observar que el esfuerzo máximo corresponde a la fibra más alejada (Ymax) Figura 5.23. Sección de la viga con diagrama de esfuerzos elásticos. 𝑀𝐵𝑋 𝑀𝐵𝑋 𝜎= 𝑌 → 𝜎𝑚á𝑥 = 𝑌𝑚á𝑥 𝐼𝑋 𝐼𝑋 Si se define el módulo resistente elástico respecto al eje x (𝑆𝑋 ) como: 𝐼𝑋 𝑀𝐵𝑋 𝑆𝑋 = → 𝜎𝑚á𝑥 = 𝑌𝑚á𝑥 𝑆𝑋 160 El valor del módulo resistente elástico de los distintos perfiles laminados se encuentra en cualquier prontuario de perfiles de acero. Para el perfil del ejemplo, el IPE 300, su valor es de 557 103 𝑚𝑚3 = 557𝑐𝑚3. En el borde, cuando el esfuerzo máximo en la fibra más alejada es igual al límite elástico del acero del perfil, se ha alcanzado el esfuerzo máximo elástico, igualándose el esfuerzo máximo al de fluencia, tendremos la siguiente expresión: 𝑀𝐵𝑋 𝑀𝐵𝑋 𝑀𝑅𝑋 𝜎𝑚á𝑥 = = 𝐹𝑦 𝐹𝑦 = = (𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜) 𝑆𝑋 𝑆𝑋 𝑆𝑋 Se define el momento resistente elástico de un perfil, como aquel que genera un esfuerzo máximo en la fibra más alejada de la sección igual a 𝐹𝑦. Se representa por 𝑀𝑅X , y su valor se obtiene despejando el momento solicitación en la ecuación anterior. 𝑀𝑦𝑋 = 𝑀𝑅X = 𝐹𝑦 𝑆𝑋 Para el perfil objeto de estudio, un IPE 300 de acero S 275 con Fy = 262MPa, el Momento resistente elástico respecto el eje y será igual a: 𝑀𝑦𝑋 = 𝑀𝑅X = 262𝑀𝑃𝑎 557 10−6 𝑚3 = 0,1459 𝑀𝑁 ∙ 𝑚 = 145,9 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Es decir, el máximo momento que aguanta el IPE 300 de acero S 275, en régimen elástico es de aproximadamente 145,9 kN·m. Considerando el diagrama de flectores de la figura 5.22 y teniendo en cuenta que la longitud de la viga son 8 metros, el máximo momento en la viga se produce en el empotramiento, y su valor es igual a: 𝑞𝑑 𝐿2 𝑞𝑑 82 𝑀𝐵𝑋 = = = 8𝑞𝑑 8 8 Igualando el máximo momento solicitación (MBX) con el momento resistente elástico del perfil (MRX), se obtiene la máxima carga que es capaz de soportar la viga considerando un comportamiento elástico de la sección. 8𝑞𝑑 = 145,9𝑘𝑁 ∙ 𝑚 → 𝑞𝑑 = 18.237 𝑘𝑁/𝑚 Es decir, la máxima carga que aguanta el IPE 300 de acero S 275 considerando un comportamiento elástico es de 18,237 kN/m Dimensionado de la sección en régimen plástico. Figura 5.24: Esfuerzo plástico de la sección. 161 Si se pretende dimensionar la viga, es necesario conocer el valor de la carga que gravita sobre ella y la longitud de la misma, de modo que: conocido el máximo momento que la solicita, se busca un perfil de acero que sea capaz de soportarlo (que se refiere este caso); otra forma de plantear el problema consiste en: conocido el perfil de acero y su longitud obtener la máxima carga que admite, (este método es mayormente utilizado en la industria). La distribución de esfuerzos en régimen plástico supone que todas las fibras de la sección (no sólo la más alejada) alcancen el límite elástico de cálculo (Fy), de modo que para la sección de estudio el diagrama de esfuerzos es simétrico con relación al eje centroidal, (véase figura 5.24). Módulo Resistente Plástico Se define el momento resistente plástico de un perfil de acero (𝑀𝑃X ) como aquel que es capaz de plastificar todas y cada una de las fibras de la sección, y su valor es igual a: 𝑀𝐵𝑋 𝜎𝑚á𝑥 = = 𝐹𝑦 𝑀𝑃X = 𝐹𝑦 𝑍𝑋 𝑍𝑋 Siendo 𝑍𝑋 el módulo resistente plástico de la sección. Se calcula considerando que la sección solicitada a flexión ha plastificado, estando una parte de la misma comprimida y otra traccionada, de modo que para que la sección esté en equilibrio, es necesario que la fuerza resultante de la parte comprimida sea igual a la fuerza resultante de la traccionada, (véase figura 5.24). De modo que: 𝐴 𝐹𝑦 𝐴1 = 𝐹𝑦 𝐴2 → 𝐴1 = 𝐴2 = 2 Dicho par de fuerzas, equilibra al momento de plastificación, por tanto: 𝐴 𝐹𝑦 𝐴1 𝑌1 = 𝐹𝑦 𝐴2 𝑌2 → 𝐹𝑦 (𝑌1 + 𝑌2 ) = 𝑀𝑃X 2 Se define el módulo resistente plástico al término: 𝐴 𝑍𝑋 = (𝑌1 + 𝑌2 ) 2 Para el IPE 300 , el valor de 𝑍𝑋 = 628 103 𝑚𝑚3 = 628 𝑐𝑚3 Siendo el momento resistente plástico respecto al eje y del IPE 300 de acero S 275, igual a: 𝑀𝑃X = 262𝑀𝑃𝑎 628 10−6 𝑚3 = 0,1645 𝑀𝑁 ∙ 𝑚 = 164,5 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Lo que significa que el máximo momento que resiste el perfil de acero en régimen plástico es de aproximadamente 164,5 𝑘𝑁 ∙ 𝑚. Considerando el diagrama de flectores de la figura 5.22 y teniendo en cuenta que la longitud de la viga son 8 metros, el máximo momento en la viga se produce en el empotramiento, y su valor es igual a: 𝑞𝑑 𝐿2 𝑞𝑑 82 𝑀BX = = = 164,5𝑘𝑁 ∙ 𝑚 → 𝑞𝑑 = 20,562 𝑘𝑁/𝑚 8 8 Es decir, la máxima carga que aguanta el IPE 300 de acero S 275 considerando un comportamiento plástico es de 20,562 kN/m, lo que equivale lo que equivale a unos 2,325 kN/m más que en el caso anterior (20,562 – 18,237). El factor de forma sería: 162  M PX 164,5 qdp 20,562 Ff    1,127 o Ff    1,127 M RX 145,9 qde 18,237 𝑍𝑋 628 𝑐𝑚3 𝐹𝑓 = = = 1,127 𝑆𝑋 557 𝑐𝑚3 Sección en régimen plástico. Se ha obtenido el valor de la carga uniformemente repartida que plastifica la sección del empotramiento, es decir, que genera en el empotramiento (nudo B) un momento solicitación igual al momento resistente plástico del IPE 300. En la figura 5.25 se representa dicho esquema de carga y los diagramas de momentos flectores de la viga. Figura 5.25: Diagrama de momento flector. 𝑞 𝐿2 20.562 82 𝑀𝐵𝑋 = = = 164.5 𝑘𝑁. 𝑚 = 𝑀𝑅𝑑.𝑝𝑙,𝑋 8 8 9 𝑞 𝐿2 9 20.562 82 𝑀𝐶𝑋 = = = 92.5 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 128 128 En la figura anterior se observa que en la sección B el momento solicitación es igual a 164,5 kN·m (momento resistente plástico) y en la sección C, es igual a 92,5 kN·m. Cuando se realiza un análisis global de la estructura en régimen plástico, se supone que las secciones que han plastificado se comportan como rótulas, de modo que la viga de la figura 5.25, sometida a una carga uniformemente repartida de 20,562kN/m se modeliza como biarticulada, tal y como se muestra en la figura 5.26. Figura 5.26: Modelización del problema. Esta viga biarticulada es capaz de soportar nuevas cargas, aumentando el momento en el centro de vano y permaneciendo constante y con valor igual a 𝑀𝑝𝑙,𝑋 el momento en la sección B. Para obtener la cantidad de carga adicional que puede aguantar hay que tener en cuenta que la sección más solicitada a flexión positiva es la C, con un momento 163 solicitación igual 92,5 kN·m de modo que el máximo momento adicional que podrá solicitar a dicha sección, consecuencia del incremento de carga, será igual al momento resistente del perfil menos el momento que ya lo está solicitando, es decir: 𝑀𝐶 𝑚𝑎𝑥, 𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 = 𝑀𝐵X − 𝑀𝐶𝑋 = 164,5 − 92,5 = 72𝑘𝑁 ∙ 𝑚 Con el valor del máximo momento adicional calculado, se obtiene el incremento de carga que resiste la viga modelizada, siendo el diagrama de flectores correspondiente el de la figura 5.27.. Figura 5.27: Momento flector admisible Donde: ∆𝑞𝑑 82 𝑀𝐶 𝑚𝑎𝑥, 𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 = = 72 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 ⇛ ∆𝑞𝑑 = 9 𝑘𝑁/𝑚 8 De modo que si se añaden 9 kN/m a los 20,562 kN/m de la figura 5.25 se produce la plastificación de la sección del centro de vano de la viga, convirtiéndola en un mecanismo. Por tanto, la carga de agotamiento de la viga analizada, obtenida con un análisis plástico de la estructura, es de 20,562 + 9 = 29,562 kN/m. Con este último valor de carga distribuida se obtiene el Mc max Figura 5.28: Plastificación de la sección central. Ejemplo de cálculo 2: Elaboración: Maigua-Mejía-Astudillo Para la sección de acero que se muestra. Determine el eje neutro (centroide) y el momento resistente elástico (My), así como el eje neutro (centroide) y el momento resistente plástico (Mp). El esfuerzo de fluencia es Fy = 248MPa. Determine además los gráficos de momento flector y fuerza Cortante. 164  Modelo de análisis Sección transversal Figura 5.29: Modelo de cálculo y sección transversal de la viga. Solución: 1. Cálculo de las reacciones de apoyo (empotramiento): Realmente no es necesario su cálculo, pero se hará como ejercitación. 5𝑘𝑁 1 9𝑘𝑁 1 ∑ 𝑀𝑒𝑚𝑝𝑜𝑡𝑟𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 0 − 𝑀𝑒 + 2𝑚 1𝑚 + 3𝑚 (2𝑚 + 3𝑚) = 0 𝑚 2 𝑚 3 𝑀𝑒 = 50,5 𝑘𝑁. 𝑚 1 ∑ 𝐹𝑦 = 0 − ( 9𝑘𝑁/𝑚 3𝑚) − (5𝑘𝑁/𝑚 2𝑚) + 𝑅𝑦 = 0 2 𝑅𝑦 = 23,5 𝑘𝑁 2. Determinación de las expresiones y gráficos de M y V. Para el tramo 1 𝑤 𝑍3 9𝑘𝑁/𝑚 𝑍 3 9𝑘𝑁/𝑚 𝑍 3 1𝑘𝑁/𝑚 𝑍 3 𝑀=− =− =− =− 6 𝐿 6 3𝑚 18 2 𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑍 = 0 ⇛ 𝑀=0 𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑍 = 3𝑚 ⇛ 𝑀 = −13,5𝑘𝑁. 𝑚 𝑘𝑁 𝑤 𝑍2 9 𝑚 𝑍2 𝑉=− =− 2 𝐿 2 3𝑚 𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑍 = 0 ⇛ 𝑉=0 𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑍 = 3𝑚 ⇛ 𝑉 = −13,5𝑘𝑁 Para el tramo 2 9𝑘𝑁/𝑚 3𝑚 5𝑘𝑁/𝑚(𝑍 − 3𝑚)2 𝑀=− (𝑍 − 2) − 2 2 𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑍 = 3𝑚 ⇛ 𝑀 = −13,5𝑘𝑁. 𝑚 𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑍 = 5𝑚 ⇛ 𝑀 = −50,5𝑘𝑁. 𝑚 9𝑘𝑁/𝑚 3𝑚 𝑉=− − 5𝑘𝑁/𝑚(𝑍 − 3𝑚) 2 𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑍 = 3𝑚 ⇛ 𝑉 = −13,5𝑘𝑁. 𝑚 𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑍 = 5𝑚 ⇛ 𝑉 = −23,5𝑘𝑁. 𝑚 Como resultado de gráfico de Momento se obtiene que las tracciones son en la parte superior del centroide y las compresiones en la inferior 165  Figura 5.30: Gráficos de Momento flector y Corte de la viga. 3. Cálculo de la ubicación del centroide y de la inercia respecto al eje x centroidal. Por simetría el centroide está en el centro de la sección transversal, por lo que partiendo de un eje inicial que pasa por la parte inferior de la sección Yc = 20cm. Para calcular la inercia se utiliza el teorema de los ejes paralelos o de Steiner ̅ + 𝐴 𝑦 2 ) = 2(21 13 /12 + 21(19,52 )) + 1 383 /12 + 38 02 𝐼𝑥 = ∑(𝐼𝑥 𝐼𝑥 = 20546,667𝑐𝑚4 = 2,054667 10−4 𝑚4 Calculando la inercia en forma de tabla como ejercitación: Figura Ix (c𝒎𝟒 ) Área Y(𝒄𝒎) Área Y2 Ix (c𝒎𝟒 ) (𝒄𝒎𝟐 ) (c𝒎𝟒 ) 1 21 13 21 1=21 -19,5 7985,25 7987 = 1.75 12 2 1 383 38 1=38 0 0 4572,667 = 4572,667 12 3 21 13 21 1=21 19,5 7985,25 7987 = 1.75 12 Suma 4576,167 80 15970,5 20546,667 4. Análisis Elástico Determinación del módulo elástico de la sección (SX) 𝐼𝑥 20546,667 𝑆𝑥 = = = 1027,33𝑐𝑚3 = 1,02733𝑥10−3 𝑚3 𝑌𝑚𝑎𝑥 20 166 Cálculo de My. Igualando el esfuerzo normal máximo al de fluencia: 𝑀𝑦 𝜎𝑚á𝑥 = = 𝐹𝑦 𝑆𝑥 Despejando My: 𝑀𝑦 = 𝐹𝑦 𝑆𝑥 = 248 1,02733𝑥10−3 = 0,254778𝑀𝑁. 𝑚 = 254,778 𝑘𝑁. 𝑚 Como ejercitación se calculará My usando el gráfico de esfuerzos normales. Se hará momento respecto al centroide. Como el gráfico de esfuerzos es simétrico por ser la sección simétrica, se calculará una mitad y se multiplica por 2. Se debe determinar el valor del esfuerzo normal en la unión del ala con el alma de la viga. Esto se calculará por regla de tres. 248𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑤 = ⇛ 𝐹𝑤 = 235,6𝑀𝑃𝑎 20𝑐𝑚 19𝑐𝑚 1 2 1 𝑀𝑦 = 2 [( 235,6 19 1 19) + (235,6 1 21 19,5) + ( (248 − 235,6) 2 3 2 1 21 19.66667)] 𝑀𝑦 = 2[28350,53 + 96478,2 + 2560,6|] 𝑀𝑦 = 254778,66 𝑀𝑃𝑎. 𝑐𝑚3 = 0,254778 𝑀𝑁. 𝑚 = 254,778 𝑘𝑁. 𝑚 Sección transversal Diagrama de esfuerzo Figura 5.31: Diagrama de esfuerzos normales en trabajo elástico de la viga. 5. Análisis Plástico. Sección transversal Diagrama de esfuerzo Figura 5.32: Diagrama de esfuerzos normales en trabajo plástico de la viga. 167 El área de la media sección es 40 cm2 Á𝑟𝑒𝑎 = 80𝑐𝑚/2 = 40 𝑐𝑚2 Determinando el centroide de la media sección. Se hará respecto a un eje que pasa por el medio de la misma: Figura 5.33: Representación de la media sección para determinar su centroide y luego el módulo plástico de la viga. Figura Área (𝒄𝒎𝟐 ) Y(𝒄𝒎) Área Y (𝒄𝒎𝟑 ) 1 21 1=21 19,5 409,5 2 19 1=19 9,5 180,5 Suma 40 590 ∑ 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑌 590 𝑌𝑐 = 𝑌1 = 𝑌2 = = = 14,75 𝑐𝑚 ∑ 𝐴𝑟𝑒𝑎 40 Tenemos que 𝐴1 = 𝐴2 = A/2 ⇛ 40cm2 = 40cm2 = 80cm2 / 2 Además, para que la sección esté en equilibrio, es necesario que la fuerza resultante de la parte comprimida sea igual a la fuerza resultante de la traccionada. De modo que: 𝐴 𝐹𝑦 𝐴1 = 𝐹𝑦 𝐴2 → 𝐴1 = 𝐴2 = 2 Dicho par de fuerzas, equilibra al momento de plastificación, por tanto: 𝐴 𝐹𝑦 𝐴1 𝑌1 = 𝐹𝑦 𝐴2 𝑌2 → 𝐹𝑦 (𝑌1 + 𝑌2 ) = 𝑀𝑃 2 Se define el módulo resistente plástico al término: 𝐴 𝑍𝑋 = 𝑍𝑝𝑙 = (𝑌1 + 𝑌2 ) = 40𝑐𝑚2 (14,75𝑐𝑚 + 14,75𝑐𝑚) = 1180𝑐𝑚3 2 Si en lugar de buscar el centroide de la mitad de la sección, que se corresponde con una sección T, el valor de Zx se podría calcular directamente dividiendo la media sección T en figuras conocidas, siendo ambos rectángulos, una el patín y otra la mitad del alma. Entonces planteando la sumatoria de momento en el centro de la viga: 𝑍𝑋 = 𝑍𝑝𝑙 = 2(21 1 19,5 + 19 1 9,5) = 1180𝑐𝑚3 Se multiplica por 2 por simetría, porque la media sección de abajo, que está a compresión tiene la misma resultante y brazo respecto al centro. 𝑀𝑝 = 𝐹𝑦 𝑍𝑋 = 248𝑀𝑃𝑎 0,00118𝑚3 = 0,29264𝑀𝑁. 𝑚 = 292,64𝑘𝑁. 𝑚 Determinado el factor de forma Ff: 168  𝑀𝑝 292,64 𝑍𝑋 1180 𝐹𝑓 = = = 1,1486 𝐹𝑓 = = = 1,1486 𝑀𝑦 254,778 𝑆𝑋 1027,33 El factor de forma calculado coincide con el planteado en la conferencia donde dice que generalmente está entre 1,1 y 1,2 para secciones de forma I. Puede observarse, además, que el momento máximo actuante (50,5 kN.m) es muy inferior a los resistentes, tanto elástico como plástico. Esto significa que la sección transversal está sobrediseñada. Ejemplo de cálculo 3. Para la siguiente sección transversal de una viga de acero ASTM A36 formada por la unión de tres placas: Calcular el módulo elástico de la sección Sx, el momento de fluencia My, el módulo plástico de la sección Zx y el momento plástico Mp. La flexión se da sobre el eje x. Esfuerzo de fluencia (Fy) para este acero es 248MPa. Las tracciones ocurren en la parte inferior de la sección y las compresiones arriba. Figura 5.43: Sección transversal de la viga. 1. Cálculo de la ubicación del centroide y de la inercia respecto al eje x centroidal. Se divide en secciones conocidas para encontrar el centroide y la inercia con respecto al eje x centroidal. Inercia respecto a X1 FIGURA B H ÁREA Y respecto a X1 𝐴 𝑌̅ Iox 𝐴 𝑌̅̅̅2 1.00 14.00 1.00 14.00 19.50 273.00 1.166 5323.50 2.00 1.50 17.00 25.50 10.50 267.75 614.13 2811.38 3.00 22.00 2.00 44.00 1.00 44.00 14.666 44.00 Sumatoria 83.50 584.75 629.96 8178.88 7.003 8808.84 Centroide Yc Ix respecto al eje X1 𝐼𝑥1 = ∑ 𝐼𝑜𝑥 + 𝐴 𝑌 2 = 629,96 + 8178,88 = 8808,84𝑐𝑚4 Entonces la inercia respecto al eje centroidal se determina: 169  𝐼𝑥𝑐 = ∑ 𝐼𝑥1 − 𝐴 𝑌𝑐2 = 8808,84 − 83,50 7,0032 = 4713,83𝑐𝑚4 Figura 5.44: Sección transversal dividida en figuras conocidas y posición de X1 2. Determinación del módulo elástico de la sección (Sx) 𝐼𝑥 𝐼𝑥 4713,830 𝑆𝑥 (𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛) = = = = 362.69 [𝑐𝑚3 ] = 3.63 10−4 [𝑚3 ] 𝑌𝑚𝑎𝑥𝑐 𝐶𝑚𝑎𝑥 13 𝐼𝑥 4713.830 𝑆𝑥 (𝑇𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛) = = = 673.12 [𝑐𝑚3 ] = 6.73 10−4 [𝑚3 ] 𝑌𝑚𝑎𝑥𝑡 7 Entonces se escoge el más desfavorable que en este caso es el módulo elástico de la sección a compresión. 3. Análisis Elástico Se determina el momento de fluencia o momento resistente elástico (My). 𝑀𝑦 = 𝐹𝑦 𝑆𝑥 = 248 3.63 10−4 = 0.09 [𝑀𝑁 𝑚] = 89.95 [𝑘𝑁 𝑚] A continuación, se presenta el diagrama de esfuerzos normales en trabajos elásticos de la viga. Sección transversal Diagrama de esfuerzo Figura 5.45: Diagrama de esfuerzos normales en trabajo elástico de la viga. 170 Por comprobación se calcula el momento resistente elástica por el método gráfico, en donde al ser una figura asimétrica se calcula por separado todas las figuras del gráfico de esfuerzos normales. Se hará momento respecto al centroide. 1 2 2 1 𝑀𝑦 = ( 95.46 5 1.5 5) + (95.46 2 22 (5 + )) + ( 2 3 2 2 2 (133.63 − 95.46) 2 22 (5 + (2 )) 3 1 2 1 1 + ( 228.92 12 1.5 12) + (228.92 1 14 (12 + )) + ( 2 3 2 2 2 (248 − 228.92) 1 14 (12 + (1 )) = 89946.14 [𝑀𝑃𝑎 𝑐𝑚3 ] 3 = 89.95 [𝑘𝑁 𝑚] Por lo que en los 2 métodos se obtiene el mismo valor del momento resistente elástico. 4. Análisis Plástico. Sección transversal Diagrama de esfuerzo Figura 5.46: Diagrama de esfuerzos normales en trabajo plástico de la viga. Determinación de Zx y Mp Determinar el área de la sección superior e inferior: 𝐴 83,5 𝐴1 = 𝐴2 = = = 41,75 𝑐𝑚2 2 2 14 1 + 17 1.5 + 22 𝑌𝑠 = 22 (2 − 𝑌𝑠) ⇒ 𝑌𝑠 = 0.10227 ≈ 0.1 𝑐𝑚 2 − 0.10227 = 1.89773 ≈ 1.90 𝑐𝑚 ó 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 41,75 𝑐𝑚2 = 14 1 + 17 1.5 + 22 𝑌𝑠 ⇒ 𝑌𝑠 = 0.10227 ≈ 0.1 𝑐𝑚 ó 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 41,75 𝑐𝑚2 = 22 𝑐𝑚 𝑌𝑖 ⇒ 𝑌𝑖 ≈ 1,9 𝑐𝑚 Por lo que se encuentra en eje neutro en el ala inferior a tracción Determinar el centroide de la sección superior e inferior: Determinación del centroide - sección inferior: por ser un rectángulo de 1,90cm de alto, la resultante estará en el medio, o sea, a 0,95cm de la parte inferior y a esa misma distancia de la línea neutra plástica. 171  Determinación del centroide - sección superior Determinación del Centroide Yc de la Figura Superio respecto al eje plástico Xp FIGURA B H ÁREA 𝑌̅ 𝐴𝑌̅ 1.00 1.50 17.00 25.50 8.60 219.36 2.00 14.00 1.00 14.00 17.60 246.43 3.00 22.00 0.10 2.25 0.05 0.12 Sumatoria 41.750 465.90 Centroide 11.159 Yc Superior Determinación del módulo resistente plástico: 𝑍𝑥 = 𝐴𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑌𝑐𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + 𝐴𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑌𝑐𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑍𝑥 = 𝐴/2 (𝑌𝑐𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + 𝑌𝑐𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟) 𝑍𝑥 = 41,750 𝑐𝑚2 11,159𝑐𝑚 + 41,75𝑐𝑚2 0,95𝑐𝑚 = 505,52 𝑐𝑚3 = 0.00050552 𝑚3 𝑍𝑥 = 41,750 𝑐𝑚2 (11,159𝑐𝑚 + 0,949𝑐𝑚) = 505,52 𝑐𝑚3 = 0.00050552 𝑚3 𝑀𝑝 = 𝑀𝑛 = 𝐹𝑦 𝑍𝑥 = 248 𝑀𝑃𝑎 0.00050552𝑚3 = 0.1254 𝑀𝑁. 𝑚 = 125.4𝑘𝑁. 𝑚 5. Determinación el factor de forma Ff Existen dos formas en determinar este factor, la primera es con la relación del momento plástico con el momento de fluencia y la segunda es con la relación del módulo resistente plástico y modulo elástico 𝑀𝑝 125.4 𝑘𝑁. 𝑚 𝑍𝑥 505,52 𝑐𝑚3 𝐹𝑓 = = = 1,394 𝑜 𝐹𝑓 = = = 1,394 𝑀𝑦 89.95 𝑘𝑁. 𝑚 𝑆𝑥 362,69 𝑐𝑚3 5.5. Deflexiones en elementos sometidos a flexión. 5.5.1. Ecuación diferencial de la curva elástica. Figura 5.47. Representación de la deflexión, ángulo de giro y radio de curvatura. Al hablar de desplazamientos debe tenerse en cuenta que la flexión provoca, no solo desplazamiento lineal, sino también desplazamiento angular. El lineal, que es el que considera en los cálculos del proyectista, es aquel que aparece en las secciones transversales de las vigas y ocurre en la dirección de las cargas que actúan, por lo que de ser verticales será vertical y en un eje perpendicular al eje longitudinal inicial recto, que indistintamente se le llama X o Z. Algunos autores al 172 desplazamiento producido por la flexión le llaman “flecha” y otros lo llaman deflexión, o simplemente desplazamiento. La deflexión se denotará con la letra  y cuando es un desplazamiento vertical comúnmente se le llama Y, por coincidir con ese eje de la sección transversal. Al ángulo de giro se denotará con  y en ocasiones se le llama Y´, por ser la derivada de la deflexión. Este último es el ángulo que forma el eje inicial recto de la barra y la tangente a la sección que se está analizando después de deformada. Radio de curvatura: Esté será representado con la letra griega ρ como aparece en la figura anterior y ya es conocido del cálculo diferencial. Para analizar el cálculo de desplazamientos producidos por la flexión es necesario recurrir al radio de curvatura. El inverso del radio de curvatura es la curvatura de la deformada de la barra (K). 1 K  Ecuación diferencial de la curva elástica. Para obtener la expresión diferencial que permita relacionar los desplazamientos con las solicitaciones que surgen en un miembro estructural, hay que usar expresiones ya conocidas del cálculo diferencial, como es el caso de la expresión del inverso del radio de curvatura. Y' ' dy d2 y K y'  y' '  (1 Y' )  2 3/2 dz dz 2 Por otra parte, al estudiar la flexión, se obtuvo una expresión que relaciona el inverso del radio de curvatura con el momento flector actuante, el módulo de elasticidad del material y el momento de inercia de la sección transversal. 1 M K   E  Por lo que usando las expresiones anteriores se puede plantear la ecuación diferencial exacta de la curva elástica: Y' ' M   (1 Y' )  Ecuación diferencial exacta de la curva elástica 2 3/2 E Para poder obtener la ecuación diferencial de la curva elástica hay que integrar la expresión anterior, lo cual es bastante complejo, pero puede ser simplificada debido a que, en la mayoría de los casos que se presentan en ingeniería civil, la magnitud Y´ es muy pequeña (alrededor de 0,001radianes), por lo que elevado al cuadrado es mucho más pequeña aun y puede ser despreciado, quedando la expresión como se expone a continuación. M  Y' '  E En la figura 5.48 se muestra el convenio de signos escogido, donde los desplazamientos positivos en el eje “y” son hacia arriba y el momento flector es 173 positivo si tracciona las fibras inferiores, por lo que para que sea válida la expresión anterior hay que tomar el signo positivo, quedando la misma: M Y''  Ecuación diferencial aproximada de la curva elástica. E  Donde Y’’: Esa segunda derivada de la deflexión respecto al eje de la z. M: Momento flector actuante en función de z. E: Módulo de elasticidad del material que forma la viga. I: Momento de inercia de la sección transversal respecto al eje donde ocurre la flexión. Y Convenio de signos + M+ tracciona abajo Z Figura 5.48. Convenio de signos a utilizar. Para el ángulo de giro se toma positivo si en el sentido desde el eje inicial recto de la barra a la recta tangente a la sección que se está analizando, después de deformada, gira en contra de las manecillas del reloj. 5.5.2. Cálculo del desplazamiento usando el Método de la doble integración. De forma general este método se basa en la doble integración de la Ecuación diferencial aproximada de la curva elástica. Al integrar la primera vez se obtiene la ecuación del ángulo de giro y la segunda vez se obtiene la ecuación de la flecha o deflexión. M Integrando una vez    '  Y '    dz  C1 E  M Integrando otra vez   Y   dz   dz   C1  dz  C2 E Al integrar surgen las constantes de integración C1 y C2, las que deben de ser resueltas con el uso de las condiciones de contorno (borde) y de continuidad. El convenio de signos es el mismo explicado en la Ecuación diferencial aproximada de la curva elástica. Observando las ecuaciones para determinar la deflexión y el ángulo de giro, se aprecia que quedan en función de los momentos flectores. Como se sabe, de acuerdo al sistema de cargas que actúa sobre la viga, hay que dividirla en tramos de acuerdo a la ley de variación de la carga y hacer tantas secciones como la cantidad de tramos. Entonces al aplicar el método de la doble integración, por cada sección que se haga surgirán 2 constantes de integración, siendo en total 2 multiplicado por la cantidad de secciones. Esto hace que hay que buscar esa misma cantidad de condiciones de borde, por lo que el método se convierte en muy laborioso desde el punto de vista de cálculo manual. Por ejemplo, si se analiza la viga de la figura 5.49 que aparece abajo con el objetivo de determinar la deflexión en el tramo central, de acuerdo a la variación de la carga, 174 en la misma hay tres tramos, por lo que para obtener el gráfico de momento flector hay que realizar 3 secciones y como consecuencia, al aplicar la doble integración, surgen en total 6 constantes de integración (2 en cada sección). 20kN/m 2m 2m 1m Figura 5.49. Viga para determinar la deflexión en el tramo central No obstante, para estos casos existe la simplificación que se muestra en la ejecución de los ejemplos de cálculo 3 al 6 El método si tiene la ventaja que, al resolver las constantes de integración con la ayuda de las condiciones de contorno, se tendrá en cada sección la ecuación de la deflexión y en ángulo de giro, por lo que se puede obtener fácilmente sus valores para cual punto. Ejemplo de cálculo 1. Para la siguiente viga que se representa en su esquema de análisis y de carga y usando el método de la Doble integración. a) Obtenga la expresión para el cálculo de la deflexión. b) Obtenga la expresión para el cálculo del ángulo de giro. c) Determine el desplazamiento vertical y el ángulo de giro en el extremo del volado. P L Figura 5.50 Modelo de cálculo de la viga. Solución: La expresión de momento flector, haciendo una sección en la viga y avanzando de izquierda a derecha que es en el sentido asumido para z, queda: M  P  Z Integrando una vez se obtiene la expresión de cálculo del ángulo de giro.  P  Z2   'Y'  C1 2E  Integrando otra vez se obtiene la expresión de cálculo de los desplazamientos.  P  Z3 Y  C1  Z  C2 6E  Las constantes de integración C1 y C2 se obtienen con el uso de condiciones de contorno (borde) y de continuidad. En este caso será de contorno: Condición número 1 (CB#1): Z  L    0 (Empotramiento) Condición número 2 (CB#2): Z  L    0 (Empotramiento)  P  L2 P  L2 Empleando la CB#1, sustituyendo Z=L:    C1  0  C1  2E  2E  175 Sustituyendo el valor de C1 obtenido en la CB#2 y sustituyendo Z=L:  P  Z3 P  L2  P  L3 P  L2  P  L3    Z  C2    L  C2  0  C2  6E  2E  6E  2E  3E  Ya obtenidas las constantes de integración C1 y C2 se sustituyen en las ecuaciones de cálculo de los desplazamientos y ángulo de giro, quedando: a) Expresión para el cálculo de los desplazamientos. P  Z3 P  L2 P  L3 Y  Z 6E  2E  3 E  b) Expresión para el cálculo del ángulo de giro. P  Z2 P  L2   '  Y'    2E  2E  c) El desplazamiento vertical y el ángulo de giro en el extremo del volado se obtienen evaluando para Z=0 las ecuaciones anteriores. P  03 P  L2 P  L3 P  L3 Y  0  6E  2E  3E  3E  El signo negativo significa que es hacia abajo. P  02 P  L2 P  L2   '  Y'     2E  2E  2E  Ejemplo de cálculo 2. Para la siguiente viga que se representa en su esquema de análisis y de carga y usando el método de la Doble integración. a) Obtenga la expresión para el cálculo de la deflexión en cada tramo. b) Obtenga la expresión para el cálculo del ángulo de giro en cada tramo. c) Determine el desplazamiento vertical en el centro y el ángulo de giro en los apoyos. P P A A P B B A I A P I II B II B L/2 L/2 I I II II L/2 L/2 Ray=P/2Ray=P/2 Rby=P/2Rby=P/2 Figura 5.51 Modelo de cálculo de la viga. Solución 1: solución usando el método clásico Para obtener la expresión de momento flector se necesitan hacer dos secciones, debido a que hay dos tramos, como se indica en la figura de abajo. Aplicando la simetría se puede obtener las reacciones de apoyo. V P V M M P/2 I P/2 II z z Sección I-I Sección II-II Figura 5.52 Representación de las secciones realizadas a la viga. 176 Para la sección I: PZ M 2 Integrando una vez se obtiene la expresión de cálculo del ángulo de giro. P  Z2 1  '1  Y'1   C1 (Ecuación I) 4E  Integrando otra vez se obtiene la expresión de cálculo de los desplazamientos. P  Z3 1  Y1   C1  Z  C2 (Ecuación II) 12  E   Para la sección II: PZ L P Z PL M  P(Z  )    2 2 2 2 Integrando una vez se obtiene la expresión de cálculo del ángulo de giro. P  Z2 P  L  Z 2  ' 2  Y' 2     C3 (Ecuación III) 4 E  2E  Integrando otra vez se obtiene la expresión de cálculo de los desplazamientos. P  Z3 P  L  Z2  2  Y2     C3  Z  C 4 (Ecuación IV) 12  E   4E  Las constantes de integración C1 C2, C3 y C4 se obtienen con el uso de contorno (borde) y de continuidad: Condición número 1 (CB#1): Z  0    0 (Articulación) (Ec. Contorno) Condición número 2 (CB#2): Z  L    0 (Simple apoyo) (Ec. Contorno) Condición número 3 (CB#3): Z  L / 2  1  2 (mismo punto) (Ec. Continuidad) Condición número 4 (CB#4): Z  L / 2  1  2 (mismo punto) (Ec. Continuidad) Empleando la CB#1, sustituyendo Z=0 en la ecuación II: P  03 1  Y1   C1  0  C2  C2  0 12  E   Empleando la CB#3, igualando la ecuación I a la ecuación III (θ1 = θ2) y sustituyendo Z = L/2 y luego poniendo a C1 en función de C3: P  Z2 P  Z2 P  L  Z  C1     C3 4E  4E  2E  P  (L / 2)2 P  (L / 2)2 P  L  (L / 2)  C1     C3 4 E  4E  2E  P  L2 3  P  L2 P  L2  C1   C3  C1   C3 16  E   16  E   8E  Empleando la CB#4, igualando la ecuación II a la ecuación IV (δ1 = δ2) y sustituyendo Z = L/2 y luego poniendo a C1 en función de C3: 177  P  Z3 P  Z3 P  L  Z2  C1  Z  C2     C3  Z  C 4 C2=0 12  E   12  E   4E  P  (L / 2)3 P  (L / 2)3 P  L  (L / 2)2  C1  (L / 2)     C3  (L / 2)  C4 12  E   12  E   4E  P  L3 5  P  L3  C1  (L / 2)   C3  (L / 2)  C 4 96  E   96  E   Sustituyendo C1 por su valor en función de C3 y despejando C4; P  L3 P  L2 5  P  L3  (L / 2)  C3  (L / 2)   C3  (L / 2)  C 4 96  E   8  E   96  E   P  L3 P  L3 5  P  L3   C3  (L / 2)   C3  (L / 2)  C4 96  E   16  E   96  E   P  L3 P  L3 5  P  L3   C3  (L / 2)   C3  (L / 2)  C 4 96  E   16  E   96  E   P  L3 C4  48  E   Empleando la CB#2, sustituyendo Z=L en la ecuación IV y sustituyendo C 4 por su valor se obtiene C3: P  L3 P  L  L2 P  L3 P  L3 P  L3 2     C3  L    C3  L  0 12  E   4  E   48  E   6  E   48  E   9  P  L2 3  P  L2  C3    48  E   16  E   Sustituyendo el valor de C3 en la expresión de C1 que está en función de C3: P  L2 9  P  L2 P  L2  C1    8 E  48  E   16  E   Sustituyendo las cuatro constantes de integración ya obtenidas en las ecuaciones para determinar los desplazamientos y el ángulo de giro: a) Expresión para el cálculo de los desplazamientos en cada tramo. P  Z3 P  L2 1  Y1   Z 12  E   16  E   P  Z3 P  L  Z 2 9  P  L2 P  L3  2  Y2     Z 12  E   4E  48  E   48  E   b) Expresión para el cálculo del ángulo de giro en cada tramo. P  Z2 P  L2 1  '1  Y'1   4  E   16  E   P  Z 2 P  L  Z 9  P  L2 2  ' 2  Y' 2     4  E   2  E   48  E   c) Determine el desplazamiento vertical en el centro y el ángulo de giro en los apoyos. 178 Evaluando para Z = L/2 las ecuaciones de cálculo del desplazamiento. P  (L / 2)3 P  L2 P  L3 1  Y1    (L / 2)   12  E   16  E   48  E   P  (L / 2)3 P  L  (L / 2)2 9  P  L2 P  L3 P  L3 2  Y2      (L / 2)   12  E   4E  48  E   48  E   48  E   Se evalúa en las dos ecuaciones como comprobación, ya que con una sola es suficiente. El signo negativo significa que es hacia abajo. El ángulo de giro en el apoyo A se obtiene evaluando para Z = 0 en la ecuación del tramo I y en el apoyo B evaluando Z = L en la ecuación del tramo II. P  02 P  L2 P  L2 1  '1  Y'1    4  E   16  E   16  E   P  L2 P  L  L 9  P  L2 P  L2 2  ' 2  Y' 2      4  E   2  E   48  E   16  E   Por supuesto, el ángulo de giro en los apoyos, debido a la simetría, es el mismo valor con signos contrarios. Solución 2: Solución usando el método clásico, pero utilizando como condición de borde el caso participar que el Angulo de giro en el centro de la viga es cero. La parte inicial es similar, solo cambian las condiciones de borde para hallar las constantes de integración. Usando los conocimientos de ingeniería civil se sabe que, debido a la simetría, la deflexión máxima ocurrirá en el centro de la viga, o sea, debajo de la carga concentrada, por lo que ahí el ángulo de giro es cero, debido a que el ángulo de giro es cero donde la deflexión es máxima, por ser su derivada: Condición número 1 (CB#1): Z  0    0 (Articulación) Condición número 2 (CB#2): Z  L    0 (Simple apoyo) Condición número 3 (CB#3): Z  L / 2  1  0 Condición número 4 (CB#4): Z  L / 2  2  0 Empleando la CB#1, sustituyendo Z=0 en la ecuación II: P  03 1  Y1   C1  0  C2  C2  0 12  E   Empleando la CB#3, sustituyendo Z=(L/2) en la ecuación I: P  (L / 2)2 P  L2 1   '1  Y '1   C1  0  C1   4E  16  E   Empleando la CB#4, sustituyendo Z=(L/2) en la ecuación III: P  (L / 2)2 P  L  (L / 2) 3  P  L2  2   '2  Y '2     C3  0  C3   4E  2E  16  E   Empleando la CB#2, sustituyendo Z=L y el valor de C3 en la ecuación IV: P  L3 P  L  L2 3  P  L2 P  L2  2  Y2      L  C4  0  C4  12  E   4  E   16  E   48  E   179 Si se observa los valores obtenidos de C1, C2, C3 y C4 son los mismos de la solución 1, por lo que el resto de los cálculos será similar. Solución 3: Solución usando la simplificación de los paréntesis angulares. Para la sección I Para la sección II: PZ P Z L M M  P (Z  ) 2 2 2 La expresión válida para todos los tramos usando paréntesis angulares: P Z M  P Z  (L / 2) 2 Nota: Los paréntesis angulares significan que, si queda negativo el valor dentro de ellos, no interviene en la operación matemática. Integrando una vez se obtiene la expresión de cálculo del ángulo de giro: 2 P  Z 2 P Z  ( L / 2)   'Y '   C1 4E  2E  Integrando otra vez se obtiene la expresión de cálculo del desplazamiento vertical (Deflexión): 3 P  Z3 P Z  ( L / 2)  Y    C1  Z  C 2 12  E   6E  Las constantes de integración C1 y C2 se obtienen con el uso de condiciones de contorno (borde) y de continuidad: Condición número 1 (CB#1): Z  0    0 (Articulación) Condición número 2 (CB#2): Z  L    0 (Simple apoyo) Empleando la CB#1, sustituyendo Z=0 en la ecuación de δ: 3 P  03 P 0  ( L / 2)  Y    C1  0  C 2  C 2  0 12  E   6E  Empleando la CB#2, sustituyendo Z=L y C2=0 en la ecuación de δ: 3 P  L3 P L  ( L / 2) P  L2  Y    C1  L  0  C1   12  E   6E  16  E   a) Expresión general para el cálculo de los desplazamientos. 3 P  Z3 P Z  ( L / 2) P  L2 P  L3  Y     Z (para Z = L/2    ) 12  E   6E  16  E   48  E   b) Expresión general para el cálculo del ángulo de giro. 2 P  Z 2 P Z  ( L / 2) P  L2 P  L2   'Y '   (Para Z= 0    ) 4E  2E  16  E   16  E   Ejemplo de cálculo 3. Para la siguiente viga que se representa en su modelo de cálculo y usando el método de la doble integración y usando la simplificación de los paréntesis angulares. a) Obtenga la expresión para el cálculo de la deflexión. b) Obtenga la expresión para el cálculo del ángulo de giro 180 c) Determine el ángulo de giro en los apoyos d) Determine el ángulo de giro en el centro. e) Determine el desplazamiento vertical en el centro. f) Determine el desplazamiento vertical máximo. Figura 5.53 Modelo de cálculo de la viga. Solución: Cálculo de las reacciones en los apoyos: ∑ 𝐹𝑥 = 0 ⇛ 𝑅𝑎𝑥 = 0 ∑ 𝑀𝐴 = 0 − (0,5 ∙ 2) − (0,45 ∙ 2 ∙ 4) + (𝑅𝑏𝑦 ∙ 5) = 0 ⇛ 𝑅𝑏𝑦 = 0,92𝑘𝑁 ∑ 𝐹𝑦 = 0 𝑅𝑎𝑦 − 0,5 − (0,45 ∙ 2) + 𝑅𝑏𝑦 = 0 ⇛ 𝑅𝑎𝑦 = 0,48𝑘𝑁 Determinación de las expresiones de momento flector para cada sección: Sección I Sección II Sección III Figura 5.54 Representación de las secciones realizadas a la viga. Sección I 𝑀1 = 0,48 ∙ 𝑧 Sección II 𝑀2 = 0,48 ∙ 𝑧 − 0,5 ∙ (𝑧 − 2) Sección III 0,45(𝑧 − 3)2 𝑀3 = 0,48 ∙ 𝑧 − 0,5 ∙ (𝑧 − 2) − 2 La expresión válida para todos los tramos usando paréntesis angulares: 0,45 𝑀 = 0,48 ∙ 𝑧 − 0,5〈𝑧 − 2〉 − 〈𝑧 − 3〉2 2 Nota: Los paréntesis angulares significan que, si queda negativo el valor dentro de ellos, no interviene en la operación matemática. Integrando una vez se obtiene la expresión de cálculo del ángulo de giro: 0,45 𝜃 ∙ 𝐸𝐼 = ∫ 0,48 ∙ 𝑧 − 0,5〈𝑧 − 2〉 − 〈𝑧 − 3〉2 2 181  0,48 ∙ 𝑧 2 0,5〈𝑧 − 2〉2 0,45〈𝑧 − 3〉3 𝜃= − − + 𝐶1 2𝐸𝐼 2𝐸𝐼 6𝐸𝐼 Integrando otra vez se obtiene la expresión de cálculo del desplazamiento vertical (Deflexión): 𝛿 = ∫ 𝜃𝑑𝑧 0,48 ∙ 𝑧 3 0,5〈𝑧 − 2〉3 0,45〈𝑧 − 3〉4 𝛿= − − + 𝐶1 ∙ 𝑧 + 𝐶2 6𝐸𝐼 6𝐸𝐼 24𝐸𝐼 Las condiciones de contorno (borde) y de continuidad para obtener C1 y C2 son: 𝐶𝐵#1: 𝑧 = 0 𝛿=0 Por lo tanto: 𝐶2 = 0 𝐶𝐵#2: 𝑧 = 5𝑚 𝛿=0 Empleando la CB#2, sustituyendo Z=5m e igualando a 0 en la ecuación de deflexión: 0,48 ∙ 53 0,5〈5 − 2〉3 0,45〈5 − 3〉4 −1,49 𝛿= − − + 𝐶1 ∙ 5 = 0 ⇛ 𝐶1 = 6𝐸𝐼 6𝐸𝐼 24𝐸𝐼 𝐸𝐼 Entonces: a) Obtenga la expresión para el cálculo de la deflexión. 0,48 ∙ 𝑧 3 0,5〈𝑧 − 2〉3 0,45〈𝑧 − 3〉4 1,49 𝛿= − − − 𝑧 6𝐸𝐼 6𝐸𝐼 24𝐸𝐼 𝐸𝐼 b) Obtenga la expresión para el cálculo del ángulo de giro 0,48 ∙ 𝑧 2 0,5〈𝑧 − 2〉2 0,45〈𝑧 − 3〉3 1,49 𝜃= − − − 2𝐸𝐼 2𝐸𝐼 6𝐸𝐼 𝐸𝐼 c) Determine el ángulo de giro en los apoyos 0,48 ∙ 02 0,5〈0 − 2〉2 0,45〈0 − 3〉3 1,49 1,49 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑧 = 0 ⇛ 𝜃 = − − − =− 2𝐸𝐼 2𝐸𝐼 6𝐸𝐼 𝐸𝐼 𝐸𝐼 Los valores negativos dentro de los paréntesis angulares no se consideran. 0,48 ∙ 52 0,5〈5 − 2〉2 0,45〈5 − 3〉3 1,49 1,66 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑧 = 5𝑚 ⇛ 𝜃 = − − − =+ 2𝐸𝐼 2𝐸𝐼 6𝐸𝐼 𝐸𝐼 𝐸𝐼 d) Determine el ángulo de giro en el centro. 0,48 ∙ 2,52 0,5〈2,5 − 2〉2 0,45〈2,5 − 3〉3 1,49 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑧 = 2,5𝑚 ⇛ 𝜃 = − − − 2𝐸𝐼 2𝐸𝐼 6𝐸𝐼 𝐸𝐼 0,0525 =− 𝐸𝐼 Los valores negativos dentro de los paréntesis angulares no se consideran. e) Determine el desplazamiento vertical en el centro. 0,48 ∙ 2,53 0,5〈2,5 − 2〉3 0,45〈2,5 − 3〉4 1,49 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑧 = 2,5𝑚 ⇛ 𝛿 = − − − 2,5 6𝐸𝐼 6𝐸𝐼 24𝐸𝐼 𝐸𝐼 2,485 =− 𝐸𝐼 Los valores negativos dentro de los paréntesis angulares no se consideran. f) Determine el desplazamiento vertical máximo. 182 Se debe buscar dónde el ángulo de giro es cero y ahí ocurrirá el desplazamiento máximo. 0,48 ∙ 𝑧 2 0,5〈𝑧 − 2〉2 0,45〈𝑧 − 3〉3 1,49 𝜃= − − − =0 2𝐸𝐼 2𝐸𝐼 6𝐸𝐼 𝐸𝐼 El valor debe quedar alrededor del centro (z = 2,5m) por lo que el 3er término de la ecuación se anula al quedar negativo, entonces: 0,48 ∙ 𝑧 2 0,5〈𝑧 − 2〉2 1,49 𝜃= − − =0 2𝐸𝐼 2𝐸𝐼 𝐸𝐼 Resolviendo: z = 2,56m 0,48 ∙ 2,563 0,5〈2,56 − 2〉3 0,45〈2,56 − 3〉4 1,49 𝑃?