Bestimmen Sie für die arithmetischen Folgen das Anfangsglied a1, die Differenz d, das allgemeine Glied an und die 20. Partialsumme.
Understand the Problem
Die Frage verlangt, dass wir für gegebene arithmetische Folgen das Anfangsglied a1, die Differenz d, das allgemeine Glied an und die 20. Partialsumme bestimmen. Dabei sind vier verschiedenen Folgen angegeben, aus denen jeweils die entsprechenden Werte extrahiert werden sollen.
Answer
a) \(S_{20} = 900\) b) \(S_{20} = 400\) c) \(S_{20} = 280\) d) \(S_{20} = -170\)
Answer for screen readers
a) (a_1 = 7), (d = 4), (a_n = 7 + (n-1) \cdot 4), (S_{20} = 900)
b) (a_1 = 1), (d = 2), (a_n = 1 + (n-1) \cdot 2), (S_{20} = 400)
c) (a_1 = 4.5), (d = 1), (a_n = 4.5 + (n-1) \cdot 1), (S_{20} = 280)
d) (a_1 = 20), (d = -3), (a_n = 20 + (n-1) \cdot (-3)), (S_{20} = -170)
Steps to Solve
- Bestimmung des Anfangsglieds (a_1)
Für jede Folge ist das Anfangsglied (a_1) der erste Wert der Sequenz.
- a) (a_1 = 7)
- b) (a_1 = 1)
- c) (a_1 = 4\frac{1}{2} = 4.5)
- d) (a_1 = 20)
- Bestimmung der Differenz (d)
Die Differenz (d) wird als die konstante Zahl zwischen aufeinander folgenden Gliedern der Folge definiert.
- a) (d = 11 - 7 = 4)
- b) (d = 3 - 1 = 2)
- c) (d = 5.5 - 4.5 = 1)
- d) (d = 17 - 20 = -3)
- Allgemeines Glied (a_n) bestimmen
Das allgemeine Glied (a_n) einer arithmetischen Folge kann mit folgender Formel berechnet werden: $$ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d $$
- a) (a_n = 7 + (n-1) \cdot 4)
- b) (a_n = 1 + (n-1) \cdot 2)
- c) (a_n = 4.5 + (n-1) \cdot 1)
- d) (a_n = 20 + (n-1) \cdot (-3))
- Berechnung der 20. Partialsumme (S_{20})
Die 20. Partialsumme einer arithmetischen Folge wird mit folgender Formel berechnet: $$ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) $$ Zuerst berechnen wir (a_{20}) für jede Folge.
-
a) [ a_{20} = 7 + (20-1) \cdot 4 = 7 + 76 = 83 ] [ S_{20} = \frac{20}{2} \cdot (7 + 83) = 10 \cdot 90 = 900 ]
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b) [ a_{20} = 1 + (20-1) \cdot 2 = 1 + 38 = 39 ] [ S_{20} = \frac{20}{2} \cdot (1 + 39) = 10 \cdot 40 = 400 ]
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c) [ a_{20} = 4.5 + (20-1) \cdot 1 = 4.5 + 19 = 23.5 ] [ S_{20} = \frac{20}{2} \cdot (4.5 + 23.5) = 10 \cdot 28 = 280 ]
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d) [ a_{20} = 20 + (20-1) \cdot (-3) = 20 - 57 = -37 ] [ S_{20} = \frac{20}{2} \cdot (20 + (-37)) = 10 \cdot (-17) = -170 ]
a) (a_1 = 7), (d = 4), (a_n = 7 + (n-1) \cdot 4), (S_{20} = 900)
b) (a_1 = 1), (d = 2), (a_n = 1 + (n-1) \cdot 2), (S_{20} = 400)
c) (a_1 = 4.5), (d = 1), (a_n = 4.5 + (n-1) \cdot 1), (S_{20} = 280)
d) (a_1 = 20), (d = -3), (a_n = 20 + (n-1) \cdot (-3)), (S_{20} = -170)
More Information
Die arithmetische Folge ist eine der grundlegenden Konzepte in der Mathematik, und ihre Eigenschaften werden in vielen Anwendungen der Mathematik genutzt, einschließlich Finanzen, Physik und Datenanalyse.
Tips
- Die Differenz (d) kann oft falsch berechnet werden, wenn man die falschen Glieder vergleicht. Achte darauf, stets aufeinanderfolgende Glieder zu verwenden.
- Bei der Berechnung der Partialsumme kann es zu Fehlern kommen, wenn (a_n) nicht korrekt bestimmt wird. Überprüfe die Berechnung von (a_n) sorgfältig.
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