B.S.A. – 5 PDF

B.S.A. – 5 5.11.2020 1. Performanțe tranzitorii 2. Robustețea stabilității și performanțelor 3. Analiza în domeniul frecvențelor 1. 𝑦(𝑡) = 𝑦𝑙 (𝑡) + 𝑦𝑓 (𝑡) (1)...

B.S.A. – 5 5.11.2020 1. Performanțe tranzitorii 2. Robustețea stabilității și performanțelor 3. Analiza în domeniul frecvențelor 1. 𝑦(𝑡) = 𝑦𝑙 (𝑡) + 𝑦𝑓 (𝑡) (1) 𝑦𝑓 (𝑡) = 𝑦𝑝 (𝑡) + 𝑦𝑡 (𝑡) Pentru un sistem stabil lim 𝑦𝑡 (𝑡) → 0 𝑡→∞ Est= 0 pentru semnale exogene de tip treaptă Exemplul 1 𝑘𝑝 𝐻𝑝 (𝑠) = 𝑝 𝑇 𝑠+1 { 1 (2) 𝐻𝑅 (𝑠) = 𝐾𝑅 (1 + ) 𝑇𝑖 𝑠 V R(s) ℇ U Y(s) 𝐻𝑅 (𝑠) + 𝐻𝑝 (𝑠) + + - 𝐻𝑅 𝐻𝑃 𝐻𝑝 (𝑠) 𝑌(𝑠) = ∙ 𝑅(𝑠) + ∙ 𝑉(𝑠) 1+𝐻𝑅 𝐻𝑃 1+𝐻𝑅 𝐻𝑃 𝐻𝑜 (𝑠) 𝐻𝑜𝑣 (𝑠) 1 𝐻𝑝 ℇ(𝑠) = ∙ 𝑅(𝑠) - ∙ 𝑉(𝑠) 1+𝐻𝑅 𝐻𝑃 1+𝐻𝑅 𝐻𝑃 𝐾𝑅 𝐾𝑃 (𝑇𝑖 𝑠+1) 𝐻𝑑 (𝑠) = 𝐻𝑅 𝐻𝑝 = 𝑇𝑖 𝑠 (𝑇𝑝 𝑠+1)  𝐾𝑅 𝐾𝑃 (𝑇𝑖 𝑠+1) 𝐻𝑜 (𝑠) = 𝑇𝑖 𝑠 (𝑇𝑝 𝑠+1) + 𝐾𝑅 𝐾𝑃 (𝑇𝑖 𝑠+1) sau 𝐾𝑅 𝐾𝑃 𝐾𝑅 𝐾𝑃 𝐻𝑜 (𝑠) = + ∙ 𝑇𝑖 𝑠 𝑇𝑖 𝑇𝑝 𝑠2 + 𝑇𝑖 𝑠(1+𝐾𝑅 𝐾𝑃 ) + 𝐾𝑅 𝐾𝑃 𝑇𝑖 𝑇𝑝 𝑠2 + 𝑇𝑖 𝑠(1+𝐾𝑅 𝐾𝑃 ) + 𝐾𝑅 𝐾𝑃 𝐾𝑅 𝐾𝑃 1+𝐾𝑅 𝐾𝑃 𝜔𝑛 2 = ; 2𝜉𝜔𝑛 = 𝑇𝑖 𝑇𝑝 𝑇𝑝 1 𝑌(𝑠) = 𝐻𝑜 (𝑠) ∙ 𝑅(𝑠) ; 𝑅(𝑠) = 𝑠 sau 𝜔𝑛 2 1 𝜔𝑛 2 1 𝑌(𝑠) = ∙ + 𝑇𝑖 𝑠 ∙ ∙ 𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛 2 𝑠 𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛 2 𝑠 𝑌2 (𝑠) 𝑌2 (𝑠) 𝑒̅ 𝜉𝜔𝑛 𝑡 𝑦2 (𝑡) = 𝐿−1 [𝑌2 (𝑠)] = 1 - sin (𝜔𝑛 𝑡 √1 − 𝜉 2 + 𝜑) √1−𝜉 2 √1−𝜉 2 𝑡𝑔 𝜑 = 𝜉 𝑑𝑦2 y(t) = 𝑦2 (𝑡) + 𝑇𝑖 𝑑𝑡 𝜔 𝐿(𝑒̅ 𝛼𝑡 sin 𝜔𝑡) = (𝑠 + 𝛼)2 + 𝜔 2 { 𝑠+𝛼 } 𝐿(𝑒̅ 𝛼𝑡 cos 𝜔𝑡) = (𝑠 + 𝛼)2 + 𝜔 2 Performanțe: 𝜉𝜋 𝑌𝑀 − 𝑦𝑠 𝑡 √1−𝜉2 Suprareglaj : 𝜎 = → 𝜎 = 𝑒̅ 𝑦𝑠 𝑡 0,05 √1−𝜉 2 𝑡𝑡 = 𝑙𝑛 −𝜉𝜔𝑛 𝑡𝑐 𝑡𝑖 𝑦 𝛿 1 0.5 𝑦𝑀 𝑡 𝑡𝑖 𝑡𝑡 𝑦 Fig. 2 1 𝑡 𝑡𝑡  ∞ 1 ∞ I = ∫𝑜 ℇ2 (𝑡)𝑑𝑡 = ∫−∞|𝐸(𝑗𝜔)|2 𝑑𝜔 2𝜋 ∞ 1/2 ‖ℇ(𝑡)‖2 : = [∫−∞ ℇ2 (𝑡)𝑑𝑡] sau ∞ ∣∣ ℇ(𝑡) ∣∣22 = ∫−∞ ℇ2 (𝑡)𝑑𝑡 ; ‖ℇ(𝑡)‖∞ ≔ sup|ℇ(𝑡)| ∞ 𝑦(𝑡) = ∫ ℎ (𝑡 − 𝜏) ∙ 𝑟(𝜏) 𝑑 𝜏 −∞ 𝐻𝑜 (𝑠) = 𝐿[ℎ (𝑡)] 2 1 ∞ norma 2: ‖𝐻𝑜 (𝑠)‖22 ≡ ‖𝑇(𝑠)‖2 : = ∫−∞|𝑇(𝑗𝜔)|2 𝑑𝜔 2𝜋 și norma ∞: ‖𝑇(𝑠)‖∞ : = sup |𝑇(𝑗𝜔)| 𝜔 Analiza comportamentală în raport cu semnale exogene definite Indicatori de performanță (criterii de performanță) asociați comportamentului ∞ Ι1 = ∫𝑜 ℇ2 𝑑𝑡 să fie minim sau ∞ Ι2 = ∫𝑜 [ ℇ2 (𝑡) + 𝛿𝑢2 (𝑡) ] 𝑑𝑡 să fie minim (𝛿 > 0) Analiza în raport cu perturbația 𝐻𝑃 𝐻𝑃 1 𝑌𝑣 (𝑠) = ∙ 𝑉(𝑠) = ∙ 1+𝐻𝑅 𝐻𝑃 1+𝐻𝑅 𝐻𝑃 𝑠 sau  𝐾𝑃 𝑇𝑝 𝑠 + 1 1 𝐾𝑝 𝑇𝑖 𝑠 1 𝑌𝑣 (𝑠) = 𝐾 𝐾 (𝑇 𝑠 + 1) ∙ = ∙ 1+ 𝑅 𝑃 𝑖 𝑠 𝑇𝑖 𝑇𝑝 𝑠2 + 𝑇𝑖 𝑠 (1+𝐾𝑅 𝐾𝑃 )+ 𝐾𝑅 𝐾𝑃 𝑠 𝑇𝑖 𝑠 (𝑇𝑝 𝑠 + 1) sau 𝑇𝑖 𝜔𝑛 2 ∗ 𝑌𝑣 (𝑠) = ∙ 𝐾𝑅 𝑠 2 + 2𝜉𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛 2 ℎ2 (𝑡) Cazul cel mai general 𝐻𝑅 𝐻𝑃 𝑄𝑅 𝐵𝑃 𝐻𝑜 (𝑠) = = 1+𝐻𝑅 𝐻𝑃 𝑄𝑅 𝐵𝑃 + 𝐴𝑃 𝑃𝑅 1 𝑄𝑅 𝐵𝑃 1 a) 𝑦(𝑡) = 𝐿−1 [𝑌(s)] = 𝐿−1 [ 𝐻𝑜 (s) ∙ ] = 𝐿−1 [ ∙ ] 𝑠 𝑄𝑅 𝐵𝑃 + 𝐴𝑃 𝑃𝑅 𝑠 sau 𝑦(𝑡) = 𝑐𝑜 + ∑𝑛𝑘=1 𝑐𝑘 𝑒 𝑝𝑘𝑡 b) Existența polilor reali și complex-conjugați 𝑛1 𝑛2 𝑦(𝑡) = 𝑐𝑜 + ∑𝑖=1 𝑐𝑖 𝑒 𝑝𝑖𝑡 + ∑𝑘=1 𝑐𝑘 𝑒̅ 𝛼𝑘𝑡 sin(𝛽𝑘 𝑡 + 𝜑𝑘 ) Calculul răspunsului S.R.A. folosind modelul intrare – stare – ieșire 𝑥̇ (𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝑏𝑢(𝑡) 𝑦(𝑡) = 𝐶 𝑇 𝑥(𝑡) ; 𝑥0 ∈ ℝ𝑛 𝑥̇ (𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) → 𝑥(𝑡) = 𝑒 𝐴(𝑡−𝑡𝑜) ∙ 𝑥(𝑡𝑜 ) = Φ(𝑡 − 𝑡𝑜 ) 𝑥(𝑡𝑜 ) sau 𝒙(𝒕) = 𝚽(𝒕 − 𝒕𝒐 ) 𝒙(𝒕𝒐 ) 𝑥(𝑡) = Φ(𝑡 − 𝑡𝑜 ) 𝑞(𝑡) → 𝑥̇ (𝑡) = Φ̇(𝑡 − 𝑡𝑜 ) ∙ 𝑞(𝑡) + Φ(𝑡 − 𝑡𝑜 ) 𝑞̇ (𝑡)  ≡ 𝐴𝑥(𝑡) + 𝑏𝑢 𝑡 Φ̇(𝑡 − 𝑡𝑜 ) = 𝐴 Φ(𝑡 − 𝑡𝑜 ) → 𝑥̇ = 𝐴 Φ(𝑡 − 𝑡𝑜 ) 𝑞(𝑡) + Φ(𝑡 − 𝑡𝑜 ) 𝑞̇ (𝑡) = A𝑥(𝑡) +bu(t) Φ(𝑡 − 𝑡𝑜 ) 𝑞̇ (𝑡) = bu(t) 𝑞̇ (𝑡) = Φ−1 (𝑡 − 𝑡𝑜 ) bu(t) 𝑡 𝑞(𝑡) = 𝑞(𝑡𝑜 ) + ∫𝑡 Φ(𝑡𝑜 − 𝜏) 𝑏𝑢(𝜏) 𝑑𝜏 𝑜 sau 𝑡 Φ−1 (𝑡 − 𝑡𝑜 ) 𝑥(𝑡) = 𝑥(𝑡𝑜 ) + ∫𝑡 Φ(𝑡𝑜 − 𝜏) 𝑏𝑢(𝜏) 𝑑𝜏 𝑜 𝑡 ∗ 𝑥(𝑡) = Φ(𝑡 − 𝑡𝑜 ) 𝑥(𝑡𝑜 ) + ∫𝑡 Φ(𝑡 − 𝜏) 𝑏𝑢(𝜏) 𝑑𝜏 𝑜 𝑡 ∗ 𝑦(𝑡) = 𝐶 𝑇 𝑥(𝑡) = 𝐶 𝑇 Φ(𝑡 − 𝑡𝑜 ) 𝑥(𝑡𝑜 ) + ∫𝑡 𝐶 𝑇 Φ(𝑡 − 𝜏) 𝑏𝑢(𝜏) 𝑑𝜏 𝑜 sau 𝑡 𝑦(𝑡) = 𝐶 𝑇 Φ(𝑡) 𝑥𝑜 + ∫𝑜 𝐶 𝑇 Φ(𝑡 − 𝜏) 𝑏𝑢(𝜏) 𝑑𝜏 𝒉(𝒕) := 𝑪𝑻 𝚽(𝒕)𝒃 ∞ 𝑦(𝑡) = 𝐶 𝑇 Φ(𝑡)𝑥𝑜 + ∫𝑜 ℎ(𝑡 − 𝜏) 𝑢(𝜏) 𝑑𝜏 2. Robustețe Incertitudini – structurate – nestructurate  - liniarizare - invarianța parametrilor - dimensiunea modelului (reducere) → efect neglijabil al componentelor de înaltă frecvență ̂𝑝 (𝑠) → model nominal 𝐻 ̂𝑝 (𝑠) + 𝐿𝐴 (𝑠) ; 𝐻𝑝 (𝑠) = 𝐻 |𝐿𝐴 (𝑗𝜔)| = 𝑙𝑎 (𝜔), ∀𝜔 ≥ 0 ̂𝑝 (𝑠) [ 1+ 𝐿𝑀 (𝑠) ] ; 𝐻𝑝 (𝑠) = 𝐻 |𝐿𝑀 (𝑗𝜔)| = 𝑙𝑚 (𝜔), ∀𝜔 ≥ 0 sau ̂𝑝 (𝑠) + ∆1 (𝑠) 𝐵 𝐻𝑝 (𝑠) = ̂𝑝 (𝑠) + ∆2 (𝑠) 𝐴 𝐻𝑝 ̂ – 1 = 𝑳𝑴 (𝒔) 𝐻𝑝 (𝑠) 1 1 𝑆̂(𝑠) = ̂ = ̂ ̂𝑃 (𝑠) 1 + 𝐻𝑑 (𝑠) 1 + 𝐻𝑅 (𝑠) ∙ 𝐻 1 𝑆(𝑠) = ̂𝑅 𝐻 ̂𝑃 [ 1+LM (s) ] 1+𝐻 ̂𝑅 (𝑠) ∙ 𝐻 ∗ 𝐻𝑑 (𝑠) = 𝐻 ̂𝑃 (𝑠) [ 1+LM (s) ] 𝐻̂𝑅 𝐻 ̂𝑃 [ 1+LM (s) ] 𝐻𝑜 (𝑠) = ̂𝑅 𝐻̂𝑃 [ 1+LM (s) ] 1+ 𝐻 ̂𝑃 (𝑠) Regulatorul se proiectează pe baza modelului 𝐻 Robustețea regulatorului (S.R.A.) în prezența incertitudinilor de modelare → conservarea stabilității și performanțelor tranzitorii în prezența incertitudinilor. (vezi cap.3 din I.R.A., vol. I) 3. Analiza S.R.A. în domeniul frecvențelor 𝑢(𝑡) 𝑦(𝑡) 𝑯(𝒔) 1 𝑢(𝑡) = 𝑒 𝑗𝜔𝑡 → U(𝑠) = 𝑠−𝑗𝜔 𝑌(𝑠) = 𝐿 [ 𝑦(t) ] 1 𝐶𝑜 𝐶𝑖 𝑌(𝑠) = 𝐻(𝑠) ∙ 𝑈(𝑠) = 𝐻(𝑠) ∙ = + ∑𝑛𝑖=1 𝑠−𝑗𝜔 𝑠−𝑗𝜔 𝑠−𝑝𝑖 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑧𝑖𝑡𝑜𝑟𝑖𝑒 𝐶𝑜 = 𝐻(𝑗𝜔) 𝑦𝑝 (𝑡) = 𝑯(𝒋𝝎) 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝐻(𝑗𝜔) = 𝑈(𝜔) + 𝑗𝑉(𝜔) = |𝐻(𝑗𝜔)| ∙ 𝑒 𝐽𝜑(𝜔) 𝑉 𝜑(𝜔) = arctg 𝑈 𝜔 𝑢(𝑡) = 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 → 𝑈(𝑠) = 𝐿 [ 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡] = 𝑠 2 + 𝜔2 𝜔 𝐶1 𝐶2 𝐶𝑘 𝑌(𝑠) = 𝐻(𝑠) = + + ∑𝑛𝑘=1 𝑠 2 + 𝜔2 (𝑠 + 𝑗𝜔) (𝑠− 𝑗𝜔) 𝑠−𝑝𝑘 𝐶1 𝐶2 ‖𝑌𝑝 (𝑠) = 𝑠 + 𝑗𝜔 + 𝑠 −𝑗𝜔  Caracteristici de frecvență 𝐴(𝜔) = | 𝐻(𝑗𝜔) | 𝜑(𝜔) = arg [𝐻(𝑗𝜔)] 𝑯𝒅 (𝒋𝝎) 𝑙𝑜𝑐𝑢𝑙 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟 (𝑙𝑜𝑐𝑢𝑙 𝑁𝑦𝑞𝑢𝑖𝑠𝑡) 𝐻𝑜 (𝑗𝜔) = 𝑇(𝑗𝜔) = 𝑃(𝜔) + 𝑗𝑄(𝜔) = 𝑀(𝜔) 𝑒 𝐽𝜓(𝜔) - 𝑃(𝜔), 𝑄(𝜔) - 𝑀(𝜔) - 𝜓(𝜔)