Trigonometric Functions Quiz

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

• นิยาม: ฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับมุมและความยาวของด้านในรูปสามเหลี่ยม มีฟังก์ชันหลัก 6 ประการ ได้แก่:

  1. ไซน์ (sin): อัตราส่วนระหว่างด้านตรงข้ามมุมกับด้านตรงข้ามที่สุดในสามเหลี่ยม
  2. โคไซน์ (cos): อัตราส่วนระหว่างด้านข้างติดมุมกับด้านตรงข้ามที่สุดในสามเหลี่ยม
  3. แทนเจนต์ (tan): อัตราส่วนระหว่างไซน์กับโคไซน์ (tan = sin/cos)
  4. โคแทนเจนต์ (cot): อัตราส่วนระหว่างโคไซน์กับไซน์ (cot = cos/sin)
  5. เซคันต์ (sec): อัตราส่วนกลับของโคไซน์ (sec = 1/cos)
  6. โคเซคันต์ (csc): อัตราส่วนกลับของไซน์ (csc = 1/sin)

• คุณสมบัติ:

  • ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์มีช่วงค่าระหว่าง -1 ถึง 1
  • แทนเจนต์มีช่วงค่าจาก -∞ ถึง +∞
  • ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์มีการทำซ้ำในช่วง 360 องศาหรือ 2π เรเดียน

• กราฟฟังก์ชัน:

  • กราฟไซน์: มีช่วงและความถี่สม่ำเสมอ วนเป็นรูปคลื่น
  • กราฟโคไซน์: คล้ายกราฟไซน์ แต่เลื่อนขวา 90 องศา
  • กราฟแทนเจนต์: มีลักษณะคล้ายรูปกรวยและเกิด asymptotes ทุก 90 องศา

• อสมการตรีโกณมิติ:

  • ใช้ในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวกับมุมและความยาว
  • สามารถใช้ในรูปแบบต่างๆ เช่น การรวมฟังก์ชัน การแก้สมการ

• การประยุกต์ใช้งาน:

  • คำนวณระยะทางและมุมในฟิสิกส์
  • การวิเคราะห์สัญญาณในวิศวกรรม
  • การสร้างแบบจำลองในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์

• สูตรที่สำคัญ:

  • กฎไซน์: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
  • กฎโคไซน์: c² = a² + b² - 2ab * cos(C)

• ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชัน:

  • sin²(A) + cos²(A) = 1
  • tan(A) = sin(A)/cos(A)
  • cot(A) = 1/tan(A)

• ฟังก์ชันในรูปแบบต่าง ๆ:

  • สามารถใช้ในรูปแบบของอาร์คไซน์, อาร์คโคไซน์, และอาร์คแทนเจนต์ เพื่อหามุมจากค่าอัตราส่วน

• ช่วงและค่าของฟังก์ชัน:

  • ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์: [-1, 1]
  • ฟังก์ชันแทนเจนต์: (-∞, ∞)

Trigonometric Functions

• Definition: Trigonometric functions relate angles to side lengths in triangles, consisting of six primary functions:
  • Sine (sin): Ratio of the opposite side to the hypotenuse.
  • Cosine (cos): Ratio of the adjacent side to the hypotenuse.
  • Tangent (tan): Ratio of sine to cosine (tan = sin/cos).
  • Cotangent (cot): Ratio of cosine to sine (cot = cos/sin).
  • Secant (sec): Reciprocal of cosine (sec = 1/cos).
  • Cosecant (csc): Reciprocal of sine (csc = 1/sin).

Properties

• Sine and cosine functions have a range of -1 to 1.
• Tangent function has a range from negative to positive infinity (-∞ to +∞).
• Sine and cosine functions exhibit periodicity with a period of 360 degrees or 2π radians.

Function Graphs

• Sine Graph: Continuous wave pattern with regular amplitude and frequency.
• Cosine Graph: Similar to sine but shifted 90 degrees right.
• Tangent Graph: Cone-like appearance with asymptotes every 90 degrees.

Trigonometric Inequalities

• Applied to solve problems involving angles and lengths.
• Can be used in various forms, including function combinations and equation solving.

Applications

• Calculating distances and angles in physics.
• Signal analysis in engineering fields.
• Modeling in mathematics and science disciplines.

Important Formulas

• Sine Rule: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) relates the sides of a triangle to its angles.
• Cosine Rule: c² = a² + b² - 2ab * cos(C) connects the lengths of sides in relation to their included angle.

Function Relationships

• sin²(A) + cos²(A) = 1 establishes the fundamental Pythagorean identity.
• tan(A) = sin(A)/cos(A) defines tangent in terms of sine and cosine.
• cot(A) = 1/tan(A) illustrates the relationship of cotangent to tangent.

Inverse Functions

• Can be represented as arcsine, arccosine, and arctangent for angle determination from ratio values.

Function Ranges

• Sine and cosine functions: range of [-1, 1].
• Tangent function: range of (-∞, ∞).