Considere dos números enteros positivos consecutivos, n y n + 1. Muestre que la diferencia de sus cuadrados es igual a la suma de esos dos enteros.
Understand the Problem
La pregunta está pidiendo que se demuestre que la diferencia de los cuadrados de dos números enteros positivos consecutivos, n y n + 1, es igual a la suma de esos dos números. Para resolver esto, calcularemos los cuadrados de n y n + 1, encontraremos su diferencia y luego demostraremos que esa diferencia es igual a la suma de n y n + 1.
Answer
La diferencia de los cuadrados de dos enteros positivos consecutivos es igual a la suma de esos enteros.
Answer for screen readers
Se demuestra que la diferencia de los cuadrados de dos números enteros positivos consecutivos, $n$ y $n + 1$, es igual a la suma de esos dos números.
Steps to Solve
- Calcular los cuadrados de los números consecutivos
Los números consecutivos son $n$ y $n + 1$. Primero, calculamos sus cuadrados:
[ n^2 \quad \text{y} \quad (n + 1)^2 ]
- Encontrar la diferencia de los cuadrados
Ahora, calculamos la diferencia de sus cuadrados:
[ (n + 1)^2 - n^2 ]
- Expandir la expresión
Expandimos la expresión del paso anterior:
[ (n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1 ]
Por lo tanto, la diferencia es:
[ (n^2 + 2n + 1) - n^2 ]
- Simplificar la diferencia
Al simplificar:
[ (n^2 + 2n + 1) - n^2 = 2n + 1 ]
- Calcular la suma de los números consecutivos
Ahora calculamos la suma de los números consecutivos:
[ n + (n + 1) = 2n + 1 ]
- Comparar la diferencia con la suma
Finalmente, notamos que la diferencia que encontramos, $2n + 1$, es igual a la suma que calculamos:
[ (n + 1)^2 - n^2 = n + (n + 1) ]
Se demuestra que la diferencia de los cuadrados de dos números enteros positivos consecutivos, $n$ y $n + 1$, es igual a la suma de esos dos números.
More Information
La propiedad que hemos demostrado es una identidad matemática importante en álgebra. Este tipo de relaciones se pueden usar en diversas áreas de matemáticas y física, así como en problemas de programación y optimización.
Tips
- No expandir correctamente: A veces, al expandir expresiones al cuadrado, se pueden omitir términos. Asegúrate de recordar que $(n+1)^2$ incluye tanto $n^2$ como el término adicional $2n + 1$.
- Olvidar la suma: Al calcular la suma de los dos números, verifica que ambos números se estén sumando correctamente.
