درس المحددات PDF
Document Details
Uploaded by BountifulUniverse7063
Zagazig University
Tags
Summary
يقدم هذا المستند شرحًا للمحددات، بما في ذلك الأمثلة والحلول. يركز على فهم مبادئ المحددات وتطبيقاتها الرياضية في سياق دراسة الجبر الخطي.
Full Transcript
69 الباب السابع المحــــــددات ن ألم ننس م ألتمننل أل منناألمومننلتألمتسنندألكثنناً ألى ت ن ميألظنندألكر ن يةألجديدنناسألتدامننموأل معبنني ألين نناأ...
69 الباب السابع المحــــــددات ن ألم ننس م ألتمننل أل منناألمومننلتألمتسنندألكثنناً ألى ت ن ميألظنندألكر ن يةألجديدنناسألتدامننموأل معبنني ألين نناألمنناألاستينناألم ننسمعا ألً ن عألىبتننيألمنناألمتسعبت نيمسألمتيدامننموأل مألى ننا أل ألمتنديدناسألىتندألمثنسلداسأل ً ندأل ماسماتألمتيمزألمنا بألظإجهأليثاً ألظدألكعنمةألبعن ن ألوأل جعسبننيألمتنحن عمسألمنناأل م ننوألك ننىألمتيمننل ألمتسنندأل كحنف ألع ألىعاننامألتمنل أل نناً سألى ت ن ميألظ ننلألكا ننلديألً ننةألمتتب ننيألمت ا نندألظر ن أل ك ن ن ألً نندألم ننسب ممألمتنرن ن متأل a1 b1 متتبيىألوأل a 1 b2 – a 2 b 1ألباتيمزألألألأل a2 b2 ألى ننا أل ننفمألتأل ب ك ث ننمااألً نندأل ننفمألمتنث ننسلىألظ نناتنديألىت نندألم ننسب ممألمتنرن ن متأل متتبيىألو أل ألa1b2c3 – a1b3c2 + a2b3c1 – a2b1c3 + a3b1c2 – a3b2c1 a1 b1 c1 a2 b2 ألألألألألألألأل c 2 أل أل أل أل باتيمز أل a3 b3 c3 تألش ننىأل ألمتيم ننزألموات ننيأل نني ألت ننفم ي ألم نناألمتنا ننلمألوأل تن ن ألك ننيألألم ش نناتمسأل أل c, b, aبصن وألًامنوألظنإ ألمتنحن عاألة نات ألًناأل كسعن عألمتسلتم ناسألمناألمتحني تم ننزألبث ننمنأل س ننل ألم نناألمتنلً ننوألم نناألموًن ن معألملم ننلًوألً نندألشن ن ألًن ن عألم نناأل متص ل أل ً عألمثا ىألتهألماألموًن أل دح ناألااا ألت ما وأل دثندألًن عألمناأل متصن ن ل أل ألموًنن ن ألمتس نندألك ننل ألمتنحن ن عاأل يك ننوألمتنحن ن عاألوأل ت نناأل من نناألًن ن مأل متنح عمسألماألتك وأل 2ظإجناألتةألجفىيألىمفألين األ ألجثنس مألً ندألمتنرن متألمتتبنيىأل متفىألكيمزألتهألمتنح عاو أل 70 ألًنناألمح ن عمسألمنناألمتيك ننوألمت اجمننوأل ألظي ن أل دس نناألمترنناتلألىننفتىأل جننناأل ن جاألباتحن ناكألمح عمسألماألمتيك وألمو تدأل؟أل أل ألًنناألمحن عمسألمنناألمتيك ننوألمو تنندألوأل تن ألك ننل أل تننمهأل ننناكألمنناألينننندألمنناألمتحن ألت منننوألaأل دتننبأل ألكحننفتأل ننناألمنناألمت نننأل ننتاأل متنح ن عاأل aنندألتمننزأل ن ىشننات ألمتنح ن عأل ش ننات ألمت من ننوألمتنا ر ننوألظاتنح ن عأل3كث ننا ىألمت من ننوأل 3أل ى ننفتىأل متنحن عاأل -5كثنا ىألمت مننوأل –5مناألباتنثن وألت نحن عمسألمناألمتيك نوأل 2ألم ن أل a11 a12 = Aأل متنح عألأل a 21 a 22 ظإ ألقمنسياألكثنا ىأل الن ألمني ألمتحن ألمتنل نلعألظندألمتنيىاألموً ندألً ندألمتمثناتأل ألً دألمتمنتا ألماي األمنهأل الن ألمني ألمتحن أل متح ألمتنل لعألظدألمتيىاألمو متنل ننلعألظنندألمتننيىاألمو ن ألً نندألمتمثنناتأل متح ن ألمتنل ننلعألظنندألمتننيىاألموً نندألً نندأل a11 a12 =A أل = a11 a 22 − a 21a12 متمنتا أل ىأل :أل a 21 a 22 3 1 = 3 (-3) – (-2) (1) = -7 =A عاألألألألألألأل أل باتساتلألظإ ألمتنح −2 −3 ظننإ مألمنناألمجسيتننناألمنناألكلمننم ألىمفمننوأل ثننا ألقمنننوألمتنحن عاألمنناألمتيك ننوألمت اجمننوأل م نناأل كعيدننفألىمفمننوأل ثننا ألقمنننوألمتنحن عاألمنناألمتيك ننوألمت ات ننووأل س نناأل تأل جننناألى مأل ننفظناأل ًنال ننيأل ن ن ألأللن ن ل ألمتنحن ن عاألم نناألمتيك ننوألمت ات ننوأل ننفظناألى ننفتىألًنال ننيأل ن ن أل ناألمتيك نوأل موًن أل م س دناألباتعناليألموايىأل نن هألمتسيكتنبأل ننسنألًنن جاألمحن عاألم أل مت اجمننوألكثننندألمح ن عاأللننتيىألوأل تسثننيت ألمتنناتفننوألعًننناألجس ن ألً نندأل جننهألى مألىننا أل تن ناألمحن عاألAألمناألمتعنالنيأل aijألت نمةأل i , jألمناألمتلم ن ألمتصنحم أل سندأل ألمتيم ننزألAijألت تت ننوألً نندألمتنحن ن عاألمتناكت ننوألم نناأل تك ننهألمتنحن ن عاألظسجن نناألجث ننس 71 متنح عاألألAألبع أل ف ألًناليألمتصن ألتتنةألiأل متعننلعألتتنةألjألمضني باألظنلأل(- 1)i+jأل كثننندألAألألباتعام ن ألمتن ميظ ن ألت عنصننيأل aijأل ظنندألبع ن ألمو مننا أل ن سبأل ai jأل تألماألAijأل ً دأل فمألظإ مألىاجتو a11 a12 a13 = A a 21 a 22 a 23 a31 a32 a33 a12 a13 ) A 31 (− 1 3+1 ظس a 22 a 23 a 22 a 23 ) A 11 = (− 1 2 , a32 a33 فم ألمآل ألين نناأل ألجضدألكعيد األألت مفموأل ثا ألمتنح عاألماألمتيك وألمت ات وألو أل a11 a12 a13 A = a 21 a 22 a 23 = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 a31 a32 a33 نندألمنناألجحص ن ألً مننهألبتننندأل لمل ن ألمنني ألى ن ألًنصننيألمنناألًنالننيألمتص ن أل مو مألظدألًام هألمتنيمظ ألوأل ك صتسألي سبأل :أل a 22 a 23 a 21 a 23 a 21 a 22 A = a 11 (− 1) 2 + a 12 (− 1 ) 3 + a 13 (− 1 ) 4 a 32 a 33 a 31 a 33 a 31 a 32 = a 11 (a 22 a 33 − a 32 a 23 ) − a 12 (a 21 a 33 − a 31 a 23 ) + a 13 (a 21 a 32 ) − a 31 a 22 ألقمنوألمتنح عأل أل مثال (:)1 72 1 2 3 A = 2 −1 2 −1 4 5 الحل −1 2 2 2 2 −1 A =1 ) + 2 (− 1 +3 4 5 −1 5 −1 4 = (− 5 − 8 ) − 2 (10 + 2) + 3 (8 − 1 ) = − 16 بصن وألًامنوألظنإ ألقمننوأل ىألمحن ع أل ندألمتننل أل لملن ألمني ألًنالنيألمتصن أل مو مألى ألظدألًام هألمتنيمظ أل بفتىألظإ ألقمنوألمتنح عاألو أل a 11 a 12 a 13 a 14 a a a a a a a = A 21 22 23 24 22 23 24 a 31 a 32 a 33 a 34 ) = a 11 (− 1 2 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 a 42 a 43 a 44 a 21 a 23 a 24 a 21 a 22 a 24 ) + a 12 (− 1 3 a 31 a 33 a 34 ) + a 13 (− 1 4 a 31 a 32 a 34 a 41 a 43 a 44 a 41 a 42 a 44 a 21 a 22 a 23 ) + a 14 (− 1 5 a 31 a 32 a 33 a 41 a 42 a 43 فمألباتنث وألتحثا ألقمنوألمتنح عمسألماأل ىألتك وألو أل أل خواص المحددات: 73 ألانلممألمتنحن عمسأل نن س دألظنندألمتفنياألباتنحن عمسأل مسأل أل نن ح ألبعن متيك وألمت ات وألمدألمس دوأل أل فاألمت لممألين األكابمرياألً دأل يوألمح ع ألماأل يوأل تك وألو أل -1تألكستتيألقمنوألمتنح عاألى مألماأل ع ناأل نمدألمتص ل أل نمندألموًنن أللن ل أل فم ألو أل بن هألمتسيكتبأل أل ىأل ألمتص ألمو مأليص ألمتعنلعألمو مأل ظن سألقمنوألمتنح عاأل أل a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 A = a (a 22 a − a a )− a 12 (a a −a a ) 11 33 32 23 21 33 31 23 لألألألأل + a 13 (a 21 a 32 −a 31 a ) 22 ى مألم سب تناألمتص ل أل موًن ألكص أل ًAدألمتصلت أل أل a 11 a 21 a 31 = a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 قمنسهأل دأل أل = a 11 (a 22 a 33 − a 23 a 32 ) − a 12 (a 21 a 33 − a 23 a 31 ) + a 13 (a 21 a 32 − a 22 a 31 ) بنراتجوألمتح عألجيىأل ألقمنسدألمتنح عكا أل Aألمسثا دسا أل دسضن ألمناأل ننفاألمت الننموأل ألقمنننوألمتنحن عاألكثننا ىألمتنننل أل لملن ألمنني ألًنالننيألمتعنننلعأل مو مألى ألظدألًام هألمتنيمظ ألو أل 74 كستت ننيألىش ننات ألمتنحن ن عاأل لم نندأللن ن تاأل ألًن ننلع ا ألىن ن ألمحن ن ألمآلا ننيأل:أل -2 ظن سألمتنح عاأل :أل a 11 a 12 a 13 ) A = a 21 a 22 a 23 = a 11 (a 22 a 33 − a 32 a 23 a 31 a 32 a 33 ) − a21 (a 12 a 33 − a 32 a 13 ) + a 31 (a 12 a 23 − a 22 a 13 A = − a 21 (a 12 a 33 − a 32 a 13 ) − a 11 (a 22 a 33 − a 32 a 23 ) ) + a 31 (a 22 a 13 − a 12 a 23 a 21 a 22 a 23 = − a 11 a 12 a 13 a 31 a 32 a 33 متنح ع ألمواتي أل دألج هألمتنح عاألAألبعن أل مندألمتصن تاألمو مأل مت ناجدألىن أل م ا ألموايوأل أل م نناألمت ال ننستاأل 1أل أل 2ألجث ننسنسنأل ألقمن ننوأل ىألمحن ن ع أل نندألمتن ننل أل لملن ن أل مي ألًناليأل ىألل أل ألًنلع ألى ألظدألًام هألمتنيمظ و أل -3كنعن ألقمنننوألمتنحن عاألى مألكثننا سأل نمنندألمتعنالننيألمتنسنننا ي ألظنندأللن تاأل أل أل ًنن ننلع ا أل دسض ن ن أل ت ن ننىألبثن ننيلتوألوجنن نناألى مألم ن ننسب تناأل ن ننف األمتص ن ن تاأل أل أل متعنلع ا ألىاجتألA= 0أل منياأل A= -Aأل 75 مألميبتأل نمدألًناليأل ىألل أل أل ًنلعأل ألتنح ع ألماألظدألج نهألمتعن عأل أل -4ى kألظإ ألقمنوألمتنح عاألكضي ألظندألج نهأل نفمألمتعن عأل kوألتن ني أل ألمتصن أل مو مألظدألمتنح عاألألAألمي ألظدأل kأل نسنأل :أل أل ka 11 ka 12 ka 13 a 21 a 22 ) a 23 = ka 11 (a 22 a 33 − a 32 a 23 a 31 a 32 a 33 ) − k a 12 (a 21 a 33 − a 31 a 23 ) + k a 13 (a 21 a 32 − a 31 a 22 ) = k a 11 (a 22 a 33 − a 32 a 23 ) − a 12 (a 21 a 33 − a 31 a 23 ) + a 13 (a 21 a 32 − a 31 a 22 أل = k A ى مألك لجننتألًنالننيألل ن أل ألًنننلع ألظنندألمحن ع ألمنناألمنناألمتنننل أل بننيىأل -5 ت نماسألًن ع األ kألظنإ ألمتنحن عاألكثنا ىألج نهألمتنتننل ألمتتبنيىألتنحن عمسأل ا ننيىألًن ن ع األ kألكس ن أل من نناأل تني نناأل ب ننتاألمتنحن ن عاألمولن ن موأل من نناألًن ن مأل ًنالن ننيألمتص ن ن أل ألمتعنن ننلعألمح ن ن ألمتًس ن نناتألظن ننإ ألًنال ن نياألكن ننل ألً ن نندأل متنح عمسألمتن س وأل ثبألمتصلت و أل a 11 + b 11 − c 11 a 12 a 13 a 21 +b 21 −c 21 a 22 a 23 = a 31 +b 31 −c 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 b 11 a 12 a 13 c 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 + b 21 a 22 a 23 − c 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 b 31 a 32 a 33 c 31 a 32 a 33 متاي ألمويثيأليثا ىألو أل 76 (a 11 + b 11 − c 11 ) A 11 + (a 21 +b 21 −c 21 ) A 21 + (a 31 +b 31 −c 31 ) A 31 A 11 , Aألألأل دألمتعلمم ألمتنيمظروألت عنالنيأل a 11 , a 21 , a 31أل 21 ت أل , A 31 ظدألمتنح عاألأل Aألو أل ألمتاي ألمويثيأليثا ىألو أل أل ى (a 11 A 11 + a 21 A 21 + a 31 A 31 ) + (b 11 A 11 + b 21 A 21 + b 31 A 31 ) − (c 11 A 11 + c 21 A 21 + c 31 ) A 31 فمأليثا ىألم لكألمتاي ألمويناألو أل جس األ ألمت الموأل 4أل دأل اتوألاالوألماألمت الموأل 5ألو أل -6ظنندألةيننوألمح ن ع ألى مأل م ن ناأل نعنناأل بيدننا ألتعنالننيألل ن أل ًنننلع ألمنناأل ن أل مضاً اسألمتعناليألمتننا ي ألظدأل ىألل أل ًنلع ألةايألظإ ألقمننوألمتنحن عأل تألكستتيألوألظن سألى مألىا ألت ناألمتنح عاألو أل a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 م ن ناألىتنندألًنالننيألمتص ن ألمت ات ن أل تبعننوأل م ننامألًنالننيألمتص ن ألمت نناجدألجستننتأل متنص لظوأل أل a 11 a 12 a 13 = a 21 a 22 a 23 a 31 + 4a 21 a 32 + 4a 22 a 33 + 4a 23 77 بسابت ألمت الموألتتةأل 5ألظإ ألقمنوألألألكثا ىألو أل a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 + a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 4a 21 4a 22 4a 33 بسابت ألمت الموألتتةأل 4ألظإ أل فمأليثا ىألو أل a 11 a 12 a 13 A + 4 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 23 متنح ن ن ن ع ألمواتن ن نني ألكثن ن ننا ىألمتص ن ن ن يألتسفن ن ننابهألل ن ن ن تاألظتين ن نناأل ً ن ن نندأل تن ن ننىألظن ن ننإ أل:أل أل ألمت لممألمتثابروألتسثيت أل ثا ألقمةألمتنح عمسألو أل =Aألأل كثس 1 −2 1 A = 1 2 ألقمنوألمتنح عاألألألألألألألألألألأل 3 مثال ( :)2أل أل 6 4 3 الحل جعسن ألً دألم نس م ألانلممألمتنحن عمسألت للنلمألىتندألمحن ع ألك نيألظتيناألمتعنالنيأل متص يدوألو أل تىأليثي ألظدألًن ماسألمتضي ألو أل أوالً :ألبإمنناظوألمننع ألًنالننيألمتعنننلعألمت اتن ألىتنندألًنالننيألمتعنننلعألمت نناجدألجتن أل أل :أل 1 −2 1 1 0 1 A = 1 2 3 = 1 8 ألألألاالموأل أل 6ألألألألألألأل 3 6 4 3 6 10 3 78 ثانياً :با ننياألًنال ننيألمتعن ننلعألمت اتن ن ألم نناألًنال ننيألمتعن ننلعألمو مألظ نندألمتنحن ن عاأل 0 0 1 A = −2 8 أل 3 = − 44 أل أل أل مواتي ألو 3 10 3 مثال ( : )2ثبتأللحوألمتنساابروألمآلكموأل -:أل 1 1 1 = a b ) c = (a − b )(b − c )(c − a 2 2 a b c2 الحل باننياألًنالننيألمتعنننلعألمت اتن ألمنناألًنالننيألمتعنننلعألمو مأل باننياألًنالننيألمتعنننلعأل مت اجدألماألًناليألمتعنلعألمو مألجحص ألً دألمتنح عاألمآلكمو :أل 1 0 0 = a b−a c−a a 2 b −a 2 2 c 2 −a 2 ب ىألمتنح عألبا س م ألًناليألمتص ألمو مأل أل b−a c−a 1 1 = ) = (b − a ) (c − a b −a2 2 c −a2 2 b+a c+a ) = (b − a ) (c − a ) (c + a ) − (b + a ) = (b − a ) (c − a ) (c − b ألظىألمتنح عاأل أل -:أل مثال ( : ) 3ثبتأل 1 a 2+ a2 1 b 2+ a2 = 0 1 c 2+ a2 الحل 79 1 a 2+ a2 1 a 2 1 a a2 1 b 2+ a2 = 1 b 2 + 1 b a2 1 c 2+ a2 1 c 2 1 c a2 1 a 1 1 a 1 =2 1 b 1 + a2 1 b 1 = 2 0+ a2 0=0 1 c 1 1 c 1 تىألو ألىسألماألمتنح عاألمو تدأل مت اجموألكثا ىألل ميألتسثا ىألًنلع األ االمو 3أل أل ألظىألمتنح عاأل : مثال ( :)4أل أل ثبتأل 2 2 2 a b c b+c a+c a+b الحل الط ر ا اسر :ر :ألبساننفأل 2ألًامن ألمفننسيكألمنناألمتصن ألمو مأل منناظوألًنالننيأل متص ألمت اجدألىتدألًناليألمتص ألمت ات ألو أل 2 2 2 1 1 1 a b c =2 a b c b+c a+c a+b a+b+c a+b+c a+b+c 1 1 1 = 2 (a + b + c ) a b c = 2 (a + b + c ) (0 ) = 0 1 1 1 أل ثبتأل أل x = 1أل ل ىأل ف تألمتنعاعتوأل :أل مثال (:)5 x 2 x+2 2 1 + 3x 3 =0 1 x +1 2x + 2 80 الحل ناكألطيقألى تي أل ث اسأل x = 1أل ل أل ف تألمتنعاعتوألمتثابروألمنياأل -:أل ألظدألمتنح عاألًاأل x = 1ألثةألج بتأل ألقمنوألمتنح عاألكثا ىألل ميو أل م-ألجعل ألًاأل x = 1ألظنت أل ألمت منوألكثا ىألل ميألو أل أل-ألك ىألمتنح عاألثةألجعل ج-ألج بتأل أل ) ( x – 1أل لًام ألماألمتعلمم ألمتنح عاألو أل ألًاأل x = 1ألظدألمتنح عاألجت أل :أل أل باتسعلد 1 2 3 1 1 3 2 4 3 = 2 2 2 3 =0 1 2 4 1 1 4 أل x = 1أل لألى ىأل ف تألمتنعاعتوألمتنعاا ألو أل تفاضل المحددات : أل أل -:أل بي a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 جعي ألك ام أل Aألباتنث وألت نستتيأل xألىناأل دأل أل d a 11 d a 12 d a 13 a11 a12 a13 dx dx dx a11 a12 a13 d A d a 21 d a 22 d a 23 = a 21 a 22 a 23 + + a 21 a 22 a 23 dx dx dx dx da 31 da 32 da 33 a 31 a 32 a 33 dx dx dx a 31 a 32 a 33 م حل و:ألين األك ام ألمتنح عAمتنث وألتألًن أل تألماألمتص ل أل 81 2 3 x2 ألأل أل أل ت ألقمنوألأل d A A = 6 7 9 مثال (: )6 dx −3 1 −2 الحل 0 0 2x 2 3 x2 d A = 6 7 9 + 0 0 0 + dx −3 1 −2 −3 1 −2 2 3 x2 + 6 7 9. = 2 x (6 + 21) + 0 + 0 = 5 4 x 0 0 0 استخدام المحددات فى حل المعادالت التى من الدرجة األولى (طريقـة كرامر): ج ي أل ألت ناألمتنعاعتستاأل -:أل a 1 x + b1 y = c 1ب (1), a 2 x + b2 y = c2 )(2 مي أل 1ألظدأل a2أل ) (2ألظدأل a1 ,باتاياألجحص ألً دأل a1 c1 a2 c2 y = y = a1 b1 a2 b2 بضي ألمتنعاعتوأل 1ألظدألb2أل متنعاعتوأل 2ألظدأل b1أل متاياألجحص ألً دأل :أل c1 b1 c2 b2 =x = x a1 b1 a2 b2 82 بفتىألي ل ألطيدروألمتح ألبس ألجل ألمح ع ألمتنعامسسأل متسدألجيمنزألتيناألبناتيمزأل أل نامسس أل أل ث ن ن ننةألجل ن ن ن ن ألألxألأل ن ن ن نندألج ن ن ننهألمحن ن ن ن ع ألمتنع ن ن ننامسسألبعن ن ن ن ألم ن ن ننسب ممألمعن ن ن ن أل xألباتح عألمتنا روألثةألجحثبأل yأل ندألج نهألمحن ع ألمتنعنامسسألبعن ألم نسب ممأل معامسسأل yألباتح عألمتنا روألثةألجل أل x, yألماألمتعستستاألو أل x y =x =, y باتن ألظدأل اتوألثسثألمعاعتسألظدألثسثألمتا ت أل :أل a1 x + b1 y + c1 z = d 1 a2x +b2 y + c2z = d 2 a3x + b3 y + c3z = d 3 ناأل ب ألين األىيتاعألمتح ألً دألمتصلت ألو أل x y z =x , =y =, z ألمتنعاعتستا :أل أل با س م ألمتنح عمسأل مثال (: )7 x + y =3 , 4x - y = 2 الحل 1 1 3 1 1 3 = = −5 = x = − 5, = y = −10 4 −1 2 −1 4 2 x −5 y − 10 = x = =1. , =y = =2. −5 −5 ألمتنعاعتس أل أل با س م ألمتنح عمسأل مثال (:)8 2x+y-z=4 83 5 x - 4z - 9 = 0 3 x + 4y + z - 6 = 0 الحل 2x + y - z =4 5x - 4z = 9 3X + 4y + Z = 6 2 1 −1 4 1 −1 = 5 0 − 4 = −5, x = 9 0 −4 = −5 3 4 1 6 4 1 2 4 −1 2 1 4 y = 5 9 −4 = −5, z = 5 0 9 =5 3 6 1 3 4 6 x −5 −5 5 x = = =1 , y = = = 1, z = z = = −1 y −5 −5 −5 ألمتنعاعتسألوأل أل أل با س م ألمتنح عمسأل:)9( مثال x +2z = 1 3x - y + z = 2 4 y + 5 z = -1 الحل 1 0 2 1 0 2 = 3 −1 1 = 15 , x = 2 −1 1 =5 0 4 5 −1 4 5 1 1 2 1 0 1 y = 3 2 1 = − 10 , z = 3 −1 2 =5 0 −1 5 0 4 −1 84 x 5 y z = x = = = 1/ 3 , y = = − 2/3 , z = 1/ 3 15 أل معادلة الخط المستقيم الذى يمر بنقطتين : معاعتوألمت ننألمتنثنس مةألمتنفىأليننيألبناتنراستاأل ) ( x1 , y1ألأل أل) (x2 , y2ألين ناأل متسعبتيألًنياألظدألللت ألمح ع ألىاآلكدأل -:أل x y 1 x1 y1 1 = 0 x2 y2 1 فمأل مم ألوجهألباياألمتص ألمت اجدألماألىسألماألمتص تاألمو مأل مت ات ألظإ :أل x − x1 y − y1 0 x1 y1 1 = 0 x 2 − x1 y 2 − y1 0 − ( x − x1 ) ( y − y1 ) + ( y − y1 ) ( x 2 − x1 ) = 0 ) ( y − y1 ) ( x 2 − x1 ) = ( x − x1 ) ( y 2 − y1 x 2 − x1 x − x1 = منيا y 2 − y1 y − y1 فاألمتنعاعتوألمتنعي ظوألت نألمتنثس مةألمتناتأل نراستاألو أل ألمعاعتوألمت نألمتنثس مةألمتناتألباتنراستا) (0, 1) ,(1 , 0وأل أل مثال (: )9 الحل 85 x y 1 0 1 1 = 0 1 0 1 x(1 – 0 ) – y ( 0 –1 ) + 1 ( 0 – 1 ) = 0 x + y - 1 = 0 ألأل x + y = 1أل أل أل ىأل ألمعاعتوألمت نألمتنثس مةأل دأل مساحة المثلث المعروفة رؤوسه ى مألىنا ألتن ناألم ن ألى ن مثماسألتى نهأل نندأل ( x3 , y3 ), (x2, y2 ), ) (x1 , y1ألظإجناألجع ةأل ألمثا سهألو أل =A 1 x1 ( y 2 − y 3 ) + x 2 ( y 3 − y1 ) + x 3 ( y1 − y 2 ) 2 x1 y1 1 فمألين األىسا سهألً دألللت ألمح عألىاآلكد:ألألألأل 1 1 =A x2 y2 2 x3 y3 1 مدألمتع ةألبس ألمتنثا وأل دألمت منوألمتنا روألو أل نتيجةة : :شني أل تنل ألثنسثألجرننألم ن مثماكياأل ( x3 , y3 ) , ( x2 , y2 ) , x1 y1 1 x2 y2 ألألألألألألألألأل 1 = 0 أل لأل )(x1 , y1ألً دألم سراموأل م x3 y3 1 ملحوظةةةة : :من نناأل نن نناألين ن نناألم ن ننسنساجألمعاعتن ننوألمتنثن ننس مةألمتن ننفىألينن ننيألبن نناتنراستا أل ) ( x 2 , y2 ), ( x1 ,y1ألظنت أل جياأل :أل x y 1 x1 y1 1 =0 x2 y2 1 86 ألمتفىألتى هأل دأل (0 ,1) , (1,0),أل) (1,2أل ألمثا وألمتن مثال (: )10 الحل 0 1 1 1 1 A= 1 0 = 1 ( 0 +1+1) = 1 2 2 1 2 1 تمارين ألقمنوألمتنح عمسألمآلكموأل -:أل []1أل −1 2 2 5 2 ) (i (ii ) 2 −2 2 3 7 2 2 −1 ألمتنعاعتسألمآلكموأل أل أل []2ألبا س م ألمتنح عمسأل ( i ) 3x + 2y + 8z = 38 x + 3y + 9z = 37 2x + y + z = 15 )(ii x + 2y + 2z = 6 2x + 4y + z = 7 3x + 2y + 9z = 14 ألمتفىألتى هأل أل ألمثا وألمتن []3ألبا س م ألمتنح عمسأل ) (i) ( 3,1 ) , ( 1,2 ) , ( 3, -2 ) (ii) ( -1.1 ) , ( -2,2 ) , ( 1,4 أل []4أل ثبتأل ألمتنرنألمآلكموألكردألً دألم سراموأل م ) (i) ( -1,-1 ) , ( 3,3 ) , ( 4,4 ) (ii) ( 3,-3 ) , ( 5, -4 ) , (0,-7 87 أل ف تألمتنعاعتوأل أل []5أل ي األ أل x= 1أل لأل x +1 3 5 2 x+2 5 =0 2 3 x+4 []6ألأل ثبتأل أل :أل a −b−c 2a 2a 2a b−c−a 2b )= (a+b+c 3 2c 2c c −a −b أل ف تألمتنعاعتوألو أل []7ألى مألىاجتأل a + b + c = 0ألظس a−x b c b c−x a =0 c a b−x []8أل ثبنتأل أل :أل a+b b+c c+a a b c b+c c+a a+b = 2 b c a c+a a+b b+c c a b 89 الباب الثامن المصفـــوفات a11x1 + a12 x2 + …+ a1n x1n = y1 المعادالت : )a21 x1 + a22 x2 + …+ a2n xn = y2 (1 . . . . . . . . . am1 x1 + am2 x2+… + amn xn = yn هى معادالت خطية ذات nمن المجاهيل يمكن كتابتها على الصورة . a11 a12 ... a1n x1 y x 1 a 21 a 22 ... a 2n 2 y2 . . . . . = )(2 . . . . . . . . . . a m1 a m2 ... a mm y n xn ثو aijتظهث علثى هي ثة ميثتطيل مكثوص مثن مجموعثة المعثام ت حيث aijعلثى رمث iفثى العصصث عثددها mوأعمثدة عثددها . nويثد ال مث الصف وال م الثانى jعلى رم العمود والذى يقع العمود فيها . ييثمى هثذا الميثتطيل مالمصث وفة ) ( Matrixوتيثمى العصا ث aijمعصا ث x1 ن م للمص وفة مال م ] [aijالمجاهيل المص وفة ول ختصار سو عمثود واحثد ورة مصث وفة مكونثة مثن nمثن الصث و , x2 …..xnتظه فى ثورة مصث وفة مكونثة مثن mمثن .وكذلك األعداد y1 , y2 …ynتظه فثى وعمود واحد . الص و 90 المص وفة فى المعادلة ) (2يمكن أص نقو أنها المص وفة a ij ذات الدرجة m × nأو المص وفة A = a ij ذات الدرجة m × n المصفوفة المربعة إذا كانت m = nفإص المص وفة Aتيمى م بعة من الدرجة n خواص المصفوفات : = A = a ij ، Bمتيثاوياص ( )1التسااى :يقثا أص المصث وفتين b ij إذا وفقط كاص هاتاص المص وفتاص من ن س الدرجة وكاص كثل عصصث مثن إحثداهما مياوياً لصظي ه فى الثانية :أى أص إذا كاص a ij = b ij : i = 1, 2 , …, m , j= 1, 2, …, n ( )2المصف فة الصفرية :تيمى المص وفة Aمالمص وفة الص ية إذا ] [ 0 ها وي م لها مال م انعدام كل عصص من عصا تيثثما المصث وفة Aممصث وفة الوحثدة إذا كثثاص ( )3مصااف فة ال ةا : كث ثثل عصص ث ث مث ثثن عصا ث ث مط هث ثثا ال ث ث ايس ميث ثثاوياً الواحث ثثد الص ث ث ي أمث ثثا م يث ثثة فإنها تصعدم أى أص: العصا 1 0 0... 0 0 0 ... 0 0 1 0... 0 0 0 ... 0 , . . . . . . . I = 0 = . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 1 0 0 0 إذا كانت ] A = [ a ij ] , B = [ bij ( )4جمع المصف فتين : مص وفتين من ن س الدرجة m x nفإص المجموع يع مأنه المص وفة . ] A + B = [ a ij + b ij 91 ذات الدرجة . m nوكذلك الط ح A – Bيع مأنه المص وفة . ] A – B = [ a ij – b ij مثال ( )1إذا كانت 2 3 0 3 0 0 A = − 1 4 0 , B = 2 0 − 1 3 2 1 4 2 1 فإص 2 + 3 3+ 0 0 + 0 5 3 0 A + B = − 1 + 2 4+0 0 − 1 = 1 4 − 1 3 + 4 2+2 1 + 1 7 4 2 2 − 3 3−0 0 − 0 − 1 3 0 A − B = − 1 − 2 4−0 0 + 1 = − 3 4 1 3 − 4 2−0 1 − 1 1 0 0 إذا كاص kمقدا اًر عددياً فإص حا ل ض ب ( )5الضرب فى ع : k kفى المص وفة ] A = [ a ijيكتب على الصورة أى أص :كل عصص من المص وفة Aيجب أص يض ب فى . k عصا إذا كانت . مثىل ()2 1 2 − 3 3 −1 4 4 1 2 A = 5 0 2 , B = 4 2 5 , C = 0 3 2 1 −1 1 2 0 3 1 −2 3 )A+B ,A–C , -2A,A+ (B–C فأوجد الحل 92 4 1 1 − 3 1 −5 A + B = 9 2 7 , A − C = 5 −3 0 3 −1 4 0 1 − 2 − 2 −4 9 0 0 −1 - 2A = − 10 0 = )− 4 A+ (B-C 9 −1 5 − 2 2 − 2 2 1 1 تعريف :المص وفة –Aتيما سالب المصث وفة Aويصثت عثن ي يثر ضث ب Aفا . –1 كل عصص من عصا إذا كانت المص وفة A=[ a11 a12 … a1m ( )6ضرب مصف فتين : ] من الدرجة 1×mوالمص وفة . b11 b 21 . والتا درجتها m × 1فإص المص وفة B= . . bm1 ]C = [ a11 b11 + a12 b21 + … + a1m bm1 والتثا درجتهثا 1×1هثا حا ثل ضث ب المصث وفتين A,Bأي أص A×B= C b11 وعلا ذلك فإص=a11b11+a12 b21 +….+ a1m bm1 b ] [a11 a12…a 1m 21 . . . m1 b وتصت هذه العملية من حا ل ض ب كل عصص من الصف مالعصص المقابل له فا العمود ونجمع حوا ل الض ب . 93 1 ][ 2 3 4 ]0 = [ 21 + 30 + 42 ] = [10 مثال ()3 2 B = [bij] ، m p وعمومثاً إذا كانثت ] a= [aijمصث وفة مثن الدرجثة مصث وفة مثن الدرجثة p nفثإص :المصث وفة ] C = [Cijهثا حا ثل ضث ب أص Aمكونثه مثن mمثن المصث وفتين A , Bهثا مثن الدرجثة m nحيث Bمكونثه مثن nمثن األعمثدة فثإص حا ثل الضث ب C = A B الصث و ف من Aم ه واحدة فقط فا كل عمود من أعمدة .B يتكوص مض ب كل إذا فقثط وإذا كانت A , Bمص وفتاص فإنه يقا أص حا ل الض ب ABمع .B و إذا كاص عدد أعمدة Aمياوياً لعدد .أيضاً مثد ي ثدث أص ولكن B Aغي مع ومد ي دث أص يكوص A Bمع يكوص حا ل الض ب BA , ABمع فاص ولكن AB BA نظرية :ض ب المص وفات ي قر الخواص اآلتية (i) A ( BC) = (AB) C (ii) A ( B + C ) = A B + A C (iii) ( B + C ) A = BA + C A )(iv) k ( AB) = (k A ) B = A ( K B ( )7منقول المصفوفة مصقثو المصث وفة Aي مث لثه مثال م ATوهثو نثات ف ثثا المص ث وفة Aف ثثإذا كان ثثت ]A = [ aij م ثثن تل ثثديل األعم ثثدة والص ث و فإص ]AT = [ aij 94 2 3 0 A T = ف ثثإص A = − 1 4 5 إذا كانث ثثت مثااااىل ()4 3 0 1 2 −1 3 3 4 0 0 5 1 نظرية :ت ويل المص وفات إلى مصقوالت ي قر الخواص اآلتية : )(i (A + B)T = AT + BT )(ii (AT)T = A )(iii (A B)T = BT AT )(iv (kA)T = k AT حي kمقدار ثابت :إذا حققثثت المصث وفة الم بعثثة ]A = [aij ( )8المصااف فىا المتمىث ااة الع مثة A = ATفإنثه يقثا أص Aمصث وفة متماثلثة أمثا إذا كانثت A = -AT فإص Aمص وفة شبة متماثلة . 0 −2 3 1 2 3 2 4متماثلة بيصما المص وفة 2 0 4غي متماثلة. ()5المص وفة − 6 مثىل − 3 − 4 0 3 − 6 6 إذا كانثت Aمصث وفة عصا ث ها ( )9المصااف فة المتراف ااة المر ااة أعداد م كبة فإص المص وفة التثا تصثت مثالتعوين عثن كثل عصصث فثا المصث وفة Aمم افقة تيما المص وفة المت فقة و ي م لها مال م . A 1 − 2i −i 1 + 2i i = = Aفإص A إذا كاص مثال ()6 3 2 + 3i 3 2 − 3i ( )10المصف فىا ال ى ة ل ب (مع س المصف فة) 95 المصث وفة الم بعثة Aيقثا أنهثا مابلثة للقلثب لهثا معكثو و إذا وجثدت مصث وفة Iتيما مص وفة الوحدة . أص A B = B A = Iحي Bم ي المص وفة الم بعة Aيقا أنه مابلة للقلب لها معكو و إذا وجدت مص وفة B أص A B = B A = I م ي Iتيما مص وفة الوحده . حي المص وفة Aون مث لهثا مثال م A- تيما المص وفة Bممعكو ولذلك سو 1 =B A-1فإنه يلعب دو اًر مشابهاً للدور الذي يلعبه مقلثوب أي عثدد فإذا وجد المقلوب فا الجل العادي ولتوضي فك ة المقلوب ن ت ض أص لديصا 1 0 0 4 0 0 4 A = 0 6 2 =B 1 1 − 1 6 6 3 2 1 − 1 1 0 2 0 4 0 0 4 0 0 1 0 0 AB = 0 6 2 0 6 2 = 0 1 0 فإص 2 0 1 2 0 1 0 0 1 1 0 0 4 4 0 0 BA = 1 6 1 − 1 0 6 2 وأص 6 3 − 1 2 1 1 0 0 2 1 0 0 = 0 1 0 = I 0 0 1 AB = BA = I أى أص 96 ومثن التع يثا اليثابر لمقلثوب المصث وفة يمكثن القثو أص B = A–1ويجثب أص أنثثه إذا كثثاص ألي مص ث وفة مقلثثوب فثثإص هثثذا المقلثثوب يكثثوص وحيثثداً.واآلص تع ث للمصث ث وفة ماس ثثتخدام م ثثددها ومصث ث وفة نعثث ض ي يق ثثة إيج ثثاد المعك ثثو س ثثو م افقتها الم ورة . المص وفة A إذا كاص لديصا المص وفة Aفإص الخطوات التا تتبع إليجاد معكو المص وفة يمكن تلخص فا اآلتا. فإص الخطوات التا تتبع إليجاد معكو حت ثثى يوج ثثد -1إيج ثثاد ةيم ثثة م ثثدد المص ث وفة Aويج ثثب أص ال تي ثثاوي الص ث . المعكو -2إيجاد مص وفة الم افقات Fوها ت توي علا الم افقات المصاظ ة لكل عصص فا المص وفة. -3إيجاد مص وفة الم افقات الم وره .F المص وفة Aماستخدام الع مه. -4إيجاد معكو F = A -1 A المص وفة التالية 7وأوجد معكو مثا 4 0 0 A = 0 6 2 2 0 1 الحل 6 2 0 2 0 6 A = 4 −0 +0 0 1 2 1 2 0 = 24 0 97 0 2 0 6 0 2 − 1 1 2 1 2 0 0 0 4 0 0 0 F = − − 0 1 2 1 0 1 0 0 4 0 4 0 − 6 2 0 2 0 6 وبعد إج اء العمليات ال يابية نجد أص 6 4 − 12 6 0 0 F = 0 4 0 , F ' = 4 4 − 8 0 −8 24 − 12 0 24 المص وفة كاآلتى -: وفى الصهاية يمكن أص ن صل على معكو 6 0 0 1 / 4 0 0 = A −1 F ' = 1 4 4 − 8 , A −1 = 1 / 6 1/ 6 − 1 / 3 A 24 − 12 0 24 − 1 / 2 0 1 A A –1فصجد أص ويمكن التأكد من ذلك مال صو على 4 0 0 1 / 4 0 0 A A = 0 −1 6 2 1 / 6 1/ 6 − 1 / 3 2 0 1 − 1 / 2 0 1 1 0 0 = 0 1 0 = I 0 0 1 استخدام المصفوفات فى حل المعادالت الخطية -: إذا كثاص لثديصا nمثن المعثادالت الخطيثة كثل مصهثا ت تثوى علثى nمثن …. x1 , x2, ,xn المجاهيل … a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 … a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2 . . . 98 . . . . . . … an1 x1 + an2 x2 + + ann xn = bn فإنه يمكصصا كتامة هذه المعادالت على شكل معادلة مص وفات كما يلى -: AX = B حي : x1 b1 x b 2 2 a11 a12 ... a1n . . a X = , = B= , A a 22 ... a2n .2 . . . . . . . . . . . . a n1 an2 ... a nn x n bn وباستخدام جل المص وفات يمكن حل معادلة المص وفات اليثابر ذك هثا .وذلثك مض ب ي فى تلك المعادلة فى المعكو A–1فص صل على . A–1 A X = A–1 B A–1 A = I I X = A –1 B ولكن X = A –1 B ولثذلك ل ثل المعثادالت الخطيثة فإنثه يجثب ال صثو أوالً علثا A –1ثث ضث بها فى . B حل المعادالت الخطية التالية ماستخدام المص وفات . مثال ()8 x1 + 2x3 = 4 x1 + x2 + = 5 4x1 + 3x2 + x3 = 2 الحل 1 0 2 x1 4 A = 1 1 0 , X = x2 , B = 5 4 3 1 x3 2 99 -: وذلك كما يلىA –1 ن صل أوالً على 1 0 1 1 A =1 −0 + 2 = 1 − 2 −1 0 3 1 4 3 1 0 1 0 1 1 − 3 1 4 1 4 3 0 2 1 2 1 0 F = − − 3 1 4 1 4 3 0 2 − 1 2 1 0 1 0 1 0 1 1 1 −1 −1 1 6 − 2 2 F = 6 −7 − 3 , F ' = − 1 −7 − 2 2 1 − 1 −3 1 1 6 −2 1 2 F' A −1 = = −1 −7 A −1 − 1 −3 1. وفى الصهاية لل صو على المجاهيل x1 − 1 −6 2 4 − 30 x = 1 7 − 2 5 = 35 2 x3 1 3 − 1 2 17 x1 = − 30 , x2 = 35 , x3 = 17. حل المعادالت الخطية اآلتية ماستخدام المص وفات ) 9 ( مثىل 100 x1 + 2x3 = 1 , 3x1- x2 + x3 = 2 , 4x2 + 5x3 = -1 ال ل -: وذلك كما يلىA –1 ن صل أوالً على 1 0 2 A = 3 −1 1 = − 9 − 0 + 24 = 15 0 4 5 − 9 − 15 12 − 9 8 2 − 15 5 F = 8 5 − 4 F ' = 5 2 5 − 1 12 −4 − 1 − 9 8 2 1 5 F' A −1 = = − 15 5 A 15 12 −4 − 1 − 9 8 2 1 A −1 = − 15 5 5 15 12 −4 − 1. وفى الصهاية لل صو على المجاهيل x1 −9 8 2 1 1 / 3 x = 1 − 15 5 5 2 = − 2 / 3 2 15 x 3 12 −4 − 1 − 1 1 / 3 101 x1 = 1 / 3 , x2 = −2 / 3 , x3 = 1 / 3 تمارين إذا كاص-1 1 2 − 1 2 p q A = 3 4 , B − 3 4 , C r g 5 6 4 3 t u . A + B – C = 0 يكوص م يC أوجد إذا كاص-2 2 −1 3 − 1 3 0 A= 2 2 1 , B 0 −1 −1 : فأوجد AB , 2A + 3B , A-B 1 2 2 A = 2 1 2 إذا كانت-3 2 2 1 A2 – 4A – 5 I = 0 فل هن أص -: أوجد حا ل ض ب المص وفات اآلتية-4 1 3 − 1 0 (i ) 2 4 2 1 2 1 3 1 2 1 ( ii ) − 1 3 0 − 3 0 1 4 2 − 1 1 3 3 102 3 1 2 2 −1 3 (iii ) − 2 2
