Subiecte Rezolvate BSA PDF

1-Stabilitatea sistemelor Sistemul: este un ansamblu din mai multe elemente astfel corectate incat se realizeaza o relatie de cauzalitate intre marimi considerate de intrare(cauze) si un sistem de marimi de ieisre ( efecte). Sistemul reprezinta modelul matematic al relatiei de cauzalitate INTRARE –...

1-Stabilitatea sistemelor Sistemul: este un ansamblu din mai multe elemente astfel corectate incat se realizeaza o relatie de cauzalitate intre marimi considerate de intrare(cauze) si un sistem de marimi de ieisre ( efecte). Sistemul reprezinta modelul matematic al relatiei de cauzalitate INTRARE – IESIRE. U -> Y ( u implica y) Y = F (a) = relatie de cauzalitate Spunem prin definitie ca un SRA este intern stabil numai daca toate cele opt functii de transfer din ec matricela sunt stabile. Aceasta definitie este echivalenta cu cerinta ca toate semnalele in bucla de reglare sa fie limitate pentru orice multime de marimi exogene r(t), v1(t),v2(t) si n(t) limitate. Stabilitatea sistemelor: Proprietatea unui sistem de a reveni intr-un regim stationar atunci cand este scos din regimul stationar de miscare, reprezinta stabilitatea sistemului sau daca un sistem este scos din starea de echilibru si apoi sistemul revin la starea de echlibru atunci spunem ca sistemul este stabil. Y(f)(t) = yst+yt => limt->x y(f)t = y(st) Limt->x y(t) = 0 Y(f) – y forta Y(t) – y tranzitoriu Y(st) – stationar Conditia necesara si sufficienta ca un sistem sa fie stabil este ca toti polii functiei de transfer sa fie situati in planul stand. Daca polii sunt complet conjugati, partea reala sa fie negativa. Astfel conditia necesara si sufficienta ca ca un SRA sa fie intern stabil este ca radacinile ecuatiei: Bp(s)QR(s) + Ap(s)PR(s) = 0 Spunem ca un sistem de reglare automata este intens stabil daca toate functiile de sensibilitate diferite, prin T(s), Hr(s), Hp(s) au polii situati in semiplanul stang al planului complex.  In plus, se cere sa nu existe compensari de poli instabili intre modelul procesului si modelul regulatorului. P(s) = αmSn -> Rm-1Sn-1+....+α1+S+α0 2-Calculul erorii la perturbatie Orice SRA are ca obiective rejectia perturbatiilor si urmarirea referintei. Abaterea fata de regimul stationar fixat prin program este un indicator important pentru aprecierea calitatii SRA in regim stationar. Pentru diferite tipuri de intrari, SRA raspunde diferit si eroarea in regim stationar pentru intrarile de tip treapta sau in regim permanent pentru intrarile de rampa si parabola pot fi egale cu 0 sau diferite de 0. Teoretic, este de dorit ca un SRA sa aiba capacitatea de a raspunde la schimbari in pozitie, viteza si acceleratiecu eroarea egala cu 0 in regim stationar. In practica este nerealist sa impunem asemenea cerinte severe de performantza, avand in vedere ca intotdeauna un SRA este supus actiunii unor marimi de tip treapta(pozitie), rampa(viteza), si parabola ( acceleratie), fiind dificila satisfacerea cerintei de eroare egala cu 0, simultan pentru toate cele 3 tipuri de semnale polinomiale. Pentru a evidentia calitatea comportarii unu SRA in regim stationar si a selecta indicatorii de perfoormanta, presupunem ca SRA este stabil si este caracterizat prin functiile de transfer Hd(s) si H0(s). Pentru semnalele de tip treapta se obtine eroarea stationara numai daca pe calea directa a sistemului de reglare se gaseste cel putin un interogator. Pentru sistemele de tip 0 (α=0), eroarea stationara diferita de 0 si are valoarea invers proportionala ca factorul de amplificare al sistemului direct. Astfel, eroarea in regim stationar pentru intrare treapta unitara si un sistem de tip 0 este: Este de remarcat faptul ca pentru α1=1 si α2=2, coeficientul de eroare la pozitie este infinit. In cazul in care sistemul este de tip 1, eroarea sistemului de tip rampa diferit de 0  Pentru ca eroarea la perturbatia treapta sa fie = 0 in regim stationar se impune ca polul pe cale directa in sistem sa fie pozitionat inaintea punctului de aplicatie al perturbatiei. Pentru intrarea de tip rampa unitara R(s) = , eroare in regim permanent p se obtine: Prin definitie lim sHd(s)=kv, reprezinta coeficientul de eroare la viteza. Pentru intrarea parabola unitara R(s) 1/s3 , eroare in regim stationar este: Eroarea se va calcula cu relatie: a = 1/ka Ca si in cazurile anterioare, pentru α>2 se va obtine eroarea egala cu zero, intrucat coeficientul de eroare la acceleratie devine infinit.  3-Marginea de amplitudine si de faza Raspunsurile in frecventa sunt instrumente foarte utile pentru toate aspectele de analiza, sinteza si proiectarea regulatoarelor si filtrelor. Pot fi utilizate ca reprezentari distincte amplitudine – frecventa si faza- frecventa (diagrama bode) sau in reprezentare polara (locul Nyquist). Diagramele Bode pot fi obtinute si pe cale experimentala, daca se considera obiectul condus ca sistem liniar de intrare caruia se aplica semnalul. U(t)=Umsinώt Unde um este amplitudinea undei sinusoidale si se alege asfel incat sa se mentina liniaritatea modelului procentului. In cazul conservarii liniaritatii, raspunsul obiectului condus este: y(t) = Ysin(ώt+φ) Unde: Y reprezinta amplitudinea iesirii si φ este defazajul iesirii sinusoidale fata de intrarea u(t). Reprezentarea dependentei pentru diferite valori ar conduce la caracteristica A(ώ), intrucat Aceasta caracteristica poate fi reprezentata folosind o scala logaritmica si, in consecinta,amplitudinea se masoara in decibeli (Adb = 20 lgA(ώ) Pentru cnstructia unui model parametric al obiectlui condus pe baza caracteristicilor de frecventa obtinute pe cale experimentala, se definesc erorile: Unde A(ώ) si reprezinta valorile amplitudinii direct patru proiectarea regulatoarelor. Aceste caracteristici pot fi utilizate direct pentru proiectarea regulatoarelor.  4- Raspunsul indicial al sist de ordin 2 Este cunoscut faptul ca, daca la intrarea unui sistem se aplica in conditiile initiale nule o trepta unitara, se obtine raspunsul indicial Pe langa stabilitatea si precizie, se impune analiza raspunsului tranzitoriu si evaluarea performantelor. Caracteristicile raspunsului tranzitoriu al SRA sunt definite in raport cu intrarile de tip treapta. Vom considera un sistem de ordinul 2 care reprezinta o buna aproximare, chiar pentru sisteme de ordin mai mare, daca sistemul are 2 poli complex conjugati ca radacini dominante. Asfel, daca functia de transfer a sistemului inchis este: Raspunsul indicial se calculeaza cu formula: -1 Unde Indicatorii de calitatea ai raspunsului indicial sunt: - Valoarea de regim stationar Yst =Y , care reprezinta valoarea finala a iesirii - Suprareglajul σ, care se calculeaza in functie de valoarea maxima a iesirii Ym, care depaseste valoarea de regim stationar si se exprima in procente. Timpul de stabilizare sau durata reimului stationar tranzitoriu reprezinta tipul necesar ca raspunsul tranzitoriu sa intre intr-o banda specifica de derivatie in jurul valorii finale Yst. Aceasta derivatie, Δ, este uzual definita ca un procentaj fata de Yst, este uzual definita ca un procentaj fata de Yst, Δ=2% -5%.  5- Algoritmi de reglare model: P,PI, PD,PID Legea de reglare de tip P cea mai simpla legea de reglare este de tip proportional. Daca ne referim la structura clasica de SRA cu reactie unitara si un singur grad de libertate, se poate defini legea de reglare de tip P sub forma: u(t) = Kr (t) In acest caz putem spune ca regulatorul are o comportare de tip P, iar functia de transfer atasata acestuia este: Hr(s)=Kr Este evident ca un asemenea regulator are o comportare ideala reprezentata prin raspunsul indicial. Raspunsul indicial reprezentat punctat ar putea defini comportarea reala a unui regulator de tip P. Aceasta comportare este determinata de modul de implementare a legi de reglare de tip P. Ideal pentru o treaptra unitara aplicata la intrare, raspunsul este o treapta de amplitudine egala cu factorul de amplificare. Un regulator de tip P poate controla orice proces stabil, insa performantele obtinute sunt limitate, iar erorile in regim stationar pentru referinta treapta este diferita de 0. In mod traditional se foloseste banda de proportionalitate pentru a descrie actiunea proportionala: BP[%]=100%/Kr Legea de tip PI dacala componenta P se adauga o componenta de tip integral, se obtine legea de reglare PI data de relatia: u(t)=Kr [ Ca si in cazul legi de reglare de tip P, coeficientul Kr poarta denumirea de factor de amplificare al componentei P, iar Raportul kr/Ti = K1 poarta denumirea de factor de amplificare al componentei integrale. In acest caz putem scrie relatia sub forma: u(t)=Kr Se poate observa ca factorul de amplificare Kr este chiar coeficientul ce defineste componenta proportinal Kp, iar coeficientul K1 este determinat atat de Kr cat si de constanta de timp a actiunii integrale Ti Functia de transfer atasata acestei legi de reglare PI este: Hr(s)=Kr Componenta reala a regulatorului de tip PI, tinand seama de modul de implementare a legii de reglare, este diferita de comportarea ideala Prezenta componentei integrale in structura unui algoritm de reglare poate genera efecte nedorite ca urmare a saturarii, insa se asigura eroare stationara egala cu 0 in cazul in care semnalul de iesire in regim stationar are valori sub limita de saturatie. Legea de reglare de tip proportional – derivativa (PD) In acest caz, la componenta proportinala se adauga o componenta derivativa: U(t) = Kr[ Sau (t) = Kp Unde Kd=KrTd. Functia de transfer ce defineste comportarea unui regulator PD este:  Hr(s) = Kr(1+Tds) Unde Kr este amplificarea porportionala, iar Td este constanta de timp atasata componentei derivative. Ambele sunt ajustabile prin modificarea Kp si Kd Componenta derivativa evidentiaza faptul ca iesirea u(t) este proportional cu viteza de variatie a erorii. Aceasta componenta, desi prezinta avantajul comportarii anticipative, are insa dezavantajul ca amplifica semnalele de tp zgomot si poate cauza efecte de saturatie in comportarea elementului de executie. Componenta derivativa nu poate fi utilizata niciodata singura, aceasta fiind efectiva numai in perioada tranzitorie Pentru aceasta lege de reglagre se poate reprezenta raspunsul indicial pentru diverse valori ale coeficientului α Legea de reglare proportional integral derivativa (PID) Combinatia actiunilor de reglare proportionala integrala si derivativa conduce in mod natural la algoritmul sau legea de tip PID. Aceasta lege „ideala” de reglare are forma: U(t) = Kr Unde Kp- factor de proportionalitate K1 – Kr/Ti factorul integral Kd – factorul derivativ Functia de transfer atasata acestu regulator este: s Hr(s) = Kr(1+ ) Ca si in cazul legii de reglare de tip Pd, functia de transfer evidentiaza un sistem nerealizabil fizic. Pentru realizabilitatea fizica a legii de reglare PID pot fi utilizate diferite variante ale acestuia. O prima varianta a legii de reglare PID include constanta de timp αTd pentru filtrarea componentei derivative: Hr(s) = Kr( α