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ÁLGEBRA LINEAL UNIDAD 1: MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MATRICES INTRODUCCIÓN Las matrices son herramientas útiles para sistematizar cálculos, porque proporcionan una forma compacta para almacenar información. La utilizac...

ÁLGEBRA LINEAL UNIDAD 1: MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MATRICES INTRODUCCIÓN Las matrices son herramientas útiles para sistematizar cálculos, porque proporcionan una forma compacta para almacenar información. La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos. En Matemática Básica se estudiaron las matrices booleanas, ahora veremos matrices en general. Definición: Llamaremos matriz de orden m x n a todo cuadro ordenado de números, dispuestos en m filas y n columnas. Notaciones: 1) Las matrices se denotan con letras mayúsculas imprenta: A, B, C, P,...En caso de ser necesario se utilizan subíndices: A1 , A2 ,...B1 , B2 ,... 2) Si A es una matriz de orden m×n, para indicar el orden escribiremos o(A) = m×n y la matriz A la indicaremos A m×n. Ejemplos: A2×3 = , B4 x 3 = 3) Los números que componen la matriz se llaman elementos de la matriz y se denotan con letras minúsculas imprentas con subíndice que indica la fila y columna en la que se ubica el elemento: a11, a12, a23, ….. Ejemplos: Considerando la matriz B del ejemplo anterior, algunos de sus elementos son: b12 = 5, b21 = 0, b31 = 5, b42= 1, b51: no existe pues B sólo tiene 4 filas En general, una matriz A m×n puede escribirse en forma genérica indicando todos sus elementos del siguiente modo: Prof. Mg. Estela Torres 1 ÁLGEBRA LINEAL A m×n = Un elemento genérico perteneciente a la fila i y a la columna j se indica: a i j con i = 1,...,m , j = 1,...,n. Si queremos mencionar los elementos de una matriz, sin indicar todos ellos, utilizamos la notación de Cayley-Hamilton: A = ( a i j ) m×n o A m×n = ( a i j ) Observaciones: 1) Si el número de filas de una matriz es distinto al número de columnas, la matriz se denomina rec- tangular, en caso contrario, recibe el nombre de matriz cuadrada y diremos simplemente que es una matriz de orden n, y la indicaremos An. Ejemplos: A2x3= matriz rectangular de orden 2×3 B2 = matriz cuadrada de orden 2 2) Indicaremos con M m, n (R) al conjunto de todas las matrices rectangulares de orden m×n, de ele- mentos reales, siendo m, n  , con m y n fijos. Indicaremos con M n (R) al conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n, de elementos reales, siendo n  , con n fijo. Definición: Dada cualquier matriz cuadrada A = (a i j ) n los elementos a i i (es decir, los a i j tales que i = j ) forman la "diagonal principal" de la matriz. Ejemplo: H= Definición: La traza de una matriz cuadrada A = (a i j) n se simboliza trA y es la suma de los ele- mentos de su diagonal principal. Prof. Mg. Estela Torres 2 ÁLGEBRA LINEAL Ejemplo: H= tr(H) = 3 + 1 + (-2) + 5 = 7 MATRICES ESPECIALES 1) Matriz fila: es aquella matriz formada por una sola fila (cualquiera sea el número de columnas) Ejemplo: A1×3 = (1 2 −3) matriz fila con 3 columnas 2) Matriz columna: es aquella matriz formada por una sola columna (cualquiera sea el número de fi- las) Ejemplo: A4×1 = matriz columna con 4 filas 3) Matriz triangular superior: es aquella matriz cuadrada cuyos elementos ubicados por debajo de la diagonal principal son todos nulos, es decir: An = ( a ij) es triangular superior sii a i j = 0 para i > j Ejemplo: A3 = 4) Matriz triangular inferior: es aquella matriz cuadrada cuyos elementos ubicados por encima de la diagonal principal son todos nulos, es decir: An = ( a ij) es triangular inferior sii a i j = 0 para i < j Ejemplo: A3 = 5) Matriz diagonal: es aquella matriz cuadrada que es triangular superior e inferior simultáneamente (los elementos ubicados por encima y por debajo de la diagonal principal son todos nulos). Ejemplo: D3 = 6) Matriz identidad: es aquella matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son todos unos. La matriz identidad de orden n se indicará I n Ejemplo: I3= es la matriz identidad de orden 3 Prof. Mg. Estela Torres 3 ÁLGEBRA LINEAL 7) Matriz nula: es aquella matriz (cuadrada o rectangular) cuyos elementos son todos nulos. Ejemplo: = es la matriz nula de orden 3×2 8) Matriz Opuesta: Dada una matriz A, llamaremos "matriz opuesta de A" y la denotaremos −A, a la matriz de igual orden que A, cuyos elementos son los opuestos de los elementos correspondientes de la matriz A, es decir: Si Am×n = ( a i j ) entonces su opuesta es −Am× n = (−a i j ) Ejemplo: Si A3×4 = entonces - A3×4 = 9) Matriz Simétrica: Diremos que una matriz cuadrada es simétrica si y sólo si sus elementos simé- tricos respecto de la diagonal principal son iguales, es decir: An = ( a i j ) es simétrica sii a i j = a j i para i = 1,...,n , j = 1,...n Ejemplo: A3 = simétrica de orden 3 10) Matriz antisimétrica: Diremos que una matriz cuadrada es antisimétrica si y solo si sus ele- mentos simétricos respecto de la diagonal principal son opuestos, es decir: An = ( a i j ) es antisimétrica sii a i j = −a j i para i = 1,...,n , j = 1,...n Ejemplo: A3 = antisimétrica de orden 3 Observación: En la matriz antisimétrica la diagonal principal es nula. 11) Matriz inversible, regular o no singular: Una matriz cuadrada An se dice inversible, regular o no singular, si y sólo si existe su matriz inversa. La definición se expresará simbólicamente a continuación de Producto de matrices. 12) Matriz no inversible o singular: Una matriz cuadrada se dice no inversible o singular, si y sólo si no existe su matriz inversa. 13) Matriz Ortogonal: La definición se expresará a continuación de Traspuesta de una matriz. Prof. Mg. Estela Torres 4 ÁLGEBRA LINEAL 14) Matriz escalonada: es aquella matriz (cuadrada o rectangular) que verifica las siguientes propie- dades: a. Si hay filas que constan exclusivamente de ceros, se encuentran agrupadas en la parte inferior de la matriz. b. El primer elemento no nulo de una fila, se encuentra a la izquierda del primer elemento no nulo de la fila siguiente. Ejemplos: A3×4 = matriz escalonada de orden 3×4 B3×4 = matriz escalonada de orden 3×4 C3 x 2 = no es matriz escalonada OPERACIONES CON MATRICES SUMA DE MATRICES Definición: Dadas dos matrices A y B del mismo orden, llamaremos "suma de A más B" y la indi- caremos A+B, a la matriz del mismo orden que A y B, cuyos elementos se obtienen sumando los elementos correspondientes de A y B, es decir: Si A = ( a i j )m×n y B = ( b i j )m×n entonces A + B = ( a i j + b i j )m×n Ejemplo: Si A = yB= entonces A+ B = PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ Definición: Dados un escalar k  R y una matriz Am×n , llamaremos producto del escalar k por la matriz A a la matriz k.A del mismo orden que A, cuyos elementos se obtienen multiplicando el es- calar k por cada elementos de la matriz A, es decir: Si A = ( a i j )m×n y k  R entonces k.A = ( k.a i j )m×n Ejemplo: Sea k = −2 y sea A = entonces k.A = (–2). A Prof. Mg. Estela Torres 5 ÁLGEBRA LINEAL PRODUCTO DE MATRICES Definición: Dadas dos matrices A = (a i j )m×n y B = ( b i j )n×p (el número de columnas de A igual al número de filas de B), llamaremos producto de A por B a la matriz C = A. B = (c i j ) m×p (su núme- ro de filas es igual al número de filas de A y su número de columnas es igual al número de columnas de B), tal que un elemento arbitrario c i j es la suma de los productos de los elementos de la fila i de A por los elementos correspondientes de la columna j de B. n Es decir: c i j = ai 1. b1 j + ai 2. b2 j +... + ai n. bn j =  ai k  b k j para i = 1,...,m k=1 Ejemplo: Sean y , realizar A.B o B.A de ser posible En este caso A2×3. B2x2 no se puede realizar, porque el número de columnas de A es distinto que el número de filas de B. B2x2. A2×3 = C2×3 sí se puede realizar REGLA PRÁCTICA A Luego: B2 x 2. A2 x 3 = C2x3 = Completamos a continuación las definiciones de matriz Matriz inversible, regular o no singular. 11) Matriz inversible, regular o no singular: Una matriz cuadrada An se dice inversible, regular o no singular, si y sólo si existe una matriz cuadrada Bn tal que: An. Bn = Bn. An = I n La matriz B es única para cada matriz A, se llama "matriz inversa de A" y se denota A−1. Luego: An. An−1 = An−1. An = I n Ejemplo: es inversible pues existe tal que A. A−1 = A−1. A = (Verificarlo) Prof. Mg. Estela Torres 6 ÁLGEBRA LINEAL TRASPUESTA Definición: Dada una matriz Am×n = ( a i j ), una matriz Bn×m = ( b i j ) es la "matriz traspuesta de A" y la denotaremos B = AT si y sólo si B se obtiene permutando las filas por las columnas de la matriz A. Es decir: B = AT sii b i j = a j i para todo i , para todo j En otras palabras, las filas de AT son las columnas de A y viceversa. Ejemplo: Si A3×2 = entonces AT 2×3 = Observaciones: 1) Sea A  M n(R) entonces An es simétrica sii An = ATn 2) Sea A  M n(R) entonces An es antisimétrica sii An = - ATn A continuación daremos el concepto de matriz ortogonal Matriz Ortogonal: Una matriz cuadrada inversible se dice ortogonal si su traspuesta coincide con su inversa, es decir, si AT = A−1 o bien A es ortogonal, A.AT = AT.A = In Ejercicio: Probar que la matriz A3 = es ortogonal. MATRICES EQUIVALENTES Operaciones elementales entre filas de una matriz Dada una matriz A (cuadrada o rectangular), llamaremos "operación elemental entre filas de A" a cualquiera de las siguientes operaciones: 1) Intercambio de dos filas cualesquiera de A. 2) Multiplicación de una fila de A, por un escalar no nulo. 3) Reemplazo de una fila cualquiera de A por la suma de ella más un múltiplo de otra fila. Definición: Diremos que dos matrices son equivalentes si y sólo si una de ellas puede obtenerse rea- lizando un número finito de operaciones elementales entre filas de la otra y escribiremos A B Ejemplo: La matriz A = es equivalente a B = , ya que ~ ~ F1  F2 F2' = F1+F2 Prof. Mg. Estela Torres 7 ÁLGEBRA LINEAL DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA El determinante de una matriz cuadrada A es un número real que se simboliza A y que para ma- trices de orden 2 y 3 se calcula mediante la Regla de Sarrus, como se indica a continuación: a) Regla de Sarrus para matrices de orden 2 Sea A2 = entonces a11. a22 − a12. a21 Ejemplo: Si A2 = entonces 1.(− 2) − 1.3= −5 b) Regla de Sarrus para matrices de orden 3 Sea A3 = Para calcular el determinante en este caso, se agregan debajo las dos primeras filas. Se suman los productos de los elementos de la diagonal principal con los productos de los elementos de las parale- las a ésta. Al resultado se le restan los productos de los elementos de la otra diagonal y los productos de los elementos de las paralelas a ésta. Es decir: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 A3 = a 31 a 32 a 33 = a11.a22.a33 + a21.a32.a13 + a31.a12. a23 a 11 a 12 a 13 − a13.a22.a31 − a23.a32.a11 − a33.a12.a21 a 21 a 22 a 23 Ejemplo: Sea A3 = entonces 0 1 −1 2 1 3 0.1.3 + 2.1.(−1) + (−1).1.3 − (−1).1.(− 1) − 3.1.0 − 3.1.2 = −12 A 3 = −1 1 3 = 0 1 −1 2 1 3 Para matrices de orden superior a 3, el determinante se calcula utilizando el Método de Triangulariza- ción, que se basa en las propiedades que enunciamos a continuación. Prof. Mg. Estela Torres 8 ÁLGEBRA LINEAL PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1) El intercambio de filas por columnas no altera el valor del determinante, es decir: A = AT Ejemplo: Sea A = , cuyo determinante es A = −12 Si intercambiamos las filas por las columnas obtenemos: AT = cuyo determinante aplicando Sarrus es A T = −12 = A (Verificarlo) 2) El intercambio de dos líneas paralelas (filas o columnas) altera el signo del determinante, pero no su valor absoluto. Ejemplo: Sea A = , cuyo determinante es A = −12 Si intercambiamos la fila 2 por la fila 1 obtenemos: B= cuyo determinante aplicando Sarrus es 12 = - A (Verificarlo) 3) Si se multiplican todos los elementos de una línea (fila o columna) por un mismo número no nulo, el valor del determinante queda multiplicado por dicho número. Ejemplo: Sea A = , cuyo determinante es A = −12 Si multiplicamos la fila 3 por 2 obtenemos: B= cuyo determinante aplicando Sarrus es -24 = 2. A (Verificarlo) 4) Si una matriz tiene dos líneas paralelas (filas o columnas) proporcionales, su determinante es nulo. Decimos que dos líneas paralelas (filas o columnas) son proporcionales si una de ellas es múltiplo de la otra, es decir, si todos los elementos de una de ellas pueden obtenerse multiplicando los ele- mentos de la otra por un mismo número. Ejemplo: Sea A = , las filas F1 y F2 son proporcionales (F2= -3F1) y su deter- minante aplicando Sarrus es A = 0 (Verificarlo) Prof. Mg. Estela Torres 9 ÁLGEBRA LINEAL 5) El valor de un determinante no varía si se reemplaza una línea cualquiera (fila o columna) por la suma de ella más un múltiplo de otra línea paralela. Ejemplo: Sea A = , cuyo determinante es A = −12 Si reemplazamos la fila F3 por 2F1 + F3 obtenemos: B= cuyo determinante aplicando Sarrus es -12 = A (Verificarlo) 6) El valor del determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es el producto de los ele- mentos de la diagonal principal. Ejemplo: Sea A = su determinante aplicando Sarrus es A = 2 (Verificarlo) 7) Si una matriz tiene una línea (fila o columna) formada exclusivamente por ceros, su determinante es nulo. Ejemplo: Sea A = su determinante aplicando Sarrus es A = 0 (Verificarlo) CÁLCULO DE DETERMINANTE POR EL MÉTODO DE TRIANGULARIZACIÓN Este método consiste en transformar la matriz dada en una matriz triangular superior, mediante las operaciones con filas o columnas que fuesen necesarias. En nuestro curso trabajaremos preferentemente con las filas. Ejemplos: 1) | E3 | = = - = - F2  F1 F’2 = - 3F1 + F2 = - = - = - [1.2.(-5)] = 10 F’3 = - 2F1 + F3 F’’3 = F’3 - F’2 2) | D4 | = = = = F’2 = F1 + F2 F’4 = - 2F1 + F4 Prof. Mg. Estela Torres 10 ÁLGEBRA LINEAL = = = F’3 = F’2 + F3 F’’4 = F’2 + F’4 F’’4  F’3 1 2 0 −2 0 2 −1 1 = - = - (1.2.4.1) = -8 0 0 4 6 0 0 0 1 F’’4  F’3 RANGO DE UNA MATRIZ Definición: Llamaremos rango de una matriz Am×n y lo indicaremos rg(A), al orden del mayor de- terminante no nulo que se puede extraer de la matriz. De acuerdo con la definición, hallar el rango de una matriz a veces puede resultar largo y tedioso. Para calcular el rango de matriz aplicaremos la siguiente propiedad del rango El rango de una matriz escalonada es el número de filas no nulas de dicha matriz. Notas: 1) Las matrices equivalentes tienen el mismo rango. 2) El rango es un número entero comprendido entre 0 (cuando sea la matriz nula) y el mínimo entre número de columnas y número de filas. MÉTODO PARA CALCULAR EL RANGO ESCALONANDO LA MATRIZ Este método consiste en encontrar una matriz escalonada equivalente a la matriz dada. El rango de la escalonada hallada es el número de filas no nulas y éste será el rango de la matriz dada, por ser equi- valente a la escalonada. Ejemplo: Calcular el rango de la matriz: A4 = ~ ~ F2' = F2 + 2 F1 F3' = F3 + (−5) F2 F3' = F3 + (-2) F1 F4' = F4 + (−2) F2 F4' = F4 + 4 F1 Por lo tanto rg(A) = 3 Prof. Mg. Estela Torres 11 ÁLGEBRA LINEAL SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Resolver un sistema de ecuaciones lineales es uno de los problemas más antiguos de la matemática y tiene aplicaciones en el procesamiento digital de señales, en programación lineal, en la aproxima- ción de problemas no lineales de análisis numérico. Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, nosotros desarrollaremos el método de eliminación de Gauss. Definición: Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, es un conjunto finito de ecua- ciones lineales con las mismas incógnitas. Un sistema tal se indica: (I) donde: a i j  R para i = 1 ,... , m ; j = 1 ,... , n son los coeficientes del sistema. x j para j = 1 ,... , n son las incógnitas. bi para i = 1 ,... , m son los términos independientes. Ejemplo: El siguiente es un sistema de 3 ecuaciones lineales con dos incógnitas, es decir, en este  2 x1 − x 2 = 0  caso, m = 3 , n = 2:  3 x1 + x 2 = − 1  − x1 = 2  Definición: Se llama solución del sistema ( I ) a toda n-upla ( s1 , s2 ,... , sn ) de números reales que satisface las ecuaciones del sistema. El conjunto formado por todas las soluciones se llama "conjunto solución" del sistema. Es claro que si el sistema no tiene solución entonces S =  Resolver un sistema lineal es encontrar su conjunto solución. SISTEMAS EQUIVALENTES Definición: Dos sistemas de ecuaciones lineales con las mismas incógnitas (cualquiera sea el nú- mero de ecuaciones) se dicen equivalentes, si y sólo si tienen el mismo conjunto solución. Prof. Mg. Estela Torres 12 ÁLGEBRA LINEAL NOTACIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA LINEAL a 11 x 1 + a 12 x 2 +.... + a 1n x n = b1 a x + a x +.... + a x = b  21 1 22 2 2n n 2 Dado el sistema  ( I ), consideremos las siguientes matrices: ............................................... a m1x 1 + a m2 x 2 +.... + a mn x n = b m  x1   b1       x2   b2  Am×n = ; Xnx1 =   ; Bmx1 =   .. . ...       x n   bm      a 11 a 12..... a 1n   x 1   b1         a 21 a 22..... a 2n   x 2   b2  Si realizamos el producto . .....  = .....  obtenemos....................        a..... a mn   x  b   m1 a m2  n  m a 11 x 1 + a 12 x 2 +.... + a 1n x n = b1 a x + a x +.... + a x = b  21 1 22 2 2n n 2  ............................................... a m1x 1 + a m2 x 2 +.... + a mn x n = b m Por lo tanto el sistema dado puede escribirse: A.X = B Notación matricial del sistema (I) La matriz Amxn se denomina matriz asociada al sistema o matriz de los coeficientes del sistema. La matriz Xnx1 se denomina matriz de las incógnitas. La matriz Bmx1 se denomina matriz de los términos independientes. Definición: dado el SEL (I), la matriz orlada o ampliada de dicho sistema que se simboliza Aº, es la matriz que se obtiene agregando a la matriz A de los coeficientes, una última columna formada por los términos independientes.  a 11 a 12  a 1n  b1     a 21 a 22  a 2n  b2  En símbolos: Aºmx(n+1) =                 a  a mn  b m   m1 a m2 Lema: Si dos sistemas lineales con la misma cantidad de incógnitas tienen matrices orladas equi- valentes, entonces dichos sistemas son equivalentes. (S/D) Prof. Mg. Estela Torres 13 ÁLGEBRA LINEAL En esta propiedad se basa el "Método de eliminación de Gauss" para resolver sistemas lineales, que veremos más adelante. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Definición: ✓ Un sistema lineal se dice "compatible" si y sólo si admite alguna solución. Un sistema compatible se dice "compatible determinado" sii tiene solución única. Un sistema compatible se dice "compatible indeterminado" sii tiene infinitas soluciones. ✓ Un sistema lineal se dice "incompatible" sii no admite solución. Es decir: Determinados: solución única Compatibles (Si tienen solución) Indeterminados: infinitas soluciones SISTEMAS LINEALES Incompatibles (No tienen solución) Veamos ahora un resultado que nos permite clasificar los sistemas TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS: La condición necesaria y suficiente para que un sis- tema lineal de m ecuaciones con n incógnitas A. X = B admita solución, es que la matriz A de los coeficientes y la matriz orlada Aº tengan igual rango, es decir: a) A. X = B es compatible sii rg(A) = rg(Aº) b) A. X = B es incompatible sii rg(A)  rg(Aº) Además: a1) Si el sistema A. X = B es compatible y rg(A) = n = nº de incógnitas, entonces dicho sistema es compatible determinado. a2) Si el sistema A. X = B es compatible y rg(A) = h < n, entonces dicho sistema es compatible indeterminado. Prof. Mg. Estela Torres 14 ÁLGEBRA LINEAL En este caso el conjunto solución S será llamado "solución general" y se indica expresando h in- cógnitas llamadas "variables dependientes o incógnitas auxiliares" en función de las n − h incógni- tas restantes, llamadas "variables independientes o incógnitas principales". Dando valores arbitra- rios a las incógnitas principales, determinamos los valores correspondientes de las incógnitas auxi- liares, obteniendo así las llamadas "soluciones particulares" del sistema. SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS Definición: Un sistema lineal se denomina "homogéneo" si y sólo si todos los términos indepen- dientes del sistema son nulos. Luego, un sistema lineal homogéneo de m ecuaciones con n incógnitas es de la forma:  a11 x1 + a12 x 2 +    + a1n x n = 0    a 21 x1 + a 22 x 2 +    + a 2n x n = 0  (II)       a m1 x1 + a m2 x 2 +    + a mn x n = 0 En notación matricial, el sistema lineal homogéneo (II) puede escribirse: A. X =  COMPATIBILIDAD DE UN SISTEMA LINEAL HOMOGÉNEO Aplicando el Teorema de Rouché-Frobenius, podemos ver que todo sistema lineal homogéneo es compatible, pues siempre rg(A) = rg(Aº) y siempre admite al menos la solución (0 , 0 ,... , 0), lla- mada "solución trivial". Además: a1) Si rg(A) = n = nº de incógnitas, entonces es compatible determinado, es decir, tiene solución única y es la trivial (0 , 0 ,... , 0). a2) Si rg(A) < n entonces es compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones (entre las cuales está incluida la trivial). MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS El método básico para resolver sistemas de ecuaciones lineales consiste en reemplazar el sistema dado por un nuevo sistema equivalente, que sea más fácil de resolver. Sabemos que dos sistemas son equivalentes si y sólo si sus matrices orladas son equivalentes. Por otra parte, un sistema lineal cuya matriz orlada sea escalonada, es mucho más fácil de resolver, como veremos enseguida. Prof. Mg. Estela Torres 15 ÁLGEBRA LINEAL El Método de Eliminación de Gauss consiste entonces en transformar la matriz orlada del sistema dado, en una matriz equivalente escalonada, que será la matriz orlada de un sistema equivalente al dado. Es decir, dado un sistema A. X = B debemos llegar a un sistema C. X = H equivalente, tal que C sea escalonada. Este método se utiliza en general para cualquier sistema (completo u homogéneo) y cualquiera sea el número de ecuaciones o de incógnitas. Si inicialmente tenemos un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas: debemos obtener un sistema como el siguiente: Los valores de las incógnitas, en el nuevo sistema obtenido, se calculan resolviendo la ecuación más simple (generalmente la última) y realizando luego sustituciones regresivas. Como los siste- mas son equivalentes, el conjunto solución del sistema escalonado es el conjunto solución del sis- tema dado. Observaciones: 1) Al resolver un sistema A. X = B por el Método de Gauss, simultáneamente se analiza la com- patibilidad o no, calculando el rango de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada. 2) Si el sistema es homogéneo, podemos trabajar solamente con la matriz de los coeficientes. Ejemplos: 1) Adoptaremos la siguiente disposición práctica. Prof. Mg. Estela Torres 16 ÁLGEBRA LINEAL Coeficientes del sistema Términos independientes 2 −1 1 −3 1 −1 1 −1 2 0 3 −1 1 −4 −1 −1 1 −1 2 0 F2  F1 2 −1 1 −3 1 3 −1 1 −4 −1 −1 1 −1 2 0 F2' = F2 + 2 F1 0 1 −1 1 1 F3' = F3 + 3 F1 0 2 −2 2 −1 −1 1 −1 2 0 0 1 −1 1 1 F3'' = F3 + (−2) F2' 0 0 0 0 −3 Luego rg(A) = 2  3 = rg(Aº) y por lo tanto el sistema dado es incompatible y S =  2 −1 1 1 −1 1 −1 0 0 1 1 −1 −1 1 −1 0 F2  F1 2 −1 1 1 0 1 1 −1 −1 1 −1 0 F2' = F2 + 2 F1 0 1 −1 1 0 1 1 −1 −1 1 −1 0 0 1 −1 1 F3' = F3 +(-1)F2' 0 0 2 -2 Luego rg(A) = 3 = rg(Aº) y por lo tanto el sistema dado es compatible. Como rg(A) = 3 = nº de incógnitas, el sistema es compatible determinado (solución única) El sistema escalonado equivalente C. X = H es: Prof. Mg. Estela Torres 17 ÁLGEBRA LINEAL  −x+y−z=0 (1)   y − z =1 (2) sustitución regresiva  2 z = − 2 (3)  De (3) se obtiene z = −1 (4) Reemplazando (4) en (2) se obtiene: y − (−1) = 1 de donde resulta y = 0 (5) Reemplazando (4) y (5) en (1) se obtiene: − x + 0 − (−1) = 0 de donde resulta x = 1 Luego, la única solución del sistema es (1, 0, −1) y su conjunto solución es S = {(1, 0, -1)} Nota: Es aconsejable verificar si la solución hallada satisface las ecuaciones del SEL dado antes de escalonar. 3) 2 −1 1 −3 1 −1 1 −1 2 0 3 −1 1 −4 2 −1 1 −1 2 0 F2  F1 2 −1 1 −3 1 3 −1 1 −4 2 −1 1 −1 2 0 F2' = F2 + 2 F1 0 1 -1 1 1 F3' = F3 + 3 F1 0 2 -2 2 2 −1 1 −1 2 0 0 1 −1 1 1 F3'' = F3 + (−2)F2' 0 0 0 0 0 Luego rg(A) = 2 = rg(Aº) y por lo tanto el sistema dado es compatible. Como rg(A) = 2 < 4 = nº de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado (infinitas solu- ciones) Prof. Mg. Estela Torres 18 ÁLGEBRA LINEAL El sistema escalonado equivalente C. X = H es: Tenemos n − h = 4 − 2 = 2 incógnitas principales (variables independientes). De (2) "despejamos" una de las incógnitas en función de las otras dos, por ejemplo: y=1+z−t (3) donde z , t son las incógnitas principales Reemplazando (3) en (1) se obtiene − x + t + 1 = 0 Despejamos de esta última ecuación la incógnita restante (x) en función de las incógnitas principa- les z , t y obtenemos x = t + 1 (4) De (3) y (4) el conjunto solución o "solución general" es: S = {(x, y, z, t) / x = 1 + t, y = 1 + z – t con z R, t R } Hallamos una "soluciones particulares", dando valores a las incógnitas principales. Si z = 0 , t = 0 entonces x = 1, y = 1. Luego, una solución particular es: (1 , 1 , 0 , 0) Si z = 1 , t = 0 entonces x = 1, y = 2. Luego, una solución particular es: (1 , 2 , 1 , 0) Verificar que las soluciones particulares hallada satisfacen las ecuaciones del SEL dado antes de escalonar. SISTEMAS SIMULTÁNEOS Definición: Dos sistemas lineales de m ecuaciones con n incógnitas se llaman "simultáneos" si y sólo si tienen la misma matriz de coeficientes y sólo difieren en los términos independientes. Ejemplo: Los siguientes sistemas son simultáneos: Estos sistemas se pueden resolver por el Método de Gauss, escalonando "simultáneamente" sus ma- trices orladas. CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR MEDIANTE LA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS SIMULTÁNEOS Recordemos que: “para cada matriz A, se llama "matriz inversa de A" y se denota A−1 a la matriz que verifica: An. An−1 = An−1. An = I n Prof. Mg. Estela Torres 19 ÁLGEBRA LINEAL Se puede probar que: Lema: Dada una matriz cuadrada An , las siguientes condiciones son equivalentes: a) A es inversible b) A  0 c) rg(A) = n (S/D) Explicaremos el método mediante un ejemplo. Ejemplo: Hallar si existe la inversa de la matriz: Se calcula sin dificultad que el A = −1  0. Luego A es regular, es decir, existe A−1. Por otra parte, A−1 es tal que A. A−1 = I 3 Luego, encontrar A−1 significa resolver 3 sistemas de ecuaciones, cuya matriz de los coeficientes es la matriz dada y los términos independientes son las columnas de la matriz I3 La solución de cada sistema será una columna de la matriz inversa buscada. Aplicamos el Método de Gauss para los tres sistemas en forma simultánea, como sigue x1j x2j³ bi x3j ³ bij ´ b'³j bi b'' ´´ j ³ 1 1 2 1 0 0 0 -1 -1 0 1 0 1 -2 0 0 0 1 1 1 2 1 0 0 0 −1 -1 0 1 0 F3' = F2 + (-1) F1 0 -3 −2 -1 0 1 1 1 2 1 0 0 0 −1 -1 0 1 0 F3'' = F2' + (-3) F2 0 0 1 −1 -3 1 Prof. Mg. Estela Torres 20 ÁLGEBRA LINEAL Obtenemos así los siguientes sistemas lineales equivalentes respectivamente a cada uno de los sis- temas originales (I), (II), (III): (I') (II ') (III ') Cuyas soluciones son respectivamente: Por lo tanto: A−1 = Ejercicio: Resta probar que efectivamente la matriz encontrada es la inversa de A , es decir verifi- car que; 1) A. A−1 = I3 2) A−1. A = I3 Prof. Mg. Estela Torres 21