Didáctica de las Matemáticas I PDF

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UNIDAD 3 Unidad 3. Errores, dificultades y obstáculos en el aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria Didáctica de las Matemáticas I Unidad 3. Errores, dificultades y obstáculos en el aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria 0 UNIDAD 3 Unidad 3. Errores, dificultades y obstáculos en el aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria ÍNDICE 1. Introducción...................................................................................................... 2 2. Errores de aprendizaje....................................................................................... 5 3. Dificultades de aprendizaje.............................................................................. 18 4. Obstáculos en el aprendizaje de matemáticas.................................................. 23 BIBLIOGRAFÍA........................................................................................................ 30 1 UNIDAD 3 Unidad 3. Errores, dificultades y obstáculos en el aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria 1. Introducción La falibilidad, es decir, la cualidad de poder equivocarse o engañarse, está íntimamente unida a la naturaleza humana. Es lo que intenta subrayar la famosa locución latina errare humanum est: el error es consustancial a nuestra condición. Quizá la matemática sea infalible, no nosotros. Pero es que, además, el proverbio latino suele citarse incompleto sin incluir la parte final de la cita, tal importante como la otra: “perseverar *en el error es+ diabólico”. De hecho, Cicerón advertía que “es propio de cualquier hombre equivocarse; pero de ninguno, a no ser del necio, perseverar en el error” (Luri, 2020, pág. 231). Por eso, como señala Pépin (2017), si los humanos solo pueden aprender con el error, “volver a cometerlo es encerrarse en la ignorancia, condenarse a no entender nunca nada” (pág. 27). El sentido con el que se expresa habitualmente [el proverbio «errar es humano»] es que el error no es grave, que es «perdonable». Pero, además, contiene un sentido más profundo *…+: el error es la manera humana, propiamente humana, de aprender. Ni los animales ni las máquinas ni los dioses aprenden de ese modo. (Pépin, 2017, pág. 27). Ahora bien, el error se asocia por lo común con el fracaso. Y el fracaso es algo a lo que todo el mundo teme. Como sostiene Syed (2016), el fracaso es inevitable porque el mundo es complejo y nunca llegamos a comprender del todo todas sus sutilezas. El fracaso, por lo tanto, es una señal. Arroja luz sobre un aspecto del mundo que se escapa a nuestro entendimiento y nos proporciona pistas esenciales para actualizar los modelos, las estrategias y las conductas. Desde esta perspectiva, la pregunta que suele hacerse después de un acontecimiento adverso, es decir «¿podemos permitirnos el tiempo para investigar ese fracaso?» debería ser al revés. La pregunta pertinente es: « ¿podemos permitirnos no hacerlo?» (pág. 51). Por eso haríamos bien en tener siempre presente que “el error es necesario para llegar a descubrir algo” (Syed, 2016, pág. 52). Porque, aunque los éxitos son agradables, a menudo “son menos ricos en enseñanzas que los fracasos” (Pépin, 2017, pág. 13). Aunque parezca paradójico, el éxito se construye a partir del fracaso. Porque aprender de los errores, ser capaz de extraer lecciones valiosas de las equivocaciones, requiere reflexión, perseverancia y creatividad, elementos con los que se construye el progreso y el éxito. Pero ¿cómo se puede llevar estas ideas a la escuela? Aquí es donde juega un papel clave el profesor, cuando se trata de cambiar la visión corriente del error y del fracaso. “No 2 UNIDAD 3 Unidad 3. Errores, dificultades y obstáculos en el aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria fracasamos, aunque erremos, si disponemos de un profesor a nuestro lado que nos enseña a concentrarnos para reflexionar sobre nuestros errores, a desentrañar la lógica perversa que nos ha empujado en la dirección equivocada” (Luri, 2020, pág. 231). Porque el error es un compañero de viaje inseparable del aprendiz, en especial cuando se presenta el reto de aprender algo nuevo. En efecto, “los errores aparecen en el trabajo de los alumnos, sobre todo cuando se enfrentan a conocimientos novedosos que los obligan a hacer una revisión o reestructuración de lo que ya saben” (Socas, 2007, págs. 32-33). Sin embargo, por natural que sea la presencia del error en todos los órdenes de la vida, lo habitual es mostrar una actitud de poca tolerancia hacia él. Sentimos aversión por las equivocaciones, mientras que nos embarga un sentimiento de auténtico placer cuando acertamos. Pues hay pocas cosas que causen más deleite que dar en el blanco. En cambio, en nuestro imaginario colectivo, el error se presenta asociado, no solo con la vergüenza y la estupidez, sino con la ignorancia, la indolencia, la psicopatología y la degeneración moral. *…+ De todas las cosas en las que nos equivocamos, puede que sea esta idea del error la que encabece la lista. Es nuestro meta-error: nos equivocamos acerca de lo que significa equivocarse. Lejos de ser un signo de fallo moral, es inseparable de algunas de nuestras cualidades más humanas y honorables: la empatía, el optimismo, la imaginación, la convicción y la valentía. Y lejos de ser señal de indiferencia o intolerancia, es una parte vital del modo en que aprendemos y cambiamos. Gracias al error podemos revisar nuestra manera de entendernos a nosotros mismos y enmendar nuestras ideas sobre el mundo. (Schulz, 2015, págs. 16- 17). Por ahora podemos quedarnos con esto: el error es parte esencial de la vida y del aprendizaje. Y, cuando es bien recibido y gestionado, nos permite mejorar, aumenta el conocimiento de nosotros mismos y perfecciona nuestra comprensión del mundo. Porque el error se encuentra, de un modo u otro, en la base de todo logro, progreso o innovación. De todos modos, siempre es mejor errar cuando se practica que en el momento de la verdad. Porque practicar y ensayar mejoran el desempeño para cuando uno se vea obligado a enfrentar situaciones en las que ya no pueda darse el lujo de equivocarse. “Cuanto más fracasemos en la práctica, -afirma Syed (2016)- más aprenderemos para tener éxito en el momento en que de verdad sea importante” (pág. 53). Pero, aunque practiquemos diligentemente, en un momento u otro fracasaremos en el mundo real. Y es en estas circunstancias, cuando el fracaso pone en jaque a nuestro ego, es cuando más necesitamos aprender. En efecto, “la práctica no es un sustituto del aprendizaje de los fracasos en el mundo 3 UNIDAD 3 Unidad 3. Errores, dificultades y obstáculos en el aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria real, sino que es complementaria. Son, en muchos aspectos, las dos caras de una misma moneda” (Syed, 2016, pág. 53). Esta es la razón por la cual es conveniente aplicar en la escuela (especialmente en la enseñanza de las matemáticas, sobre todo en la resolución de problemas), lo que Syed (2016) denomina el “pensamiento caja negra”, usado principalmente en la industria aeronáutica y que consiste básicamente en examinar a fondo los errores y estudiar exhaustivamente la forma de no volver a cometerlos. Si bien este autor lo asocia a la mejora de la seguridad aérea y sanitaria, es perfectamente posible aplicarlo en el contexto escolar, por ejemplo, en la actividad de resolución de problemas en general y la resolución de problemas matemáticos en particular. *…+ Aprender de los errores no siempre es fácil, incluso en términos conceptuales, por no hablar de los emocionales. Son precisos un razonamiento minucioso y una voluntad de ir más allá de las suposiciones superficiales. A menudo, significa sobrepasar los datos obvios para sonsacar las lecciones subyacentes. Y esto es cierto tanto para la aviación como para las empresas, la política y muchas cosas más. (Syed, 2016, pág. 58). En cualquier caso, hemos de tener cuidado en malinterpretar lo que planteamos. No estamos haciendo una apología del error. Menos aún pretendemos sugerir que, de ahora en adelante, los docentes deben empezar a promover los fallos entre sus alumnos. De lo que se trata es de recordar que el error es inherente al ser humano y, por ende, estará siempre presente, querámoslo o no, como contrapartida natural del aprendizaje y la experiencia, del acierto y la verdad, del conocimiento y el progreso. En resumidas cuentas, el error siempre hará acto de presencia y, por lo tanto, hemos de hacer un esfuerzo consciente para convertirlo en un aliado y en una oportunidad de aprendizaje, en una forma de progresar y mejorar. Solo si estamos dispuestos a aprender de nuestros errores y contamos con alguien que, por dominar bien la materia, es capaz de entender por qué nos hemos equivocado, podemos transformar el error en una oportunidad de aprendizaje y recomenzar con una mayor inteligencia del problema en el que hemos errado. (Luri, 2020, págs. 234-235). En este sentido, Luri dedica un capítulo entero al error y lo denomina con el sugestivo título de “Equivocarse para aprender” (Luri, 2020, págs. 231-249). Al fin y al cabo, para que el alumno mejore, el profesor tiene la obligación de mostrarle, cuando se equivoca, la lógica que lo ha 4 UNIDAD 3 Unidad 3. Errores, dificultades y obstáculos en el aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria conducido al error (Luri, 2020, págs. 234). Sería conveniente, por ello, que los maestros incorporaran como práctica docente habitual el análisis sistemático y concienzudo de los errores de sus alumnos y el hábito de hacerles ver en qué han errado, no para reprenderles, sino para que aprendan y mejoren. 2. Errores de aprendizaje En estricto rigor, solo tiene sentido hablar de error cuando se trata de acciones intencionales que se proponen alcanzar determinado resultado, pero que al final, por un motivo u otro, no lo alcanzan. Pues las acciones que se desvían de la intención pueden lograr o no el objetivo buscado. En esta línea, Reason (1999) propone utilizar el término error para englobar toda secuencia planificada de acciones mentales o físicas que no consigue el resultado deseado, siempre que no se deba a la intervención del azar. Así considerados, los errores pueden tipificarse entonces en función de dos clases de fallos: los que impiden el desarrollo de la acción conforme a lo pretendido (deslices y lapsus) y los que impiden alcanzar las consecuencias deseadas (equivocaciones). Hay que tener presente, en todo caso, que los errores están conceptualmente ligados a fases o mecanismos cognitivos subyacentes. Estas fases pueden caracterizarse, según Reason (1999) en tres categorías generales (véase Tabla 1): 1. Planificación. 2. Almacenamiento. 3. Ejecución. Tabla 1 Clasificación de los principales tipos de error según Reason FASE COGNITIVA DESCRIPCIÓN TIPO DE ERROR PRINCIPAL Equivocaciones Esta fase refiere a los procesos que participan - Las equivocaciones implican un desajuste entre PLANIFICACIÓN en la identificación de un objetivo y en la la intención previa y las consecuencias deseadas. decisión sobre los medios para alcanzarlo. Por eso se trata de fallos en la planificación. - Los fallos en la planificación tienden a aparecer en procesos de nivel más alto que los deslices o lapsus. - Las equivocaciones son más sutiles y complejas y menos fáciles de entender que los deslices. - Por su naturaleza, las equivocaciones son 5 UNIDAD 3 Unidad 3. Errores, dificultades y obstáculos en el aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria también mucho más difíciles de detectar. Lapsus Debido a que, habitualmente, los planes no se - Tanto los lapsus como los deslices son errores ALMACENAMIE traducen de inmediato en acciones, es que derivan de algún fallo en la fase de NTO probable que entre las formulaciones previstas ejecución y/o almacenamiento de una secuencia y su desarrollo se interponga una fase de de acciones, con independencia de que el plan almacenamiento de duración variable. que guio la actuación sea adecuado o no para alcanzar su objetivo. - De todos modos, el término lapsus suele reservarse para formas más encubiertas de error, sobre todo si no implican fallos de memoria, las cuales no se manifiestan necesariamente en la conducta real y solo pueden ser perceptibles para la persona que experimenta los lapsus. Deslices EJECUCIÓN Abarca los procesos implicados en la - El término desliz se reserva para fallos que tienen implementacióndel plan almacenado. lugar en la ejecución, donde se produce una discrepancia entre las acciones que se pretenden realizar y las que efectivamente se ejecutan. - Potencialmente, los deslices pueden observarse como acciones que manifiestamente no han sido planificadas (deslices en el habla, la escritura, la acción). Nota: La clasificación de los principales tipos de error se ha hecho en función de las fases cognitivas en que se presentan. Se resume la exposición de Reason (1999).[Tabla]: Basado en Reason (1999) Esa clasificación puede servirnos de marco general. En cuanto al contexto escolar en concreto, existe amplio consenso entre los investigadores y especialistas, según Rico (1998, pág. 84), sobre cuáles son las características generales de los errores que cometen los alumnos (véase Tabla 2): 1. Surgen por sorpresa. 2. Son persistentes. 3. Son o sistemáticos o azarosos. 4. Ignoran el significado. 6 UNIDAD 3 Unidad 3. Errores, dificultades y obstáculos en el aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria Tabla 2 Características generales de los errores cometidos por alumnos. CARACTERÍSTICA GENERAL DESCRIPCIÓN Con frecuencia los errores que cometen los alumnos surgen de manera SURGEN POR SORPRESA espontánea e imprevista, ya que, por lo general, el profesor desconoce su existencia y, como han permanecido ocultos, suelen provocar sorpresa. Los errores son a menudo extremadamente persistentes, debido a que pueden SON PERSISTENTES reflejar el conocimiento que tienen los alumnos sobre un concepto o un uso particular de reglas nemotécnicas. Son reacios a cambiar por sí mismos, ya que la corrección de los errores puede necesitar de alguna forma de reorganización fundamental del conocimiento de los alumnos. Los errores pueden ser sistemáticos o por azar. Los errores sistemáticos son mucho más frecuentes y, por lo general, más SON SISTEMÁTICOS O efectivos a la hora de revelar los procesos mentales subyacentes. Se los AZAROSOS considera manifestación de comprensión equivocada que el estudiante da por válida y de un método que utiliza como si fuera correcto. Los errores sistemáticos son en general el resultado de concepciones inadecuadas sobre los fundamentos de la matemática, que el docente puede reconocer o no. Los errores cometidos por azar reflejan falta de cuidado y lapsus ocasionales. Y en principio tienen relativamente poca importancia. Los alumnos que cometen un error no toman en consideración el significado de los símbolos ni de los conceptos con los que trabajan. IGNORAN EL SIGNIFICADO En el momento de errar, los alumnos no son conscientes del error, pues no cuestionan aquello que les parece obvio, al no considerar el significado de los conceptos, reglas o símbolos que utilizan. Dicho de otro modo: debido a que desconocen el significado, los alumnos no cuestionan aquellas respuestas que son manifiestamente incorrectas. Nota: Se ha modificado ligeramente la descripción original que ofrece Rico (1998).[Tabla] Rico (1998, p. 84) y Abrate, Pochulu y Vargas (2006, p. 35). Existen varias propuestas para categorizar los errores. A continuación, vamos a exponeralgunas de las más conocidas e influyentes. Radatz (1979) propone una clasificación de cinco tipos de errores matemáticos inspirándose en un modelo del procesamiento de la información (véase Tabla 3): a) Errores provocados por dificultades en el lenguaje. b) Errores provocados por dificultades para obtener información espacial. c) Errores provocados por un aprendizaje deficiente de hechos, destrezas yconocimientos previos. d) Errores provocados por asociaciones incorrectas o a rigidez del pensamiento. e) Errores provocados por la aplicación de reglas o estrategias irrelevantes. 7 UNIDAD 3 Unidad 3. Errores, dificultades y obstáculos en el aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria Tabla 3 Clasificación de errores matemáticos según Radatz (1979) TIPO DE ERROR DESCRIPCIÓN EJEMPLO ILUSTRATIVO El aprendizaje de las matemáticas y de su terminología es similar al aprendizaje de una lengua extranjera. Esto significa que la falta de comprensión semántica puede producir errores en el ERRORES PROVOCADOS POR aprendizaje de las matemáticas. Si x denota la edad de María e y la edad de Juan, la DIFICULTADES EN EL LENGUAJE El aprendizaje de los conceptos, símbolos y vocabulario matemáticos es para muchos alumnos expresión que traduce al lenguaje simbólico la frase: “María un proceso similar al aprendizaje de una lengua extrajera. tiene el doble de la edad de Juan” suele ser identificada con Una falta de comprensión semántica de los textos matemáticos constituye una fuente de 2x = y. errores. Por ello, la resolución de problemas verbales es especialmente susceptible a errores de este tipo cuando se necesita hacer la traducción desde un esquema semántico en el lenguaje natural a un esquema más formal en el lenguaje matemático. Este tipo de errores se produce debido a que a los alumnos les cuenta crear imágenes ERRORES PROVOCADOS POR espaciales o visuales. DIFICULTADES PARA OBTENER Las diferencias individuales en la capacidad para pensar mediante imágenes espaciales o INFORMACIÓN ESPACIAL visuales es una fuente de dificultades para muchos niños y jóvenes cuando deben enfrentar la realización de tareas matemáticas. Los alumnos identifican el triángulo de la izquierda como Algunas representaciones icónicas de situaciones matemáticas pueden suponer dificultades en un triángulo rectángulo. Sin embargo, al rotarlo, como en el el procesamiento de la información. ejemplo de la derecha, los alumnos no lo identifican como El proceso de análisis-síntesis perceptivo implica una demanda considerable para algunos tal. alumnos, de donde presentan dificultades y cometen errores. ERRORES PROVOCADOS POR UN Este tipo de errores se produce cuando el alumno desconoce parte de los procedimientos o APRENDIZAJE DEFICIENTE DE HECHOS, conocimientos previos necesarios para el desempeño de una tarea matemática. Identificación del intervalo continúo de números reales [–2, DESTREZAS Y CONOCIMIENTOS Estas deficiencias incluyen la ignorancia de los algoritmos, el inadecuado conocimiento de 3] con el conjunto discreto {– 2, –1, 0, 1, 2}. PREVIOS hechos básicos, procedimientos incorrectos en la aplicación de técnicas, así como un dominio insuficiente de símbolos y conceptos necesarios. 8 UNIDAD 3 Unidad 3. Errores, dificultades y obstáculos en el aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria - Son errores causados por falta de flexibilidad intelectual, de modo que la persona es Errores por perseveración incapaz de adaptarse a situaciones nuevas. Demostrar una propiedad sobre triángulos en - A partir de la experiencia en problemas similares realizados, el alumno puede ERRORES PROVOCADOS POR manifestar cierta rigidez de pensamiento, perdiendo la flexibilidad necesaria para general, usando un triángulo rectángulo (un caso ASOCIACIONES INCORRECTAS O POR procesar nueva información o para distinguir matices en el planteamiento del particular). RIGIDEZ DEL PENSAMIENTO problema o la tarea que debe realizar. Errores de asociación - La experiencia sobre problemas similares puede producir una rigidez en el modo habitual de pensamiento y una falta de flexibilidad para codificar y decodificar nueva Usar, por ejemplo: √9+16=√9+√16=7. información. Errores de interferencia - En estos casos los alumnos desarrollan operaciones cognitivas que siguen empleando, La multiplicación de dos números negativos (−*− a pesar de que las condiciones fundamentales de la tarea matemática en cuestión se = +) interfiere en la resolución de una resta: – 3 – hayan modificado. - La persistencia en la mente algunos aspectos del contenido o del proceso de solución, 5 = 8. inhibe el procesamiento de nueva información. - Dentro de esta clase de errores se encuentran los siguientes: Errores de asimilación  Errores por perseveración, en los que predominan elementos singularesde una 2x – x = 2 tarea o problema.  Errores de asociación, que incluyen interacciones incorrectas entre elementos singulares.  Errores de interferencia, en los que operaciones o conceptos diferentes interfieren con otros.  Errores de asimilación, en los que una audición incorrecta produce faltasen la lectura o escritura.  Errores de transferencia negativa a partir de tareas previas, en las que sepuede identificar el efecto de una impresión errónea obtenida de un conjunto de ejercicios o problemas verbales. 2 ERRORES PROVOCADOS POR LA  Estos errores suelen producirse cuando, habiendo aplicado con éxito determinadas reglas o El cálculo de las raíces de x + x – 6 = 0 arroja como APLICACIÓN DE REGLAS O ESTRATEGIAS estrategias a determinados contenidos, el alumno pretende proceder de forma análoga en resultados correctos x1 = 2 y x2 = −3; mientras que IRRELEVANTES otro contexto, aplicando reglas oestrategias similares a contenidos diferentes. el cálculo de las raíces de x2 + x – 6 = −4 suele  El problema es que el razonamiento por analogía no siempre funciona enmatemática. conducir erróneamente al mismo resultado, cuando en realidadlos resultados son x1 =1 y x2 = −2. 9 UNIDAD 3 Unidad 3. Errores, dificultades y obstáculos en el aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria Por su parte, según Martínez de la Rosa (2012, pp. 73-74), los errores cometidos sistemáticamente por los alumnos pueden clasificarse en tres tipos (véase Tabla 4): 1. Errores de tipo operativo. 2. Errores en la aplicación de la fórmula de un teorema o un algoritmo. 3. Errores en los conceptos matemáticos Tabla 4 Clasificación de errores según Martínez de la Rosa TIPO DE ERROR CARACTERÍSTICAS  Equivocaciones que se comenten al simplificar una expresión, ERRORES DE TIPO OPERATIVO despejar mal una incógnita, resolver una ecuación, etc.  A veces se producen por falta de atención y cuidado en la resolución del ejercicio. Otras veces por falta de base para operar.  En ocasiones se deben al uso incorrecto de la notación matemática o a simplificaciones erróneas hechas de forma automática.  Se refiere a la aplicación indiscriminada de un teorema. Es decir, los errores provienen de aplicar una fórmula que no se debeutilizar.  Resulta de aplicar fórmulas sin comprobar si se cumplen las ERRORES AL APLICAR LA FÓRMULA condiciones establecidas en las hipótesis del teorema. DE UN TEOREMA O UN  Este tipo de hábitos lleva consigo una interesante reflexión acerca ALGORITMO del tipo de matemáticas que queremos explicar.  No sólo los alumnos incurren en estos fallos, sino también los profesores.  Ya sea por simplificar, por ahorrar tiempo o simplemente por considerar que las posibilidades de que se nos presente un caso que falle son escasas, el caso es que incluso libros muy difundidos propician el mal empleo de algún algoritmo.  Estos errores son provocados al aplicar, de forma indiscriminada, las fórmulas que nos proporcionan los teoremas sin verificar antes que se cumplen los requisitos para poder utilizarlas.  Hay que distinguir entre los métodos automáticos para soluciones generales y las condiciones particulares de un problema.  El tiempo limitado o la escasa preparación de un sector de alumnos son factores que hacen que debamos buscar un necesario equilibrio entre los teoremas y las fórmulas.  Este tipo de errores revela que las matemáticas van más allá de la simple aplicación de una fórmula. ERRORES EN LOS CONCEPTOS  Son errores que pueden observarse cuando se plantean cuestiones MATEMÁTICOS que no requieren la realización de ningún cálculo, sino la comprensión de un concepto. Nota: Los errores se basan en hábitos que dan una pista sobre el tipo de matemáticas que suelen enseñarse.[Tabla] Basado en Martínez de la Rosa (2006) y Martínez de la Rosa (2012). Otra clasificación de los errores matemáticos es la influyente propuesta de Movshovitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987). Aunque originalmente concebida para Educación Secundaria, la clasificación puede resultar útil para orientar el trabajo de los maestros de Educación Primaria, 10 UNIDAD 3 Unidad 3. Errores, dificultades y obstáculos en el aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria ayudando a asignar un nivel de dificultad a un ítem determinado (un tema, un contenido) según el número de errores que provoca por categoría. El modelo puede ayudar a los maestros a prevenir dificultades y obstáculos, así como a utilizar esta capacidad de prevención en la planificación de la enseñanza de matemáticas, con el propósito de evitar la mayor cantidad posible de dificultades y obstáculos. También puede resultar útil para identificar cuándo determinados estudiantes tienden a cometer persistentemente cierto tipo de errores en diferentes temas de carácter matemático. Movshovitz-Hadar et al (1987) catalogan los errores en seis categorías descriptivas en función de su naturaleza operativa, pues sostienen que una clasificación de esta índole es más prometedora que una categorización basada en las causas de los errores (véase Tabla 5). 1. Información mal utilizada. 2. Interpretación incorrecta del lenguaje. 3. Inferencias lógicamente inválidas. 4. Teoremas o definiciones distorsionados. 5. Falta de verificación en la solución. 6. Errores técnicos. 11 UNIDAD 3 Unidad 3. Errores, dificultades y obstáculos en el aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria Tabla 5 Clasificación de errores según Movshovitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987) TIPO DE ERROR DESCRIPCIÓN ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS Los elementos característicos de esta clase de errores son:  Designar como "dado" un fragmento de información que ni está afirmado ni se sigue  Esta categoría incluye aquellos errores que inmediatamente de lainformación dada. El alumno ha agregado datos extraños. pueden estar relacionados con alguna  Ignorar algunos datos dados necesarios para la solución y compensar la falta de INFORMACIÓN MAL discrepancia entre los datos y cómo los analiza el información añadiendoexplícitamente datos irrelevantes. UTILIZADA alumno.  Afirmar explícitamente como una condición (por ejemplo, bajo "que ha de ser  Debe incluirse una declaración explícita que probado", " que ha de serencontrado" o " que ha de ser calculado") algo que no se indique que se usaron los datos dados en la pedía en el problema. solución del estudiante.  Asignar a un determinado fragmento de información un significado inconsistente con el  Estos errores pueden cometerse cuando se texto (por ejemplo,usar la altura de un triángulo en una solución para un problema que reúnen al inicio los datos o más tarde cuando se trata de la mediana). procesa los datos.  Imponer una condición que no concuerda con la información dada (por ejemplo, forzar a cumplir laspropiedades de una bisectriz angular a una línea arbitraria que pasa por el vértice de un ángulo).  Usar un valor numérico de una variable para otra variable (por ejemplo, usar un valor numérico dado de ladistancia como el valor numérico de la velocidad).  Copiar incorrectamente algunos detalles del examen al cuaderno. Los elementos característicos de esta clase de errores son: INTERPRETACIÓN Esta categoría incluye aquellos errores matemáticos  Traducir una expresión del lenguaje natural a una ecuación o a un matemático que relacionados con la traducción de hechos representa una relación diferente de la descrita verbalmente. INCORRECTA DEL matemáticos descritos en un lenguaje (posiblemente  Designar un concepto matemático con un símbolo que tradicionalmente designa otro LENGUAJE simbólico) a otro lenguaje (posiblemente simbólico). concepto y operar con el símbolo en su uso convencional. (Por ejemplo, el problema trata de la suma de los últimos n elementos de una serie. El estudiante designa que esta serie con Sn, según la fórmula para la suma de los primeros n elementos).  Interpretar incorrectamente símbolos gráficos como términos matemáticos y viceversa (por ejemplo, emparejar incorrectamente un par ordenado con un punto de intersección de dos líneas en un gráfico). 12 UNIDAD 3 Unidad 3. Errores, dificultades y obstáculos en el aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria Los elementos característicos de esta clase de errores son: INFERENCIAS Esta categoría incluye aquellos errores  A partir de una afirmación condicional (si p, entonces q) concluir su inversa, en su forma relacionados con razonamientos falaces y no con positiva (si q, entonces LÓGICAMENTE contenido específico, es decir, nueva p) o en su forma negativa (si no p, entonces no q). INVÁLIDAS información obtenida inválidamente de  A partir de una afirmación condicional (si p, entonces q) y de su consecuente q, concluir determinada fuente de información o de una que el antecedente p es válido. O a partir de una declaración condicional y la negación de su antecedente (no p), concluir que la negación de su consecuente (no q) es válida. fuente de información previamente inferida.  Concluir que p implica q cuando q no se sigue necesariamente de p.  Usar cuantificadores lógicos como "todos", "existe" o "al menos" en el lugar equivocado. TEOREMAS O Esta categoría incluye aquellos errores que tratan con Los elementos característicos de esta clase de errores son: una distorsión de un principio, regla, teorema o - Aplicar un teorema fuera de sus condiciones. DEFINICIONES definición específicos e identificables. - Aplicar una propiedad distributiva a una función u operación no distributiva. DISTORSIONADAS - Citar de forma imprecisa una definición, teorema o fórmula reconocibles. FALTA DE Los errores de esta categoría se caracterizan por Los elementos característicos de esta clase de errores son: - Si el alumna contrasta la “solución” con las condiciones y requisites en el examen, VERIFICACIÓN EN LA el hecho de que cada paso que da el alumno en el error se puede evitar. SOLUCIÓN sí mismo es correcto, pero el resultado final que - Cabe señalar que es muy frectuente que los estudiantes no verifiquen sus resultados. Sin embargo, no podemos decir si los han comprobado o no a menos presenta no es una solución del problema que algo en la solución esté incorrecto. planteado. ERRORES TÉCNICOS Esta categoría incluye distintos tipos de errores -Errores computacionales. -Errores al extraer datos de tablas. de cálculo, manipulación y algorítmicos. -Errores al manipular símbolos algebraicos elementales. -Otros errores en la ejecución de algoritmos que habitualmente se utilizan en Ed. Primaria y Secundaria. Nota: Movshovitz-Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987, págs. 8-12) y Abrate, Pochulu y Vargas (2006, pp. 38-40 13 UNIDAD 3 Unidad 3. Errores, dificultades y obstáculos en el aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria Como último modelo de categorización de errores matemáticos, presentamos (ver Tabla 6) el de Abrate et al. (2006). Los autores señalan que su propuesta está condicionada por las categorías de errores de las investigaciones de Radatz (1979), Movshovitz-Hadar et al.(1987) y Rico (1998). En cuanto al análisis de los errores, Abrate, Pochulu y Vargas (2006, pp. 57-58) distinguen dos grandes fases que dan lugar a dos niveles de análisis: 1. Descripción y análisis de los errores más frecuentes cometidos por los alumnos al resolver situaciones problemáticas. 2. Determinación de las posibles causas que llevan a los alumnos a cometer dichoserrores 14 UNIDAD 3 Unidad 3. Errores, dificultades y obstáculos en el aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria Cuadro 6. Categorización de errores matemáticos según Abrate, Pochulu y Vargas (2006). 15 UNIDAD 3 Unidad 3. Errores, dificultades y obstáculos en el aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria Nota: Se resume la exposición hecha por los autores. Además, se seleccionan algunos de los ejemplos más representativos que ofrecen.Fuente: Abrate, Pochulu y Vargas (2006, pp. 49-57) 16 UNIDAD 3 Unidad 3. Errores, dificultades y obstáculos en el aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria Conviene tener presente que los modelos que describen los errores matemáticos, tal como el de Abrate, Pochulu y Vargas (2006), pueden resultar de ayuda a la hora de elaborar un inventario categorizado de errores, con índices de frecuencias por categoría y por instancias/respuestas, cuando se aplican a un número creciente de respuestas y cuando poseen una sólida validación empírica. Procediendo así (agrupando las respuestas según los tipicos errores e indagando las características comunes de las respuestas), se puede obtener un modelo predictivo de errores (ver Figura 1). Figura 1 Distribución de errores por categoría de error Para finalizar esta sección, reproducimos algunas de las indicaciones y recomendaciones que ofrece Luri (2020) para el análisis diagnóstico del error:  El feedback es la manera inmediata de comprobar el “pulso” del alumno.  La pregunta que debemos hacerle al alumno no es por qué se ha equivocado, sino por qué cree que ha acertado.  Una de las funciones del análisis del error es intentar prevenir y evitar la ansiedad que provoca el miedo al error.  Hay que corregir los errores lo antes posible, con el fin de impedir que queden fijados.  El ejemplo de lo incorrecto suele ayudar más a construir estrategias de resolución de problemas que el ejemplo de lo correcto.  El profesor debe hacerle entender al alumno que su error le ayuda a ayudarlo. Pero el alumno debe asumir el deber moral que supone la permanente lucha contra los errores propios. 17 UNIDAD 3 Unidad 3. Errores, dificultades y obstáculos en el aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria  El profesor ha de saber diferenciar el error ocasional por una distracción (falta de atención) del error producido por una falta de comprensión.  Los alumnos con poca capacidad de atención tienden a dar respuestas incorrectas a los ejercicios con enunciados extensos, especialmente si la pregunta se encuentra al final de los mismos.  El examen, en sí mismo, es un magnifico ejercicio de educación de la atención.  Todo tipo de examen es útil cuando ofrece información diagnóstica del alumno. Por ejemplo, si están bien enunciadas, las preguntas de opciones múltiples son de gran ayuda para afinar el diagnóstico.  La causa más común de error suele ser una excesiva carga cognitiva.  Hay buenas razones para sospechar que el índice de errores habituales, que un alumno puede pedagógicamente soportar, sin ver seriamente comprometida su autoestima, nunca debe rebasar el 15 %. 3. Dificultades de aprendizaje Todas las teorías acerca de la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas coinciden en la necesidad de identificar los errores que habitualmente cometen los alumnos en el proceso de aprendizaje, en determinar sus causas y en organizar la enseñanza teniendo en cuenta esta información. Pero ¿qué es una dificultad de aprendizaje? ¿En qué se diferencia de un error? En lo esencial, se puede afirmar que un error es el resultado de una acción desacertada o equivocada desde el punto de vista de los estándares, normas o criterios de cierta actividad o práctica. Así, en el contexto escolar, los alumnos cometen un sinnúmero de errores por distintas razones. Pero incurren en un error cuando básicamente realizan una práctica o una acción inválida desde el punto de vista de la matemática escolar. En este sentido, una dificultad se distingue de un error concreto o de un fallo cometido puntualmente por algún alumno de manera aislada, porque está relacionada con la oposición o contrariedad que supone conseguir algo o ejecutarlo. Algo es difícil cuando presenta impedimentos o inconvenientes a efectos de lograr algo, cuando impide hacer, entender o aprender algo. En matemáticas, a menudo un tema o un contenido se resiste, poniendo pegas (contratiempos, vallas) al alumno cuando intenta alcanzar un resultado deseado. Coloquialmente, se dice que a los alumnos les cuesta aprender matemáticas, porque la materia pone dificultades a la hora de entenderla y aprobarla. En este sentido, l as dificultades son inconvenientes o barreras que es preciso superar para conseguir un determinado objetivo. 18 UNIDAD 3 Unidad 3. Errores, dificultades y obstáculos en el aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria Como afirman Aponte y Rivera (2017, p. 8), aunque la noción de dificultad puede aplicarse a diversas ideas o situaciones, las dificultades de aprendizaje son las que sufren ciertos estudiantes cuando no logran conseguir un buen rendimiento académico, a pesar de que no padecen de discapacidad o no tienen una inteligencia inferior a la de sus compañeros. De cualquier modo, cuando, frente a un tema específico o un contenido concreto, los errores se repiten sistemáticamente y, además, los cometen muchos alumnos, convirtiéndose así en un error colectivo y recurrente sobre un mismo asunto, debemos sospechar de que estamos ante una dificultad. Las dificultades, en tal sentido, se definen a partir de los errores, porque son lo que puede observarse directamente. En efecto, un error colectivo, cuando es persistente y recurrente, denuncia una dificultad. Una dificultad, en este sentido, es índice y reflejo del mayor o menor grado de éxito de los alumnos (de un grupo de alumnos) a la hora de realizar una tarea o de comprender un tema de estudio. Es natural, por ello, intentar medir el grado de éxito o desacierto en función de los fallos o errores cometidos. Así, si el porcentaje de respuestas incorrectas (errores, fallos) sobre determinado contenido (conceptual o procedimental) es elevado, se puede afirmar que la dificultad es alta, que ese contenido es difícil. En cambio, si dicho porcentaje es bajo, se puede sostener que la dificultad es baja. De ahí que, basándose en el estudio empírico de los errores que con mayor frecuencia cometen los alumnos, sea posible determinar (de manera estadística) cuáles son los contenidos más difíciles para los estudiantes, es decir, cuáles son los temas que más les cuesta entender y asimilar. De este modo, es la observación de los errores lo que conduce a determinar cuáles son los contenidos más difíciles para los alumnos. Al mismo tiempo, el examen de la naturaleza de dichos contenidos, de las características del alumnado que los estudia, así como de las circunstancias de su enseñanza, puede ayudar a averiguar cuáles son sus causas. Por lo demás, como los alumnos cometen más errores en aquellos temas que, por un motivo u otro, les resultan más difíciles, los contenidos pueden catalogarse en orden de dificultad en función de la cantidad de errores en que incurran los alumnos. En este sentido, categorizar las dificultades de aprendizaje puede ayudar al docente a centrar su atención en aquellos contenidos en los que sus alumnos suelen equivocarse más, a efectos de mejorar la enseñanza y el aprendizaje de la materia en los elementos donde más se requiere trabajar. Ahora bien, siguiendo a Socas (1997), podemos clasificar las principales dificultades de aprendizaje de las matemáticas de la siguiente forma: 1. Dificultades relacionadas con la complejidad de los objetos matemáticos 2. Dificultades asociadas a la complejidad de los procesos de pensamientomatemática 3. Dificultades ligadas a los procesos de enseñanza 19 UNIDAD 3 Unidad 3. Errores, dificultades y obstáculos en el aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria 4. Dificultades relacionadas con los procesos de desarrollo psicológico y cognitivo de los alumnos 5. Dificultades vinculadas con las actitudes afectivas y emocionales hacia las matemáticas De estas cinco grandes categorías de dificultades, como puntualiza el propio Socas (2007), las dos primeras estas asociadas a la propia disciplina (en este caso, matemáticas), la tercera está relacionada con los procesos de enseñanza desarrollados en el aprendizaje de las matemáticas (ligadas a la institución, el currículo y los métodos de enseñanza), la cuarta está vinculada con los procesos de desarrollo cognitivo del alumno y la quinta está asociada a actitudes afectivas y emocionales hacia las matemáticas. Esto pone claramente de manifiesto que no todo en matemáticas se reduce a lo emocional-afectivo ni a problemas de motivación. El asunto es bastante más complejo (ver Tabla 7). 20  UNIDAD 3 Unidad 3. Errores, dificultades y obstáculos en el aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria Tabla 7. Dificultades de aprendizaje de las matemáticas según Socas. DIFICULTAD DE APRENDIZAJE DESCRIPCIÓN  La abstracción y la generalización de las matemáticas es una posible causa de las dificultades de aprendizaje.  El análisis del contenido matemático permite prever su grado de dificultad potencial e identificar las variables a tener en cuenta para facilitar su enseñanza. DIFICULTADES RELACIONADAS CON LA COMPLEJIDAD DE LOS  Se presentan bajo un aparente dilema con estatus diferentes: el estatus operacional, de carácter dinámico, donde los OBJETOS MATEMÁTICOS BÁSICOS objetos son vistos como un proceso, y el estatus conceptual, de carácter estático en el que los objetos son vistos como una entidad conceptual.  Ambos estatus constituyen aspectos complementarios de un objeto matemático.  Se ponen de manifiesto en la naturaleza lógica de las matemáticas y en las rupturas que necesariamente se dan con respecto a los modos de pensamiento matemático.  Siempre se ha considerado como una de las mayores dificultades en el aprendizaje de las matemáticas el aspecto lógico- deductivo-formal.  La incapacidad para seguir un argumento lógico es una de las razones que mayor dificultad produce en el aprendizaje de las matemáticas. DIFICULTADES RELACIONADAS CON COMPLEJIDAD DE LOS  Fomentar la capacidad para seguir argumentos lógico-matemáticos no debe contraponerse a los métodos intuitivos, las PROCESOS DE PENSAMIENTO MATEMÁTICO conjeturas, los ejemplos y los contraejemplos.  En el caso del pensamiento numérico: La transición de los números naturales a los enteros, el paso de los naturales a los decimales, la transición de los racionales a los irracionales, así como el transito del pensamiento numérico al pensamiento algebraico.  Estas relacionadas con la institución escolar, el currículo escolar y los métodos de enseñanza.  En cuando a este último, puede suceder que la propuesta de actividades presentada por el docente a los alumnos no sea potencialmente significativa: cuando el maestro no estructura bien los contenidos que quiere enseñar, cuando los materiales elegidos (por ejemplo, el libro de texto) no son claros (ejercicios y problemas confusos, mal graduados, DIFICULTADES ASOCIADAS A LOS PROCESOS DE ENSEÑANZA rutinarios y repetitivos, errores de dicción, etc.), cuando la presentación del tema no es clara ni está bien organizada (habla demasiado rápido, uso de la pizarra demasiado caótica, etc.). PARA EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS  El maestro debe analizar las características de las situaciones didácticas sobre las que puede actuar.  Su elección afecta al tipo de estrategias que pueden implementar los estudiantes, conocimientos requeridos, etc.  Estas características suelen designarse variables didácticas. La edad de los alumnos o sus conocimientos previos influyen sobre el éxito de una tarea. Incluso la organización del centro. En ocasiones el horario del curso esinapropiado.  El número de alumnos es demasiado grande. No se dispone de materiales o recursos didácticos, etc. 21 UNIDAD 3 Unidad 3. Errores, dificultades y obstáculos en el aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria  Es necesario conocer los estadios generals del desarrollo intelectual del alumnado: cada uno está representado por modo característico de razonamiento. Cada uno está asociado también a unas tareas matemáticas específicas que los DIFICULTADES RELACIONADAS CON EL DESARROLLO alumnos son capaces de hacer. PSICOLÓGICO DE LOS ALUMNOS  Una fuente de dificultades de aprendizaje de los alumnos de primaria hay que buscarla en el hecho de que algunos alumnos aún no han superado la etapa preoperatoria (teoría de Piaget) y realizan operaciones concretas, o bien que aquellos que aún están en la etapa de las operaciones concretas realicen operaciones formales.  En este sentido, se pueden considerar distintos enfoques: enfoque jerárquico de la enseñanza, el enfoque evolutivo, el enfoque estructuralista, el enfoque constructivista, el enfoque del procesamiento de la información.  No se refiere a alumnos con dificultades de aprendizaje y trastorno del desarrollo.  En la planificación a largo plazo del currículo habrá que tener en cuenta dos aspectos fundamentales: cuáles de los objetivos del área de matemáticas corresponde a la etapa preoperatoria, cuáles a la de las operaciones concretas y cuáles a la de las operaciones formales. Precisar las edades en que los alumnos pasan aproximadamente de una etapa a la otra.  En términos generales, se refiere a sentimientos de tensión y ansiedad de los alumnos hacia lasmatemáticas.  Entre los factores que influyen en esta aversión se cuentan: la naturaleza jerárquica de las matemáticas, la actitud de los DIFICULTADES RELACIONADAS CON ACTITUDES AFECTIVAS Y profesores hacia los alumnos, los estilos de enseñanza, las actitudes y creencias que se les son transmitidas a los alumnos, EMOCIONALES HACIA LAS MATEMÁTICAS la motivación del alumnado.  Puede suceder que las actividades propuestas por el profesorado a los alumnos sean potencialmente significativas y que la metodología sea la adecuada, pero que el alumnado no esté en condiciones de hacerlas suyas porque no está motivado.  Este tipo de dificultades está relacionado con la autoestimada y la historia escolar del alumno. Nota: Se resume la descripción de cada tipo de dificultad. [Tabla]: Basado en Socas (1997) y Socas (2007). 22  Unidad 3. Errores, dificultades y obstáculos en el UNIDAD 3 aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria 4. Obstáculos en el aprendizaje de matemáticas La noción de obstáculo se ha convertido en un concepto importante en didáctica de las matemáticas, por lo cual requiere especial atención. Conviene tener presente, desde un inicio, que la palabra obstáculo es un término técnico que, en este contexto, tiene un sentido diferente que en el habla común. La resistencia está en la propia naturaleza del obstáculo y es la razón del empleo de este término tan fuerte. Hay que desconfiar del sentido obvio de la palabra obstáculo, que no es en ningún modo sinónimo de simple dificultad *…+, tampoco es un bloqueo del sistema de pensamiento. Es el indicador y el testimonio de la lentitud, de las regresiones, de las analogías, que caracterizan todo pensamiento que se está construyendo. Es el funcionamiento “natural” y cotidiano del cerebro *…+. (Astolfi, 1990, págs. 39-40). De ahora en adelante, por tanto, usaremos el término “obstáculo” en la acepción que ha adquirido en didáctica de las matemáticas y que vamos a exponer a continuación. El primero que hizo uso de la noción de obstáculo fue el filósofo francés Gaston Bachelard (1884- 1962) en el estudio del desarrollo de las ciencias experimentales, aunque sin perder de vista tampoco su papel en la enseñanza de la ciencia. “La noción de obstáculo epistemológico puede ser estudiada en el desarrollo histórico del pensamiento científico y en la práctica de la educación” (Bachelard, 2004, pág. 19). En concreto, Bachelard introdujo el término obstáculo epistemológico en su obra La formación del espíritu científico, publicada originalmente en 1938. Cuando se investigan las condiciones psicológicas del progreso de la ciencia, se llega muy pronto a la convicción de que hay que plantear el problema del conocimiento en términos de obstáculos. No se trata de considerar los obstáculos externos, como la complejidad o la fugacidad de los fenómenos, ni de incriminar a la debilidad de los sentidos o del espíritu humano: es en el acto mismo de conocer, íntimamente, donde aparecen, por una especie de necesidad funcional, los entorpecimientos y las confusiones. Es ahí donde mostraremos causas de estancamiento y hasta de retroceso, es ahí donde discerniremos causas de inercia que llamaremos obstáculos epistemológicos. (Bachelard, 2004, pág. 15). Según Bachelard, el progreso de la ciencia no se produce de cero, pues es el resultado de un proceso dialéctico de oposición con los conocimientos preexistentes. “Se conoce en contra de un conocimiento anterior, destruyendo conocimientos mal adquiridos o superando aquello que, en el espíritu mismo, obstaculiza a la espiritualización” (Bachelard, 2004, pág. 15). De ahí surge precisamente la idea de obstáculo en el desarrollo de la ciencia, entendiendo por tal un 23  Unidad 3. Errores, dificultades y obstáculos en el UNIDAD 3 aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria conocimiento enquistado en el sistema del saber que se muestra reacio al cambio, a pesar de sus deficiencias. “Un obstáculo epistemológico se incrusta en el conocimiento no formulado. Costumbres intelectuales que fueron útiles y sanas pueden trabar, a la postre, la investigación” (Bachelard, 2004, págs. 16-17). Dicho de otro modo: lo que en un principio se mostró fecundo termina lastrando, de un modo u otro, el progreso del conocimiento científico. Pues la ciencia avanza rectificando sus errores, oponiéndose tanto al saber anterior como a la experiencia común, así como reformando y refundiendo el conocimiento. En este sentido, la mente, para Bachelard, solo puede “formarse reformándose” (Astolfi, 1999, pág. 33). Los obstáculos (ver Tabla 8) aparecen, como recalca George (2020, págs. 3-4), entre otras razones porque tendemos a afianzar experiencias intuitivas y a generalizar aquellos procesos de pensamiento que, en su momento, nos ayudaron a resolver experiencias problemáticas, debido a su eficacia para suministrar respuestas simples. El problema se presenta cuando algunos conocimientos o conceptos, como suele ocurrir, se tornan, con el paso del tiempo, en un impedimento que anquilosa el progreso científico. Por eso es necesario actuar contra esos conocimientos y “destruirlos” para seguir avanzando. La tesis fundamental de Bachelard, por tanto, sostiene que el pensamiento científico se desarrolla según un proceso dialéctico de oposición contra conocimientos anteriores. El progreso de la ciencia puede considerarse, de este modo, como una sucesión de rectificaciones. Tabla 8 Características de los obstáculos. CARACTERÍSTICA DESCRIPCIÓN LA INTERIORIDAD DEL OBSTÁCULO  La propia palabra “obstáculo” es un obstáculo para la comprensión delconcepto.  En primer lugar, los obstáculos son interiores, es decir, no son aquello contra lo  que el pensamiento viene a chocar, sino que residen en el mismo pensamiento, en las palabras, en la experiencia cotidiana, en el inconsciente… LA FACILIDAD DEL OBSTÁCULO  Mas que una dificultad que se afronta, el obstáculo es una facilidad que seconcede a la mente.  El obstáculo es una forma de pensar cómoda. De ahí que su superación requiera una ruptura epistemológica. LA POSITIVIDAD DEL OBSTÁCULO  El obstáculo no es el vacío de la ignorancia sino una forma de conocimiento comocualquier otra.  Más que una falta de conocimiento es un “exceso” de conocimientos disponibles, que ya están ahí y que impiden construir nuevos conocimientos.  El obstáculo es un “tejido de errores construidos”, tenaces y solidarios, que se resiste, por tanto, a la refutación. (Astolfi, 1999, p. 36). LA AMBIGÜEDAD DEL OBSTÁCULO  El obstáculo es ambiguo porque toda forma de funcionamiento mental presenta la doble dimensión de herramienta necesaria y de fuente potencial deerrores.  El obstáculo es un modo de pensamiento que no es rechazable por sí mismo sino por las modalidades de uso. 24  Unidad 3. Errores, dificultades y obstáculos en el UNIDAD 3 aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria EL POLIMORFISMO DEL OBSTÁCULO  El obstáculo no debe “cosificarse” ni tampoco puede ser delimitado nicircunscritototalmente.  Es preciso considerar dos aspectos: 1) la dimensión transversal de los obstáculos y 2) el carácter proteiforme relacionado con múltiples dimensiones. No están limitados al plano racional, sino que se ramifican en el plano afectivo, emotivo omítico. LA RECURRENCIA DEL OBSTÁCULO  Los errores solo pueden reconocerse después de cometidos, tan solo cuando los obstáculos se han podido franquear. Nota: La exposición se basa en la obra de Michel Fabre Bachelard éducateur (1995). Se resume la descripción que ofrece el autor. [Tabla] Fabre (1995, citado en Astolfi, 1999). Ahora bien, Guy Brousseau (1933, Taza, Marruecos) tomó el concepto de obstáculo de la obra de Bachelard y la reelaboró para convertirla en una noción fundamental en didáctica de las matemáticas, transformándola en instrumento conceptual para el estudio y comprensión de la enseñanza de las matemáticas. El aprendizaje presenta frecuentes rupturas que pueden tener formas y origines variados: saltos informacionales, cambios en la forma de control *…+, origen ontogenético, elección didáctica, contingencia epistemológica, etc. Algunas de las concepciones adquiridas no desaparecen inmediatamente en provecho de una concepción mejor: resisten, provocan errores y se constituyen así en “obstáculos”. (Brousseau, 2007, pág. 44). Según Brousseau (1976), los trabajos de Bachelard y Piaget ponen de manifiesto que el error y el fracaso no tienen el papel simplista que a veces se les atribuye. El error no es solamente el efecto de la ignorancia, de la incertidumbre, del azar como se cree en las teorías empiristas o conductistas del aprendizaje, sino el efecto de un conocimiento anterior, que tuvo su interés, su éxito, pero que ahora se revela falso o simplemente inadaptado. Los errores de este tipo no son fortuitos e imprevisibles, constituyen obstáculos. (Brousseau, 1976, pág. 104). Brousseau viene a decirnos, por tanto, que un obstáculo es algo más que un simple error pasajero, fácilmente corregible, o una mera dificultad de aprendizaje. Antes bien, es algo que requiere un tratamiento especial, porque su superación no es fácil ni automática (ver Tabla 9). Tabla 9 Caracterización de “obstáculo” dada por Brousseau 25  Unidad 3. Errores, dificultades y obstáculos en el UNIDAD 3 aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria CARACTERÍSTICA DEFINITORIA DESCRIPCIÓN  El conocimiento es un procedimiento o estrategia regular que usa un sujeto para responder exitosamente a las situaciones problemáticas que le plantea el medio. ES CONOCIMIENTO  El aprendizaje es el proceso por el cual se modifican los conocimientos.  Un obstáculo en un conocimiento en el sentido de que es una “manera regular de tratar un conjunto de situaciones”.  Un obstáculo es un conocimiento que da resultados correctos o ventajas apreciables en determinado ámbito. ES CONOCIMIENTO DE VALIDEZ  Sin embargo, se revela falso o completamente inadaptado en un ámbito nuevo o más amplio. LIMITADA  El conocimiento nuevo, verdadero o válido, que se produce sobre un ámbito más amplio, no se establece “a partir” del conocimiento anterior sino contra el conocimiento anterior, usando ES CONOCIMIENTO QUE OPONE otros puntos de vista, otros métodos, etc. RESISTENCIA AL NUEVO  Entre el conocimiento nuevo y el conocimiento anterior existen relaciones “lógicas” evidentes que harían posible desacreditar fácilmente el error antiguo a través del conocimiento nuevo. CONOCIMIENTO  Sin embargo, ambos conocimientos compiten por el antiguo ámbito.  Los obstáculos no son construcciones personales variables.  Son respuestas “universales” en ámbitos precisos. ES UNA RESPUESTA  Aparecen casi necesariamente en la génesis de un saber, ya sea en su desarrollo histórico o “UNIVERSAL” didáctico. Nota: Se complementa la exposición que se hace Brousseau usando información queproporciona enotras partes del libro. [Tabla] Brousseau (2007). Así pues, un obstáculo no es ausencia de conocimiento. Un obstáculo es más bien un conocimiento positivo que, en un momento dado y en determinado ámbito, proporciona respuestas correctas, pero que, con el paso del tiempo, se manifiesta como deficiente y, consiguientemente, se convierte en fuente de errores. Conviene subrayar, pues, que la expresión “conocimiento positivo” se utiliza en el sentido de conocimiento real, efectivo, existente, en contraposición a la “falta” o “ausencia” de conocimiento. Siendo, por tanto, un conocimiento positivo, o sea, real y efectivo, un obstáculo termina transformándose, en algún momento, en un estorbo y un lastre. De donde se revela inadecuado e insuficiente, pues da origen a respuestas falsas e incorrectas, con lo cual entorpece, o directamente impide, el progreso del saber, ya sea en el plano individual o colectivo. Que un obstáculo no es un simple error ni una mera dificultad de aprendizaje lo pone de manifiesto el hecho de que, para ser superado, requiere una reestructuración de las concepciones del individuo. En efecto, un obstáculo se manifiesta por sus errores, pero estos errores no son aleatorios. Difícilmente explicitables, “no desaparecen radicalmente, de golpe, sino que resisten, persisten, luego resurgen y se manifiestan mucho tiempo después de que el sujeto haya rechazado de su sistema cognitivo consciente el modelo defectuoso” (Brousseau, 1976, pp. 105-106). Pero ¿por qué son persistentes y vuelven a presentarse? Porque tienen como fuente una determinada forma de conocer, una concepción característica, la cual, a pesar de no ser correcta, es coherente, antigua e incluso exitosa en un ámbito de acciones muy acotado. 26  Unidad 3. Errores, dificultades y obstáculos en el UNIDAD 3 aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria De este modo, el obstáculo no desaparece con el aprendizaje de un nuevo conocimiento. Por el contrario, opone resistencia a su adquisición, a su comprensión, frena su aplicación, subsiste en estado latente y reaparece de forma imprevista, en especial en su ámbito anterior, cuando las circunstancias lo permiten. (Brousseau, 2007, pág. 46). De ahí que no tenga sentido ignorar un obstáculo. Es inútil ignorarlo porque entonces volverá a aparecer cuando menos se lo espere. Por el contrario, “hay que rechazarlo explícitamente, integrar su negación en el aprendizaje de un conocimiento nuevo, particularmente bajo la forma de contraejemplos” (Brousseau, 2007, p. 46). Porque es “en el acto mismo de conocer, íntimamente, donde aparecen, por una especie de necesidad funcional, los entorpecimientos ylas confusiones” (Brousseau, 2007, pp. 45-46). Siendo, en este sentido, constitutivo del saber, tampoco parece razonable repudiarlo absolutamente en lugar de darle debida acomodación en el nuevo esquema cognitivo ampliado y mejorado. Al ser parte del desarrollo mismo del saber, más sensato parece optar por una adecuada integración de esos conocimientos. En efecto, según Brousseau (1976, p. 106), las concepciones "erróneas" surgen inevitablemente debido a la interacción entre el conocimiento, el individuo y el medio. Por tanto, lo importante, desde un punto de vista pedagógico, es que las condiciones bajo las cuales interactúan esos actores pueden, hasta cierto punto, ser modificadas y controladas. Este es, de hecho, el objeto de la didáctica, según Brousseau, tal como se encarga de desarrollar él mismo en su teoría de situaciones didácticas. Sobre esta base, Brousseau (1976, pág. 107) propone distinguir, en función de su origen, tres grandes tipos de obstáculos:  Obstáculos de origen epistemológico  Obstáculos de origen ontogenético  Obstáculos de origen didáctico A continuación se resumen las características más importantes de cada tipo de obstáculo. Obstáculos de origen epistemológico:  Epistemológico es lo perteneciente o relativo a la epistemología, la rama de la filosofía que estudia los fundamentos y los métodos del conocimiento cientifico.  Los obstáculos de origen epistemológico están, por tanto, íntimamente ligados a la constitución del saber matemático.  Tienen por ello carácter universal, ya que aparecen en la génesis histórica de los conceptos matemáticos, de modo que no son meras construcciones mentales individuales.  Su presencia es independiente de las elecciones que se hagan y son, por ende, inevitables. 27  Unidad 3. Errores, dificultades y obstáculos en el UNIDAD 3 aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria  Al estar vinculados al desarrollo histórico del concepto, su existencia se revela cuando se estudia la formación histórica del mismo.  Como ejemplo de obstáculo epistemológico se puede citar la noción de perímetro en relación con la de superficie. o Los alumnos creen que el área de una figura depende de la medida de sus lados, lo que solamente es cierto para los polígonos regulares. o Fuera de este contexto, cuando se generaliza a otra clase de figuras, es falso que la superficie dependa del perímetro. o Esta constatación, aunque se repita muchas veces, no impide que los alumnos sigan identificando área y perímetro durante mucho tiempo. Obstáculos de origen ontogénico  Ontogenético es lo relativo o perteneciente a la ontogenia o al desarrollo del individuo (el organismo individual) y se refiere en especial al periodo embrionario. En este sentido, ontogenético se opone a filogenético, o sea, lo que concierne a la filogénesis, filogenia o el origen y desarrollo evolutivo de las distintas especies de seres vivos.  Por esta razón, los obstáculos de origen ontogenético están relacionados con las limitaciones propias del desarrollo del individuo, de carácter neurofisiológico y psicogenético.  La superación de este tipo de obstáculos requiere que se produzcan rupturas o conflictos cognitivos, para que se tengan en cuenta otros puntos de vista y se alcance un nivel de desarrollo madurativo superior.  Como ejemplo de obstáculo ontogenético se puede citar la incorrecta apreciación del carácter tridimensional del volumen y su relación con la bidimensionalidad. o La mayor parte de los alumnos menores de 13 años creen que, al duplicarse cada una de las tres dimensiones, el volumen resultante será seis veces el volumen primitivo. o Este error se debe a la dificultad de pasar de los modelos aditivos, más primitivos, a los modelos multiplicativos, que se encuentran desarrollados solo en edades posteriores, lo cual garantiza un mayor nivel de desarrollo cognitivo. Obstáculos de origen didáctico  Los obstáculos de carácter didáctico se originan en el sistema de enseñanza, especialmente en la práctica docente, el diseño y contenido del currículo o el diseño de secuencias de aprendizaje. 28  Unidad 3. Errores, dificultades y obstáculos en el UNIDAD 3 aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria  Dicho de otro modo: las decisiones que, consciente o inconscientemente, toma el profesor o el sistema educativo acerca de algunos conocimientos matemáticos originan obstáculos de este tipo.  Estos obstáculos se relacionan, por tanto, con los procesos de transposición didáctica, que adapta el saber matemático en el saber que se enseña en las aulas. 29  Unidad 3. Errores, dificultades y obstáculos en el UNIDAD 3 aprendizaje de las Matemáticas en Educación Primaria BIBLIOGRAFÍA Abrate, S. R., Pochulu, D. M. y Vargas, M. J. (2006). Errores y dificultades en matemática. Análisis de causas y sugerencias de trabajo. 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