Gegeben sind die Funktionen f(x) = x² - 1 und g(x) = 2/x. Bestimmen Sie f(g(4)). Bilden Sie das Produkt aus den Lösungen der Betragsgleichung |2x - 1| = 5. Berechnen Sie log₂(32) -... Gegeben sind die Funktionen f(x) = x² - 1 und g(x) = 2/x. Bestimmen Sie f(g(4)). Bilden Sie das Produkt aus den Lösungen der Betragsgleichung |2x - 1| = 5. Berechnen Sie log₂(32) - log₃(81).
Understand the Problem
Die Frage umfasst mehrere Aufgaben, die mathematische funktionale Beziehungen und Logarithmen betreffen. Die Aufgaben verlangen dazu, Werte für gegebene Funktionen zu berechnen sowie Produkte aus Lösungen und Logarithmuswerte zu ermitteln.
Answer
- \( f(g(4)) = 11.25 \) - Produkt der Lösungen: \(-6\) - \( \log_2(32) - \log_3(81) = 1 \)
Answer for screen readers
Die Werte für die Aufgaben sind:
- ( f(g(4)) = 11.25 )
- Produkt der Lösungen der Betraggleichung: (-6)
- ( \log_2(32) - \log_3(81) = 1 )
Steps to Solve
- Bestimmen von (g(4))
Gegeben ist die Funktion (g(x) = \frac{x^2 - 2}{x}). Setze (x = 4) ein: [ g(4) = \frac{4^2 - 2}{4} = \frac{16 - 2}{4} = \frac{14}{4} = 3.5 ]
- Berechnen von (f(g(4)))
Jetzt setzen wir den Wert von (g(4)) in die Funktion (f(x) = x^2 - 1) ein: [ f(g(4)) = f(3.5) = (3.5)^2 - 1 = 12.25 - 1 = 11.25 ]
- Lösen der Betragsgleichung
Die Betragsgleichung ist (|2x - 1| = 5). Diese Gleichung hat zwei Fälle:
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Fall 1: (2x - 1 = 5) [ 2x = 6 \Rightarrow x = 3 ]
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Fall 2: (2x - 1 = -5) [ 2x = -4 \Rightarrow x = -2 ]
Die Lösungen sind also (x = 3) und (x = -2).
- Berechnen des Produkts der Lösungen
Das Produkt der Lösungen (3) und (-2): [ 3 \cdot (-2) = -6 ]
- Berechnen des Logarithmus
Jetzt berechnen wir ( \log_2(32) - \log_3(81) ).
-
Zuerst ( \log_2(32) ): [ \log_2(32) = 5 \quad (\text{da } 2^5 = 32) ]
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Dann ( \log_3(81) ): [ \log_3(81) = 4 \quad (\text{da } 3^4 = 81) ]
Nun können wir den Ausdruck berechnen: [ \log_2(32) - \log_3(81) = 5 - 4 = 1 ]
Die Werte für die Aufgaben sind:
- ( f(g(4)) = 11.25 )
- Produkt der Lösungen der Betraggleichung: (-6)
- ( \log_2(32) - \log_3(81) = 1 )
More Information
Die Funktion (g(x)) und die Betraggleichung sind grundlegende Bereiche der Mathematik, die häufig in verschiedenen Anwendungen vorkommen. Logarithmen helfen uns, exponentielle Beziehungen zu verstehen und zu berechnen.
Tips
- Ein häufiger Fehler bei Betraggleichungen ist, die beiden Fälle nicht zu berücksichtigen. Es ist wichtig, sowohl die positive als auch die negative Lösung zu prüfen.
- Beim Berechnen von Logarithmen werden manchmal die Basen verwechselt; daher sollte immer vorsichtig mit den Eigenschaften der Logarithmen umgegangen werden.
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