Un trapezio isoscele è inscritto in una semicirconferenza di raggio 6,5 cm. Sapendo che l'altezza del trapezio supera di 1 cm la base minore, determina il suo perimetro.

Steps to Solve

1. Definizione delle variabili Sia $b_1$ la base minore del trapezio e $h$ l'altezza. Dato che l'altezza supera di 1 cm la base minore, possiamo esprimere $h$ come: $$ h = b_1 + 1 $$

2. Relazione con il raggio della semicirconferenza Il trapezio isoscele è inscritto nella semicirconferenza, quindi le sommità delle sue due altezze formano un triangolo rettangolo con il raggio della semicirconferenza. Possiamo utilizzare il teorema di Pitagora per trovare la relazione tra il raggio, l'altezza e la base minore.

3. Applicazione del teorema di Pitagora Possiamo scrivere la relazione come segue, considerando metà della base maggiore $b_2$ e la distanza dalla sommità del trapezio al punto centrale della semicirconferenza: $$ r^2 = \left(\frac{b_1 + b_2}{2}\right)^2 + h^2 $$

4. Sostituzione dei valori conosciuti Il raggio della semicirconferenza è $6.5$ cm, quindi: $$ 6.5^2 = \left(\frac{b_1 + b_2}{2}\right)^2 + (b_1 + 1)^2 $$ $$ 42.25 = \left(\frac{b_1 + b_2}{2}\right)^2 + (b_1 + 1)^2 $$

5. Risoluzione dell'equazione Semplificando l'equazione: $$ 42.25 = \frac{(b_1 + b_2)^2}{4} + (b_1 + 1)^2 $$

6. Determinazione delle lunghezze delle basi Dal passaggio precedente è possibile isolare $b_2$ e risolvere in termini di $b_1$. Una volta calcolato, utilizzando i valori trovati possiamo procedere.

7. Calcolo del perimetro Il perimetro del trapezio è dato dalla somma delle sue basi e dei due lati, che sono uguali, quindi: $$ P = b_1 + b_2 + 2l $$ Dove $l$ è la lunghezza dei lati, che può essere calcolata utilizzando nuovamente il teorema di Pitagora.