Jestliže zvětšíme jednu stranu čtverce o 20 cm a součástní stranu zmenšíme o 6 cm, dostaneme rozměry obdélníku, jehož obsah je o 40 % větší než obsah původního čtverce. Určete délk... Jestliže zvětšíme jednu stranu čtverce o 20 cm a součástní stranu zmenšíme o 6 cm, dostaneme rozměry obdélníku, jehož obsah je o 40 % větší než obsah původního čtverce. Určete délku jeho strany.
Understand the Problem
Dotaz se ptá, jaký bude rozměr obdélníku po zvětšení jedné strany čtverce o 20 cm a zmenšení druhé strany, při čemž obsah obdélníku je o 40 % větší než obsah původního čtverce. Je potřeba vypočítat délku zmenšené strany obdélníku.
Answer
$x = \frac{20a - 0.4a^2}{a + 20}$.
Answer for screen readers
Délka zmenšené strany obdélníku je $x = \frac{20a - 0.4a^2}{a + 20}$.
Steps to Solve
- Pochopení počátečních rozměrů čtverce
Předpokládejme, že čtverec má původní délku jedné strany $a$. Jeho obsah je tedy $a^2$.
- Vypočítání nového rozměru obdélníku
Po zvětšení jedné strany čtverce o 20 cm bude nová délka strany $a + 20$. Přitom druhá strana se zmenší o $x$ cm, takže její nová délka bude $a - x$.
- Vztah mezi obsahy
Obsah obdélníku je dán vzorcem: $$ \text{Obsah obdélníku} = (a + 20)(a - x) $$
Podle zadání je tento obsah o 40 % větší než původní obsah čtverce. To lze zapsat jako: $$ (a + 20)(a - x) = 1.4 \cdot a^2 $$
- Rozvinutí rovnice
Rozvineme levá část rovnice: $$ a^2 - ax + 20a - 20x = 1.4 a^2 $$
- Úprava a řešení
Přesuneme všechny členy na jednu stranu rovnice: $$ -ax + 20a - 20x = 0.4 a^2 $$ Nyní upravíme rovnici tak, aby byla jednodušší pro hledání $x$: $$ ax + 20x = 20a - 0.4a^2 $$ $$ x(a + 20) = 20a - 0.4a^2 $$
- Vyjádření $x$
Nyní vyjádříme $x$: $$ x = \frac{20a - 0.4a^2}{a + 20} $$
Délka zmenšené strany obdélníku je $x = \frac{20a - 0.4a^2}{a + 20}$.
More Information
Toto řešení vyjadřuje, jak se vyvíjí druhá strana obdélníku s různými hodnotami původní délky strany čtverce $a$. Jakmile zjistíme konkrétní hodnotu $a$, můžeme spočítat konkrétní délku $x$.
Tips
- Zapomínání na správné použití obsahu obdélníku a čtverce. Vždy je důležité správně formulovat rovnice podle obsahu.
- Chybné provádění algebraických operací při úpravech rovnic. Doporučuji kontrolovat každý krok.
AI-generated content may contain errors. Please verify critical information
