Tema 1 Matrices Apuntes PDF

BLOQUE I ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1: MATRICES  Concepto de matriz  Algunos tipos de matrices  Operaciones con matrices  Rango de una matriz TEMA 1: MATRICES CONCEPTO DE MATRIZ Una matriz no es más que un conjunto de elementos dispuestos en filas y columnas. En...

BLOQUE I ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1: MATRICES  Concepto de matriz  Algunos tipos de matrices  Operaciones con matrices  Rango de una matriz TEMA 1: MATRICES CONCEPTO DE MATRIZ Una matriz no es más que un conjunto de elementos dispuestos en filas y columnas. En este tema nos centraremos en las matrices cuyos elementos son números reales. DIAGONAL PRINCIPAL DIAGONAL SECUNDARIA  a11 a12 a13 a14  Fila 2    a21 a22 a23 a24  DIMENSION a a32 a33 a34  Nº filas x Nº columnas  31  a   41 a42 a43 a44  4x4 Columna 1 TEMA 1: MATRICES ALGUNOS TIPOS DE MATRICES  2   1  1 8 2 1  8 0 1 4   1   2 0 2 2   MATRIZ COLUMNA MATRIZ FILA MATRIZ RECTANGULAR Formada por una única Formada por una única fila Matriz con diferente número columna de filas que de columnas 1 2 3  1 2 3  0 1  3        4 3 2  2 0 5  1 0 1  1 1 1  3 5 1  3 1 0        MATRIZ CUADRADA MATRIZ SIMÉTRICA MATRIZ ANTISIMÉTRICA Matriz con el mismo número aij  a ji aij  a ji de filas que de columnas Su diagonal principal será nula  TEMA 1: MATRICES ALGUNOS TIPOS DE MATRICES  2 0 0  3 0 0  0 0 0 0        0 3 0 0 3 0  0 0 0 0 0 0 1  0 0 3     MATRIZ NULA MATRIZ DIAGONAL MATRIZ ESCALAR Matriz cuyos elementos Cuadrada con ceros fuera de Matriz diagonal con sus son todos nulos la diagonal principal elementos diagonales iguales 1 0 0  1 2 3 1 0 0       0 1 0  0 1 5 6 2 0 0 0 1  0 0 1 3 8 1       MATRIZ IDENTIDAD TRIANGULAR SUPERIOR TRIANGULAR INFERIOR Matriz escalar con unos Matriz cuadrada con Matriz cuadrada con en la diagonal principal ceros por debajo de la ceros por encima de la diagonal principal diagonal principal TEMA 1: MATRICES OPERACIONES CON MATRICES SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES  ¿CÚANDO SE PUEDEN SUMAR/RESTAR DOS MATRCIES? Podremos sumar o restar dos matrices siempre y cuando ambas matrices tengan la misma dimensión.  ¿CÓMO SE SUMAN/RESTAN DOS MATRCIES?  1 0 3   4 1 2   3 1 5          4 5  2    2 1  3  2 6  5  2 3 2 3 2 3 Se operan los elementos de ambas matrices que ocupan la misma posición. El resultado es otra matriz con la misma dimensión que las anteriores. TEMA 1: MATRICES OPERACIONES CON MATRICES SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES  PROPIEDADES ASOCIATIVA A  B  C    A  B  C CONMUTATIVA A B  B  A ELEMENTO NEUTRO A 0  A ELEMENTO SIMÉTRICO A   A  0 TEMA 1: MATRICES OPERACIONES CON MATRICES PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ  ¿CÚANDO SE PUEDE MULTIPLICAR UN NÚMERO POR UNA MATRIZ? Siempre puede realizarse el producto de un escalar por una matriz cualquiera.  ¿CÓMO SE MULTIPLICA UN NÚMERO POR UNA MATRIZ? Simplemente se multiplica cada elemento de la matriz por el escalar indicado.  1 1 0  4  4 0     4  1 / 2 1 2   2 4 8  1 1 / 4 1    4 1 4   Por Pedro A. Martínez Ortiz TEMA 1: MATRICES OPERACIONES CON MATRICES PRODUCTO DE MATRICES  ¿CÚANDO SE PUEDEN MULTIPLICAR DOS MATRICES? Podremos multiplicar dos matrices siempre y cuando el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda matriz. 0 1 3    1 1 0  1 2 0 4   3 0 1  1  3           1 1 0 1 0 2 1   3 1 0  1 2   1   0 1 1   0 3  2 4 4 3 2 2 3 3 SÍ NO Por Pedro A. Martínez Ortiz TEMA 1: MATRICES OPERACIONES CON MATRICES PRODUCTO DE MATRICES  ¿CÓMO SE MULTIPLICAN DOS MATRICES? Veámoslo primero con un ejemplo. Imaginemos que queremos multiplicar las matrices:  1 0 1 1  1 2    77 7 0     2 1 3      0 3 1   3 4 1   3 7 10    2 3 3 3 2 3 1 1 1 1  2 2  7 2 3 6 Por Pedro A. Martínez Ortiz TEMA 1: MATRICES OPERACIONES CON MATRICES PRODUCTO DE MATRICES  ¿CÓMO SE MULTIPLICAN DOS MATRICES? Y así se procede sucesivamente hasta obtener los elementos de toda la matriz resultante. RECUERDA: Fila por colu a  1 0 1 1  1 2     7 7 0     2 1 3      0 3 1   3 4 1   3 7 10    0 1 0 3  3 9  10 1 1 1 Por Pedro A. Martínez Ortiz TEMA 1: MATRICES OPERACIONES CON MATRICES PRODUCTO DE MATRICES Formalmente, utilizando notación matemática, el producto de dos matrices es una nueva matriz: Am  n  Bn  p  Cm  p Cuyos elementos vienen dados por: n cij   aik  bkj i  1...m j  1... p k 1 Por Pedro A. Martínez Ortiz TEMA 1: MATRICES OPERACIONES CON MATRICES PRODUCTO DE MATRICES  PROPIEDADES PROPIEDAD 1: Una de las propiedades más importantes a recordar es que el producto de matrices NO ES CONMUTATIVO. Es decir: A B  B  A  1 2   0 1  4 3  A  B           3 1   2 1  2 4   0 1  1 2   3 1  B  A           2 1  3 1   5 5  Por Pedro A. Martínez Ortiz TEMA 1: MATRICES OPERACIONES CON MATRICES PRODUCTO DE MATRICES PROPIEDAD 2: El producto de matrices es asociativo.  A  B C  A  B  C  PROPIEDAD 3: Si A es una matriz cuadrada de orden n y la matriz I representa la matriz identidad del mismo orden, se tiene que: A I  I  A  A Por Pedro A. Martínez Ortiz TEMA 1: MATRICES OPERACIONES CON MATRICES PRODUCTO DE MATRICES PROPIEDAD 4: El producto de matrices es distributivo respecto de la suma: A  B  C   A  B  A  C B  C  A  B  A  C  A PORQUE RECUERDA QUE: A B  B  A Por Pedro A. Martínez Ortiz TEMA 1: MATRICES OPERACIONES CON MATRICES PRODUCTO DE MATRICES PARA NO EQUIVOCARSE Si A  B  0 no implica que A  0 o B0  1  1  1 1  0 0           2  2  1 1  0 0  Si A  B  A  C no implica que B  C Por Pedro A. Martínez Ortiz TEMA 1: MATRICES OPERACIONES CON MATRICES PRODUCTO DE MATRICES PARA NO EQUIVOCARSE Ten en cuenta que:  A  B 2  A2  A  B  B  A  B 2  A  B 2  A2  A  B  B  A  B 2  A  B  A  B  A 2  A B  B  A  B 2 Por Pedro A. Martínez Ortiz TEMA 1: MATRICES OPERACIONES CON MATRICES TRASPOSICIÓN DE MATRICES  ¿CUÁNDO SE PUEDE TRASPONER UNA MATRIZ? Siempre es posible calcular la matriz traspuesta a otra dada.  ¿CÓMO SE CALCULA LA TRASPUESTA DE UNA MATRIZ? La matriz traspuesta de otra es una nueva matriz donde se han intercambiado filas por columnas. 1 0   1 7 5 0  T 1 7 5 0  7 2       0 2 0 3  0 2 0 3 5 0   0 3   Por Pedro A. Martínez Ortiz TEMA 1: MATRICES OPERACIONES CON MATRICES TRASPOSICIÓN DE MATRICES  PROPIEDADES A  T T A  A  BT  BT  AT  A  BT  A B T T k  AT  k  AT con k R  ALGUNAS DEFINICIONES Una matriz cuadrada A se dice que es simétrica si: A A T Una matriz cuadrada A se dice que es antisimétrica si: A   AT Por Pedro A. Martínez Ortiz TEMA 1: MATRICES COMBINACIONES LINEALES COMBINACIONES LINEALES  ¿QUÉ ES UNA COMBINACIÓN LINEAL? Una fila/columna se dice que es combinación lineal de otras filas/columnas si puede obtenerse tras sumar dichas filas/columnas multiplicadas cada una por algún número. ¿Observas alguna combinación lineal en las filas o columnas de esta matriz? 1 3 4   4 1  3         1 2 3   3   1 1  1  2  1 1 2   2 1 1         Por Pedro A. Martínez Ortiz TEMA 1: MATRICES COMBINACIONES LINEALES COMBINACIONES LINEALES ¿Observas alguna combinación lineal en filas o columnas?  1  1  1   1 1   1         0 2 1   2   1  0   2   1  1 5 2  5 1 2         Decimos que la segunda columna depende linealmente de la primera y tercera columna. Por Pedro A. Martínez Ortiz TEMA 1: MATRICES COMBINACIONES LINEALES COMBINACIONES LINEALES ¿Observas alguna combinación lineal en filas o columnas?  2  6 2    4 12  4  2   2  6 2  1 3 1   4 12  4   2  6 2  2  1 3  1   Decimos que la tercera fila depende linealmente de la primera y que la primera fila depende linealmente de la segunda. Por Pedro A. Martínez Ortiz TEMA 1: MATRICES RANGO DE UNA MATRIZ RANGO DE UNA MATRIZ  ¿QUÉ ES EL RANGO DE UNA MATRIZ? El RANGO o CARACTERÍSTICA de una matriz es el número de filas/columnas que son linealmente INDEPENDIENTES. Por Pedro A. Martínez Ortiz TEMA 1: MATRICES RANGO DE UNA MATRIZ RANGO DE UNA MATRIZ ¿Cuál es el rango de la siguiente matriz? 1 3 4   4 1  3         A  1 2 3   3   1 1  1  2  1 1 2   2 1 1         La tercera columna es linealmente DEPENDIENTE de la primera y la segunda. Así pues, esta columna no nos interesa para el rango y podemos dejar de contar con ella. Por Pedro A. Martínez Ortiz TEMA 1: MATRICES RANGO DE UNA MATRIZ RANGO DE UNA MATRIZ ¿Cuál es el rango de la siguiente matriz? 1 3 4  1  3       A  1 2 3  1  ?  2 1 1 2  1 1       ¿Hay ahora alguna relación lineal entre las dos columnas que quedan? Como no existe relación entre ellas, podemos decir que ambas son linealmente INDEPENDIENTES. Dado que hay DOS columnas linealmente independientes, el R A  2 rango de dicha matriz es DOS. Por Pedro A. Martínez Ortiz TEMA 1: MATRICES RANGO DE UNA MATRIZ RANGO DE UNA MATRIZ Veamos otro ejemplo. ¿Cuál es el rango de la siguiente matriz? 1 2 5  1 2 5  1 1 2 5   B   2 4 10  1 2 5  2 4 10  2 1 2 5   RB   1 Por Pedro A. Martínez Ortiz TEMA 1: MATRICES RANGO DE UNA MATRIZ CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ  CÁLCULO MEDIANTE EL MÉTODO DE GAUSS Recordemos que el método de Gauss consiste en conseguir ceros por debajo de los elementos de la diagonal aplicando una serie de reglas que repasaremos a continuación. Consideremos la matriz A siguiente y calculemos su rango haciendo uso del método de Gauss. 2 5 3    A   1 2 4   6 6  2   Por Pedro A. Martínez Ortiz TEMA 1: MATRICES RANGO DE UNA MATRIZ CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ  REGLA 1: Se permite el intercambio (o permutación) de filas o columnas 2 5 3   1 2 4      A   1 2 4  2 5 3  6 6  2  6 6 2      Siempre es interesante tener un 1 o -1 en el primer elemento de la primera fila. Así pues, para conseguirlo, intercambiaremos las filas 1 y 2. Por Pedro A. Martínez Ortiz TEMA 1: MATRICES RANGO DE UNA MATRIZ CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ  REGLA 2: Se permite la multiplicación y división de filas por cualquier número que no sea cero.  1 2 4    1  1  2  4     2 5 3   2 5 3  6 6 2   3 3 1     2   Multiplicaremos por -1 la primera fila (y así conseguimos el 1 que buscábamos) Dividiremos por 2 la tercera fila para hacer más sencilla la matriz. Por Pedro A. Martínez Ortiz TEMA 1: MATRICES RANGO DE UNA MATRIZ CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ  REGLA 3: Se permite sumar o restar a una fila otra fila multiplicada o dividida por cualquier número no nulo.  1  2  4  1  2  4      2 5 3  0 9 11  3 3  1 F 2'  F 2  2  F1  0 9 11     F 3'  F 3  3  F1  1  2  4    0 9 11 F 3' '  F 3'F 2'  0 0 0   Por Pedro A. Martínez Ortiz TEMA 1: MATRICES RANGO DE UNA MATRIZ CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ Aplicando Gauss hemos transformado la matriz A en otra matriz: 2 5 3   1  2  4     A   1 2 4   0 9 11  6 6  2  0 0 0     El rango de A coincide con el número de filas que NO SON COMPLETAMENTE NULAS (o proporcionales a otras) en la matriz que obtenemos tras aplicar el método de Gauss. R A  2 Por Pedro A. Martínez Ortiz TEMA 1: MATRICES INVERSA DE UNA MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ Dadas dos matrices A y B (cuadradas de orden n) se dice que son inversa una de la otra si se verifica: A B  B  A  I EJEMPLO: Comprueba que las siguientes matrices son inversa una de la otra. 6  2 3  0 0 1      A   9 1 2  B    2 3  15  1 0 0   1 2  12      Por Pedro A. Martínez Ortiz TEMA 1: MATRICES INVERSA DE UNA MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ Usualmente la inversa de una matriz cuadrada A se 1 representa por A Es importante tener presente que no todas las matrices cuadradas tienen inversa. Sólo tienen inversa las matrices cuadradas de orden n que tienen rango n. Más adelante veremos una forma rápida de saber si una matriz tiene inversa o no sin necesidad de conocer el rango. En este tema estudiaremos dos métodos para calcular la inversa de una matriz: POR DEFINICIÓN POR EL MÉTODO DE GAUSS-JORDAN Por Pedro A. Martínez Ortiz TEMA 1: MATRICES INVERSA DE UNA MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ  MÉTODO 1: UTILIZANDO LA DEFINICIÓN DE MATRIZ INVERSA Vamos a calcular la inversa de A utilizando la definición matemática de matriz inversa. 3 2 A    1 1  Queremos encontrar una matriz del mismo orden: 1 x y A    z t que al multiplicarla por A nos proporcione de resultado la matriz identidad: Por Pedro A. Martínez Ortiz TEMA 1: MATRICES INVERSA DE UNA MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ  MÉTODO 1: UTILIZANDO LA DEFINICIÓN DE MATRIZ INVERSA 3 2  x y  1 0 A A  I1         1 1   z t  0 1  3x  2 z 3 y  2t   1 0  Es decir:       xz y  t  0 1 Lo que nos permite escribir que:  3x  2 z  1  3 y  2t  0  xz 0  y  t 1   Por Pedro A. Martínez Ortiz TEMA 1: MATRICES INVERSA DE UNA MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ  MÉTODO 1: UTILIZANDO LA DEFINICIÓN DE MATRIZ INVERSA Resolviendo cada sistema, obtenemos que: 3x  2 z  1   x  1 z  1 x  z  0 3 y  2t  0   y  2 t  3 y  t 1 Por tanto, la matriz inversa de A será: 1  x y   1  2 A        zPor Pedrot A.Martínez Ortiz1 3  TEMA 1: MATRICES INVERSA DE UNA MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ  MÉTODO 2: GAUSS-JORDAN Primeramente se disponen la matriz A y la identidad separadas mediante una línea vertical: 3 2 3 2 1 0 A       1 1  1 1 0 1  Aplicamos las reglas del método de Gauss a esta nueva matriz doble hasta trasformar la parte izquierda en la matriz identidad. IMPORTANTE: Aquí no se puede aplicar la regla 1 de intercambio de columnas. Por Pedro A. Martínez Ortiz TEMA 1: MATRICES INVERSA DE UNA MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ  MÉTODO 2: GAUSS-JORDAN Primero hay que conseguir ceros debajo y encima de la diagonal principal. 3 2 1 0 3 2 1 0     1 1 0 1  F 2'  3  F 2  F1 0 1  1 3    3 0  3 6 Finalmente hay que   transformar en unos  0 1  1 3  F1'  2  F 2  F1  los elementos de la diagonal principal. 1 0 1  2 Una vez conseguido, en el   0 1  1 3  lado derecho aparecerá la F1'  F1 /( 3)  matriz inversa de A. Por Pedro A. Martínez Ortiz