B.S.A. - 9 PDF (3.12.2020)

B.S.A. – 9 3.12.2020 1. Proiectarea S.R.A. – continuare 2. Sisteme numerice de reglare 1. Proiectarea pe baza caracteristicilor de frecvență 𝐴(𝜔) , 𝜑(𝜔) , 𝑀(𝜔) 1 ✓ 𝑀𝐴 (𝜔) = |𝐻𝑑 (𝑗𝜔𝜋 )|...

B.S.A. – 9 3.12.2020 1. Proiectarea S.R.A. – continuare 2. Sisteme numerice de reglare 1. Proiectarea pe baza caracteristicilor de frecvență 𝐴(𝜔) , 𝜑(𝜔) , 𝑀(𝜔) 1 ✓ 𝑀𝐴 (𝜔) = |𝐻𝑑 (𝑗𝜔𝜋 )| , 𝜔𝜋 – frecvența pentru care locul Nyquist intersectează axa reală negativă (arg𝐻𝑑 (𝑗𝜔𝜋 )) = -1800 𝑴𝑨 este factorul maxim cu care poate crește amplificarea în buclă deschisă |𝐻𝑑 (𝑗𝜔)| fără ca sistemul închis să-și piardă stabilitatea. Sistemul k𝐻𝑑 (𝑠) este intern stabil în buclă închisă ∀ k cu k ∈ (1, 𝑀𝐴 ) , uzual se impune 𝑀𝐴 > 2 ✓ 𝑴𝝋 ∶= 180 + 𝑎𝑟𝑔𝐻𝑑 (𝑗𝜔𝑐 ) ; 𝜔𝑐 − pulsația de tăiere a amplitudinii, |𝐻𝑑 (𝑗𝜔𝑐 )|=1 - O măsură a marginii de stabilitate → gradul de stabilitate - 𝑀𝜑 > 300 se recomandă uzual ✓ Marginea vectorială 𝑀𝑣 ∶= inf |1 + 𝐻𝑑 (𝑗𝜔)| → distanța minimă de la punctul critic (-1,jo) la locul 𝜔 Nyquist 1 inf |1 + 𝐻𝑑 (𝑗𝜔)| = [ sup |1+𝐻𝑑 (𝑗𝜔)| ]−1 ≡ ‖𝑆‖−1 ∞ 𝜔 𝜔 Este un indicator sintetic al marginii de stabilitate care înlocuiește cu succes marginea de amplitudine și marginea de fază. Se recomandă 𝑀𝑣 > 0,5 sau ‖𝑆‖∞ > 2 1 𝑀𝐴 ≥ 1−𝑀𝑣  |S(𝑗𝜔) | + |T(𝑗𝜔) | = 1 → Se impun margini pentru ‖𝑆‖∞ și ‖𝑇‖∞ 1 1 S(𝑗𝜔) = → S(𝑗𝜔𝜋 ) = 1+𝐻𝑑 (𝑗𝜔) 1+𝐻𝑑 (𝑗𝜔𝜋 ) 𝐻𝑑 (𝑗𝜔) 𝐻𝑑 (𝑗𝜔𝜋 ) T(𝑗𝜔) = → T(𝑗𝜔𝜋 ) = 1+𝐻𝑑 (𝑗𝜔) 1+𝐻𝑑 (𝑗𝜔𝜋 ) |𝑆| |𝑇| 1 |𝑆| ξ2 2 |𝑇| 𝑡 𝜔𝐵𝑆 𝜔𝐵𝑇 Lărgimea de bandă în termenii lui S indică frecvența până la care în mod convențional se consideră că are loc urmărirea referinței și rejecția perturbației. 1 |𝑆(𝑗𝜔𝜋 )| = 1 1+ 𝑀𝐴 𝑙𝑚 𝐻𝑑 (𝑗𝜔𝜋 ) 𝑅𝑒 [−1, 𝑗0] 𝐻𝑑 (𝑗𝜔) = 𝐴(𝜔) ∙ 𝑒 𝑗𝜑(𝜔)  𝐻𝑑 (𝑗𝜔) = 𝐻𝑅 (𝑗𝜔) ∙ 𝐻𝑝 (𝑗𝜔) 𝐴(𝜔) ∙ 𝑒 𝑗𝜑(𝜔) = 𝐴𝑅 (𝜔) ∙ 𝑒 𝑗𝜑𝑅(𝜔) ∙ 𝐴𝑝 (𝜔) ∙ 𝑒 𝑗𝜑𝑝(𝜔) 𝐴(𝜔) = 𝐴𝑅 (𝜔) + 𝐴𝑝 (𝜔) 𝜑(𝜔) = 𝜑𝑅 (𝜔) + 𝜑𝑝 (𝜔) DATE : 𝐴𝑝 (𝜔) , 𝜑𝑝 (𝜔) Caracteristica dorită 𝐴(𝜔) , 𝜑(𝜔) Cerințe de performanță 𝑀𝐴 ≥ 𝑀𝐴0 , 𝑀𝜑 ≥ 𝑀𝜑0 sau 𝑀𝑣 ≤ 𝑀𝑣0 𝑀𝑣 − valoarea maximă a modulului lui 𝑇(𝑗𝜔) Se aleg compensatoare de tipul ”Anticipație - Întârziere” 𝑠 𝑠+𝑧 𝑧 +1 𝛼𝑇𝑠 +1 𝐻𝑐 (𝑠) = = ⋅ 𝑧 𝑠 = ⋅ 𝛼 −1 𝑠+𝑝 𝑝 +1 𝑇𝑠 +1 𝑝 |𝑧| = (𝛼𝑇)−1 , |𝑝| = 𝑇 −1 1 𝛼𝑇𝑗 𝜔 + 1 𝐻𝑐 (𝑗𝜔) = ⋅ 𝛼 𝑇𝑗 𝜔 + 1 ∗ 𝐴𝑐 (𝜔) = -20 log 𝛼 + 20 log ξ1 + 𝛼 2 𝑇 2 𝜔 2 - 20 log ξ1 + 𝑇 2 𝜔 2 1 1 𝜑𝑐 (𝜔) = arctg 𝛼𝑇𝜔 - arctg 𝜔𝑇 ≡ arctg – arctg 𝑍 𝑝  𝐴𝑐 log 𝜔 𝑍 𝑝 1 1 ൬ ൰ ൬ ൰ 𝛼𝑇 𝑇 𝜑(𝜔) 𝜶>𝟏 𝜑𝑚 (𝜔) log 𝜔 𝜔𝑚 1 1 𝜔𝑚 = √𝑧 𝑝 = √ 2 = 𝛼𝑇 𝑇 ξ𝛼 1 1 𝐴𝑐 (𝜔𝑚 ) = −20𝑙𝑜𝑔𝛼 + 20 log √1 + 𝛼 2 𝑇 2 – 20 log √1 + 𝑇 2 𝑇2𝛼 𝑇2𝛼 1 𝐴𝑐 (𝜔𝑚 ) = −20𝑙𝑜𝑔𝛼 + 20 log ξ1 + 𝛼 – 20 log √1 + 𝛼 𝑨𝒄 (𝝎𝒎 ) = −𝟏𝟎𝒍𝒐𝒈𝜶 𝛼𝑇𝑗𝜔+1 1 1 (1+𝑇𝑗𝜔𝛼) (1−𝑇𝑗𝜔) 𝐻𝑐 (𝑗𝜔) = ∙ = [ ] 𝑇𝑗𝜔+1 𝛼 𝛼 1+𝑇 2 𝜔2 1 1+𝑇 2 𝜔2 𝛼 𝑇𝜔𝛼− 𝑇𝜔 𝐻𝑐 (𝑗𝜔) = ∙[ +𝑗 𝛼 1+𝑇 2 𝜔2 1+𝑇 2 𝜔2 𝑇𝜔𝛼 − 𝑇𝜔 𝑡𝑔𝜑 = 1 + 𝑇 2𝜔2𝛼 1 1 𝑇𝛼 ∙ −𝑇∙ 𝛼−1 𝑇ξ𝛼 𝑇ξ𝛼 𝑡𝑔𝜑𝑚 = 1 = 1+𝑇 2 𝛼 ∙ 2 2 ξ𝛼 𝑇 𝛼  Se trasează caracteristica dorită de frecvență a.î. să se asigure o pantă de -20db/dec. în jurul frecvenței de tăiere, într-o gamă suficient de mare de pulsații în vecinătatea pulsației de tăiere. 1. → Se transpun cerințele de performanță într-o formă dorită a caracteristicii 𝐴𝑑 (𝜔). 2. → Se păstrează amplificarea căii directe care asigură comportarea dorită în regim staționar. Compensatorul de tip ”Anticipație - Întârziere” nu afectează comportarea la frecvențe joase. 3. → Se trasează 𝐴𝑑 (𝜔) și 𝜑(𝜔) pentru sistemul necorectat și se determină marginea de fază. 4. → Se determină necesarul de fază pentru a îndeplini cerința 𝑀𝜑 ≥ 𝑀𝜑0. 5. → Determină valoarea lui 𝛼 pentru a obține corecția dorită de fază. 6. → Determină amplitudinea introdusă de compensator la 𝜔𝑚. 7. → Se evaluează 10𝑙𝑜𝑔𝛼 și se determină frecvența unde 𝐴(𝜔) necompensată este egală cu 10𝑙𝑜𝑔𝛼. Aceasta este noua frecvență de tăiere. 8. → Se determină T pentru noua pulsație de tăiere. 9. → Se trasează caracteristica 𝐴(𝜔) compensată. Robustețea S.R.A. ෡𝑝 (𝑠) → 𝐻𝑝 (𝑠) = 𝐻 𝐻 ෡𝑝 (𝑠)[1 + 𝐿𝑀 (𝑠)] model nominal mulțimea modelelor cu incertitudini 𝐿𝑀 (𝑠) = ∆ (𝑠) ∙ 𝑤2 (𝑠) |𝐿𝑀 (𝑗𝜔)| ≤ 𝑙𝑚 (𝜔) , ∀𝜔 ≥0  - Regulatorul se proiectează pe baza modelului nominal Spunem că regulatorul proiectat este robust în raport cu o proprietate (stabilitate, performanțe) dacă această proprietate se menține pentru toate modelele din mulțimea 𝐻𝑝 (𝑠) Robustețea presupune menținerea stabilității și performanțelor pentru întreaga mulțime a modelelor 𝐻𝑝 (𝑠) care conține incertitudinile descrise prin 𝐿𝑀 (𝑠). 𝐿𝑀 (𝑠) = ∆ (𝑠) ∙ 𝑤2 (𝑠) - ∆ (𝑠) – o funcție de transfer variabilă care satisface ‖∆ (𝑠)‖∞ ≤ 1. - 𝑤2 (𝑠) – o funcție de transfer stabilă, fixată. ∆ (𝑠)𝑤2 (𝑠) – perturbație normalizată a sistemului în raport cu 1. 𝐻𝑝 (𝑠) ෡𝑝 (𝑠) – 1 = ∆ (𝑠) 𝑤2 (𝑠) 𝐻 sau 𝐻𝑝 (𝑗𝜔) |𝐻෡ − 1| ≤ |𝑤2 (𝑗𝜔)| , ∀𝜔 𝑝 (𝑗𝜔) 𝑤2 (𝑗𝜔) definește profilul perturbației, în general o funcție monoton crescătoare cu 𝜔 ∆ (𝑠) cuantifică incertitudinea de fază și acționează ca un factor de scală a amplitudinii perturbației ( |∆| ∈ [0,1] ). 𝐻𝑝 (𝑗𝜔) La fiecare frecvență punctul ෡𝑝 (𝑗𝜔) aparține discului unitate cu centrul în 1 și 𝐻 raza egală cu |𝑤2 |. Astfel, modelul incert este reprezentat prin intermediul unui model nominal ෡𝑝 (𝑠) și o funcție 𝑤2 (𝑠). 𝐻 a) Robustețea stabilității Teoremă 1: 𝐻𝑅 asigură stabilitatea robustă dacă și numai dacă  ‖𝑤2 𝑇‖∞ < 1 sau 𝑤2 (𝑗𝜔) ∙ 𝐻෡ 𝑑 (𝑗𝜔) | | ෡𝑑 (𝑗𝜔)| < |1 + 𝐻 < 1 , ∀ 𝜔 → |𝑤2 (𝑗𝜔) 𝐻 ෡𝑑 (𝑗𝜔)| 1+𝐻෡ 𝑑 (𝑗𝜔) ෡𝑑 (𝑗𝜔) = 𝐻𝑅 (𝑗𝜔) ∙ 𝐻 unde 𝐻 ෡𝑝 (𝑗𝜔) ෡ 𝑑 (𝑗𝜔) 𝐻 𝑇̂(𝑗𝜔) = ෡𝑑 (𝑗𝜔) 1 + 𝐻𝑅 (𝑗𝜔) 𝐻 Demonstrație: 𝛤̂(𝑗𝜔) = 1+𝐻 ෡𝑑 (𝑗𝜔) ෡𝑑 (𝑗𝜔) înconjoară originea în sens anterior de un număr de ori egal cu numărul → 𝐻 ෡𝑑 (𝑗𝜔) de poli instabili ai lui 𝐻  𝐻 ෡𝑑 (𝑗𝜔) și 𝐻𝑑 (𝑗𝜔) are același număr de poli de instabilitate ෡𝑑 [1 + 𝐿𝑀 (𝑗𝜔)] 𝛤(𝑗𝜔) = 1 + 𝐻 ෡𝑑 (1 + 𝐿𝑀 )| > 0 , ∀ 𝜔 ≥ 0 , ∀ 𝐿𝑀 , |𝐿𝑀 (𝑗𝜔)| ≤ 𝑙𝑚 (𝜔) |1 + 𝐻 ෡ ෡𝑑 + 𝐿𝑀 𝐻 |1 + 𝐻 ෡𝑑 | ∙ |1 + 𝐿𝑀 𝐻𝑑| > 0 ෡𝑑 | > 0 ↔ |1 + 𝐻 1+𝐻෡ 𝑑 dar ෡𝑑 (𝑗𝜔)| > 0 → sistemul nominal este stabil |1 + 𝐻 ෡𝑑 𝐿𝑀 𝐻 ෡𝑑 𝐿𝑀 𝐻 |1+ ෡𝑑 | > 0, ∀ 𝜔 ≥ 0 , ∀ 𝐿𝑀 ↔ | ෡𝑑 | 𝑚𝑝 sau |𝐻 , ∀ 𝜔 > 0 , ∀ |𝐿𝑀 | ≤ 𝑙𝑚 (𝜔) |1+𝐿 𝑀| ‖𝑆𝑤1 ‖∞ < 1 1 1 S= = ෡ , ∀ 𝜔 ∈ [0, 𝜔0 ] 1+𝐻𝑑 (𝑗𝜔) 1+𝐻𝑑 (𝑗𝜔)[1+𝐿𝑀 (𝑗𝜔)] sau 𝑆̂(𝑗𝜔) 𝑆(𝑗𝜔) = 1+∆(𝑗𝜔) ∙ 𝑤2 (𝑗𝜔) ∙ 𝑇̂ (𝑗𝜔) 𝑆̂(𝑗𝜔) 𝑤1 (𝑗𝜔) ‖𝑆(𝑗𝜔) 𝑤1 (𝑗𝜔)‖∞ < 1 → ‖ ‖ < 1 , ∀ 𝜔, ∀ ‖∆‖∞ < 1 1+∆(𝑗𝜔) ∙ 𝑤2 (𝑗𝜔) ∙ 𝑇̂ (𝑗𝜔) ∞ Teorema 2: Condiția necesară și suficientă pentru ca 𝐻𝑅 să asigure robustețea performanțelor în prezența incertitudinilor multiplicative 𝐿𝑀 (𝑗𝜔) cu |𝐿𝑀 (𝑗𝜔)| ≤ 𝑙𝑚 (𝜔) este dată de relația: ‖ |𝑤1 𝑆̂| + |𝑤2 𝑇̂ | ‖∞ < 1 Demonstrație 𝑃𝑝 ‖ 𝑇̂𝑤2 ‖∞ < 1 - cerința pentru stabilitate robustă 𝑆̂ 𝑤1 ‖ ‖ < 1 pentru ∆(𝑠) fixat, cu ‖∆(𝑗𝜔)‖∞ ≤ 1 , ∀ 𝜔 ≥ 0 1−|𝑤2 𝑇̂ | ∞ Dacă ținem seama că: |1 + ∆𝑤2 𝑇̂ − ∆𝑤2 𝑇̂ | ≤ |1 + ∆𝑤2 𝑇̂| + |𝑤2 𝑇̂| = 1 sau 1- |𝑤2 𝑇̂| ≤ |1 + ∆𝑤2 𝑇̂| |𝑆̂ 𝑤1 | |𝑆̂ 𝑤1 | și astfel ̂| <