Analiza S.R.A. pe baza caracteristicilor de frecvență PDF

B.S.A. – 6 12.11.2020 Analiza S.R.A. pe baza caracteristicilor de frecvență 𝐻(𝑗, 𝜔) = |𝐻(𝑗𝜔)| ∙ 𝑒 𝑗𝜑(𝜔) 𝜑(𝜔) = arg 𝐻(𝑗𝜔) 1...

B.S.A. – 6 12.11.2020 Analiza S.R.A. pe baza caracteristicilor de frecvență 𝐻(𝑗, 𝜔) = |𝐻(𝑗𝜔)| ∙ 𝑒 𝑗𝜑(𝜔) 𝜑(𝜔) = arg 𝐻(𝑗𝜔) 1 𝑆(𝑗𝜔) = , 𝑇(𝑗𝜔) = 𝑆(𝑗𝜔) ∙ 𝐻𝑑 (𝑗𝜔) 1+𝐻𝑑 (𝑗𝜔) 𝐻𝑜 (𝑗𝜔) ≡ 𝑇(𝑗𝜔) = |𝐻𝑜 (𝑗𝜔)| ∙ 𝑒 𝑗𝜓(𝜔) 𝐴(𝜔) = |𝐻(𝑗𝜔)| → 𝑨𝒅 (𝝎) = |𝑯𝒅 (𝒋𝝎)| V R(𝑗𝜔) ℇ Y(𝑗𝜔) U 𝐻𝑅 (𝑗𝜔) 𝐻𝑝 (𝑗𝜔) - a) Locul de transfer (locul Nyquist) 𝑙𝑚 𝐴1 𝑅𝑒 𝐴2 𝐴3  𝑘 𝐻(𝑠) = 𝑇𝑠 + 1 𝑘 𝑘(1−𝑇𝑗𝜔 ) 𝐻(𝑗𝜔) = = = 𝑈(𝜔) + 𝑗𝑉(𝜔) 1+𝑇𝑗𝜔 1+𝑇 2 𝜔2 𝑘 𝐴(𝜔) = √𝑢2 (𝜔) + 𝑉 2 (𝜔) = ‖ √1 + 𝑇 2 𝜔 2 ‖ 𝑉(𝜔) 𝑡𝑔𝜑 = 𝑈(𝜔) 𝑉 𝐾 𝑈 𝑘 𝑘𝑇𝜔 𝑈(𝜔) = , 𝑉(𝜔) = − ‖ 1 + 𝑇2𝜔2 1 + 𝑇 2𝜔2 𝜑(𝜔) = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝜔𝑇 𝑉 −𝑇𝜔 = 𝑈 𝐾𝑈 2 𝑘 𝑈= = 2 𝑉2 𝑈 + 𝑉2 1+ 2 𝑈 1 𝐾 𝐾 𝑈 2 + 𝑉 2 = 𝐾𝑈 → (𝑈 − 𝐾)2 + 𝑉 2 = ( )2, arc cu raza r = 2 2 2 𝜔𝑛 2 𝐻(𝑠) = 𝑠 2 + 2𝜉𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛 2  𝜔𝑛 2 𝐻(𝑗𝜔) = (𝜔𝑛 2 − 𝜔2 ) + 2𝜉𝜔𝑛 𝜔𝑗 sau 𝜔𝑛 2 (𝜔𝑛 2 − 𝜔2 )− 2j𝜉𝜔𝜔𝑛 𝜔𝑛 2 (𝜔𝑛 2 − 𝜔2 ) 2𝜉𝜔𝜔𝑛 𝐻(𝑗𝜔) = 2 2 = 2 −𝑗 2 (𝜔𝑛 − 𝜔2 )2 + 4𝜉 2 𝜔𝑛 𝜔 2 (𝜔𝑛 2 − 𝜔 2 )2 + 4𝜉 2 𝜔𝑛 𝜔2 (𝜔𝑛 − 𝜔2 )2 + 4𝜉 2 𝜔𝑛 𝜔2 2 𝜔𝑛 2 (𝜔𝑛 2 − 𝜔2 ) 2𝜉𝜔𝜔𝑛 𝑈(𝜔) = 2 2 ; 𝑉(𝜔) = − 2 (𝜔𝑛 − 𝜔 2 )2 + 4𝜉 2 𝜔𝑛 𝜔 (𝜔𝑛 − 𝜔2 )2 + 4𝜉 2 𝜔𝑛 𝜔2 2 𝜔𝑛 2 √ 2 2 𝐴(𝜔) = 𝑢 + 𝑉 = | √(𝜔𝑛 2 − 𝜔 2 )2 + 4𝜉 2 𝜔𝑛 2 𝜔 2 | 𝜔 1 𝜑(𝜔) = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 2𝜉 ∙ 2 𝜔𝑛 𝜔𝑛 − 𝜔 2 𝑉(𝜔) 𝑈(𝜔) 𝜉3 𝜉1 𝜉2 1 𝑈 = 0 → 𝜔 = 𝜔𝑛 → 𝑉(𝜔) = - 2𝜉𝜔𝑛 2 ‖ lim 𝜑(𝜔) = −𝜋 𝜔→∞ Cazul general 𝐾𝑑 𝑃1 (𝑗𝜔) 𝑃1 (𝑠) = 𝑏𝑚 𝑠 𝑚 + 𝑏𝑚−1 𝑠 𝑚−1 + ⋯ + 𝑏1 𝑠 + 1 𝐻𝑑 (𝑗𝜔) = ∙ ; { (𝑗𝜔) 2 𝑃2 (𝑗𝜔) 𝑃2 (𝑠) = 𝑠 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 4𝑠 + 1 De remarcat faptul că, pentru elementul de ordinul I, locul de transfer are ca asimptotă în origine axa imaginară negativă, iar sistemul de ordinul doi axa reală negativă (doi poli complex conjugați sau doi poli reali). Un pol introduce un defazaj de −90𝑜. 𝐾𝑑 lim 𝐻𝑑 (𝑗𝜔) = lim 𝜔→0 𝜔→0 (𝑗𝜔)𝛼 𝐾𝑑 ′ lim 𝐻′𝑑 (𝑗𝜔) = lim ; unde : 𝜃 = 𝛼 + 𝑛 − 𝑚 𝜔→∞ 𝜔→∞ (𝑗𝜔)𝜃 În funcție de valorile parametrilor 𝛼 și 𝜃 se determină asimptotele locului de transfer pentru frecvențe joase și pentru frecvențe înalte (𝜔 → ∞). 𝝎= 𝟎 𝛼 = 0 → asimptota este axa reală pozitivă 𝛼 = 1 → asimptota este axa imaginară negativă 𝛼 = 2 → asimptota este axa imaginară, axa reală negativă. 𝝎→ ∞ 𝜃 = 1 → axa imaginară negativă 𝜃 = 2 → axa reală negativă 𝜃 = 3 → axa imaginară pozitivă  𝑙𝑚 𝑙𝑚 𝜃=3 𝜃=4 𝑅𝑒 𝑅𝑒 𝛼=2 𝛼=0 𝜃=1 𝛼=1 𝜃=2 Forma locului de transfer și asimptotele pentru 𝜔 = 0 și 𝜔 → ∞ furnizează informații despre tipul sistemului și despre excesul poli-zerouri. De remarcat faptul că locul de transfer intersectează axa reală negativă dacă excesul polilor față de zerouri este mai mare decât 2. Caracteristica Amplitudine – Pulsație 𝐾𝑑 𝑝1 (𝑠) 𝐾𝑑 (𝑠+𝑧 ) (𝑠+𝑧 ) ….. (𝑠+𝑧𝑚 ) 𝐻𝑑 (𝑠) = ∙ = ∙ (𝑠+𝑝1 ) (𝑠+𝑝2 ) 𝑠𝛼 𝑝2 (𝑠) 𝑠𝛼 1 2 ….. (𝑠+𝑝𝑛 ) ‖ 𝑇𝑜𝑎𝑡𝑒 𝑧𝑒𝑟𝑜𝑢𝑟𝑖𝑙𝑒 ș𝑖 𝑡𝑜ț𝑖 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑖 𝑠𝑢𝑛𝑡 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎ț𝑖 î𝑛 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑝𝑙𝑎𝑛𝑢𝑙 𝑠𝑡â𝑛𝑔 𝑎𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑢𝑙𝑢𝑖 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥 𝐾𝑑 (𝑇1 𝑠 + 1) (𝑇2 𝑠 + 1) ….. (𝑇𝑚 𝑠 + 1) 𝐻𝑑 (𝑠) = ∙ ‖ 𝑠 𝛼 (𝑇1 ′ 𝑠 + 1) (𝑇2 ′ 𝑠 + 1) ….. (𝑇𝑛 ′ 𝑠 + 1) ‖ 1 1 unde 𝑇𝑖 = și 𝑇𝑘 ′ = 𝑧𝑖 𝑝𝑘 sau 𝐾 ∏𝑚 (𝑇𝑖 𝑠+1) 𝐻𝑑 (𝑗𝜔) = (𝑗𝜔)𝑑 𝛼 ∙ ∏𝑛𝑖=1 𝑘=1(𝑇𝑘 𝑠+1) 𝐴(𝜔) = |𝐻𝑑 (𝑗𝜔)| 𝑨𝒅𝒃 (𝝎) = 𝟐𝟎 𝒍𝒐𝒈 𝑨(𝝎) Se folosește reprezentarea logaritmică a amplitudinii și pulsației 𝐴𝑑 log 𝜔 l llllllllllll lllllllllll l 0.01 0.1 1 10 10−2 10−1 100 101 …. a) 𝐻(𝑠) = 𝑘 → 𝐴(𝜔) = |𝐻(𝑗𝜔) = 𝑘 , 𝑲𝒅𝒃 = 𝟐𝟎𝐥𝐨𝐠 𝑲 𝐴𝑑𝑏 𝐾𝑑𝑏 llllllllllll l lllllllllllllllll l log 𝜔 0 1 2 3 1 1 b) 𝐻(𝑠) = → 𝐻(𝑗𝜔) = → 𝐴𝑑𝑏 = 20 𝑙𝑜𝑔|𝐻(𝑗𝜔)| = - 𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠 𝝎 𝑠 𝑗𝜔 𝐴𝑑𝑏 L l log 𝜔 1 2 1 1 c) 𝐻(𝑠) = → 𝐻(𝑗𝜔) = , 𝑨𝒅𝒃 = −𝟐𝟎 𝒍𝒐𝒈 √𝟏 + 𝑻𝟐 𝝎𝟐 𝑇𝑠 +1 1 + 𝑇𝑗𝜔 1 𝐴(𝜔) = √1+𝑇 2 𝜔2 1 𝐴𝑑𝑏 = 0 𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 𝜔 ≪ 𝑇  1 1 𝐴𝑑𝑏 = - 20 𝑙𝑜𝑔 𝜔𝑇 𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 𝜔 ≫ ; = 𝜔𝑓 (pulsația de frângere) 𝑇 𝑇 𝐴𝑑𝑏 1 𝑇 log 𝜔 𝜀𝑑𝑏 = −20 log √1 + 𝑇 2 𝜔 2 ≅ −3𝑑𝑏 d) 𝐻(𝑠) = 𝑇𝑠 + 1 𝐻(𝑗𝜔) = 1 + 𝑇𝑗𝜔 → 𝐴(𝜔) = |𝐻(𝑗𝜔)| = √1 + 𝑇 2 𝜔 2 𝜔 1 sau 𝐴(𝜔) = √1 + ( )2 ; 𝜔𝑓 = 𝜔𝑓 𝑇 𝜔 20 𝑙𝑜𝑔 𝐴(𝜔) = 𝐴𝑑𝑏 (𝜔) = 20 𝑙𝑜𝑔 √1 + ( )2 𝜔𝑓 𝐴𝑑 (𝜔) = 0 pentru 𝜔 ≪ 𝜔𝑓 𝜔 𝐴𝑑 (𝜔) = 20 𝑙𝑜𝑔 pentru 𝜔 ≫ 𝜔𝑓 ⟹ asimptota 𝜔𝑓 𝐴𝑑𝑏 3𝑑𝑏 log 𝜔  𝜔𝑛 2 e) 𝐻(𝑠) = 𝑠 2 + 2𝜉𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛 2 𝜔𝑛 2 1 𝐻(𝑗𝜔) = ≡ 𝜔 𝜔 (𝜔𝑛 − 𝜔2 ) + 2𝜉𝜔𝑛 𝑗𝜔 2 1− ( )2 +𝑗2𝜉 𝜔𝑛 𝜔𝑛 𝜔 1 = 𝑥 → 𝐻(𝑗𝜔) = 𝜔𝑓 1− 𝑥 2 +2j𝜉𝑥 1 𝐴(𝜔) = √(1 − 𝑥 2 )2 + 4𝜉 2 𝑥 2 ‖𝐴𝑑𝑏 (𝜔) = - 20 𝑙𝑜𝑔 √(1 − 𝑥 2 )2 + 4𝜉 2 𝑥 2 𝐴𝑑𝑏 (𝜔) = 0 𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 𝑥 ≪ 1 ‖ ; 𝜀𝑑𝑏 = −20 log 2𝜉 𝐴𝑑𝑏 (𝜔) = −40 log 𝑥 ; pentru 𝑥 ≫ 1 𝐴𝑑𝑏 log 𝜔 𝜔 = 𝜔𝑛 (𝑥 = 1) −40𝑑𝑏/𝑑𝑒𝑐 𝑑𝑏 Un pol în origine introduce o pantă de -20 𝑑𝑒𝑐 𝑑𝑏 Un pol simplu introduce o pantă de -20 𝑑𝑒𝑐 𝑑𝑏 Un pol complex conjugat → -40 𝑑𝑒𝑐 𝑑𝑏 Un zerou complex conjugat → +40 𝑑𝑒𝑐  𝑚 𝑛 𝐴𝑑𝑏 (𝜔) = 20 log 𝐾𝑑 − 20𝛼 log 𝜔 + ∑ 20 log √1 + 𝑇𝑖 2 𝜔 2 − ∑ 20 log √1 + 𝑇𝑘 2 𝜔 2 ‖ 𝑖=1 𝑘=1 𝑚 𝑛 ‖ 𝜋 𝜑(𝜔) = −𝛼 + ∑ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝜔𝑇𝑖 − ∑ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝜔𝑇𝑘 2 𝑖=1 𝑘=1 𝜑 𝜑 𝜔𝑓 log 𝜔 𝜔𝑓 log 𝜔 𝜋 𝜋 − 4 2 𝜋 - 𝜋 2 𝐴𝑑𝑏 𝑍2 𝑃1 𝑍1 𝑃2 log 𝜔 (𝑑𝑒𝑐) 10−1 100 101 102 103 𝜔𝑓 log 𝜔 Se trasează prima asimptotă pentru pulsații foarte mici cu pantă egală cu -20𝛼𝑙𝑜𝑔/𝑑𝑒𝑐 Se poziționează pulsațiile de frângere în ordine crescătoare (poli-zerouri) Se trasează asimptota cu panta determinată de tipul singularității, punctele de intersecție sunt determinate de singularități  Se trasează caracteristica de frecvență având asimptote care se întâlnesc în punctele determinate de poli sau zerouri, cu observația că în punctele de intersecție eroarea este 𝜀𝑑𝑏 = ± 3𝑑𝑏 sau 𝜀𝑑𝑏 = - 20log 2𝜁 𝐴(𝜔) și 𝜑(𝜔) → analiză și sinteză Locul de transfer → stabilitatea S.R.A. 𝐻𝑑 (𝑠) 𝐻0 (𝑠) = 1 + 𝐻𝑑 (𝑠) |𝐻𝑑 (𝑗𝜔)| = 1 , 𝜑𝑑 (𝜔) = −180𝑜 1+𝐻𝑑 (𝑠) = 0 → ecuație caracteristică 𝑙𝑚 ሾ−1, 𝑗0ሿ 𝑅𝑒 Sistemul este la limita de stabilitate 𝐻𝑑 (𝑗𝜔) = -1 + 0𝑗 𝜔𝑐 → |𝐻𝑑 (𝑗𝜔)| = 1 𝜔𝜋 → 𝜑𝑑 (𝜔) = −180𝑜 𝑀𝐴 ≔ −20 log|𝐻𝑑 (𝑗𝜔𝜋 )| { 𝑀𝜑 ≔ 180𝑜 + arg 𝐻𝑑 (𝑗𝜔𝑐 ) 1 𝑀𝐴 = |𝐻 𝑑 (𝑗𝜔𝜋 )  𝑙𝑚 1 𝑀𝐴 −1 𝑅𝑒 Υ 𝐻𝑑 (𝑗𝜔) 𝑴𝒂𝒓𝒈𝒊𝒏𝒆𝒂 𝒅𝒆 𝒇𝒂𝒛𝒂 𝑎) 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑎𝑡𝑒 ‖ 𝑏) 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙 𝑐) 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙 𝑙𝑚 𝑅𝑒 𝑏 𝑐 𝑎 𝑙𝑚 𝑅𝑒 −  𝑀𝐴 < 0 {𝑀 < 0 Sistem instabil 𝜑 |𝐻𝑑 (𝑗𝜔)| 𝜔𝑐 log 𝜔 𝜑 𝑴𝑨 > 0 log 𝜔 −180 𝑴𝝋 𝝎𝝅 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎 𝒔𝒕𝒂𝒃𝒊𝒍 |𝐻𝑑 (𝑗𝜔)| 𝜔𝑐 log 𝜔 𝜑𝑑 log 𝜔 − 90 −180 𝝎𝝅 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎 𝒊𝒏𝒔𝒕𝒂𝒃𝒊𝒍  Stabilitatea Nyquist 𝐻𝑑 (𝑠) 𝐵𝑝 (𝑠) ∙ 𝑄𝑅 (𝑠) 𝐻𝑜 (𝑠) = ; 𝐻𝑑 (𝑠) = 1+𝐻𝑑 (𝑠) 𝐴𝑝 (𝑠) ∙ 𝑃𝑅 (𝑠) 𝐵𝑝 𝑄𝑅 𝐻𝑜 (𝑠) = 𝐴𝑝 𝑃𝑅 + 𝐵𝑝 𝑄𝑅 Se conservă zerourile sistemului 𝐵𝑝 𝑄𝑅 𝐴𝑝 𝑃𝑅 +𝐵𝑝 𝑄𝑅 𝐹(𝑠) = 1 + 𝐻𝑑 (𝑠) = 1 + = 𝐴𝑝 𝑃𝑅 𝐴𝑝 𝑃𝑅 Zerourile funcției F(s) sunt polii sistemului închis Polii funcției F(s) sunt polii procesului și ai regulatorului (polii sistemului) A) Criteriul Nyquist – varianta simplificată Criteriul Nyquist permite verificarea stabilității unui SRA în circuit închis pe baza răspunsului în frecvența al sistemului deschis și poziției polilor acestuia. Pentru a deduce acest criteriu se vor stabili mai întâi relațiile între polii sistemului deschis și polii sistemului închis, între zerourile funcției F(s) și polii sistemului închis. Zerourile funcției F(s) sunt aceleași cu polii funcției de transfer Ho(s). În esență criteriul Nyquist se bazează pe maparea unui contur din planul complex s într-un contur în planul funcției F(s)=1+Hd(s). Polii funcției F(s) coincid cu polii sistemului deschis iar zerourile (polii sistemului închis nu sunt cunoscuți). Astfel, conturul lui F(s) se obține prin maparea funcției Hd(s) într-o reprezentare Nyquist pentru Hd(j𝜔) care nu include punctul de coordonate ሾ−1, 𝑗0ሿ (punct critic). Dacă numărul polilor sistemului închis (Z) situați în c+ egalează numărul polilor sistemului deschis (P) atunci numărul de încercuiri a punctului critic N=P-Z Astfel dă P=0 și Z=0 atunci N=0. Dacă P=0 și N=-2 atunci Z=P-N=2 sistemul este instabil Numărul polilor sistemul deschis P și numărul încercuirilor N a punctului critic se folosesc pentru determinarea numărului polilor sistemului închis situați în semiplanul drept (Z) Z=P-N Z – numărul polilor S.R.A. închis P – numărul de poli ai sistemului deschis N – numărul de rotații anti-orar în jurul punctului critic Z=P-N a) P = 0 Z=0 S.R.A. stabil N=0 b) P = 0 N = -2 2 poli în ℂ+ pentru sistemul închis Z=2 𝐻𝑑 (𝑠) 𝑇(𝑠) = 𝐻𝑜 (𝑠) = 1+𝐻𝑑 (𝑠)  𝐻𝑜 (𝑗𝜔) = 𝑀(𝜔) ∙ 𝑒 𝜏𝜓(𝜔) Dacă 𝐻𝑑 (𝑠) nu are poli în semiplanul drept, condiția necesară și suficientă ca S.R.A. să fie stabil este ca locul de transfer să nu includă punctul critic ሾ−1, 𝑗0ሿ în interior pentru 𝜔 𝜖 ሾ0, ∞ሿ 𝑙𝑚 (−1, 𝑗0) 𝜔=∞ 𝑅𝑒 𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙 𝜔=0 B) Criteriul Nyquist – forma generalizată Dacă 𝐻𝑑 (𝑠) are 2 poli în ℂ+ atunci pentru ca S.R.A. să fie stabil este necesar și suficient ca locul de transfer să înconjoare punctul critic de 2 ori în sens anterior. 𝑙𝑚 𝑙𝑚 (𝑞 = 1) (𝑞 = 1) 𝑅𝑒 𝑅𝑒 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙 Z – numărul polilor S.R.A. închis P – numărul de poli ai sistemului deschis N – numărul de rotații anti-orar în jurul punctului critic Z=P-N c) P = 0 Z=0 S.R.A. stabil N=0 d) P = 0 N = -2 2 poli în ℂ+ pentru sistemul închis Z=2 𝐻𝑑 (𝑠) 𝑇(𝑠) = 𝐻𝑜 (𝑠) = 1+𝐻𝑑 (𝑠) 𝐻𝑜 (𝑗𝜔) = 𝑀(𝜔) ∙ 𝑒 𝜏𝜓(𝜔) 𝑀(𝜔) 𝑀𝑣 √2ൗ 𝑀− 1 2 𝜔 𝜔𝑟 𝜔𝐵 𝑀(𝜔) = |𝐻𝑜 (𝑗𝜔)| ≡ |𝑇(𝑗𝜔)| 𝜔𝑛 2 𝜔𝑛 2 𝐻𝑑 (𝑠) = → 𝐻𝑜 (𝑠) = s (s + 2𝜉𝜔𝑛 ) 𝑠 2 + 2𝜉𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛 2 𝜔𝑛 2 𝐻𝑜 (𝑗𝜔) = (𝜔𝑛 2 − 𝜔2 ) + j 2 𝜉𝜔𝑛 𝜔 sau 1 1 𝐻𝑜 (𝑗𝜔) = 𝜔 → 𝑀(𝜔) = 1 −( )2 + j 2 𝜉𝜔 / 𝜔𝑛 𝜔 2 2 𝜔 𝜔𝑛 √[1 −( 𝜔𝑛 ) ] + 4𝜉 2 (𝜔 )2 𝑛  𝑑𝑀(𝜔) = 0 → 𝜔𝑟 = 𝜔𝑛 √1 − 2𝜉 2 𝑑𝜔 1 ‖𝑀𝑣 (𝜔) = 𝑀(𝜔𝑟 ) = 2 𝜉√1− 𝜉 2 √2 1 𝑀(𝜔𝐵 ) = = 2 2 𝜔 𝜔 √[1 −( 𝐵 )2 ] + 4𝜉 2 ( 𝐵 )2 𝜔 𝑛 𝜔 𝑛 sau 1 1 1 = 2 = 𝜔 𝜔 𝜔 2 𝜔 𝜔 [1 −( 𝐵)2 ] + 4𝜉 2 ( 𝐵)2 1 −( 𝐵)4 − 2( 𝐵)2 + 4𝜉 2 ( 𝐵)2 𝜔𝑛 𝜔𝑛 𝜔𝑛 𝜔𝑛 𝜔𝑛 𝜔𝐵 =𝑥 𝜔𝑛 1 + 𝑥 4 - 2𝑥 2 + 4𝜉 2 𝑥 2 = 2 𝑥 4 + 2𝑥 2 (2𝜉 2 − 1) - 1 = 0 𝑦 2 + 2y (2𝜉 2 − 1) - 1 = 0 𝑦1,2 = −(2𝜉 2 − 1) + √(2𝜉 2 − 1)2 + 1 𝑦1 = (1 − 2𝜉 2 ) + √4𝜉 4 − 4𝜉 2 + 2 𝜔 𝑥 = 𝜔𝐵 = √𝑦1 = √(1 − 2𝜉 2 ) + √4𝜉 4 − 4𝜉 2 + 2 𝑛