Unidad 2. Resolución de Problemas en Educación Primaria PDF

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UNIDAD 2 Unidad 2. Resolución de problemas en Educación Primaria. Didáctica de las Matemáticas I Unidad 2. Resolución de problemas en Educación Primaria. 0 UNIDAD 2 Unidad 2. Resolución de problemas en Educación Primaria. ÍNDICE 1. Introducción...................................................................................................... 2 2. Modelos de resolución de problemas................................................................. 4 3. El modelo de Polya............................................................................................ 9 4. El modelo de Mason, Burton y Stacey.............................................................. 16 5. El modelo de Miguel de Guzmán...................................................................... 21 6. El modelo IDEAL.............................................................................................. 25 BIBLIOGRAFÍA........................................................................................................ 29 1 UNIDAD 2 Unidad 2. Resolución de problemas en Educación Primaria. 1. Introducción. Una de las expresiones más conspicuas de nuestra mente es su extraordinaria capacidad para resolver todo tipo de problemas. Pero tal vez donde mejor se refleja es en las matemáticas, donde la mayor parte de su actividad consiste precisamente en el planteamiento de problemas y en la incesante búsqueda de las vías más promisorias para alcanzar soluciones bellas y elegantes. Como señala Stewart (2005, p. 16), “los problemas constituyen la fuerza motriz de las matemáticas. Se considera un buen problema aquel cuya resolución, en vez de limitarse a poner orden en lo que no era sino un callejón sin salida, abre ante nosotros perspectivas totalmente nuevas”. Es en este sentido que la resolución de problemas puede verse como un proceso de descubrimiento, incluso cuando como en la escuela se empieza a aprender matemáticas y los problemas que se abordan son relativamente simples. La resolución de problemas puede ser concebida como un proceso de descubrimiento, por parte del sujeto, de una combinación de reglas ya conocidas que puede aplicar para alcanzar una solución a una situación nueva y problemática. No se trata sin embargo de aplicar solo reglas ya conocidas. El proceso genera también un nuevo aprendizaje. El sujeto es colocado o se encuentra en una situación problemática, recuerda reglas aprendidas anteriormente con la intención de encontrar una “solución”. Durante este proceso de pensamiento, probará un cierto número de hipótesis, verificando su posibilidad de aplicación. Cuando encuentra una combinación particular de reglas que se adapta a la situación, no solo ha “resuelto el problema”, ha aprendido además algo nuevo. (Gagne, 1966, citado en D’Amore, 1997, pág. 12). La matemática tiene, además, una ventaja clave respecto a otras ciencias. Como recalca Tao (2006, p. 1), debido a su carácter abstracto, no tiene restricciones físicas, por lo cual uno siempre puede volver a empezar de cero, probar nuevas vías de ataque o incluso dar marcha atrás en cualquier momento. Estos son lujos que, al resolver problemas, uno no siempre puede darse en otras áreas de investigación. Quizá en parte a ello se debe el hecho de que las matemáticas sitúen de forma única en comparación a otras disciplinas la resolución de problemas en el centro de gravedad mismo de todo su quehacer. Los problemas matemáticos, o los puzles, son importantes para los matemáticos reales (como resolver problemas de la vida real), tal como las fábulas, las historias y las anécdotas son importantes para los jóvenes a la hora de entender la vida real. *…+ Si la matemática se compara con la búsqueda de oro, resolver un buen problema matemático es similar a un curso de “jugar al escondite” en búsqueda de oro: se te 2 UNIDAD 2 Unidad 2. Resolución de problemas en Educación Primaria. pide buscar una pepita de oro y sabes cuál es su aspecto, que está ahí fuera en alguna parte, que no es tan difícil de alcanzar, que se desentierra con tus capacidades y que, para conseguirlo, se te ha suministrado convenientemente el equipamiento correcto (es decir, los datos). (Tao, 2006, p. viii). La propia historia de las matemáticas es bastante elocuente al respecto: nos enseña con claridad que “la investigación en busca de soluciones a problemas aún sin resolver, sean solubles o no, conduce invariablemente a descubrimientos importantes en el camino” (Boyer y Merzbach, 2011, p. 522). A ello se suma el hecho de que la resolución de problemas contribuye al desarrollo de capacidades cognitivas valiosas desde un punto de vista formativo y a la adquisición de ideas importantes. La resolución de problemas desemboca en la adquisición de nuevas ideas que multiplican la posibilidad de aplicar reglas ya aprendidas. Como sucede con otras formas de aprendizaje, se basa en capacidades ya aprendidas, no se basa en el vacío, en la ausencia de un conocimiento ulterior. La condición más importante para animar al sujeto a pensar es asegurarse de que tenga algo en que pensar. El aprendizaje mediante resolución de problemas conduce a nuevas capacidades de pensamiento ulterior. (Gagne, 1970, citado en D’Amore, 1997, p. 12). De ahí la enorme importancia que actualmente se ha concedido a la resolución de problemas en el contexto de las matemáticas escolares. “Nadie que se dedique —afirma D’Amore (1997) — a la didáctica de las matemáticas, en cualquiera de sus niveles, dejaría de reconocer en la actividad de resolución de problemas una característica esencial, central: hacer matemáticas es, ante todo, resolver problemas” (pág. 11) Tan importante se considera la actividad de resolución de problemas que el National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), referente mundial en educación matemática, ha asignado a la resolución de problemas el primer puesto dentro de los estándares de proceso (los que explicitan los métodos de enseñanza y aprendizaje), seguido por el razonamiento y la demostración, la comunicación, las conexiones y la representación. Y, siguiendo la senda pedagógica abierta por la NCTM, la mayor parte de sistemas educativos ha otorgado a la resolución de problemas el papel de eje vertebrador del currículo (Real Decreto 157/2022), formando parte de los descriptores operativos y de las competencias específicas de las matemáticas: Eje de resolución de problemas  CE.M1.1. Interpretar, modelizar y resolver problemas de la vida cotidiana y propios de las matemáticas, aplicando diferentes estrategias y formas de razonamiento, para 3 UNIDAD 2 Unidad 2. Resolución de problemas en Educación Primaria. explorar distintas maneras de proceder y obtener posibles soluciones. Conectada con STEM1, STEM2, STEM3, STEM4, CD2, CPSAA5, CE3, CCEC4.  CE.M2. Analizar las soluciones de un problema usando diferentes técnicas y herramientas, evaluando las respuestas obtenidas, para verificar su validez e idoneidad desde un punto de vista matemático y su repercusión global. Conectada con STEM1, STEM2, CD2, CPSAA4, CC3, CE3 Debido a que el currículo español actual se rige por el enfoque competencial, conviene recordar también que una de las formas que más se promueven para desarrollar la competencia matemática es, como vimos en la unidad 1, el trabajo de aula en resolución de problemas. En este sentido, interesa que los futuros maestros cuenten con los conocimientos y los recursos didácticos necesarios para afrontar de manera exitosa y profesional la planificación y la gestión de la actividad matemática escolar, a fin de “generar entornos de aprendizaje en los cuales tenga sentido el planteamiento y la resolución de problemas que involucren las grandes ideas matemáticas, y de otras disciplinas, así como las reglas del juego para abordarlos” (Albarracín et al., 2018, pág. 15; las cursivas son nuestras). Esto supone que los maestros conocen distintos modelos de resolución de problemas y que son capaces de adaptarlos al trabajo matemático que se realiza en Ed. Primaria, a fin de diseñar y gestionar la actividad de resolución de problemas en función de las distintas necesidades y circunstancias. 2. Modelos de resolución de problemas El resurgimiento en el siglo XX de la heurística matemática se debe sobre todo al matemático húngaro, nacionalizado estadounidense, George Polya (1887-1985). Fue Polya, en efecto, quien, con la publicación en 1945 de How to solve it, resucitó el interés por la heurística aplicada al ámbito de la enseñanza de las matemáticas. Pero ¿qué es la heurística? La palabra heurística proviene del griego eurískein que significa encontrar, descubrir o inventar. Según Polya (1988, p. 112), la heurística (o ars inveniendi) es el nombre dado a cierta rama de estudio, delimitada de forma poco clara (pues se hace pertenecer a distintas ciencias como la lógica, la filosofía y la psicología), que, aunque se ha bosquejado con frecuencia, raras veces se ha presentado en detalle. Los intentos más famosos de construir un sistema de heurística son los hechos por Descartes y Leibniz, ambos grandes matemáticos y filósofos. Comoquiera que sean, el objetivo de la heurística es, en opinión de Polya (1988), el estudio de los métodos y las reglas del descubrimiento y la invención. De ahí que, como adjetivo, heurístico signifique “lo que sirve para descubrir” (Polya, 1988, p. 113). Por 4 UNIDAD 2 Unidad 2. Resolución de problemas en Educación Primaria. eso, se puede afirmar que la heurística es básicamente el arte del descubrimiento y de la resolución de problemas. La heurística, en este sentido, se ocupa de desvelar y estudiar el conjunto de actitudes, procesos generales, estrategias y pautas que favorecen la resolución de problemas en general y la resolución de problemas matemáticos en particular. El enfoque heurístico en matemáticas es similar al que se utiliza en otras ciencias: procede planteando conjeturas a fin de refutarlas o de demostrarlas, en cuyo caso se convierten en conocimiento matemático. Una conjetura es una proposición que parece razonable, pero cuya verdad no se ha establecido. En otras palabras, no ha sido justificada de manera convincente y, sin embargo, no se conocen ejemplos que la contradigan, ni se sabe que tenga consecuencias falsas. (Mason, Burton y Stacey, 1982, p. 63). Así, mediante el examen de casos particulares, se formulan conjeturas, las cuales se intenta refutar usando contraejemplos concretos o bien demostrar proporcionando una prueba matemática rigurosa. De este modo, las conjeturas son rechazadas o justificadas. En efecto, importa subrayar que, en su afán por buscar la solución de un problema, la heurística se sirve métodos no rigurosos, tales como el tanteo, el uso de reglas empíricas, etc. Conviene hacer esta puntualización, en especial cuando se habla de matemáticas, pues es una ciencia que se caracteriza por su rigurosidad. Es, por tanto, de suma importancia no olvidar que, como advierte Polya (1988), “el razonamiento heurístico es bueno en sí mismo. Lo que es malo es confundir razonamiento heurístico con prueba rigurosa. Lo que es peor aún es vender un razonamiento heurístico como prueba rigurosa” (pág. 113). Por eso es tan perjudicial dejar una conjetura sin comprobar. El problema es que si, tras una larga lucha, se descubre una conjetura razonable, se siente de manera tan obvia que es correcta que resulta difícil no creerla. Se ha invertido una enorme cantidad de energía. En consecuencia, es fácil ser menos que crítico a la hora de comprobar. ¿Cómo entonces puede uno estar seguro de que una conjetura ha sido adecuadamente comprobada y convincentemente justificada? La respuesta breve es que casi nunca uno puede estar absolutamente seguro. La historia de las matemáticas está llena de argumentos falsos. (Mason, Burton y Stacey, 1982, pág. 95). Esto quiere decir entonces que los procedimientos heurísticos deben valorarse como lo que son: medios que nos ponen sobre la pista de la solución y que nos permiten dirigirnos al resultado deseado, pero que en sí mismos no constituyen de ningún modo una prueba 5 UNIDAD 2 Unidad 2. Resolución de problemas en Educación Primaria. definitiva, puesto que siempre necesitan una validación apodíctica o deductiva independiente, que solo pueden proporcionar los métodos rigurosos. Y en matemáticas esto solo se consigue con una estricta demostración o, en el caso de las matemáticas escolares, al menos a través de una adecuada comprobación. Como sostiene Polya (1988), “las razones heurísticas son importantes, aunque no prueban nada” (pág. 190). Por eso, mientras no dispongamos de una rigurosa prueba matemática, el resultado que arroja el procedimiento heurístico debe considerarse como algo meramente provisional, en ningún caso definitivo. Las matemáticas a menudo desafían nuestras expectativas y nos obligan a usar la imaginación. Esa es una de las razones por las que los matemáticos se afanan por hallar demostraciones y no meros indicios. Son las demostraciones las que establecen la verdad matemática. Todos los indicios disponibles pueden sugerir un cierto resultado, pero sin una demostración no podemos estar seguros. (Honner, 2020, pág. 8). Así pues, los resultados obtenidos con métodos puramente heurísticos deben considerarse resultados puramente tentativos y verosímiles, en ningún caso como datos verdaderos e irrefutables. Sin embargo, aunque el razonamiento heurístico no es “final ni estricto, sino solamente provisional y plausible” (Polya, 1988, pág. 113), su importancia radica en nuestra necesidad de lo provisional para llegar a lo definitivo. En este sentido, los métodos heurísticos funcionan de forma análoga a los andamios cuando se trata de construir un edificio: son indispensables, pero no son todavía la obra definitiva y terminada que necesita el matemático. Lo plausible nos pone en la senda de la solución, pero únicamente la certeza que proporcionan los métodos rigurosos y demostrativos es lo que finalmente sancionará si realmente se trata de la solución deseada o no. Basándose en la obra de Polya y otros autores, Stender (2018, págs. 316-317) distingue seis estrategias heurísticas: 1. Organizar el material/comprender el problema. 2. Utilizar de manera efectiva la memoria de trabajo. 3. Pensar en grande. 4. Usar lo que se sabe. 5. Aspectos funcionales. 6. Organizar el trabajo En la Tabla 1 se da una descripción de cada una de las estrategias heurísticas según Stender (2018): Tabla 1 Estrategias heurísticas según Stender. 6 UNIDAD 2 Unidad 2. Resolución de problemas en Educación Primaria. ESTRATEGIA HEURÍSTICA DESCRIPCIÓN ORGANIZAR EL Si es útil, cambiar la representación de la situación. MATERIAL/COMPRENDER EL Usar ensayo y error. PROBLEMA: Utilizar simulaciones con o sin ordenadores. Discretizar situaciones. Utilizar “supersignos” para combinar elementos complejos es una estrategia útil para UTILIZAR DE FORMA EFECTIVA optimizar el uso de la memoria de trabajo. “Usar supersignos significa reunir varios LA MEMORIA DE TRABAJO elementos para formar un nuevo elemento (el supersigno) con el propósito de usar la memoria de trabajo de forma más eficiente. La palabra "supersigno" proviene de la teoría de la información como "signo que representa varios signos", tal como un fragmento es un nuevo objeto que se basa en varios objetos individuales. Así, el nombre de un conjunto es un supersigno, pero también lo son un vector, una matriz, una función, una clase de equivalencia, etc. Las superesignos se usan en toda la matemática y, a menudo, durante la resolución de problemas, se usan como instrumentos muy potentes para estructurar una situación con el fin de organizar el material y reducir la carga de trabajo de la memoria operativa” (Stender, 2018, p. 317). Utilizar la simetría. “Usar la simetría reduce la complejidad de una situación y con frecuencia es una forma de hacerla accesible a una (primera) descripción matemática” (Stender, 2018, p. 317). Dividir el problema en subproblemas. Focalizarse en dividirlo en subproblemas “reduce la complejidad de una situación y reduce así la cantidad de elementos que un resolutor o modelador tiene que mantener en su memoria de trabajo en un momento dado” (Stender, 2018, pp. 317-318). PENSAR EN GRANDE No pensar dentro de límites superfluos o prescindibles. Generalizar la situación. Usar analogías de otros problemas. USAR LO QUE SE SABE Retrotraer los nuevos problemas a los problemas familiares. Combinar casos particulares para resolver el caso general. Usar algoritmos donde sea posible. Analizar casos especiales o casos extremos. ASPECTOS FUNCIONALES Para optimizar hay que variar la cantidad de entrada. Discretizar la situación. “La discretización es un método central en matemáticas que significa que una situación continua se traslada a su contrapartida discreta” (Stender, 2018, p. 318). ORGANIZAR EL TRABAJO Trabajar hacia atrás y hacia delante. Mantener el enfoque, cambiar el enfoque, ambas cosas en el momento correcto. Nota: Estrategias heurísticas. [Tabla] De Stender (2018). En cuanto a los procesos cognitivos más importantes vinculados con los métodos heurísticos, cabe mencionar los siguientes (ver Tabla 2): 1. Conjeturar/inferencia 2. Justificación/deducción 3. Generalización 4. Particularización Tabla 2 Procesos cognitivos clave del pensamiento heurístico. PROCESO COGNITIVO DESCRIPCIÓN  Conjeturar es una forma de razonamiento que lleva al descubrimiento de leyes CONJETURAR/ generales a partir de la observación de casos particulares. Se infiere así una proposición general a partir de casos concretos. INFERENCIA  Por eso al conjeturar se lo conoce también como razonamiento heurístico. Pues, a partir de la observación, se trata de descubrir la regularidad y la coherencia, al menos 7 UNIDAD 2 Unidad 2. Resolución de problemas en Educación Primaria. provisionalmente hasta que lo plausible se convierte en cierto.  El conjeturar se basa en la particularización, la generalización y el establecimiento de analogías.  Justificar una conjetura supone demostrar, mediante una serie de razonamientos lógicos, que la proposición es el resultado de una rigurosa cadena deductiva. Así es como una conjetura deja de ser tal conjetura para convertirse en un teorema. JUSTIFICACIÓN/  Es necesario justificar o “certificar” la verdad de las inferencias y las conjeturas DEDUCCIÓN establecidas. Para ser conocimiento, las conjeturas deben ser justificadas adecuadamente.  Formular una conjetura no es resolver todavía el problema, porque aún hace falta justificar que es la respuesta correcta.  Justificar una conjetura es descubrir una estructura subyacente o una relación que une los datos con la solución mediante una serie de razonamientos.  Generalizar es pasar de la consideración de un objeto a la consideración de un conjunto que contiene dicho objeto. O bien es pasar de un conjunto limitado de objetos a otro conjunto más amplio que contenga al primero. Por eso generalizar es buscar un planteamiento más amplio del problema, cambiando el contexto, los datos o la solución. GENERALIZACIÓN  Generalizar supone “relajar ciertas restricciones del problema y así llegar a un problema más universal” (Stender, 2018, p. 318).  Significa observar aspectos comunes en distintos casos particulares para formular conjeturas. O también descubrir una ley general que permita justificar una conjetura.  Generalizar un problema puede resultar útil para resolverlo cuando el problema es un caso particular de un problema más general conocido. Porque, paradójicamente, a veces un problema más general puede resolverse de forma más fácil que uno particular.  Particularizar es pasar de la consideración de un conjunto dado de objetos a la consideración de un conjunto más pequeño contenido en el conjunto dado o de solo un objeto de dicho conjunto. PARTICULARIZACIÓN  Particularizar consiste en concentrar la atención en ejemplos concretos para entender mejor el significado del problema. Así, al recurrir a casos concretos, puede progresarse bastante.  A menudo resulta útil particularizar para resolver un problema, por ejemplo, cuando nos encontramos atascados o en momentos de bloqueo.  Particularizar de forma sistemática prepara el camino a la generalización. Particularizar sistemáticamente conduce a descubrir un esquema general que da una idea de por qué el resultado es verdadero.  Particularizar hábilmente, eligiendo los ejemplos adecuados, permite comprobar si el esquema descubierto es o no el correcto. Nota: Procesos cognitivos clave del pensamiento heurístico. [Tabla] Basado en Polya (1988) y Mason, Burton y Stacey (1982). Existen muchos modelos de resolución de problemas matemáticos, tal como muestra la Tabla 3. Tabla 3. Modelos de resolución de problemas matemáticos. 8 UNIDAD 2 Unidad 2. Resolución de problemas en Educación Primaria. Nota: En el cuadro se indican las fechas de publicación original de los trabajos en que se dieron a conocer los modelos respectivos. No se incluye el modelo de Mason, Burton y Stacey ni el de Miguel de Guzmán. [Tabla] Juidías y Rodríguez (2007, p. 259). En lo que sigue, examinaremos con más detenimiento cuatro de esos modelos: el modelo de Polya, el modelo de Mason, Burton y Stacey, el modelo de Miguel de Guzmán y el modelo IDEAL. 3. El modelo de Polya George Polya (1887 em Hungría, 1985 en Estados Unidos) fue un matemático húngaro nacionalizado estadounidense que hizo contribuciones importantes en distintas ramas matemáticas, en heurística y en educación matemática. Estudió griego, latin, alemán y húngaro, y también leyes (estudios que abandonó). En Budapest realizó estudios de física y matemáticas. Entre sus obras relacionadas con la invención y la resolución de problemas caben destacar How to Solve it (1945), traducida al español con el título Cómo plantear y resolver problemas (1998), Mathematics and Plausible Reasoning (1954) y Mathematical Discovery (dos vols., 1962 y 1965). Polya no solo fue un matemático de primer orden que hizo aportaciones fundamentales en combinatoria, teoría de números, análisis y probabilidad, sino también un connotado 9 UNIDAD 2 Unidad 2. Resolución de problemas en Educación Primaria. educador. Tanto es así que en la tapa interior del anuario que el National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) dedicó en 1980 a la resolución de problemas en la matemática escolar se encuentra una reproducción del modelo de resolución de problemas en cuatro etapas de Polya. Si uno continúa leyendo encontrará que la gran mayoría de articulos se basa en las ideas de Polya sobre el pensamiento matemático. Un homenaje evidente que, unido a su cargo de presidente honorario del Cuarto Congreso Internacional de Educación Matemática (Berkeley, 1980), testifica la preeminencia de Polya como educador matemático. (Schoenfeld, 2000, pág. 234). Para Polya (Figura 1) los diez mandamientos del profesor son (De la Llave, 2011, pág. 17) Figura 1 Los diez mandamientos del profesor Polya ocupa un lugar muy destacado en el resurgimiento que experimentó la heurística a mediados del siglo XX, con la publicación en 1945 de How to Solve it (1945). En esta obra, Polya revela un rostro de las matemáticas que habitualmente permanece oculto y que tiene una importancia crucial en la enseñanza de las matemáticas. Cuando se estudian los métodos de resolución de problemas, vemos otra cara de las matemáticas. Sí, las matemáticas tienen dos caras: es la ciencia rigurosa de Euclides, pero es también algo más. Presentada en la forma euclidiana, las matemáticas aparecen como una ciencia sistemática y deductiva; pero las matemáticas en proceso de formación se muestran como una ciencia experimental e inductiva. Ambos aspectos son tan antiguos como la ciencia matemática misma. Pero el segundo aspecto es nuevo en un aspecto; las matemáticas in statu nascendi, en el proceso de ser inventada, nunca se habían presentado antes de esta forma al estudiante, o al profesor mismo, o al público general. (Polya, 1988, p. vii). 10 UNIDAD 2 Unidad 2. Resolución de problemas en Educación Primaria. El razonamiento heurístico, recalca Polya, aunque es, estrictamente hablando, poco riguroso, resulta un recurso sumamente útil para resolver un problema. Además, tiene la virtud, desde una perspectiva educativa, de que está vinculado con experiencias muy importantes para la formación intelectual del alumno. En efecto, cuando se resuelve cualquier problema, por modesto que sea, se puede experimentar la victoria que supone la superación de un reto usando la propia inventiva y sagacidad. Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solución de cualquier problema hay una pizca de descubrimiento. Aunque tu problema puede ser modesto, si desafía tu curiosidad y pone en juego tus facultades inventivas, y si lo resuelves por tus propios medios, puedes experimentar la tensión y disfrutar del triunfo del descubrimiento. Estas experiencias en una edad receptiva pueden producir afición por el trabajo mental y dejar una huella en la mente y el carácter para toda la vida. (Polya, 1998, p. v). Polya recalca, por ello, que el aprendizaje de las matemáticas debe ser algo activo, es decir, aprender matemáticas ha de consistir en hacer matemáticas, en lo cual juega un papel decisivo la resolución de problemas. “Las matemáticas —declara Polya (2011, p. xx) — no son un deporte para espectadores. Comprender matemáticas significa ser capaz de hacer matemáticas. Y ¿qué significa hacer matemáticas? En primer lugar, significa ser capaz de resolver problemas matemáticos”. How to solve it se divide en cuatro partes: 1) En el aula, 2) Cómo resolverlo, 3) Breve diccionario de heurística 4) Problemas, pistas, soluciones. Tabla 4 Partes del libro “How to solve it” PARTE DEL LIBRO DESCRIPCIÓN Y CONTENIDO Esta parte contiene 20 secciones. En ella Polya plantea cosas como las siguientes: EN EL AULA El profesor debe ayudar, pero ni tanto ni tan poco, de suerte que el alumno hagauna parte razonable del trabajo. Y, si el alumno no puede hacer mucho, el profesor debe dejarle al menos la ilusión de trabajo independiente, para lo cual debe ayudarle discretamente. El profesor debería ponerse en el lugar del estudiante, debería tratar de entender 11 UNIDAD 2 Unidad 2. Resolución de problemas en Educación Primaria. qué pasa en su mente y preguntarle o indicarle algún paso que podría habérsele ocurrido al propio alumno. CÓMO RESOLVERLO Es una especie de diálogo entre profesor y alumno. En concreto, un profesor un tanto idealizado responde preguntas breves de un alumno también idealizado. Contiene 67 articulos ordenados alfabéticamente. Un par de ejemplos: BREVE DICCIONARIO DE “Analogía es una forma de semejanza. Objetos similares concuerdan entre sí en algún respecto; HEURÍSTICA objetos análogos concuerdan en ciertas relaciones de sus respectivas partes”(Polya, 1988, p. 37). “Razonamiento heurístico es un razonamiento no considerado como final y estricto sino solo provisional y plausible, cuyo propósito es descubrir la solución del presente problema” (Polya, 1988, p. 113). En esta parte del libro Polya propone algunos problemas para lectores más ambiciosos que deseen PROBLEMAS, PISTAS, practicar. SOLUCIONES Los problemas no necesitan más conocimiento preliminar que el que el lector pudo haber adquirido en un buen currículo de educación secundaria. Las pistas proporcionan indicaciones que llevan al resultado. Las soluciones no solo traen la respuesta sino también el procedimiento que lleva a larespuesta. Nota: Partes del libro “How to solve it”*Tabla+. Polya (2011). El modelo de Polya se compone de cuatro fases: 1) Comprender el problema, 2) Concebir/diseñar un plan, 3) Ejecutar un plan y 4) Examinar y generalizar la solución obtenida (ver Tabla 5). En cada una de estas fases, Polya incluye una serie de pautas o sugerencias heurísticas que pretenden fijar la atención del estudiante en aspectos concretos del problema. Busca con ello sugerir ideas que permitan poner en marcha el proceso resolutor y avanzar hacia la solución del problema. No todas las pautas, eso sí, sirven para todos los problemas. Más bien constituyen un conjunto de posibilidades (una especie de “caja de herramientas”) entre las que hay que aprender a elegir las que mejor se adaptan a cada circunstancia concreta en la resolución de problema determinado. Polya pretende que la persona interiorice las pautas o sugerencias heurísticas, a fin de que posteriormente, con la práctica, se le ocurran de manera espontánea cuando está resolviendo un problema. El modelo destaca especialmente la importancia de la etapa de reflexión. Según Polya, la última etapa (Examinar y generalizar la solución obtenida) debería ocupar un lugar privilegiado en la educación matemática. Incluso los buenos estudiantes, cuando han alcanzado la solución del problema y han escrito pulcramente el argumento, cierran sus libros y buscan alguna otra cosa. Al hacerlo, omiten una fase importante e instructiva del trabajo. Volviendo la vista a la solución terminada, reconsiderando y reexaminando el resultado y el camino que ha 12 UNIDAD 2 Unidad 2. Resolución de problemas en Educación Primaria. llevado a ella, podrían consolidar su conocimiento y desarrollar su capacidad para resolver problemas. Un buen profesor debería comprender e inculcar a sus alumnos la idea de que ningún problema, cualquiera sea este, se agota completamente. Siempre queda algo que hacer; con suficiente estudio y penetración, podemos mejorar cualquier solución y, en todo caso, siempre podemos mejorar nuestra comprensión de la solución. (Polya, 1988, págs. 14-15). Tabla 5 Fases o etapas del modelo de resolución de problemas de Polya. 13 UNIDAD 2 Unidad 2. Resolución de problemas en Educación Primaria. FASE DESCRIPCIÓN GENERAL DESCRIPCIÓN DETALLADA PAUTAS O SUGERENCIAS HEURÍSTICAS Comprender el Lo primero es entender bien el  Comprender el problema implica saber cuáles es la incógnita,  ¿Entiendes lo que dice el problema? ¿Qué pide? problema problema. Hay que ver con cuáles los datos y cuáles las condiciones.  ¿Puedes explicarlo con tus propias palabras? claridad lo que se pide y ser  Ante todo, hay que entender el enunciado verbal del problema.  ¿Es posible satisfacer la condición? ¿Es la condición suficiente para capaz de distinguir la incógnita, Lo peor que puede pasar es que el alumno se ponga a hacer determinarla incógnita? ¿O es insuficiente? ¿O es redundante? ¿O losdatos y la condición. cálculos o construcciones sin haber comprendido el problema. es contradictoria? De ahí la importancia de una lectura atenta y comprensiva del  ¿Cuáles son los datos? enunciado.  ¿Qué queremos averiguar?  El alumno debe ser capaz de señalar las partes principales del  ¿Nos falta información? problema: la incógnita, los datos y la condición. Para ello suele  ¿Es el problema similar a algún problema que ya hemos ser útil trazar una figura e introducir una notación adecuada. solucionado?  Se necesita identificar las fuentes de información.  Hay que determinar qué preguntas hay que responder.  Codificación en lenguaje matemático. Concebir el Consiste en ver cómo están  Una vez comprendido el problema es necesario establecer los  ¿Has visto antes el problema? ¿Has visto el mismo problema conectados los diversos pasos que hay que seguir. en una formaligeramente diferente? problema elementos, cómo lo desconocido  Consiste en encontrar la conexión entre datos e incógnita.  ¿Conoces algún problema relacionado? ¿Conoces algún está vinculado con los datos, a fin  En caso de no poder encontrar una conexión inmediata, uno teorema que puedaresultar útil? de hacerse una idea de la puede verse obligado a considerar problemas auxiliares.  ¡Mira la incógnita! Y trata de pensar en un problema familiar solución y poder así diseñar un  Eventualmente, debería obtenerse un plan para alcanzar la que tenga lamisma incógnita o una similar. plan. solución.  He aquí un problema relacionado con el tuyo y resuelto  Tenemos un plan, afirma Polya (1988, p. 8), cuando conocemos anteriormente. o al menos conocemos a grandes rasgos qué cálculos y  ¿Podrías usarlo? ¿Podrías usar su resultado? ¿Podrías usar construcciones tenemos que realizar para obtener la incógnita. su método?  Utilizar las estrategias de resolución de problemas y las pautas o  ¿Habría que introducir algún elemento auxiliar para poder sugerencias heurísticas utilizarlo?  Es recomendable la expresión verbal del plan trazado. también  ¿Podrías replantear el problema? ¿Podrías replantearlo aún de se aconseja emplear diagramas de flujo. mododiferente?  Ensayo y error.  Vuelve a las definiciones.  Resolver paso a paso.  ¿Has usado todos los datos? ¿Has usado toda la condición?  Resolver un problema más sencillo. ¿Has tenido en cuenta todas las nociones esenciales  Buscar regularidades o patrones. involucradas en el problema? Ejecutar el Se intenta aplicar el plan  Poner en práctica el plan trazado anteriormente.  Implementar las estrategias escogidas para solucionarlo. concebido en la etapaanterior.  Hay que seguir escrupulosamente los pasos definidos hasta  Revisar cada paso. plan llegar a la solución.  Hay diferenciar entre ver y probar: ¿Puedes ver con claridad que el paso es correcto? Pero ¿puedes probar también que es 14 UNIDAD 2 Unidad 2. Resolución de problemas en Educación Primaria. correcto?  Concederse el tiempo que haga falta para resolver el problema.  Si es necesario, volver a empezar y organizar la información de otra forma. Examinar y Consiste en echar la vista atrás  Consiste en examinar la solución obtenida.  ¿Puedes revisar la solución? ¿Puedes revisar el argumento? para examinar el proceso seguido  Es una etapa reflexiva y evaluativa en la que se mira  ¿Puedes llegar al resultado de otro modo? ¿Puedes verlo de un generalizar la y la solución obtenida, a fin de retrospectivamente el proceso seguido. vistazo? aprender de la experiencia y  Hay que examinar la solución terminada, revisarla y  ¿Puedes usar el resultado o el método para otro problema? solución proceder, en lo posible, a discutirla, a fin de generalizarla.  ¿Es correcta la solución? generalizar los resultados.  La resolución de un problema no acaba cuando se obtiene un  ¿Puede haber otra solución? obtenida resultado numérico.  ¿Podemos comprobar la solución?  Es un análisis retrospectivo en que uno se plantea cuestiones  ¿Podemos generalizar el resultado? como:  ¿Tiene sentido la solución?  ¿Responde a las preguntas?  ¿Ha sido el mejor plan?  ¿Existía otro más eficiente? 15 UNIDAD 2 Unidad 2. Resolución de problemas en Educación Primaria. 4. El modelo de Mason, Burton y Stacey Mason, Burton y Stacey proponen su modelo de resolución de problemas en el libro Thinking Mathematically (traducido al español como Pensar matemáticamente, 1989), publicado originalmente en 1982 y cuya segunda edición data de 2010. Como casi todos los modelos, el de Mason, Burton y Stacey se basa en la obra de Polya y así lo reconocen expresamente los autores. Entre sus rasgos principales, cabe mencionar el hecho de que el modelo se caracteriza por analizar el pensamiento y la experiencia matemática en general, de modo que la resolución de problemas matemáticos se considera un caso particular de la resolución de problemas en general. El modelo también pretende mostrar la influencia que el desarrollo del razonamiento matemático tiene en el conocimiento de uno mismo y en el conocimiento del mundo circundante. Otro aspecto distintivo del modelo es el lugar que asigna a las emociones en la resolución de problemas, pues las considera elementos indispensables en el razonamiento matemático. De hecho, el modelo considera que el razonamiento matemático está motivado por una situación en la que hay contradicción, tensión y sorpresa en una atmósfera de preguntas, retos y reflexiones. El modelo destaca también por la valoración que hace de los estados de bloqueo. El bloqueo es para los autores una situación que forma parte esencial del proceso de mejora del razonamiento. En caso de estar atascado, es preciso aprender a reconocer cuándo se está bloqueado y aceptarlo con calma, sin juzgarse ni estresarse. Después de todo, como advierten Mason, Burton y Stacey (1982, p. 39), solo se aprende a desbloquearse estando atascado y aceptándolo. En este sentido, se valora más un intento de resolución fallido que un problema resuelto rápidamente, a la primera, sin dificultad. Esto se debe a que, para Mason, Burton y Stacey (1982), lo que importa no son tanto las respuestas sino más bien los procesos. Por ello, consideran conveniente llevar un registro por escrito de todo el desarrollo de resolución, a fin de poder recordar y reconstruir partes concretas del proceso. Por lo demás, como recalcan los autores, el registro escrito del proceso de resolución puede convertirse en un excelente recurso para superar el bloqueo, en caso de que el resolutor se encuentre en un momento dado sin saber qué hacer. Los autores presentan, asimismo, el proceso de resolución de problemas como un proceso mediante el cual uno se hace plenamente consciente de los mecanismos y actividades que ocurren en la mente a través de la figura de lo que denominan monitor interior. Las actividades de pensar pueden describirse como si hubiera dentro de ti un agente independiente que supervisa y monitoriza lo que estás haciendo. Este monitor actúa de forma muy parecida a un tutor personal que te observa y te hace preguntas 16 UNIDAD 2 Unidad 2. Resolución de problemas en Educación Primaria. pertinentes con la ventaja de que está al tanto de tus pensamientos y acciones (Mason, Burton y Stacey, 1982, pág. 116). La actividad de razonar es descrita, por tanto, como si hubiera un agente dentro de nosotros mismos que nos aconseja lo que tenemos que hacer. “Cuando estás bloqueado, e incluso cuando realmente no lo estás, lo que necesitas en un tutor que te haga una pregunta útil que te ponga en marcha otra vez” (Mason, Burton y Stacey, 1982, p. 115). El monitor interior actúa como un tutor que vigila los cálculos y los planes que hay que ejecutar, identifica los estados emocionales sugiriendo alternativas, examina críticamente los razonamientos y el proceso, y nos recuerda que hay que revisar y generalizar los resultados. En cuanto al modelo que proponen, Mason-Burton-Stacey lo presentan compuesto de tres fases: 1) Abordaje (the Entry phase), 2) Ataque (the Attack phase) y 3) Revisión (the Review phase). Estas fases se explican en la Tabla 6 Tabla 6 Fases del modelo de resolución de problemas de Mason, Burton y Stacey. 17 UNIDAD 2 Unidad 2. Resolución de problemas en Educación Primaria. FASE DESCRIPCIÓN DESCRIPCIÓN AMPLIADA PAUAS O SUGERENCIAS HEURÍSTICAS ABORDAJE (ENTRY) En esta fase se busca comprender e  Trabajar en esta fase prepara el terreno para un ataque efectivo y  Introducir un diagrama. interiorizar el problema, al tiempo que es, por tanto, esencial dedicarleel tiempo adecuado.  Construir una tabla. se representa y organiza la  Esta fase puede resumirse en el siguiente consejo respecto al  Leer con atención la pregunta. información. enunciado del problema: ¡Léelo realmente! Una lectura cuidadosa  Escribir lo que sepas. evita pasar por alto información y notar ambigüedades.  ¿Qué información no tienes que usar?  Tras leer cuidadosamente el problema, es útil estructurar el  Ser claro respecto a lo que unoquiere. trabajo de esta fase respondiendo alas siguientes preguntas:  Dividir lo que se quiere en trozos  ¿Qué es lo que sé? manejables.  ¿Qué es lo que quiero?  Particularizar.  ¿Qué es lo que puedo usar/introducir?  En cuanto a lo que hay que introducir, es útil distinguir entre notación, organización yrepresentación:  Notación: elegir aquello a lo que dar un nombre y qué nombre darle.  Organización: registrar y ordenar lo que uno sabe.  Representación: elegir los elementos que son más fáciles de manipular y sustituirlos por los elementos en el problema. El uso de una apropiada representación puede convertir un problema aparentemente difícil en uno fácil.  La fase se puede dar por terminada cuando la persona es capaz de representar y organizar la información mediante símbolos, diagramas, tablas o gráficos ATAQUE (ATTACK) Es esta una fase compleja en la que se  Es la fase más compleja, entre otras razones porque en ella es  Probar con muchos ejemplos. intenta resolver el problema, de modo donde se debe asociar y combinar toda la información de la fase  Buscar patrones y analogías. que termina cuando el problema se anterior. Y en ella es donde se hacen intervenir las distintas  Probar a cambiar el problema, abandona o se resuelve. Por ello, las estrategias heurísticas que permiten acercarse a la solución del ampliando su ámbito de alguna actividades matemáticas que se problema. manera. desarrollan en esta fase son complejas  Los estados específicamente asociados con esta fase son los de  Buscar conexiones estructurales. y variadas. atasco e iluminación (¡ajá!).  Particularizar de manera  Los procesos matemáticos fundamentales de esta fase son sistemática. conjeturar y justificar:  ¿Crees que se puede hacer? ¡Haz  Conjeturar: hacer conjeturas orientadas a alcanzar la solución del una conjetura! problema.  Comprobar las conjeturas usando  Justificar: confirmar o rechazar dichas conjeturas mediante varios ejemplos. ¿Has comprobado deducción basada en leyes lógicas y teoremas matemáticos. tu conjetura?  Ambos procesos, conjeturar y justificar, dependen, a su vez, de  Concentrarse en reconocer cuando 18 UNIDAD 2 Unidad 2. Resolución de problemas en Educación Primaria. la generalización y la particularización y, además, está conectados se está atascado o bloqueado y con estados emocionales. aceptarlo con calma, sin juzgarse ni  Durante la fase se pueden adoptar diferentes enfoques y se tensionarse. pueden formular y probar diversosplanes.  Examinar con cautela los  Cuando se está implementado un nuevo plan, el trabajo puede “momentos ajá”, aquellos estados progresar de forma rápida. en los que parece venírsenos de  Cuando se han probado todas las ideas, la fase puede golpe a la mente, como un destello caracterizarse por largos periodos aguardando una nueva de luz, la solución definitiva e ocurrencia o un nuevo enfoque. irrefutable del problema.  Comprobar las conjeturas también es importante en esta fase. De hecho, el proceso de comprobación a menudo conduce a mejores conjeturas. REVISIÓN (REVIEW) Esta fase se caracteriza básicamente  Ya sea que se alcance una solución razonablemente satisfactoria,  Es necesario comprobar la solución, los por dirigir la mirada hacia atrás para ya sea se esté a punto de abandonar, es esencial revisar el trabajo cálculos, el razonamiento. ¿Se puede comprobar la solución, reflexionar hecho. asegurar que los cálculos son sobre las ideas principales y los  La fase consiste en dirigir la vista atrás para observar qué ha apropiados? momentos clave del proceso de pasado con el fin de mejorar y ampliarlas habilidades intelectuales  Es preciso comprobar que la solución resolución del problema, y ampliar los y tratar de poner la solución en un contexto más general. corresponde al problema. ¿Se ajusta la resultados a un ámbito más extenso. solución a la pregunta que plantea el  La mejor forma de sacar partido a esta fase es escribir la resolución del problema para que otra persona la lea, de modo problema? que ese sujeto pueda observar qué se ha hecho y por qué. En la  Hay que reflexionar sobre las redacción de la solución, hay que dejar claro qué es lo que se ha consecuencias de las conjeturas y los efectuado y por qué. argumentos, así como sobre la resolución. ¿Podría haberse resuelto el  Por tanto, los elementos esenciales son: problema de forma más clara?  Revisar la solución obtenida.  Hay que ampliar el contexto del  Reflexionar sobre las ideas, los momentos clave, las resultado mediante generalización, conjeturas y la resolución. buscar nuevas formas de resolver el  Intentar generalizar los resultados en un contexto más problema y modificar los datos iniciales amplio. o las restricciones del problema. 19 UNIDAD 2 Unidad 2. Resolución de problemas en Educación Primaria. Subyacentes a todas las actividades descritas en las tres fases se encuentran los procesos cognitivos de particularización y generalización. Mediante la particularización se encuentra a) lo que sé, b) lo que quiero y c) lo que puedo introducir. Particularizar significa, según Mason, Burton y Stacey (1982, pág. 24), elegir ejemplos aleatoriamente para tener una idea de la pregunta; sistemáticamente para preparar el terreno a la generalización; y artificialmente para poner a prueba una generalización. Al particularizar, pueden aparecer patrones que conducen a la solución. Por su parte, generalizar significa, como exponen Mason, Burton y Stacey (1982, pág. 24), detectar un patrón que lleva a lo que parece probable que es cierto (una conjetura), a por qué es probable que es cierto (una justificación), adonde es probable que es cierto, es decir, a un escenario más general del problema (¡otro problema!). Gracias a la generalización se formulan conjeturas que pueden ser ulteriormente contrastadas mediante particularización. Se puede extender la cuestión a un contexto más amplio. Ahora bien, el movimiento de una fase a otra —del abordaje al ataque, en un sentido u otro, y del ataque a la revisión y viceversa— está determinado por los cambios en la percepción del problema y refleja el progreso hecho hasta el momento. El paso de una fase a otra, en un sentido u otro, depende de si se está atascado o no, o de si se tiene alguna buena idea. Para describir esos momentos los autores usan las expresiones “¡atascado!” (Stuck!) o “¡ajá!” (Aha!), que hacen referencia, respectivamente, a esos momentos en que uno se encuentra bloqueado y debe retroceder a la fase anterior o en que a uno se le ocurre súbitamente algo que parece dar con la clave para resolver el problema y que permite pasar a la fase siguiente (ver Figura 3). Figura 3 Esquema del modelo de Mason, Burton y Stacey 20 UNIDAD 2 Unidad 2. Resolución de problemas en Educación Primaria. La figura anterior ilustra y resume el carácter dinámico del modelo en acción. Pero también nos previene de la tentación de saltarse fases o de omitir algunas. En este sentido, aunque pueda parecer que, de las tres fases, la fase de ataque es la más importante, ya que abarca la mayor parte de la actividad obviamente matemática, se trata de un malentendido o de una visión superficial. En realidad, es todo lo contrario. La mayoría de la gente no consigue resolver problemas satisfactoriamente debido a una inadecuada atención a la entrada y la revisión. La fase de ataque solo puede verificarse si la cuestión ha sido abordada satisfactoriamente y si se ha dedicado tiempo en el pasado a aprender de la experiencia revisando momentos clave del pensamiento. (Mason, Burton y Stacey, 1982, págs. 26-27). Y aunque efectivamente el mayor esfuerzo para resolver un problema tiene lugar en la fase ataque, ya sea que se alcance la resolución completa, ya sea que el proceso termine en una resolución incompleta formada por conjeturas y preguntas sin responder, “la actividad no debería cesar hasta después de la fase final de revisión, durante la cual se chequea el trabajo, se reflexiona sobre los procesos y dificultades y, donde es posible, se amplía el problema y la resolución” (Mason, Burton y Stacey, 1982, pág. 27). 5. El modelo de Miguel de Guzmán Miguel de Guzmán Ozámiz (1936-2004) fue un destacado matemático español que realizó también valiosas contribuciones a la enseñanza de las matemáticas. Estudió ingeniería industrial en Bilbao y humanidades y filosofía en Alemania. Se licenció en matemáticas y filosofía en España. Se doctoró en matemáticas en la Universidad de Chicago. Fue profesor de Análisis Matemático tanto en la Universidad Complutense de Madrid como en la Universidad Autónoma de Madrid. En 2003, apoyó la creación de la Escuela Municipal de Pensamiento Matemático (Escuela de Pensamiento Matemático Miguel de Guzmán), junto con José María Martinez López de Letona. Miguel de Guzmán destaca sobre todo el valor formativo de las matemáticas. Según él, las matemáticas enseñan a pensar mejor, porque contribuyen a desarrollar estrategias de pensamiento útiles y valiosas en distintos ámbitos. La incorporación plena de estrategias de pensamiento matemático comporta una reestructuración del pensamiento altamente valiosa para su actividad general (pensar mejor). Muchas de las estrategias matemáticas pueden ser transferidas valiosamente para mejorar nuestro pensar sobre cualquier tema. Y esto se debe, según de Guzmán, a la naturaleza misma de la matemática. 21 UNIDAD 2 Unidad 2. Resolución de problemas en Educación Primaria. La matemática es, por su misma estructura, intensamente atenta al método de pensamiento, y se presta, como ningún otro campo, para poner de manifiesto la eficacia hacia sus propios fines, de las estrategias de pensamiento que se han ido elaborando a lo largo de sus 26 siglos de existencia como ciencia adulta. Con seguridad se pueden entresacar en otras ciencias y en otras actividades esquemas mentales modélicos que son específicos para el proceder eficaz en el campo correspondiente, pero posiblemente es en el terreno matemático donde el ejemplo será más claro y, en todo caso, es el único que yo conozco suficientemente. (De Guzmán, 2011, págs. 135-136). Pero qué entiende Miguel de Guzmán por estrategias de pensamiento. Son, según él, normas o modos de proceder que resultan de enorme ayuda a la hora de enfrentarse eficazmente a diversos tipos de problemas. En particular, “son formas de proceder que los más expertos tienen plenamente incorporadas como rutinas de eficacia bien comprobada, pero que no están tan presentes de modo connatural en los mecanismos de los no tan expertos” (de Guzmán, 2006, p. 93). Dichas estrategias se desprenden del sentido común y son utilizadas, conscientes o inconscientes, sobre todo por los expertos, quienes las tienen totalmente internalizadas como modos de pensar y actuar de manera casi automática. Las estrategias de pensamiento eficaces en el enfrentamiento con un problema son las formas de proceder, más o menos concretas, que reflejan el modo de actuar de los verdaderamente expertos en el campo de referencia, es decir, de aquellos que ordinariamente tienen éxito en el tratamiento de problemas semejantes (de Guzmán, 2011, pág. 95). Por lo tanto, las estrategias de pensamiento matemático representan una ayuda extraordinaria cuando se trata de capacitar a las personas para enfrentar con éxito problemas matemáticos y de otro tipo. Porque, como ya hemos señalado, familiarizarse con el pensamiento matemático ayuda, para Miguel de Guzmán, a pensar mejor en general. Como tendremos ocasión de comprobar, la familiarización con ciertas estrategias de pensamiento hasta incorporarlas plenamente en nuestro dinamismo mental comporta una reestructuración del pensamiento altamente valiosa para su actividad general. Existen, naturalmente, modos de pensar muy específicamente matemáticos. Pero muchas de las estrategias matemáticas que nos ocuparán admiten una transferencia bien valiosa para mejorar nuestro pensar alrededor de cualquier tema, como resultará claro en lo que sigue. (De Guzmán,2011, p. 136). 22 UNIDAD 2 Unidad 2. Resolución de problemas en Educación Primaria. Entre las características generales de la actuación de los expertos en la resolución de problemas Miguel de Guzmán (2011, págs. 95-96) subraya tener actitud inicial sana, contar con preparación adecuada para afrontar el problema, disponer de estrategias variadas para poder elegir entre ellas las que permitan tratar el problema de la forma más eficaz, tener cierta capacidad de incubación para poner en marcha los mecanismos subconscientes de la mente, prestar constantemente atención a la posible iluminación, inspiración o intuición, evaluar de forma juiciosa la situación del proceso de resolución de problemas a medida que se realiza a fin de distribuir correctamente el esfuerzo, y, por último, mostrar perseverancia y tenacidad en la resolución del objetivo que uno se proponga. En cuanto a su modelo de resolución de problemas, Miguel de Guzmán (2011) presenta un modelo en el que incluye procesos básicos tipicos del pensamiento matemático. Resulta interesante su puntualización de que muestra esos procesos de pensamiento ejemplificados en contextos mayoritariamente “libres de contenidos específicamente matemáticos, en muchas ocasiones en situaciones lúdicas que pueden afrontarse sin preparación ninguna” (de Guzmán, 2011, pág. 137). Asimismo, de Guzmán reconoce abiertamente su deuda con las ideas de Polya y admite, además, que su modelo coincide, en sus rasgos generales, con otros modelos más recientes, como los de Mason, Burton y Stacey, el de Schoenfeld, etc. Por último, el modelo que él propone consta de cuatro fases: familiarizarse con el problema, búsqueda de estrategias, llevar adelante la estrategia y revisar el proceso sacando consecuencias. Fases del modelo de resolución de problemas de Miguel de Guzmán. 1. Familiarizarse con el problema. Lo primero que hay que hacer, antes de empezar a trabajar en una determinada dirección, es familiarizarse con el problema.  Hay que tratar de comprender a fondo el enunciado y la situación.  Proceder con calma y tranquilidad, al ritmo de cada cual. El apresuramiento en esta fase no es un buen consejero.  Hay que juega con la situación, enmárcala, tratar de determinar el aire del problema, perderle el miedo.  Tener una idea clara de los datos que intervienen, de las relaciones entre ellos y de lo que se pide.  Ser capaz de describir el problema con nuestras propias palabras.  Jugar con la situación, enmarcarla, tratar de determinar el aire del problema, perderle el miedo. 2. Búsqueda de estrategias. Esta fase consiste en buscar y encontrar diferentes formas de abordar el problema para elaborar un plan de acción, sin llevarlo a cabo aún. 23 UNIDAD 2 Unidad 2. Resolución de problemas en Educación Primaria.  Es posible dar con varias estrategias si se procede con tino y sin prisas. Hay que encontrar distintas formas de abordar el problema.  Empezar por algún caso fácil.  Experimentar y buscar regularidades.  Construir esquemas, figuras y diagramas.  Escoger el lenguaje adecuado, una notación apropiada.  Buscar analogías, un problema semejante.  Utilizar la inducción.  Suponer el problema resuelto.  Suponer que el problema no es posible. 3. Llevar adelante la estrategia. Esta fase consiste en seleccionar y poner en práctica las mejores estrategias que hayan surgido en la etapa anterior, de modo que las que parezcan viables y más prometedoras deben llevarse adelante con determinación, orden y confianza.  En esta fase hay que aplicar las mejores ideas que a uno se le hayan ocurrido en la fase anterior.  Actuar con flexibilidad.  No arredrarse fácilmente ni tampoco empecinarse con una idea.  Actuar con flexibilidad: Si las cosas se complican demasiado, probablemente hay que explorar vías alternativas.  ¿Salió? ¿Seguro? Mirar a fondo la solución.  Seleccionar la estrategia que parece más viable y llevarla adelante con decisión, confianza, orden, tesón y sosiego.  Revisar la idoneidad de la estrategia elegida si no prospera.  Asegurarse de haber alcanzado la solución sin quedarse a medias. Apuntar ideas nuevas que puedan surgir sin desviarse del camino trazado. 4. Revisar el proceso y sacar consecuencias de él. Esta fase consiste en llevar a cabo una comprobación y revisión exhaustiva del proceso, seguido de extraer las consecuencias pertinentes y aprender reflexivamente de la experiencia de resolución de problema.  En esta fase es importante tener un buen protocolo del problema: tener escritos los datos, las ideas, los pasos, las conclusiones, los problemas...  Hay que comprobar si la estrategia era la adecuada, si se ha seguido correctamente y si la solución está de acuerdo con el problema.  En la revisión hay que hacerse preguntas como: ¿era adecuada la estrategia, se ha seguido correctamente, la solución está de acuerdo con el problema? 24 UNIDAD 2 Unidad 2. Resolución de problemas en Educación Primaria.  A la hora de sacar consecuencias conviene hacerse preguntas como: ¿hay otras formas de resolver el problema? ¿Se pueden generalizar las conclusiones? ¿Existen variaciones del problema? ¿Existen alternativas de resolución?  En cuanto a examinar a fondo el camino seguido, reflexionar sobre el propio proceso de pensamiento y sacar conclusiones para el futuro, conviene plantearse preguntas como: ¿de qué modo se ha llegado a la solución? ¿Por qué no se ha llegado a la solución? En este sentido, hay que tratar de entender no solo que la cosa funciona, sino por qué funciona. Mirar si se encuentra un camino más simple. Mirar hasta dónde llega el método. 6. El modelo IDEAL. En su libro Solución ideal de problemas. Guía para mejor pensar, aprender y crear (primera edición de 1984 y segunda edición de 1993), John Bransford y Barry Stein proponen un modelo de resolución de problemas que resumen con la sigla IDEAL, en la que cada letra hace referencia a un aspecto concreto del método y de la acción de pensar implicado en la resolución de problemas: I: Identificar problemas y oportunidades D: Definir metas y objetivos. E: Explorar posibles estrategias. A: Anticipar resultados y actuar. L: Revisar y aprender (Look back and Learn). El modelo IDEAL pretende ser un instrumento útil para mejorar la capacidad de resolver problemas o de tomar decisiones. Esto quiere decir, entre otras cosas, que para los autores se aprende a resolver problemas. De ahí la importancia de que en la escuela se trabaje adecuadamente la resolución de problemas. Al referirse a la heurística, la inventiva o el arte de resolver problemas, lo importante no es que unas personas sean más capaces de ello que otras, sino que a revolver problemas puede aprenderse. Y si no se aprende, es casi siempre porque no se enseña. En la escuela, por ejemplo, se nos enseña qué pensar, pero no cómo hace para pensar. Si así ocurre no es a causa de una colosal conjura para “ocultar al público común los secretos del arte de pensar y de la inventiva”. Lo que ocurre es, sencillamente, que muchos maestros y profesores no tienen conciencia de los procesos fundamentales que se aplican al resolver problemas, aun cuando ellos puedan estar 25 UNIDAD 2 Unidad 2. Resolución de problemas en Educación Primaria. inconscientemente sirviéndose de tales procesos. Por consiguiente, nunca se les ocurre formular explícitamente estos procesos y enseñarlos en la escuela. (Bransford y Stein, 1987, pág. 3). Ahora bien, cada una de las fases que componen el modelo está implicada en todo intento de resolver un problema. Sus fronteras son borrosas o difusas y conforman un ciclo que ha de atravesarse de manera flexible cuantas veces haga falta. El marco IDEAL es más útil cuando se aplica de modo flexible. Por ejemplo, puedes identificar un problema u oportunidad importante, definir tus metas, explorar estrategias, anticipar posibles resultados y darte cuenta de la necesidad de redefinir tus metas antes de actuar realmente según estrategias. En resumen, no siempre querrás recorrer los componentes de IDEAL en un orden fijo. Esto quedará más claro a medida que vayas adquiriendo experiencia en el uso de IDEAL. (Bransford y Stein, 1993, pp. 19-20). *…+ a menudo las personas necesitan recorrer el ciclo IDEAL con flexibilidad y repetirlo varias veces hasta llegar a una solución satisfactoria. Los resolutores creativos de problemas son especialmente propensos a ver un problema desde distintas perspectivas, es decir, a definir sus metas de muchas formas diferentes. (Bransford y Stein, 1993, p. 40). El modelo/método proporciona una guía para desarrollar nuestra capacidad de resolución de problemas de la vida cotidiana, dentro de los cuales los problemas matemáticos son considerados solo como un caso particular. En este sentido, según los autores, existe un problema siempre que la situación actual difiere de una situación o meta deseada, de modo que “hay una discrepancia entre un estado inicial y un estado objetivo, y no existe ninguna solución preparada o hecha de antemano para quien tiene que resolver el problema” (Bransford y Stein, 1993, pág. 7). Tabla 8 Fases del modelo IDEAL de resolución de problemas 26 UNIDAD 2 Unidad 2. Resolución de problemas en Educación Primaria. El primer componente del enfoque IDEAL es identificar problemas potenciales y tratarlos I = IDENTIFICAR LOS PROBLEMAS como oportunidades para hacer algo creativo. Cuando los problemas se tratan como oportunidades, el resultado suele ser una solución o una invención que, de lo contrario, no se hubiera encontrado. Alude al acto de identificar problemas potenciales. Busca animar a buscar problemas por su importancia. El segundo aspecto del enfoque IDEAL es definir cuidadosamente las metas en la situación problemática. D = DEFINIR LOS OBJETIVOS Tras identificar el problema, es necesario definir las metas u objetivos. Es diferente a identificar el problema: diferentes objetivos a menudo reflejan diferencias en cómo la gente entiende un problema. Consiste en definir y representar el problema con toda la precisión y cuidado que se pueda. Se trata de definir y formular el problema. Una cosa es la existencia de un problema y otra distinta es el modo en que debe ser definido. El tercer componente del enfoque IDEAL es explorar formas alternativas de abordar la solución de un problema. Los objetivos definidos conducen a explorar estrategias adecuadas a medida que uno vuelve a leer el problema en busca de información que puede ayudar a iluminar lo que aún no se entiende del todo bien. E = EXPLORAR POSIBLES Es preciso ser consciente de la importancia general de las estrategias y de aprender ESTRATEGIAS las estrategias específicas necesarias para el problema que se intenta resolver. Algunas estrategias de resolución de problemas son muy generales y se aplican a casi cualquier problema, mientras que otras son muy específicas y solo se aplican en circunstancias muy concretas. Es fundamental tomar conciencia de que para desarrollar habilidades efectivas para resolver problemas uno debe ser eficaz aprendiendo herramientas conceptuales relevantes. Con frecuencia implica volver a analizar los objetivos más la consideración de opciones o estrategias que pueden emplearse para alcanzar esos objetivos. Consiste en explorar distintas vías o métodos de resolución del problema. Requiere analizar cómo estamos reaccionando en ese momento ante el problema, además de examinar o considerar qué estrategias pueden usarse. Una vez que se ha seleccionado una estrategia, es importante anticipar posibles resultados y actuar según esa estrategia. A = ANTICIPAR RESULTADOS Y Anticipar posibles resultados puede servir para prevenir acciones de las que uno puede ACTUAR SEGÚN ESTRATEGIAS arrepentirse más adelante. Es importante actuar según estrategias para evaluar los resultados. A menudo es necesario proceder según nuestras estrategias antes de poder anticipar posibles resultados. Es habitual creer que una idea inicial tiene sentido y luego resulta desagradable 27 UNIDAD 2 Unidad 2. Resolución de problemas en Educación Primaria. sorprenderse por los obvios fallos que se ve después de que la idea se pone en práctica. Idealmente, muchos de estos fallos pueden descubrirse durante la fase de actuar y anticipar resultados más que después cuando puede producirse un daño real. La etapa final del modelo IDEAL es mirar los efectos reales de nuestra estrategia y aprender de la experiencia. L = MIRAR Y APRENDER Por obvio que parezca mencionar la sugerencia de mirar y aprender de las experiencias (LOOK AND LEARN) de resolución de problemas, vale la pena mencionarlo porque a menudo no se hace. Muchas veces los estudiantes ni miran ni aprenden de sus intentos de resolver problemas. Para aprender de la experiencia es necesario examinar en detalle el desempeño que uno ha tenido de la resolución de los problemas. Es preciso examinar los efectos de las acciones y decisiones que uno ha tomado. Es importante aprender de la experiencia porque uno aprende algo general que puede mejorarse en los siguientes intentos de resolver problemas. 28 UNIDAD 2 Unidad 2. Resolución de problemas en Educación Primaria. BIBLIOGRAFÍA Albarracín, L., Badillo, E., Giménez, J., Vanegas, Y. y Vilella, X. (2018). Aprender a enseñar matemáticas en la educación primaria. Madrid: Editorial Síntesis. Beltrán-Pellicer, P. (2017). Un equipo matemático para resolver problemas. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 6(1), 75-81. Block, D., Dávila, M., Martinez, P. y Ramírez, M. (2000). Usos de los problemas en la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. En L. C. Contreras y J. Carrillo (Eds.) (2000), Resolución de problemas en los albores del siglo XXI: una visión internacional desde múltiples perspectivas y niveles educativos (pp. 147-180). Huelva: Hergué Editorial. 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