ما هي النقاط الحرجة والتزايد والتناقص للدالة المعطاة؟

Steps to Solve

1. تحديد نقاط الحرجة نبدأ بإيجاد نقاط الحرجة للدالة. لنحسب المشتقة الأولى للدالة $y = 3x^2 - 6x$. المشتقة هي: $$ y' = 6x - 6 $$ نضع المشتقة تساوي صفر لإيجاد النقاط الحرجة: $$ 6x - 6 = 0 $$ $$ x = 1 $$

2. تحديد القيم عند النقاط الحرجة نحسب $y$ عند $x = 1$: $$ y(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 $$ لذا، النقطة الحرجة هي $(1, -3)$.

3. تحليل سلوك التزايد والتناقص نستخدم المشتقة الأولى لمعرفة إذا كانت الدالة تتزايد أو تتناقص. نختار قيم للاختبار على يسار $x = 1$ (مثل $x = 0$) وعلى اليمين (مثل $x = 2$):

• عند $x = 0$: $$ y'(0) = 6(0) - 6 = -6 \quad \text{(تناقص)} $$
• عند $x = 2$: $$ y'(2) = 6(2) - 6 = 6 \quad \text{(تزايد)} $$

4. تحديد سلوك المنحنى من التحليل نكتشف أن:

• الدالة تتناقص في الفترة $(-\infty, 1)$
• الدالة تتزايد في الفترة $(1, \infty)$

5. تحديد الرسم البياني الآن، باستخدام هذه المعلومات، يمكننا رسم الدالة. نرسم نقطة عند $(1, -3)$ ونظهر وجود تناقص قبلها وتزايد بعدها.