Grado en Educación Primaria - Didáctica de las Matemáticas I (2024-2025) - PDF

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Facultad de Educación GRADO EN EDUCACIÓN PRIMARIA 1er Cuatrimestre/Curso 2024-2025 Asignatura: “Didáctica de las Matemáticas I” (6 créditos ECTS) Moisés G. Chamorro TEMA 1. PANORÁMICA ACTUAL DE LA GEOMETRÍA Y LA MEDIDA EN PRIMARIA  Facultad de Educación Tema 1. Panorámica actual de la Geometría y la Medida en Primaria Contenidos: 1. Reflexiones sobre la enseñanza de las matemáticas actual e implicaciones en la enseñanza-aprendizaje de la geometría y la medida. 2. La resolución de problemas y metodologías 3. Modelo de Van Hiele. Material elaborado por Lina Melo, con adaptaciones de Beatriz Ledesma  7 MINUTOS 1. Consigna: Los enunciados que se incluyen a continuación han sido tomados de libros de texto de primaria. Para cada uno de ellos: a) Resuelve los problemas propuestos. b) Indica los conceptos matemáticos que se ponen en juego en la solución. c) Clasifica los enunciados según el grado de dificultad que les atribuyes (fácil, intermedio, difícil). d) ¿Piensas que los enunciados son suficientemente precisos y comprensibles para los alumnos de primaria? Propón un enunciado alternativo para aquellos ejercicios que no te parezcan suficientemente claros para los alumnos.  Actividad 1 Repite esta plantilla seis veces y colorea en cada caso a) Un triángulo equilátero b) Un triángulo isósceles c) Un triángulo escaleno d) Un trapecio e) Un rectángulo f) Un rombo  Actividad 2 Escribe en qué se parecen y en qué se diferencia estos dos polígonos: El cuadrado es un caso particular de rectángulo, ya que cumple con la definición de rectángulo de ser un cuadrilátero (polígono de cuatro lados) cuyos ángulos son rectos (de 90°). El hecho de que sus lados sean paralelos dos a dos (es un paralelogramo) es una consecuencia. De hecho, el cuadrado es un rectángulo con lados contiguos congruentes. https://www.youtube.com/watch?v=sFY9QijXpE4 La DIDÁCTICA de la MATEMÁTICA es una disciplina científica cuyo objeto de estudio es la relación entre los saberes, la Francia: Escuela francesa enseñanza y el aprendizaje de de la Didáctica de las los contenidos propios de la Matemáticas matemática (1970) Ruiz (2006) CUADERNOS DE INVESTIGACIÓN Y FORMACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA, Año 1, Número 2  La DIDÁCTICA de la MATEMÁTICA es una disciplina científica cuyo objeto de estudio es la Finalidad: relación entre los saberes, la enseñanza y el aprendizaje de Mejorar el aprendizaje los contenidos propios de la Buscar estrategias matemática Interacción y comunicación IDENTIFICA EXPLICA RESUELVE Fenómenos Problemas Utiliza muchos métodos y teorías importadas de la Psicología, Antropología, Ergonomía, Sociología, Ciencias políticas…  Geometría “medida de la tierra” Mundo de las FORMAS La geometría se ocupa de una Geometría necesaria para: clase especial de objetos que - Orientarse reflexivamente en el espacio designamos con palabras como, - Hacer estimaciones sobre formas y punto, recta, plano, triángulo, distancias polígono, poliedro, etc. - Hacer apreciaciones y cálculos relativos a la distribución de objetos en el espacio Geometría en la Naturaleza Geometría en la Naturaleza  ¿Dónde pensáis que se utiliza la geometría? - Construcción de viviendas, monumentos, edificios… - Profesiones: matemáticos, arquitectos, ingenieros,… - Juegos: billar, parchís, ajedrez… - Deportes: baloncesto, tenis,… - Diseño - Inteligencia Artificial ¿¿?? - Modelizar la realidad en ideas abstractas - Materializar ideas en la realidad (miprofeclases.org)  ¿Hay solo una Geometría? RIEMANN (diferencial) EUCLÍDEA DISCRETA FINITA ELÍPTICA e HIPERBÓLICA FRACTAL Y muchas más… REFLEXIONEMOS ANTES DE SEGUIR: ¿Qué conocimientos consideras que tiene que tener un futuro maestro para dar clases de matemáticas en Primaria? 1_“Conocimientos básicos sobre las matemáticas (cálculo, aritmética, razonamiento…); Conocimientos sobre la didáctica (qué y cómo enseñar); conocimiento de la atención psicoeducativa a la diversidad” 2_“Mayores que los que establece el currículo” 3_“Habilidades para impartirlos” 4_“Debe tener los conocimientos básicos que tiene sus alumnos y algo más, que le permita responder a las preguntas que le hagan sus alumnos” El maestro tiene que transmitir la conexión que hay entre su vida ordinaria y la asignatura estudiada. La Geometría hay que entenderla desde pequeños como una realidad útil y perceptible en nuestro entorno ordinario.  Desarrollo del CONOCIMIENTO DIDÁCTICO DEL CONTENIDO desde tres Grandes Esferas Experiencias de 1. Fuentes de conocimiento Formación Aprendizaje del profesor Docente 2. Conocimiento sobre la enseñanza Conocimiento Específico Conocimiento de la Disciplina Pedagógico influye 3. Orientaciones influye sobre Conocimiento del la enseñanza Conocimiento de Currículo las Estrategias de Instrucción CDC Conocimiento conocimiento necesario para Conocimiento de de la Evaluación transformar el contenido en formas más comprensibles para los aprendices los Estudiantes influye Conocimiento del Contexto Experiencia 1. Fuentes de conocimiento Friedrichsen et al. (2009) Docente del profesor  Teorías complementarias que analizan el aprendizaje de la Geometría Piaget: Conservación de Énfasis en la comprensión de magnitudes/ Asimilación y la Geometría acomodación. (Van Hiele, 1957) Constructivismos. (Jaime y Gutiérrez, 1990; Jaime, 1993) Resolución de Problemas Características de la E/A de la Geometría en las últimas décadas ( Barrantes, 2004) Excesiva tendencia a la memorización de conceptos y propiedades que muchas veces se basaban en otros conceptos anteriores. Resolución automática de problemas en la que se trataban aspectos aritméticos más que geométricos. Exclusión de la intuición, demasiado pronto, como acceso al conocimiento geométrico. Como consecuencia, se presentan grandes dificultades de comprensión de los conceptos por parte de los alumnos y un fuerte desánimo en el profesor.  Objetivos de la Didáctica de las Matemáticas Los alumnos deben ser capaces de: Aprender a valorar las Matemáticas Sentirse seguros de su capacidad de hacer Matemáticas Llegar a resolver problemas matemáticos Aprender a comunicarse mediante las Matemáticas Aprender a razonar matemáticamente  Modelos de intervención Didácticos Modelo por Transmisión/Recepción Enseñanza tradicional: se basa en lecciones magistrales donde los alumnos son considerados como páginas en blanco que el profesor llena con conocimientos que solo él posee, considerados como verdaderos, y que se van acumulando uno tras otro en la cabeza del alumno por memorización. Se evita el debate. Modelo por Descubrimiento Basado en el empirismo. Se enfatiza el papel de la experiencia y evidencia. Se anima al alumno a relacionar conceptos, buscar conocimientos y asimilar esa información, incorporándola de ese modo a sus aprendizajes previos. (Bruner, 2002) Modelo Constructivista Construcción del conocimiento a partir de lo que ya se sabe: desecha la idea de acumulación y defiende la integración, modificación, relación y coordinación de conocimientos. El alumno es el principal protagonista y el que va “construyendo” sus conocimientos.. Lectura recomendada: Linaza (2002)  Tipos de Enseñanza/Aprendizaje Tradicional Alternativa Los métodos utilizados son en su mayor Se utilizan métodos con un carácter más parte autoritarios y con fin directivo dinámico  fomento de la participación El maestro es el elemento central y El proceso de enseñanza tiene como condición del éxito en la educación elemento central al alumno La relación profesor-alumno es una La relación profesor-alumno es distante y relación de amistad ** y compañerismo reglada por la obediencia que el alumno  profesor es un apoyo para el alumno. debe prestar al profesor. ** Se tienen en cuenta las características El sistema no se adapta a las de cada alumno para poder apoyarlos en características de cada alumno lo que se pueda  Visualización de las Matemáticas según el tipo de E/A Tradicional Alternativa Las Matemáticas son un Las Matemáticas son una objeto muy definido con unas forma de pensamiento abierta fórmulas y leyes concretas con margen a la creatividad, que hay que dominar. respetando el ritmo y la autonomía de cada persona.  ¿Qué opinas de la geometría en Primaria? Describe cómo eran tus clases típicas de matemáticas y cómo repercutían en tu aprendizaje (Incluye todos los procesos y acontecimientos que recuerdes desde que entrabas a tus clases hasta que eras evaluado). La resolución de problemas y metodologías Actividad 2: Estimaciones 5 MINUTOS Actividad 2: Estimaciones Actividad 2: Estimaciones Estima la longitud de los tirantes del Puente Real señalados en color rojo. Utiliza la unidad de medida que considere más adecuada. Describe paso a paso el proceso que has seguido para llegar al resultado Ejercicio VS Problema  Ejercicio VS Problema Características de los Ejercicios Características de los Problemas Se ve claramente qué hay que hacer. Supone un reto. La finalidad es la aplicación mecánica de La finalidad es ahondar en los conocimientos y algoritmos para entrenar un procedimiento experiencias, para rescatar aquellos que son útiles para llegar a la solución esperada. Se resuelve en un tiempo relativamente Requiere más tiempo para su resolución. corto. No se establecen lazos especiales entre el La persona que se implica en la resolución lo ejercicio y la persona que lo resuelve. hace emocionalmente. Generalmente tienen una sola solución. Pueden tener una o más soluciones y las vías para llegar a ellas pueden ser variadas. Son muy numerosos en los libros de texto. Suelen ser escasos en los libros de texto.  Otras características Ejercicios Problemas  De un vistazo sabes lo que piden  Necesario leerlos con atención  Tareas perfectamente definidas  Cuestiones más abiertas  Objetivo: aplicar de forma más o  Objetivo: organizar y relacionar menos mecánica procedimientos conocimientos  actitud mental y técnicas generales previamente positiva, abierta y creativa. ensayados en clase o casa. Si se desea envasar 12 l de agua en botellas de ¾ l, ¿cuántas botellas son necesarias? Investigación Conseguir información para comprobar, corregir o ampliar el conocimiento. Referentes para proponer problemas Contexto para formular la tarea.(real, ficticio,…) Formatos en los que los proponemos. Fuentes de donde obtendremos los datos y situaciones. Tipo de acción que propondremos a los estudiantes para resolverla. (Aplicar, Razonar, Calcular, Medir, Clasificar/Ordenar, Representar) Tipo de respuesta: dependerá de la naturaleza de la actividad propuesta Contenido (Aritmética, Geometría, Medida, Probabilidad Referentes para proponer problemas Contextos para formular la tarea Puede reflejar una situación real, ficticia o lúdica con el que queremos darle sentido y/o aplicar los conceptos o procesos matemáticos. Trabajar las medidas de superficies rectangulares * Calcular el área de un aula sabiendo que tiene 7 metros de ancho y 11 metros de profundidad  Problema en un contexto realístico * Calcular el área de un rectángulo que tiene 7 metros de base y 11 metros de altura  Problema en un contexto matemático. Problemas en contexto no matemático Cercanía al alumno Real Autenticidad, Verosímiles, Ficticia Realista No Alto grado matemáticos Fantástico Bajo grado Manipulativo Motivación, desarrollo cognitivo  PROBLEMAS EN CONTEXTO FANTÁSTICO Contiene elementos que no se encuentran en el mundo real Grado de fantasía bajo: implican un mundo casi real que contiene aspectos o situaciones inexplicables o poco racionales: (en un supermercado los juguetes cobran vida). Grado de fantasía alto: implican un mundo secundario que incluye personajes o criaturas míticas o imaginarias (problemas propios del mundo de Bob Esponja) ¿Este problema es real o realístico? A la hora de abrir el quiosco, Carmen tiene la duda de cuánto abrir las puertas, pues no sabe en qué ángulo sería más conveniente para que se vean todos los periódicos, revistas, etc. y a la vez las tenga bien vigiladas. ¿Las abrirías en un ángulo recto? ¿Cuánta amplitud sería más conveniente que tuvieran las puertas del quiosco? Marco ayuda a su madre en bar y se dispone a ordenar la vajilla limpia mientras ella hace los pinchos. Hay tres tipos de vasos para colocar: Caña Tubo Sidra 6.5 cm 5 cm 10 cm Hay tres estanterías de 100x40 cm donde colocar los vasos, una para cada tipo de vaso. Marco tiene que calcular cuántos vasos puede colocar en cada estantería. Calcula la superficie de esta parcela. La mitad se planta de tomates, una cuarta parte lechugas y el resto de alcachofas. ¿Qué superficie ocupa cada cultivo? 27 m 14 m 11 m 6m 10 m  PROBLEMAS ABIERTOS Si te diesen 1.000.000 de euros para gastar en una semana ¿Cómo lo harías? ¿Cómo diseñarías la habitación de tu casa? Son muchas las situaciones escolares y personales de los alumnos que pueden ser referente para plantear y resolver problemas utilizando las matemáticas escolares. Las excursiones o salidas escolares que realizan los niños que en muchos casos llevan aparejado gastos y desplazamientos, referencias a las zonas donde habitan (población, extensión, distancias) y el uso de los móviles o de las actividades de fin de semana, son algunos de los referentes que surgen de manera inmediata.  Metodología de laboratorio. Lema : “APRENDER HACIENDO” El alumno participa activamente en la construcción de su propio conocimiento e interioriza lo aprendido desde el exterior mediante todos o algunos sentidos conjuntamente. Relaciona lo aprendido con lo conocido para avanzar en su aprendizaje significativo  Metodología de laboratorio Mientras que en la Resolución de Problemas queremos desarrollar habilidades y procesos. En la Metodología de Laboratorio ponemos el acento en la formación de los conceptos. Estos aspectos van íntimamente ligados: el desarrollo de habilidades y procesos produce una formación sólida de conceptos y viceversa, es por lo que, estas metodologías son complementarias y deben ser tratadas simultáneamente. El uso de material manipulativo, juega un papel fundamental en el aprendizaje de las matemáticas. Su adecuada utilización constituye una importante base de adquisición de conceptos, relaciones y métodos matemáticos que posibilita un aprendizaje activo de acuerdo a la evolución intelectual del participante.  Para tener en cuenta… El trabajo se hace en grupos Presentación del trabajo o actividad a realizar Búsqueda del material adecuado Desarrollo de la actividad Exposición de los descubrimientos realizados. NO ES RECOMENDABLE Demasiada sofisticación del material. Poca cantidad de material hace que el alumno apenas lo manipule y no aprenda nada.  Metodología de laboratorio Hay dos etapas: Experimentación creativa e inventiva , cuando se está explorando, analizando y desarrollando las ideas matemáticas Reflexión se extraen conclusiones o se analizan las ideas de forma oral o mediante un texto resumen  Actividad 3: Doblando cuadrados Si en un cuadrado de papel, mediante doblado, se marcan los puntos medios de los lados (x) y se hacen las dobleces indicadas en la figura se obtiene un cuadrado central ¿Cuál es su superficie? 7. MINUTOS Recorta el cuadrado por las líneas discontinuas con lo que se consiguen nueve piezas: un cuadrado, cuatro triángulos y cuatro trapecios. Reordena los triángulos y trapecios dos a dos y forman cuatro cuadrados de las mismas dimensiones que la pieza cuadrada central El modelo de van Hiele  Modelo de van Hiele DESCRIPTIVO INSTRUCTIVO Niveles de Fases de Razonamiento Aprendizaje  Características del Modelo de Van Hiele RAZONAMIENTO Basado en NO en la edad PENSAMIENTO 1 Existen diferentes niveles de razonamiento en los estudiantes. Los alumnos sólo podrán comprender aquellas cuestiones matemáticas que se presenten de acuerdo a su nivel de 2 razonamiento. Mediante una enseñanza adecuada se puede ayudar a los alumnos para que lleguen, en un breve plazo, a razonar de una determinada 3 manera. Elementos clave El lenguaje  adecuado al público que se tenga El significado de los contenidos  tener en cuenta el nivel de razonamiento  Características del Modelo de Van Hiele PARTICULAR: Cada nivel supone una forma de comprensión, un modo de pensamiento particular, de manera que un estudiante solo puede comprender y razonar sobre los conceptos matemáticos adecuados a su nivel de razonamiento SECUENCIAL. Una persona debe recorrer los niveles en orden. Para tener éxito en un nivel el estudiante tiene que haber adquirido las estrategias de los niveles precedentes. PROGRESIVO. El progreso de un nivel a otro depende más del contenido y métodos de instrucción que de la edad. INTRÍNSECO Y EXTRÍNSECO (explícito/implícito). Los objetos implícitos)en un nivel pasan a ser objetos explícitos en el nivel siguiente. LINGÜÍSTICO. Cada nivel tiene sus propios símbolos lingüísticos y sus propios sistemas de relaciones entre símbolos. DESAJUSTE. Si el profesor, los materiales empleados, el contenido, el vocabulario, etc. están en un nivel superior al del estudiante, este no será capaz de comprender lo que se le presente y no progresará.“ (Sanz, I., 2001, 120). Niveles del Modelo de Van Hiele Nivel 5: Rigor Nivel 4: Deducción formal Nivel 3: Deducción informal Nivel 2: Análisis Nivel 1: Visualización  Van Hiele propone cinco Van Hiele propone cinco niveles de razonamiento fases de aprendizaje  Nivel 1: Reconocimiento o Visualización.  Fase 1: Información  Nivel 2: Análisis.  Fase 2: Orientación dirigida  Nivel 3: De clasificación o de Deducción informal  Fase 3: Explicitación  Nivel 4: Deducción Formal  Fase 4: Orientación libre  Nivel 5: Razonamiento  Fase 5: Integración rigurosamente deductivo. (Rigor) Los niveles ayudan a secuenciar los contenidos y las fases a organizar las actividades que podemos diseñar en las unidades didácticas.  Nivel 1 Reconocimiento o Visualización Nivel 1 : reconocimiento o visualización Percepción global e individual de las figuras Uso de propiedades imprecisas para identificar, comparar, ordenar, o caracterizar figuras. Aprendizaje de un vocabulario matemático básico acompañado de otros términos de uso común. Elementos del entorno; ej: la ventana de clase es un rectángulo No se suelen reconocer explícitamente las partes que componer las figuras ni sus propiedades matemáticas. Nivel 1 : reconocimiento o visualización El alumno aprende algo de vocabulario, identifica diferentes figuras y reproduce una figura dada. Por ejemplo, un estudiante reconocerá el dibujo de un rectángulo pero quizás no sea consciente de muchas propiedades de los rectángulos.  Características actividades Nivel 1 Actividades de clasificación, identificación y descripción de formas variadas. Uso de modelos físicos que puedan ser manipulados. Ejemplos de una variedad de formas diferentes con objeto de que las características irrelevantes no se perciban como importantes. Proporcionar oportunidades para que los alumnos construyan, dibujen, compongan o descompongan formas diversas. Características actividades Nivel 1 Una persona que funciona a este nivel puede: Aprender vocabulario geométrico Identificar formas especificadas Reproducir una figura dada Ejemplos 1. Dados varios cuadriláteros , los alumnos pueden reconocer si hay cuadrados y rectángulos, porque son similares en sus formas a cuadrados y rectángulos con los que se ha encontrado previamente 2. Dado un geoplano o un papel, podrían copiar las superficies 3. No reconocerían que las figuras tienen ángulos rectos o que los lados opuestos son paralelos. 75 Un ejemplo de actividades a desarrollar en este nivel: Se limitan a la descripción del aspecto físico de las figuras, sin entrar en otras relaciones de semejanzas y diferencias que puedan existir entre ellas. sobre las propiedades que distinguen un rombo de un rectángulo, podrán hablarnos de “el rectángulo es más largo”, "el rombo es más picudo”, etc Las actividades propias de este nivel son las de manipular, colorear y construir formas geométricas para identificar una forma o relación geométrica entre un conjunto de figuras. Es decir, actividades que se puedan resolver manipulando, midiendo, contando… Nivel 2 Análisis  Nivel 2: análisis Los objetos de pensamiento del nivel 2 son clases de formas en lugar de formas individuales. Las características irrelevantes como el tamaño o la forma pasan a un segundo plano. Los estudiantes comienzan a darse cuenta que una colección de formas pertenecen a la misma clase debido a sus propiedades. No pueden ver relaciones de inclusión. Los productos de pensamiento de este nivel son las propiedades de las formas. Las relaciones entre propiedades aún no pueden ser explicadas. No se ven las interrelaciones entre las figuras. No se entienden las definiciones (se memorizan y recitan) Nivel 2: análisis A través de la observación, medición, corte o doblaje y la experimentación los estudiantes empiezan a discernir las características de las figuras. La demostración de una propiedad se realiza mediante su comprobación en uno o pocos casos. Las propiedades que surgen se usan para clasificar formas. Ninguna propiedad implica cualquier otra. Las figuras se reconocen mediante sus partes. Características de las actividades de Nivel 2 Comenzar a centrar la atención más sobre las propiedades de las figuras que en la simple identificación. Definir, medir, observar y cambiar las propiedades con el uso de modelos concretos. Resolver problemas en los que las propiedades de las formas sean aspectos importantes a tener en cuenta. Seguir utilizando modelos concretos, como en las actividades del nivel 1, pero usando modelos que permitan la exploración de diversas propiedades de las figuras. Clasificar figuras usando las propiedades de las formas como también sus nombres. Por ejemplo, encontrar propiedades de los triángulos que hagan que unos sean similares y otros diferentes. Un ejemplo de actividades a desarrollar en este nivel: Busca los paralelogramos y "colorea" los ángulos iguales ¿Qué puedes decir?  Actividad (Nivel 2) Semejanzas y diferencias entre : Un cuadrado y un rectángulo Un cuadrado y un rombo  Nivel 3 Clasificación o deducción informal  Nivel 3: deducción informal El alumno es capaz de identificar y describir las figuras por sus propiedades. Se pueden: 1. establecer las interrelaciones en las figuras y entre figuras 2. deducir propiedades de una figura y reconocer clases de figuras Las definiciones adquieren significado. Las actividades de este nivel deben proceder de manipulaciones para llegar a establecer relaciones empíricas, basadas en la experiencia, con un cierto razonamiento lógico informal para deducir las propiedades. Ejemplos 1. En un cuadrilátero, para que los lados opuestos sean paralelos, es necesario que los ángulos opuestos sean iguales 2. Un cuadrado es un rectángulo porque tienen todas sus propiedades Nivel 3: deducción informal Los objetos de pensamiento del nivel 2 son las propiedades de las formas. A medida que son capaces de pensar sobre propiedades de objetos geométricos (sin las restricciones de un objeto en particular) son capaces de desarrollar relaciones entre esas propiedades. Aparece el razonamiento “si … entonces …” Demostraciones más intuitivas que rigurosamente deductivas. Los productos de pensamiento del nivel 2 son relaciones entre propiedades de los objetos geométricos.  10 Inténtalo… MINUTOS Para ello podemos recortar el triángulo, recortar los ángulos b y c y sobreponerlos encima de a. O recortamos los tres ángulos y los superponemos. Sanz, I. (2001). Matemáticas y su Didáctica II. Geometría y medida. Serv. Ed. Universidad del País Vasco. 117 - 128 Sanz, I. (2001). Matemáticas y su Didáctica II. Geometría y medida. Serv. Ed. Universidad del País Vasco. 117 - 128 Características actividades del Nivel 3 Continuar usando propiedades de los modelos, pero con la atención puesta en la definición de las propiedades. Hacer lista de propiedades y discutir qué propiedades son necesarias y cuáles son condiciones suficientes para una forma o concepto específico. Comenzar a usar un lenguaje de naturaleza deductiva aunque informal: todos, algunos, ninguno, si… entonces,… Investigar la validez de la inversión de ciertas relaciones. Usar modelos y dibujos como herramientas con las que pensar, y comenzar a buscar generalizaciones y contraejemplos. Estimular la formulación y demostración de algunas hipótesis. Actividades de Nivel 3  En su libro de Geometría, José responde a las preguntas ¿cuales figuras son rectángulos?, ¿cuáles figuras son triángulos?, de la siguiente forma. Con la información de las respuestas de José, ¿en cuál nivel del modelo Van Hiele podríamos clasificar su desarrollo? Selecciona la opción que responde a la pregunta. a) En el nivel 1. José distingue que la segunda y la tercera figura de cada recuadro tienen diferente posición, a partir de la primera. b) En el nivel 1. José percibe individualmente cada figura, es decir, las formas son físicamente diferentes para él. c) En el nivel 2. José es capaz de identificar que el rectángulo tiene lados opuestos iguales y que el triángulo tiene tres lados.es decir, las formas son físicamente diferentes para él.  Nivel 4 Deducción formal  Nivel 4: Deducción formal Se realizan deducciones y demostraciones lógicas y formales, al reconocer su necesidad para justificar las proposiciones planteadas. Se comprende y maneja las relaciones entre propiedades y se formaliza en sistemas axiomáticos, por lo que ya entiende la naturaleza axiomática de las Matemáticas. Se comprende cómo se puede llegar a los mismos resultados partiendo de proposiciones o premisas distintas, lo que le permite entender que se puedan realizar distintas demostraciones para obtener un mismo resultado. Al tener un alto grado de razonamiento lógico, se obtiene una visión globalizadora de las Matemáticas. Se pueden desarrollar secuencias de proposiciones para deducir una propiedad de otra y se percibe la posibilidad de una prueba, sin embargo, no se reconoce la necesidad del rigor en los razonamientos.  Nivel 5 Razonamiento rigurosamente deductivo. (Rigor)  Nivel 5: Rigor El individuo está capacitado para analizar el grado de rigor de varios sistemas deductivos y compararlos entre sí. Puede apreciar la consistencia, independencia y completitud de los axiomas de los fundamentos de la geometría. Capta la geometría en forma abstracta. Este último nivel, por su alto grado de abstracción, debe ser considerado en una categoría aparte, tal como lo sugieren estudios sobre el tema. Alsina, Fortuny y Pérez (1997) y Gutiérrez y Jaime (1991) afirman que solo se desarrolla en estudiantes de la Universidad, con una buena capacidad y preparación en geometría. Fases de aprendizaje de van Hiele  Van Hiele propone cinco Van Hiele propone cinco niveles de razonamiento fases de aprendizaje  Nivel 1: Reconocimiento o Visualización.  Fase 1: Información  Nivel 2: Análisis.  Fase 2: Orientación dirigida  Nivel 3: De clasificación o de Deducción informal  Fase 3: Explicitación  Nivel 4: Deducción Formal  Fase 4: Orientación libre  Nivel 5: Razonamiento  Fase 5: Integración rigurosamente deductivo. (Rigor)  ¿Qué diferencia hay entre niveles y fases? Las fases guían al docente en Los niveles explican cómo se el diseño y organización de las produce la evolución del experiencias de aprendizaje razonamiento geométrico de adecuadas para el progreso del los estudiantes. estudiante en su paso de un Los niveles de razonamiento se nivel a otro. adquieren a lo largo de la vida Las fases no son exclusivas de de estudiante. un nivel. Por cada uno de los niveles se Por las 5 fases se pasa por cada pasa una vez en la vida. aprendizaje de geometría. Fase 1: Información Toma de contacto con el nuevo tema objeto de estudio Identificación de conocimientos previos  se puede realizar mediante un test o preguntas individuales. Se presentan a los estudiantes situaciones de aprendizaje dando el vocabulario y las observaciones necesarias para el trabajo, permitiendo la familiarización con el material propuesto “El factor más importante que influye en el aprendizaje es lo que el alumno/a sabe. Averígüese esto y enséñese en consecuencia (Ausubel, 1978)” Actividades para los alumnos para un Nivel 2. Fase 1. Información Tarea 1: Observa detenidamente cada una de las siguientes figuras. Indica aquellas que no son polígonos. Justifícalo en cada caso.  Al comienzo, el profesor y el alumno charlan y hacen actividades sobre polígonos La primera tarea será realizar observaciones y realizar preguntas para ir introduciendo el vocabulario específico de este tema. Profesor: ¿Qué es un polígono? ¿qué polígonos conoces? ¿en qué se parecen y diferencian? Esta primera tarea servirá para romper el hielo entre el profesor y los alumnos e introducirles en el objeto a estudio: polígonos. Es necesario conocer el grado de conocimiento que los alumnos poseen de polígonos así como el lenguaje que utilizan, para lo cual será necesario forzarles a que todos expresen sus opiniones. Fase 2: orientación dirigida Guía mediante actividades y problemas Esta fase es fundamental, ya que en ella se construyen los elementos básicos de la red de relaciones del nivel correspondiente El profesor debe seleccionar cuidadosamente los problemas y actividades y, cuando lo necesiten, orientar a sus alumnos hacia la solución. Las actividades consistirán en tareas cortas diseñadas para obtener respuestas específicas. Los problemas propuestos han de llevar directamente a los resultados y propiedades que los estudiantes deben entender y aprender. Las actividades, si se seleccionan cuidadosamente, constituyen la base adecuada del pensamiento de nivel superior. Una planificación bien cuidada de la secuencia tendrá en cuenta la necesidad de conseguir pequeños éxitos que estimulen su autoestima y favorezcan una actitud positiva hacia las matemáticas  Actividades para los alumnos para un Nivel 2. Fase 2. Orientación dirigida Tarea 2: Analiza los siguientes polígonos y confecciona un listado con sus propiedades Se presentará esta tarea a fin de que se produzca un análisis de propiedades. No sólo con el objetivo de establecer una correspondencia entre las características de ambas clases de polígonos, sino establecer propiedades que, independientemente de la forma del polígono, pertenezcan a ambos.  Actividades para los alumnos para un Nivel 2. Fase 2. Orientación dirigida Tarea 3: Traza todas las diagonales de cada uno de los polígonos siguientes a) ¿Cuál de los dos polígonos tiene más diagonales? b) ¿De qué depende el número de diagonales de un polígono? La DIAGONAL de un polígono es:...............................  Recordatorio de diagonales… Estos segmentos SÍ son Estos segmentos NO son diagonales de un polígono diagonales de un polígono Los segmentos AD, MO y Los segmentos QP, LM, AB NQ son diagonales de un no son diagonales de un polígono polígono Recordatorio de diagonales… Diagonales interiores Diagonales exteriores Los segmentos AD, BE, MQ, Los segmentos AC, EC, LQ, OQ, NR son diagonales MP y PS son diagonales interiores exteriores  Fase 3: Explicitación Los alumnos deben intentar expresar con palabras los resultados que han obtenido, intercambiar sus experiencias y discutir sobre ellas con el profesor y los demás estudiantes. Los estudiantes tienen que utilizar el vocabulario adecuado para describir la estructura sobre la que han trabajado. Se debe aprender y afianzar el vocabulario propio del nivel. No es una fase de aprendizaje de cosas nuevas, es una revisión del trabajo realizado anterior a la obtención de conclusiones y, de perfeccionamiento en la forma de expresarse. El tipo de trabajo que se debe realizar en esta fase es de discusión y comentarios sobre la forma de resolverse los ejercicios anteriores, elementos, propiedades y relaciones Fase 4: orientación libre Consolidación del aprendizaje El alumno aplica lo aprendido a otras situaciones distintas y más complejas pero con estructura comparable. Los problemas deben plantear nuevas relaciones o propiedades, ser más abiertos y con varias vías de resolución Los alumnos deberán combinar y aplicar los conocimientos y lenguaje adquiridos a otras situaciones nuevas. La intervención del profesor debe ser mínima, pues son los alumnos quienes tienen que encontrar el camino adecuado a partir de lo aprendido en la segunda fase  Actividades para los alumnos para un Nivel 2. Fase 4. Orientación libre Tarea 4: Agrupar los siguientes polígonos, de diferentes formas, indicando la propiedad o propiedades que hayas considerado en cada caso Fase 5: integración Síntesis de los contenidos trabajados en las fases anteriores El objetivo es lograr una visión general del tema formada por los nuevos conocimientos adquiridos y los que ya tenían los estudiantes anteriormente. El profesor debe dirigir resúmenes o recopilaciones que ayuden a lograr esta integración. Las actividades propuestas no deben implicar nuevos conocimientos, sino solo la organización de los ya adquiridos. Se revisan, se añaden y se unifican los objetos y sus relaciones, que configuran el nuevo sistema de conocimiento construido. 114  Actividades para los alumnos para un Nivel 2. Fase 5. Integración Tarea 5: Las características o propiedades que a continuación se relacionan pertenecen a los polígonos. Asocia cada propiedad a la clase de polígono a la que pertenece. Propiedad o Característica 1. Tiene diagonales exteriores. 2. Tienen sólo diagonales interiores. Clases de Polígonos 3. Tienen todos los lados de igual a) Polígono cóncavo longitud. b) Polígono convexo 4. Tienen todos los ángulos interiores de c) Polígono regular igual medida. d) Polígono Irregular 5. Tienen todos los lados de igual longitud e) Polígono equilátero y todos los ángulos de igual medida. f) No existen polígonos con esa 6. Tienen por lo menos un ángulo que propiedad mide más de 180º. g) Todos tienen esa propiedad. 7. Todos sus ángulos interiores miden menos de 180º. Un buen método para conocer si el estudiante ha superado el nivel, consiste en plantearle cuestiones directas como: - ¿Qué entendemos por diagonal? -¿Cuántos tipos de diagonales pueden trazarse en un polígono? - ¿Qué hacemos para contarlas? - ¿Cómo obtenemos la medida de la suma de los ángulos de un polígono? - ¿Qué propiedades tiene un polígono cóncavo? Este cambio implica pasar: de un modelo de enseñanza a uno de aprendizaje, de un modelo de clases magistrales a uno de diversificación de actividades, de un modelo de evaluación sumativa y de control, a uno de evaluación formativa y de ayuda.  Facultad de Educación Tema 1. Panorámica actual de la Geometría y la Medida en Primaria Contenidos: 1. Reflexiones sobre la enseñanza de las matemáticas actual e implicaciones en la enseñanza-aprendizaje de la geometría y la medida. 2. La resolución de problemas y metodologías 3. Modelo de Van Hiele. Material elaborado por Lina Melo, con adaptaciones de Beatriz Ledesma