Тригонометрия: синус, косинус, тангенс

Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса

• Синус угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе.
• Косинус угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе.
• Тангенс угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
• Котангенс угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение прилежащего катета к противолежащему катету.

Связь с единичной окружностью

• Для углов, измеряемых в радианах, синус и косинус могут быть определены с помощью единичной окружности.
• Синус угла равен ординате точки на единичной окружности, соответствующей этому углу.
• Косинус угла равен абсциссе точки на единичной окружности, соответствующей этому углу.
• Тангенс и котангенс можно вычислить, используя синус и косинус.
• Тангенс равен отношению синуса к косинусу, котангенс - отношению косинуса к синусу.

Важные соотношения

• Формулы, связывающие тригонометрические функции:
  • $\sin^2 x + cos^2 x = 1$
  • $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$
  • $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$

Области определения и значений

• Синус и косинус определены для всех углов.
• Их значения лежат в интервале от -1 до 1.
• Тангенс и котангенс определённы для всех углов, кроме значений, где косинус равен нулю.
• Теоретически значения бесконечны.

Примеры

• Если в прямоугольном треугольнике угол равен 30 градусам, противолежащий катет равен 1, а гипотенуза равна 2, то синус этого угла равен 1/2.
• Если угол равен 45 градусам, то косинус и синус равны $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Вопросы для самопроверки

• Дано прямоугольный треугольник, где один катет равен 3, а гипотенуза 5. Найти синус, косинус и тангенс острого угла, противолежащего катету 3.
• На единичной окружности найдите координаты точки, соответствующей углу π/3. Найдите значение sin π/3, cos π/3, tg π/3, ctg π/3.
• При каких значениях x функция tg x не определена?
• Что представляют собой графики функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса?

Дополнительные вопросы (для расширения знаний)

• Как связаны тригонометрические функции с комплексной плоскостью?
• Как вычислить тригонометрические функции для произвольных углов?
• Какова физическая интерпретация синуса и косинуса?

В этом тесте вы узнаете определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также их связь с единичной окружностью. Пройдите квиз, чтобы проверить свои знания о тригонометрических функциях и важных соотношениях. Этот материал полезен для студентов математики и всех интересующихся тригонометрией.