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Questions and Answers
Quelle est la limite de la fonction $g(x)$ lorsque $x$ tend vers 0 ?
Quelle est la limite de la fonction $g(x)$ lorsque $x$ tend vers 0 ?
Pour quel domaine est définie la fonction $f(x)$ ?
Pour quel domaine est définie la fonction $f(x)$ ?
Quelle est la forme de la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers +∞ ?
Quelle est la forme de la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers +∞ ?
Quel est le tableau de variation de la fonction $g(x)$ si $g'(x)$ est positif sur $
ight]0, +∞
ight[$ ?
Quel est le tableau de variation de la fonction $g(x)$ si $g'(x)$ est positif sur $ ight]0, +∞ ight[$ ?
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Quelle est l'interprétation géométrique de la limite $ rac{(ln(x))^2}{x}$ lorsque $x$ tend vers +∞ ?
Quelle est l'interprétation géométrique de la limite $ rac{(ln(x))^2}{x}$ lorsque $x$ tend vers +∞ ?
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Study Notes
Exercice 1 : Suites et Récurrences
- Considération de la suite définie par ( (u_n) ) avec ( u_{n+1} = 7u_n + 3 ) ou ( u_{n+1} = 3u_n + 7 ) selon le cas.
- Prouver par récurrence que ( \forall n \in \mathbb{N}, , u_n \geq \frac{1}{3}(1 + u_n)(1 - u_n) ).
- Montrer que la différence ( u_{n+1} - u_n = 3u_n + 7 ) est toujours positive, indiquant que la suite est décroissante et convergente.
- Définition de la suite ( (v_n) ) comme ( v_n = \frac{u_n + 1}{2} ), montrer que ( (v_n) ) est géométrique avec raison ( q ).
- Exprimer ( v_n ) en fonction de ( n ) et déterminer ( \lim_{n\to\infty} u_n ).
Exercice 2 : Fonction et Limites
- Étudier la fonction ( g(x) = x^2 - 1 - 2\ln(x) ) sur ( ]0; +\infty[ ).
- Calculer les limites ( \lim_{x \to 0} g(x) ) et ( \lim_{x \to +\infty} g(x) ) pour analyser le comportement de la fonction.
- Trouver la dérivée ( g'(x) ) pour ( x \in ]0; +\infty[ ) et établir le tableau de variation de ( g ).
- Deduire que ( g(x) \geq 0 ) pour tout ( x \in ]0; +\infty[ ).
Fonction f : Étude et Limites
- Définir la fonction ( f(x) = x - 1 + \frac{1}{x} ), déterminer son domaine de définition ( D_f ).
- Calculer ( \lim_{x \to 0} f(x) ) et donner une interprétation géométrique.
- Montrer que ( \lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln(x))^2}{x} = 0 ).
- Évaluer ( \lim_{x \to +\infty} f(x) ) et analyser ( \lim_{x \to +\infty} (f(x) - (x - 1)) ) avec une interprétation géométrique.
- Étudier la position relative entre la courbe ( C_f ) et la droite ( y = x - 1 ).
Dérivabilité de f
- Prouver que ( \forall x \in D_f, , f'(x) = 0 ) pour comprendre le comportement de la fonction et ses extrema.
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