1. Sachant que le consommateur dispose d'un revenu de 80 u.m., quels devraient être les prix des deux biens x et y pour qu'à l'optimum il puisse consommer 20 unités du bien x et 5... 1. Sachant que le consommateur dispose d'un revenu de 80 u.m., quels devraient être les prix des deux biens x et y pour qu'à l'optimum il puisse consommer 20 unités du bien x et 5 unités du bien y ? 2. De combien devrait varier le revenu si l'on veut que le consommateur augmente sa consommation optimale des deux biens de 50%, les prix des deux biens (ceux obtenus dans la question 1) étant constants ? 3. Si l'on veut que le consommateur double sa consommation optimale à la fois du bien x et du bien y, montrer de combien devraient varier les prix de ces deux biens, le revenu étant constant (R=80) ? Read more

Steps to Solve

1. Établir la fonction de satisfaction
   La fonction de satisfaction du consommateur est donnée par ( U(x,y) = x^{3/4} \cdot y^{1/4} ).
   Nous savons que le consommateur consomme 20 unités du bien ( x ) et 5 unités du bien ( y ).

2. Calculer l’utilité maximale
   Calculons l'utilité maximale.
   Pour ( x = 20 ) et ( y = 5 ) :
   $$ U(20, 5) = 20^{3/4} \cdot 5^{1/4} $$

3. Calculer le budget
   Le revenu total du consommateur est de 80 u.m. :
   $$ P_x \cdot x + P_y \cdot y = 80 $$
   où ( P_x ) et ( P_y ) sont les prix des biens ( x ) et ( y ).

4. Identifier les prix des biens
   Nous avons le système d'équations suivant :

1. ( P_x \cdot 20 + P_y \cdot 5 = 80 )
2. On peut exprimer ( P_y ) en fonction de ( P_x ) et vice versa.

5. Résoudre pour les prix
   Assumons des prix, par exemple ( P_x = p ) et ( P_y = q ), et remplaçons dans notre équation de budget.
   $$ 20p + 5q = 80 $$
   Isolons ( q ) :
   $$ q = \frac{80 - 20p}{5} $$
   ou
   $$ q = 16 - 4p $$

6. Maximiser la fonction sous contrainte de budget
   Utilisons la contrainte de budget pour déterminer les prix des biens en maximisant l'utilité. En utilisant les dérivées partielles :
   $$ \frac{\partial U}{\partial x} = \frac{3}{4} x^{-1/4} y^{1/4} $$
   $$ \frac{\partial U}{\partial y} = \frac{1}{4} x^{3/4} y^{-3/4} $$
   Équilibrons la condition de tangence :
   $$ \frac{\frac{\partial U}{\partial x}}{\frac{\partial U}{\partial y}} = \frac{P_x}{P_y} $$

7. Calculer les variations de revenus
   Pour la question 2, calculons la variation de revenu :
   Si la consommation optimale des deux biens augmente de 50 %, nous avons ( x' = 20 \cdot 1.5 = 30 ) et ( y' = 5 \cdot 1.5 = 7.5).
   Nous devons recalculer le revenu:
   $$ P_x \cdot 30 + P_y \cdot 7.5 $$

8. Doublement de la consommation
   Enfin, pour la question 3, si nous voulons que le consommateur double sa consommation à la fois pour ( x ) et ( y ), alors ( x'' = 40 ) et ( y'' = 10).
   Le nouveau revenu sera:
   $$ P_x \cdot 40 + P_y \cdot 10 $$