B.S.A. - 2 PDF

B.S.A. - 2 Prof.dr.ing. Ioan DUMITRACHE 1. Modele matematice 1.1. – Ecuații diferențiale 1.2. – Funcția de transfer 1.3. – Ecuații de stare 1.4. – Reprezentarea în frecvență 2. Analiza sistemelor de reglare automată 1. Modele matematice a) Modelare analitică b) Identific...

B.S.A. - 2 Prof.dr.ing. Ioan DUMITRACHE 1. Modele matematice 1.1. – Ecuații diferențiale 1.2. – Funcția de transfer 1.3. – Ecuații de stare 1.4. – Reprezentarea în frecvență 2. Analiza sistemelor de reglare automată 1. Modele matematice a) Modelare analitică b) Identificare experimentală a) Modele obținute pe baza legilor care guvernează funcționarea obiectelor (legile fizicii, chimiei, etc.) - conexiunea cu mediul - aplicarea legilor - identificarea variabilelor de interes - liniarizare, simplificare, invarianță  deterministe liniare stocastice continue neliniare Modele discrete - Clase de sisteme dinamice Cu parametri concentrați Cu parametri distribuiți - Sisteme continue și discrete (numerice) - Sisteme cu evenimente discrete - Sisteme liniare / neliniare u (t) y (t) y (t) = f (u(t)) y (t) y0 (t) u (t) u0 Liniarizare f (u) f (u0 + δn) y0 (t) δu δf punct de functionare (punct de echilibru) u u0 δ y = K δu ẋ (t) = f (x,u) cu (x0, u0) puncte de echilibru  δu(t) = u(t) – u0, δx(t)= x(t) – x0 dezvoltarea în serie Taylor în jurul punctului de echilibru f (x,u) f (x,u) ẋ (t) = f (x0,u0) + δ x(t) δ u(t) x0,u0 x0,u0 f (x,u) f (x,u) δ ẋ (t) = ẋ (t) – f(x0,u0) = δx δu x0, u0 x0, u0 δ ẋ (t) = α δx + β δ u relație liniară în raport cu δx și δu Exemple de modele matematice a) u1 = Rί + u2 u2 = 𝐶 u1 R i u2 𝐶 u2 u2 u1 = R + u2 T + u2 = u1 ⑧ b) Rί + L + u2 = u1 R L u2 = i=c 𝐶 u1 i u2 u2 u2 LC + Rc + u2 = u1  M +f + kh = Fi sau ꟿ K + + h = Fi f ho Ӱ + 2Ᵹꙍnẏ + ꙍ y = k0ꙍ u h ̴y Fi Fi ̴ u ; ꙍ = , Ᵹ= , = d) Modelul unei suspensii active Intrarea se consideră înălțimea (corpul 2 y1(y) șoselei (r(t)), iar ieșirea este masinii) deplasarea corpului mașinii Se aplică legea a II-a, a lui Newton ꟿꟿ K1 f (roata) y2(x) = k1 (y-x) + f( ) – k2 (x-r) 1 suprafata ꟿ K2 r soselei  K1 (y-x) f( ) K2 ( -r) K1 (y-x) f( ) 2 = - k1 (y-x) - f( ) Astfel ecuațiile diferențiale care descriu funcționarea suspensiei active au forma:  u(t) y(t) (t) Sau T + y(t) = ku(t) → element de ordinul întâi b) + (t) + 2Ᵹ + y=k u Ᵹ= , = = · Numărul elementelor de acumulare determină ordinul sistemului. În cazul cel mai general, un sistem liniar invariat în timp poate fi descris printr-o ecuație de forma: () ( ) Sau ( ) ( ) +..... + + y= ( ) + ( ) +.........+ (t) n≥m r(t) p y(t) (t) u(t) m y(t) = f (r(t)) - fiecare element component este un subsistem descris printr-o ecuație diferențială Prin eliminarea variabilelor intermediare ( ε, u, ρ, m ) se obține ecuația diferențială generală asociată sistemului sub forma: + + + = (t) + r (t) Unde coeficienții , se pot deduce cu ușurință. Ecuațiile diferențiale sunt complexe, iar rezolvarea lor este dificilă  Funcția de transfer Transformata Laplace Fie o funcție continuă f(t), (t≥0) care admite o transformată Laplace F(s): = L = dt ; s = σ + jω → variabila complexă Integrala poate fi nedefinită pentru un anumit s. Se definește astfel ”abscisa de convergență” ca cea mai mică valoare σ astfel încât Re (s) ≥ σ pentru care integrala converge Semnale standard: Impuls unitar u(t) y(t) u(s) y(s) t = dt=1 Semnale standard: Treaptă unitară s u (t) = 1, t ≥ 0 1 u (t) = 0, t < 0 t = dt = Semnale standard: Exponențială f (t) = dt → F (s) = dt = Funcția sin t L = dt = Rampă unitară f(t) = t → F(s) = ! f(t) = , n=1,2,3,…. → F(s) = Proprietăți Transformanta Laplace, prin definiție este o transformantă liniară L (s) + (s) L (t)] = sF(s) – f(0), f(0) este condiția asociată funcției pentru t=0 [ ( ) (t)] = f(t) f’(t) F(s) f(0) - sF(s)-f(0)  Transformata integralei ( ) [ ]= Teorema valorii finale sF(s) → → Dacă toți polii funcției sF(s) sunt în semiplanul stâng  Teorema valorii inițiale sF(s) , dacă există limită → → Convoluția (t) * (t) = (t- ꞇ) (ꞇ) dꞇ [ (t) * (t)] = (s) * (s) (s) (s) [ (t) (t)] Transformata Laplace inversă Dându-se o funcție în timp (t≥0), f(t) a cărei transformată Laplace este F(s) se obține transformata inversă prin definiție f(t) = [F(s)] = ds Funcța de transfer u(t) y(t) O reprezentare matematică a comportării sistemului în domeniul complex, pentru condiții inițiale nule. ( ) H(s) : = , pentru condiții inițiale nule. ( ) a) T + y(t) = Ku(t) → T Y( ) + Y( ) = KU ( ) [ + 1 ] Y(s) = k U(s) → H(s)= b) +2Ᵹ + y=k u(t) → H(s)= Ᵹ + () ( ) ⋯ → H(s)= ⋯  - - ⋯ , , * Y(s) = U(s) + ∑ , ( =1) ⋯ , , ∑ =0 ( ) ( ) H(s) = , Y(s) = H(s), U(s) ( ) ( )  ( ) H(s) = ( ) A(s) poate avea rădăcini reale distincte, comune sau / și complexe a) A(s) are rădăcini distincte ⋯ H(s)= + +..... + …..( ) h(t) = [H(s)] = + +.... +  reprezintă rezidurile pentru polii = (s- ) H( ) Exemplu H(s) = , = -3 , = -2 H(s) = +  = (s+3). H(s) = (s+2). H(s) H(s) = - + h(t) = - 𝟑𝒕 + 𝟐𝒕 b) A(s) are rădăcini care se repetă A(s) = (s- ) (s- ) (s- ).....(s− H(s) = + +..... + − − (s− ) c) A(s) are rădăcini complexe conjugate A(s) = (s- ) (s- ) ( + s+ s- ) H(s) = + + + − − + s+ s− Zerouri și poli ai funcției de transfer B(s) =....... - zerouri ale sistemului i = 1,....,m A(s) =....... - polii sistemului → Sistem de fază minimă Exemple: a) H(s) = , U(s) = Y(s) = H(s). U(s) = + ( ) Y(s) - → y(t) = k(1- / ) H(s) = + ( ) , , , H(s) = + = - 0,5 ( ) - din tabele  , Ecuații Ecuații Diferențiale Algebrice Soluții în Soluții în domeniul domeniul S. timp 1.3. Ecuații de stare + y= x= =y , = u- y = = u- x b) + + y= = u- - y =y , x:= , y = [1 0 ] = = = + u sau , A= , b= Starea x(t) reprezinta informatia disponibila la momentul t 0, pe baza careia se poate determina evolutia sistemului pentru u(t) dat, t 0 ( ) (t) + ……. + (t) + y= (t)  ( ) = = y(t) = = (t) = ……………. …………. = =- - - ….. - + A= , b= , = [1 0 0 0 0] ( ) u(t) ……………. y(t) 𝑏 − 𝑎 𝑎 − 𝑎 − − 𝑎  [ ] = sx (s) - sx (s) - = A x(s) + bu(s) [ sƮ– A ] X (s) = + bu(s) X(s) = [sƮ– A] + [sƮ– A] bu(s) Y(s) = = [sƮ– A] + [sƮ– A]bu(s) Pentru conditii initiale nule 0 rezulta Y(s) = [sƮ– A] bu(s) = H(s)·U(s) 𝟏 H(s):= 𝑻 [sƮ– A] b (t) = Ax(t) + bu(t) (t) = Ax(t) → x(t)= 𝑨(𝒕 𝒕𝟎 ) 𝟎 (t- ) x( )  ( - ). ( - )= ( - ) (t) = =A (t) x(t) = (t- )ɋ(t) → x ( ) = ɋ ( ) (t) = (t- )ɋ(t) + (t- )ɋ (t) = Ax +bu ɋ (t) = (t- ) bu(t) ɋ (t) = ɋ( ) + bu( ) d  (t- ) x(t) = x( ) + bu( ) d 𝒕 X(t) = (t- 𝟎 ) x( 𝟎 ) + 𝒕𝟎 bu( ) d y(t) = (t- ) x( ) + bu( ) d =0 → x( ) = y(t) = (t) + ( )d h(t) := 𝑻 (t) b → functia pondere h(t)= [ H(s) ] = [ Ʈ ] Pentru conditii initiale nule ( ) y(t) = ꞇ u(Ʈ) dƮ= h(t) * u( ) sau Y(s) = H(s). U(s) H(s) → { } ( ) → H(s) = [ sƮ- A.b y(t) = 𝒍 (t) + 𝒇 (t) ; = (t). = bu( ) d 1.4. Reprezentarea în frecvență u(t) y(t) u(t) = A sin ω t → y(t) = Bsin (ω t + ) u(t) = ω → U(s) = ω Y(s) = H(s) = + + +......+ ω ω y(t) = [ Y(s) ] = H (j ω) y(t) = H (j ω) jω𝒕 + 𝒏 𝒑𝒊 𝒕 𝟏 𝒊 răspuns răspuns permanent tranzitoriu  (j ω) * H(j ω) = = H(s) jω (j ω) H(j ω) = H(j ω). L H(j ω) H(j ω) ꞇ𝝋(ω) Se definesc caracteristici de frecvență pe baza cărora se poate analiza / proiecta un sistem de reglare automată în domeniul frecvențelor.