Tema 2.1 Ángulos (Parte 1) - Grado Educacion Primaria - 2024-2025 PDF

TEMA 2.1 ÁNGULOS (Parte 1) GRADO EN EDUCACIÓN PRIMARIA. UEx Didáctica de las Matemáticas I Curso 2024-2025 Ángulo En este apartado se a...

TEMA 2.1 ÁNGULOS (Parte 1) GRADO EN EDUCACIÓN PRIMARIA. UEx Didáctica de las Matemáticas I Curso 2024-2025 Ángulo En este apartado se abordan los fundamentos de la idea de ángulo. Se estudiarán las diferentes definiciones alternativas del concepto de ángulo así como las dificultades conceptuales que llevan aparejadas. Así mismo, se hará un repaso de la forma de medir ángulos, sus distintas unidades y los instrumentos que se usan para ello. Tarea inicial Antes de comenzar a analizar el concepto de ángulo es conveniente hacer una pequeña autoevaluación para conocer las preconcepciones que se tienen sobre esta idea. Responde a todas las preguntas antes de continuar. 1. Define que es para ti un ángulo. 2. Dibuja un ángulo cualquiera y señala sus partes. 3. Dibuja un ángulo diferente del dibujado en el apartado 2. 4. Dibuje un ángulo más grande que ángulo dibujado en el apartado 2 y otro más pequeño. 5. ¿Qué mide al tamaño de los ángulos? 6. Describe que es 1º 7. ¿Es posible dibujar ángulos de 400º, 720º, -360º, 500º? Justifica tu respuesta 8. ¿Cuánto mide este ángulo? Realiza una estimación. 9. Determina la o las figuras que consideres ángulos. Enciérralos en un círculo y justifica tu respuesta. 1 2 3 4 5 6 7 8 TEMA 2.1 ÁNGULOS (Parte 1) GRADO EN EDUCACIÓN PRIMARIA. UEx Didáctica de las Matemáticas I Curso 2024-2025 Matices y dificultades sobre el concepto de ángulo Existen muchos preconceptos y dificultades en los alumnos ante el concepto de ángulo. Podemos encontrarnos con respuestas de este tipo En el primer ejemplo, Teo de grado 3, no tiene claro el concepto de amplitud del ángulo, que es lo que los hace diferentes, y dibuja el mismo ángulo en diferentes orientaciones. Así mismo, equivoca la amplitud del ángulo con la longitud de los lados. Otras dificultades que se pueden encontrar están relacionadas con la medida del mismo. Hasta que no se ha introducido el concepto del ángulo cóncavo o el concepto de ángulo como giro, es común ver problemas a la hora de entender ángulos mayores de 180º o ángulos negativos. Así mismo, ángulos que superan el giro completo resultan difíciles de asimilar. Esto se debe a que sólo se ha introducido el ángulo, como veremos más adelante, como una región encerrada entre dos semirrectas. Así, podemos decir que las dificultades en la comprensión de los ángulos radican tanto en errores de conceptualización como de medida. Los estudiantes de Primaria tienden a ver los ángulos como objetos físicos (por ejemplo, las líneas que los forman) en lugar de entenderlos como una medida de la apertura o giro entre dos semirrectas que comparten un vértice. Esta forma de comprensión, típica del primer nivel de van Hiele, les impide ver el ángulo como una entidad abstracta, al igual que para con las figuras geométricas básicas. Así mismo, Muchos estudiantes consideran que si las líneas o segmentos que forman el ángulo son más largos, el ángulo también es mayor, sin darse cuenta de que la medida del ángulo es independiente de la longitud de las líneas. Por otra parte, muchos estudiantes presentan dificultades para asumir la idea de que un ángulo representa un giro o rotación desde una semirrecta inicial a otra final. Pueden aparecer problemas para entender la equivalencia entre la medida del ángulo y el movimiento de rotación. TEMA 2.1 ÁNGULOS (Parte 1) GRADO EN EDUCACIÓN PRIMARIA. UEx Didáctica de las Matemáticas I Curso 2024-2025 Definiciones de ángulo 1. Definición de Euclides En los Elementos de Euclides se daban las siguientes definiciones:  Definición: Un ángulo plano es la inclinación entre dos líneas en un plano, que se unen la una a la otra y que no están sobre una línea recta.  Definición: Cuando las líneas que contienen el ángulo son rectas, el ángulo se llama rectilíneo (ángulo recto) Estas definiciones, aunque totalmente correctas, presentan una dificultad a la hora de identificar el objeto de la definición. El cruce de dos rectas produce cuatro regiones diferentes que son, efectivamente, ángulos. Tal y como se presenta la definición dada no es posible identificar unívocamente a cuál de las cuatro regiones se refiere. Por otro lado, no es posible utilizar esta definición para caracterizar ángulos mayores de 180º. Dejamos al lector tratar de construir un ángulo mayor de 180º usando dos rectas. 2. Ángulo como región del plano. Otra forma de definir el concepto de ángulo es usando las definiciones de semiplano.  Definición 1: Conjunto de los puntos comunes a dos semiplanos, de un mismo plano, cuyos contornos se encuentran en un punto. Severi (1962, p. 31). Teniendo en cuenta que un plano se define con tres puntos no alineados se puede dar otra definición alternativa.  Definición 1a: Dados 3 puntos A, B y C no pertenecientes a una misma recta, llamamos ángulo convexo ∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 a la intersección de los semiplanos (AB,C) y (BC,A). Estas dos definiciones son equivalentes y evitan el problema que se daba con la definición de Euclides. Sin embargo, siguen sin ser válidas para definir ángulos mayores de 180º. Con estas definiciones podemos definir otros conceptos fundamentales relacionados con el ángulo. TEMA 2.1 ÁNGULOS (Parte 1) GRADO EN EDUCACIÓN PRIMARIA. UEx Didáctica de las Matemáticas I Curso 2024-2025 – Vértice: Es el punto de intersección de los contornos o rectas borde de los semiplanos. – Lados: Son las semirrectas intersección de cada semiplano con la recta borde del otro. – Región angular: Es la figura intersección de dos semiplanos cuyas rectas bordes son secantes. – Exterior del ángulo: El resto del plano fuera del interior del ángulo. Este enfoque permite visualizar el ángulo como una región claramente delimitada dentro del plano. Es útil para comprender cómo los ángulos pueden "contener" áreas o sectores en contextos geométricos o prácticos, como al dividir superficies o al estudiar sectores circulares. 3. Ángulo como par de líneas. La definición de ángulo como semirrectas con origen en común se refiere a la manera geométrica en que se forma un ángulo a partir de dos semirrectas que parten del mismo punto.  Definición 2: Parte del plano formada por dos semirrectas que tienen un origen común o dos rectas que se cortan. Las semirrectas se conocen como los lados del ángulo y el vértice es el punto común de origen donde se encuentran ambas. En esta definición, el ángulo se entiende como la apertura o separación entre las dos semirrectas, no como una región en el plano. Esta perspectiva se enfoca en la relación entre las dos direcciones a partir del vértice. Esta definición adolece de las mismas dificultades que las anteriores. Dadas dos semirrectas con el origen en común, no hay una manera unívoca de decir cuál es el ángulo que definen sin recurrir a señalarlo en el dibujo, ya que definen dos: uno cóncavo (A) y otro convexo (B). TEMA 2.1 ÁNGULOS (Parte 1) GRADO EN EDUCACIÓN PRIMARIA. UEx Didáctica de las Matemáticas I Curso 2024-2025 Hemos visto diferentes definiciones de ángulos como una región acotada del plano. Esta definición, que proviene de una visión estática del ángulo, pero puede ser complicado concebir la medida del ángulo como un proceso para determinar la fracción de círculo ocupada por el ángulo. Para ello se pueden utilizar materiales didácticos apropiados para completar el círculo con los quesitos correspondientes que representan diferentes ángulos. Esta visión estática es muy útil y conveniente en muchas aplicaciones prácticas, incluso en áreas de conocimiento más allá de la Geometría. Por ejemplo, en Estadística, la representación de gráficos circulares (pie graphs) se basan precisamente en la región del círculo ocupada por cada opción. Sin embargo, existen ciertas dificultades y limitaciones provenientes de esa definición estática que deja fuera de ella ángulos mayores de 360º o ángulos negativos. Esto se puede resolver dando una definición desde una visión dinámica. 4. Ángulo como giro. A pesar de que la visión estática es la que hemos definido antes, conviene recordar que es posible que los estudiantes de Primaria estén más familiarizados con su concepto dinámico. Las acciones de rotar sobre sí mismo, dar vueltas a objetos o aprender el movimiento de las agujas del reloj y cómo estás dan vueltas completas para completar las horas o los días hacen que esta visión dinámica pueda parecerles más intuitiva. TEMA 2.1 ÁNGULOS (Parte 1) GRADO EN EDUCACIÓN PRIMARIA. UEx Didáctica de las Matemáticas I Curso 2024-2025 La definición de ángulo como rotación se basa en la idea de que un ángulo representa la cantidad de giro o rotación que ocurre alrededor de un punto fijo.  Definición 3: Un ángulo como rotación es la medida del giro necesario para llevar una semirrecta inicial a coincidir con una semirrecta final alrededor de un punto fijo, llamado vértice. El ángulo mide la cantidad de rotación en sentido horario o antihorario desde la posición inicial hasta la posición final. La amplitud del ángulo se mide en unidades de giro, como grados o radianes, y representa la cantidad total de rotación entre la semirrecta inicial y la final. Este enfoque es útil para comprender cómo los ángulos están relacionados con el movimiento y es especialmente relevante en contextos como la física, la navegación o el estudio de las transformaciones geométricas. Además, resuelve las dificultades de las definiciones estáticas, ya que la amplitud puede ser mayor de 180º, mayor que 360º o incluso negativa si elegimos un sentido de giro como positivo y el contrario como negativo. Es conveniente resaltar la importancia de la enseñanza de estos conceptos a lo largo de los diferentes niveles de Primaria ya que los alumnos los suelen entender mejor de lo que el profesor cree. Como ya se comentó en el primer tema, los niveles de van Hiele no están relacionados directamente con la edad sino con el estado madurativo del razonamiento geométrico. Este estado muchas veces involucra intuición, imaginación y creatividad, cualidades que suele ser mayor en los niños de menor edad y que se puede ir perdiendo a TEMA 2.1 ÁNGULOS (Parte 1) GRADO EN EDUCACIÓN PRIMARIA. UEx Didáctica de las Matemáticas I Curso 2024-2025 medida que se constriñen a métodos y conceptos formales que, a falta de una comprensión completa, tienden a memorizar. En la figura anterior se esquematizan algunos conceptos relacionados con el ángulo en sus visiones dinámica y estática. Según Casas, L.M. y Luengo, R (2005) 1, los niños de 3º de Primaria son capaces de entender mejor los conceptos de ángulo como región angular, giro e inclinación. Los de 4º usan en menor medida el concepto de región angular y tienden a usar las agujas del reloj para fundamentar la visión dinámica. En 5º se centran en identificar y trabajar los lados del ángulo mientras que en 6º se vuelve a la región angular. Medida del ángulo Para medir la amplitud de la región angular o del giro es necesario identificar en primer lugar una unidad que nos sirva de referencia. Existen tres definiciones que son las más extendidas, aunque una de ellas se usa poco. Grado sexagesimal El grado sexagesimal es una unidad de medida para ángulos que divide la circunferencia en 360 partes iguales.  Definición: Un grado sexagesimal es la medida del ángulo que corresponde a 1/360 de una circunferencia completa. En esta escala, un ángulo recto equivale a 90º, un ángulo llano a 180º y una vuelta completa a 360º. Subdivisiones del grado sexagesimal: Minuto: Cada grado se divide en 60 minutos (símbolo: '). Segundo: Cada minuto se divide en 60 segundos (símbolo: "). Por ejemplo, un ángulo puede expresarse como 30º 15′ 20′′, lo que significa 30 grados, 15 minutos y 20 segundos. 1 Casas, L.M. y Luengo, R (2005). Conceptos nucleares en la construcción del concepto de ángulo. Enseñanza de las Ciencias, 23 (2), 201-216 TEMA 2.1 ÁNGULOS (Parte 1) GRADO EN EDUCACIÓN PRIMARIA. UEx Didáctica de las Matemáticas I Curso 2024-2025 El sistema proviene de las antiguas civilizaciones mesopotámicas, que usaban una base de 60 para sus cálculos, lo cual fue adoptado posteriormente para la medición de ángulos y el tiempo. Los babilonios extienden a los círculos celestes la división del día en 360 partes, y cada una de estas partes la llaman grado sexagesimal y a la cuarta parte le corresponden 90 grados sexagesimales, que se nota por 90º. Otra motivación para elegir el número 360 puede haber sido que es fácilmente divisible: 360 tiene 24 divisores. Dejamos al lector encontrar todos esos divisores. Esta unidad es ampliamente utilizada en geometría, astronomía y navegación para expresar la amplitud de los ángulos de forma precisa. Para medir ángulos en grados sexagesimales se utiliza generalmente un transportador de ángulos que es un semicírculo graduado en 180º y subdividido en fracciones menores, dependiendo del espacio disponible. Para medir ángulos se utiliza el transportador y se procede de la siguiente manera: 1. Coloca el transportador de modo que su centro coincida con el vértice del ángulo. 2. Haz que una de las semirrectas coincida con el 0º. Esto indica el sentido de giro. 3. La segunda semirrecta, al intersecarse con el transportador indica la medida en grados del ángulo que se está midiendo. Muchos transportadores tienen dos escalas para medir los ángulos de izquierda a derecha o de derecha a izquierda Existen incluso transportadores de círculo completo sobre los que se puede medir ángulos cóncavos con mucha facilidad. TEMA 2.1 ÁNGULOS (Parte 1) GRADO EN EDUCACIÓN PRIMARIA. UEx Didáctica de las Matemáticas I Curso 2024-2025 Si se quiere medir un ángulo cóncavo con un transportador de semicírculo se opera de la siguiente manera. 1. Alarga uno de los dos lados, y así obtendrás un ángulo llano (180º). 2. Mide el trozo de ángulo que te queda (en rojo en la figura). 3. Suma la medida obtenida a 180. Por ejemplo: 180 + 137 = 317. El ángulo buscado mide 317o. Grado centesimal (gradián) Este sistema es menos utilizado que el sexagesimal pero se ha utilizado en algunos contextos científicos y de topografía por la simplicidad de dividir ángulos en fracciones decimales.  Definición: Un gradián es la medida del ángulo que corresponde a 1/400 de una circunferencia completa. En este sistema, una circunferencia completa tiene 400 gradianes, un ángulo recto equivale a 100 gradianes, y un ángulo llano equivale a 200 gradianes. Para su medida se utilizan transportadores de gradianes. Por ejemplo, un ángulo puede expresarse como 50g 25c ′ 30c ′′, lo que significa 50 gradianes, 25 minutos centesimales y 30 segundos centesimales. TEMA 2.1 ÁNGULOS (Parte 1) GRADO EN EDUCACIÓN PRIMARIA. UEx Didáctica de las Matemáticas I Curso 2024-2025 Radián El radián es una unidad de medida para ángulos que se basa en la relación entre la longitud del arco de una circunferencia y su radio.  Definición: Un radián es el ángulo central subtendido por un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. Es decir, si el arco de un círculo tiene la misma longitud que el radio del círculo, el ángulo que se forma en el centro del círculo es de un radián. El radián es la unidad estándar del Sistema Internacional para medir ángulos debido a su conexión directa con las propiedades de la circunferencia y su simplicidad en cálculos de análisis matemático, como en trigonometría y cálculo diferencial. Es comúnmente usado en áreas como la Física y las Matemáticas. Se puede relacionar con la circunferencia teniendo en cuenta que una circunferencia completa tiene una longitud de 2𝜋𝜋 veces el radio, por lo tanto, una vuelta completa equivale 𝜋𝜋 a 2𝜋𝜋 radianes. Un ángulo recto equivale a 2 radianes, y un ángulo llano equivale a 𝜋𝜋 radianes. Para convertir entre radianes y grados, se utiliza la relación: 180° 1 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = ≈ 57.3° 𝜋𝜋 Tarea Calcula en grados sexagesimales, gradianes y en radianes los ángulos que están representados en la el siguiente gráfico circular. ¿Hay algún ángulo mayor de 60º? ¿Y mayor 𝜋𝜋 de 2 radianes? ¿Cuántos ángulos hay menores de 45º? TEMA 2.1 ÁNGULOS (Parte 1) GRADO EN EDUCACIÓN PRIMARIA. UEx Didáctica de las Matemáticas I Curso 2024-2025 Otras formas de medir ángulos. Además de los transportadores y de los goniómetros, existe otra forma de medir ángulos, aunque la unidad mínima de medición es mayor que el grado sexagesimal. Esto se consigue mediante dos instrumentos que han tenido una importancia vital en el desarrollo de la geometría aplicada así como en arquitectura, ingeniería, astronomía y navegación. Estos son la escuadra y el cartabón. Escuadra: – Tiene forma de triángulo rectángulo isósceles, con dos ángulos de 45º y un ángulo recto (90º). – Se utiliza para dibujar ángulos de 45º y 90º, y para trazar líneas perpendiculares o paralelas en relación con un borde recto. Es útil para dividir ángulos o trasladar medidas de forma exacta. Cartabón: – Tiene forma de triángulo rectángulo escaleno, con un ángulo de 90ºy los otros dos de 30º y 60º, respectivamente. – Sirve para trazar ángulos de 30º, 60º y 90º, así como para hacer divisiones de la circunferencia en secciones iguales y dibujar líneas inclinadas con una precisión específica. La escuadra y el cartabón han sido y siguen siendo fundamentales en la enseñanza de la geometría. En las aulas, se utilizan para introducir a los estudiantes en la construcción y el análisis de ángulos y figuras geométricas, facilitando la comprensión de conceptos básicos como la perpendicularidad, la simetría y la congruencia. Aunque las herramientas digitales han revolucionado el diseño y la construcción, la escuadra y el cartabón siguen siendo valiosos por su simplicidad y precisión manual. Permiten a los estudiantes y profesionales visualizar y manipular ángulos y formas geométricas de manera tangible, lo cual es esencial para el aprendizaje práctico y el trabajo artesanal. TEMA 2.1 ÁNGULOS (Parte 1) GRADO EN EDUCACIÓN PRIMARIA. UEx Didáctica de las Matemáticas I Curso 2024-2025 Tarea Dejamos al lector la tarea de determinar cuánto miden los ángulos de la imagen siguiente. Clasificación de ángulos Como unidad de medida habitual en la Geometría de Educación Primaria se usa el grado sexagesimal. En este apartado vamos a realizar una clasificación de los ángulos en función de la medida de su amplitud. 1. Ángulo nulo Es un ángulo que mide 0º. Ocurre cuando las dos semirrectas están completamente superpuestas, sin formar ninguna apertura. 2. Ángulo agudo Es un ángulo menor de 90º. Es más cerrado que un ángulo recto, como el que se forma cuando las agujas del reloj marcan las 10:10. 3. Ángulo recto Es un ángulo que mide exactamente 90º. Se forma cuando dos líneas son perpendiculares entre sí, como las esquinas de un cuadrado o rectángulo. 4. Ángulo obtuso Es un ángulo que mide más de 90º pero menos de 180º. Es más abierto que un ángulo recto, pero no llega a formar una línea recta. 5. Ángulo llano Es un ángulo que mide exactamente 180º. Se forma cuando las dos semirrectas están en direcciones opuestas, creando una línea recta. 6. Ángulo cóncavo o reflejo Es aquel que tiene entre 180º y 360º 7. Ángulo completo o perigonal Es un ángulo que mide 360º. Corresponde a una vuelta completa, como el movimiento de las manecillas del reloj al dar una vuelta completa en 12 horas. TEMA 2.1 ÁNGULOS (Parte 1) GRADO EN EDUCACIÓN PRIMARIA. UEx Didáctica de las Matemáticas I Curso 2024-2025 Para ayudar a los estudiantes a comprender mejor estos tipos de ángulos, es fundamental utilizar ejemplos concretos y actividades prácticas que los acerquen al concepto de forma visual y manipulativa. Los ejemplos cotidianos, como la posición de las agujas del reloj, pueden ser muy útiles para ilustrar diferentes ángulos. Por ejemplo, cuando el reloj marca las 3:00, se forma un ángulo recto (90º), mientras que a las 10:10 se forma un ángulo agudo. Utilizar referencias familiares facilita que los niños relacionen los ángulos con situaciones de su vida diaria. TEMA 2.1 ÁNGULOS (Parte 1) GRADO EN EDUCACIÓN PRIMARIA. UEx Didáctica de las Matemáticas I Curso 2024-2025 Además, los materiales manipulativos juegan un papel clave en el aprendizaje. Herramientas como transportadores, juegos de escuadras y reglas les permiten a los estudiantes medir y dibujar ángulos con precisión, reforzando el reconocimiento de las características que distinguen a los distintos tipos de ángulos. El uso de figuras geométricas recortables o modelos tridimensionales también puede ser eficaz para que los niños visualicen ángulos en diferentes orientaciones y contextos. Para una experiencia más enriquecedora, se pueden incluir actividades interactivas como construir ángulos con palitos de madera o limpiapipas para representar visualmente los distintos tipos, o utilizar aplicaciones digitales y software educativo que simulen la formación y medición de ángulos.