Somme directe et concourance des sous-espaces

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18 Questions

Quelle est la relation correcte entre f, f10 et f20 ?

f = f20 - f10

Pourquoi peut-on dire que F = A + F ?

Par définition

Quelle est la direction de Fi si les Fi sont concourants ou sécants ?

Fi

Quelle est la conséquence si F ≠ ∅ ?

Il existe A ∈ F

Que représente l'égalité F − f = F dans le contexte de l'espace vectoriel E ?

F - f est équivalent à F dans E

Quelle est la condition pour dire que les FT i sont concourants ou sécants ?

{ FT i }i∈1 sont concourants ou sécants si i∈I Fi.i∈I Fi 6= ∅

Si E = F + G, que peut-on conclure sur les vecteurs M + f et N - g ?

Ils appartiennent à E.

Que signifie le fait que F et G soient en somme directe ?

Tout vecteur de F + G peut être décomposé de manière unique en un vecteur de F et un vecteur de G.

Quelle est la condition nécessaire pour que F et G soient en somme directe ?

F ∩ G = {0E}

Que peut-on conclure si F ∩ G contient uniquement l'élément neutre {0E} ?

F et G sont en somme directe.

Quel lien existe entre la formule de Grassmann et la dimension de F + G ?

La formule de Grassmann est une généralisation de la dimension de F + G.

Dans l'exemple donné, comment peut-on décrire le plan P et la droite D en termes de somme directe ?

Ils sont en somme directe.

Quelle est la définition de la somme de deux sous-espaces vectoriels F et G dans un espace vectoriel E ?

F + G = {f + g; f ∈ F et g ∈ G}

Pourquoi la famille {(1, 0), (i, 0), (0, 1), (0, i)} est-elle une base de C2 sur R ?

Elle forme un ensemble linéairement indépendant

Pourquoi l'ensemble F + G est-il considéré comme le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant F et G ?

Parce que tout sous-espace contenant F et G contient aussi F + G

Que représente Vect(X ∪ Y) dans le théorème 2.53 ?

L'ensemble engendré par l'union de X et Y

Pourquoi l'ensemble X ∪ Y engendre-t-il la somme F + G selon le théorème 2.53 ?

Car il engendre Vect(X) + Vect(Y)

Quelle est la dimension de la base canonique de C2 comme C-espace vectoriel?

2

Study Notes

  • Si E est un espace vectoriel de dimension k, avec F et G comme sous-espaces affines de directions respectives F et G, alors si E = F + G, F et G sont concourants.
  • La somme directe de F et G est définie comme une décomposition unique d'un vecteur de F + G en un vecteur de F et un vecteur de G. Cela se note F ⊕ G.
  • F et G sont en somme directe si et seulement si F ∩ G = {0E}, avec dim(F + G) = dim F + dim G si les dimensions de F et G sont définies.
  • Dans R3, le plan P et la droite D sont en somme directe.
  • Une base de E comme espace complexe peut être transformée en une base de E comme espace réel en doublant ses éléments.
  • La somme de deux sous-espaces vectoriels F et G est le plus petit sous-espace contenant à la fois F et G.
  • Le vecteur engendré par l'union de deux parties X et Y est égal à la somme des vecteurs engendrés par X et Y.
  • Un sous-espace affine F peut être représenté comme F = A + F pour tout A appartenant à F.
  • Des sous-espaces affines sont dits concourants s'ils ont une intersection non vide, ce qui signifie que leur somme est un sous-espace affine également.

Démonstration de la concourance des sous-espaces F et G de l'espace vectoriel E, ainsi que la définition de la somme directe de deux sous-espaces. En utilisant la décomposition d'un vecteur de F + G en un vecteur de F et un vecteur de G, on démontre la concourance de F et G.

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