Hebrew Calculus 1A - Practice 6 PDF

‫חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪1‬א ־ תרגול ‪6‬‬ ‫‪ 1‬טורים‬ ‫∑‬...

‫חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪1‬א ־ תרגול ‪6‬‬ ‫‪ 1‬טורים‬ ‫∑‬ ‫‪n‬‬ ‫= ‪.Sn‬אם קיים הגבול ‪ lim Sn‬והוא סופי אז נאמר שהטור‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ an‬סדרה‪ ,‬נגדיר את סדרת הסכומים החלקיים ‪an‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫∑‬ ‫∞ מתכנס‪ ,‬ואחרת נאמר שהטור מתבדר‪.‬‬ ‫‪n=1 an‬‬ ‫תזכורת‪ :‬תנאי הכרחי להתכנסות טור הוא ‪.an → 0‬‬ ‫תזכורת‪ :‬קריטריון קושי להתכנסות טורים‪:‬‬ ‫∑‬ ‫מתכנס אם`ם לכל ‪ ϵ > 0‬קיים ‪ N ∈ N‬כך שלכל ‪ n ≥ N‬ו ‪ k ∈ N‬מתקיים‪:‬‬ ‫הטור ‪an‬‬ ‫∑‬ ‫‪n+k‬‬ ‫= | ‪|an+k +... + an+1‬‬ ‫‪am < ϵ‬‬ ‫‪m=n+1‬‬ ‫תרגיל‪ :‬הראו בעזרת תנאי קושי שהטור הבא אינו מתכנס‪:‬‬ ‫∞‬ ‫∑‬ ‫‪1‬‬ ‫√‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫תזכורת ־ תנאי קושי אינו מתקיים אם קיים ‪ ε > 0‬כך שלכל ‪ N ∈ N‬קיים ‪ N < n ∈ N‬וקיים ‪ p ∈ N‬כך ש־‬ ‫∑‬ ‫‪n+p‬‬ ‫|‬ ‫‪an | > ε‬‬ ‫‪k=n‬‬ ‫יהי ‪.N ∈ N‬לכל ‪:n > N, p ∈ N‬‬ ‫∑‬ ‫‪n+p‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫|‬ ‫√‬ ‫√ =|‬ ‫√ ‪+... +‬‬ ‫√‪> p‬‬ ‫‪k=n‬‬ ‫‪k2‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪(n +‬‬ ‫‪p)2‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪(n + p)2 + 1‬‬ ‫עבור ‪ p = n‬נקבל‪:‬‬ ‫∑‬ ‫‪n+p‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫|‬ ‫√‬ ‫√ >|‬ ‫√=‬ ‫√≥‬ ‫‪k=n‬‬ ‫‪k2 + 1‬‬ ‫‪4n2 + 1‬‬ ‫‪4+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪1‬‬  ‫= ‪ ε‬לכל ‪ N ∈ N‬קיימים ‪ n > N‬ו־‪ p ∈ N‬כך ש־‬ ‫‪√1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫לכן אם נבחר‬ ‫∑‬ ‫‪n+p‬‬ ‫|‬ ‫‪an | > ε‬‬ ‫‪k=n‬‬ ‫ולכן הטור אינו מתכנס‪.‬‬ ‫‪ 1.1‬חשבון טורים‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫‪ c‬מתכנס‪.‬במקרה של התכנסות יש שוויון‪.‬‬ ‫מתכנס ⇒⇐ ‪an‬‬ ‫ לכל ‪ 0 ̸= c ∈ R‬מתקיים ‪can‬‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫מתכנסים‪.‬ההיפך לא נכון‪.‬אל תכפלו טורים!‬ ‫מתכנסים אז גם ‪an + bn‬‬ ‫ו‪bn -‬‬ ‫ אם ‪an‬‬ ‫∞∑‬ ‫∞∑‬ ‫מתכנס‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪ an > 0,‬מתכנס אז גם הטור ‪a2n‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫תרגיל‪ :‬הוכיחו שאם הטור ‪an‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫∑‬ ‫מתכנס ולכן ‪ an < 1‬החל ממקום מסויים‪.‬נניח בה“כ שהחל מהאיבר הראשון ‪.an < 1‬לכן‪.a2n < an < 1 ,‬לכן‪,‬‬ ‫הטור ‪an‬‬ ‫לכל ‪:N‬‬ ‫∑‬ ‫‪N‬‬ ‫∑‬ ‫‪N‬‬ ‫< ‪a2n‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞∑‬ ‫‪∑N‬‬ ‫< ‪.SN‬לכן‪:‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫= ‪ SN‬מונוטונית עולה‪ ,‬וכיוון שהטור מתכנס מתקיים ‪an = S‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫נשים לב שהסדרה ‪an‬‬ ‫∑‬ ‫‪N‬‬ ‫‪a2n < SN < S‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫כלומר‪ ,‬סדרת הסכומים החלקיים של הסדרה ‪ a2n‬חסומה על ידי ‪ ,S‬וכמו כן גם היא מונוטונית עולה ולכן מתכנסת‪.‬מכאן‬ ‫שהטור מתכנס‪.‬‬ ‫‪ 2‬טורים חיוביים ‪ -‬מבחני התכנסות‬ ‫∑‬ ‫חיובי אם ‪ an ≥ 0‬לכל ‪.n‬במקרה זה סדרת הסכומים החלקיים ‪ Sn = a1 + · · · + an‬מונוטונית עולה‪ ,‬ולכן‬ ‫נקרא לטור ‪an‬‬ ‫∑‬ ‫או שהטור מתכנס‪ ,‬ובמקרה זה נסמן זאת‬ ‫מתכנסת במובן הרחב‪.‬כלומר‪ :‬לטור חיובי יש שתי אפשרויות בלבד‪an = ∞ :‬‬ ‫∑‬ ‫∞ < ‪) an‬נדגיש שהסימון הזה חסר משמעות לטור לא חיובי(‪.‬‬ ‫מבחן השוואה רגיל‬ ‫‪2.1‬‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫טורים חיוביים ומתקיים החל ממקום מסוים ‪ an ≤ M bn‬עבור‬ ‫‪an ,‬‬ ‫משפט ‪) 2.1‬מבחן ההשוואה הראשון ‪ /‬הרגיל(‪ :‬אם ‪bn‬‬ ‫∑‬ ‫∑‬ ‫קבוע ‪ ,M‬אז ∞ < ‪. an < ∞ ⇐ bn‬‬ ‫‪2‬‬  ‫∑‬ ‫∑‬ ‫‪.‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪1+an‬‬ ‫אם`ם ∞ 0‬קטן מספיק כך שהמ`מ מתקיים‬ ‫‪an‬‬ ‫ 1‬הטור מתבדר‪ ,‬אם‬ ‫טענה ‪) 2.5‬מבחן השורש(‪an :‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪ l = 1‬המבחן נכשל כלומר לא מספק מידע‬ ‫√‬ ‫‪ an < (l + ( 1−l‬והטור מתכנס‪.‬אם ‪l > 1‬‬ ‫‪ lim sup‬ולכן החל ממקום מסוים ) ‪2 )) = ( 2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪l+1 n‬‬ ‫הוכחה‪ :‬אם ‪ l < 1‬אז ‪an = l < 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫√‬ ‫אזי ‪ lim sup n an = l > 1‬לכן שכיח ‪) an > 1 = 1‬משמע לא שואף ל־‪ (0‬והטור מתבדר‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫תרגיל‪ :‬הראו כי הטור הבא מתכנס‬ ‫∞‬ ‫∑‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫פתרון‪ :‬לפי מבחן המנה מספיק לחשב את הגבול הבא‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪an+1‬‬ ‫!)‪(n+1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪n→∞ an‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪n→∞ n + 1‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫לכן הטור מתכנס‪.‬‬ ‫תרגיל‪ :‬בדקו האם הטור הבא מתכנס או מתבדר‪:‬‬ ‫∑‬‫( ∞‬ ‫)‪)n(n+1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫פתרון‪ :‬לפי מבחן השורש מספיק לחשב את הגבול הבא‬ ‫(‬ ‫‪)n+1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫( ‪= lim‬‬ ‫)‬ ‫‪= 0.‬‬ ‫– הגדרה מילולית‪ :‬פונקציית הערך השלם‪ ⌊x⌋ : R → R :‬מחזירה לכל ‪ x‬את המספר השלם הגדול ביותר הקטן‬ ‫מהמספר ‪.x‬‬ ‫הערה ‪4.1‬‬ ‫ הטווח של פונקציה לא נקבע בצורה יחידה‪ ,‬אם ‪ f : A → B‬היא פונקציה‪ ,‬אזי לכל ‪ f : A → C ,B ⊂ C‬היא עדיין‬ ‫אותה פונקציה‪ ,‬אבל לפעמים הטווח קובע את צורת ההסתכלות על הפונקציה‪.‬‬ ‫ לפעמים לא מצוינים התחום או הטווח של הפונקציה‪.‬במקרה זה התחום הוא הקבוצה הגדולה ביותר עבורה הפונקציה‬ ‫מוגדרת היטב‪.‬הטווח יהיה התמונה של הפונקציה ‪ ,f‬או קבוצה הגיונית אחרת )למשל הממשיים(‪.‬‬ ‫‪ 4.1‬תכונות של פונקציות‬ ‫פונקציה ‪ f : A → B‬נקראת‪:‬‬ ‫ חד־חד־ערכית )חח`ע‪ :(injective ,‬אם ‪) f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2‬או לחלופין ) ‪(x1 ̸= x2 ⇒ f (x1 ) ̸= f (x2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫– פונקציה נתונה יכולה להיות חח`ע בתחום מסוים ולא חח`ע בתחום אחר‪.‬למשל ‪ f (x) = x2‬חח`ע בתחום )∞ ‪(0,‬‬ ‫ולא חח`ע בתחום ‪.R‬‬ ‫ על )על ‪ :(surjective ,B‬אם לכל ‪ b ∈ B‬קיים ‪ a ∈ A‬כך ש ‪.f (a) = b‬‬ ‫– הפונקציה הנתונה ע`י הנוסחה ‪ f (x) = x2‬היא על כאשר היא מוגדרת כ ‪ f : R → R+‬אבל איננה על כאשר היא‬ ‫מוגדרת כ ‪.f : R → R‬‬ ‫ מחזורית‪ :‬פונקציה ‪ f : R → R‬נקראת מחזורית אם קיים ‪ a ∈ R‬חיובי כך שלכל ‪ x ∈ R‬מתקיים‪a.f (x + a) = f (x) :‬‬ ‫נקרא מחזור של הפונקציה ‪.f‬אם ל ‪ f‬קיים מחזור מינימלי יחיד ‪ ,a‬אזי ‪ f‬היא פונקציה מחזורית בעלת מחזור ‪) a‬נשים‬ ‫לב כי אם ‪ a‬מחזור אזי לכל ‪ n ∈ N‬גם ‪ na‬מחזור(‪.‬‬ ‫– לדוגמה )‪ sin (x‬מחזורית‪ ,‬בעלת מחזור ‪.2π‬‬ ‫– הפונקציה ⌋‪ x − ⌊x‬מחזורית‪ ,‬בעלת מחזור ‪.1‬‬ ‫ זוגית‪/‬אי־זוגית‪ :‬פונקציה ‪ f : R → R‬נקראת זוגית אם מתקיים לכל ‪ f.f (−x) = f (x) :x ∈ R‬נקראת אי־זוגית אם‬ ‫מתקיים לכל ‪.f (−x) = −f (x) :x ∈ R‬‬ ‫√(‬ ‫)‬ ‫‪ f (x) = cos (x) + cos‬מחזורית‪.‬‬ ‫תרגיל‪ :‬בדקו האם הפונקציה ‪2x‬‬ ‫נוכיח כי ‪ f‬איננה מחזורית‪.‬נניח בשלילה כי קיים ל ‪ f‬מחזור ‪ ,a > 0‬כלומר צריך להתקיים לכל ‪:x ∈ R‬‬ ‫√(‬ ‫)‬ ‫√(‬ ‫)‬ ‫‪f (x) = f (x + a) ⇐⇒ cos (x) + cos‬‬ ‫‪2x = cos (x + a) + cos‬‬ ‫)‪2 (x + a‬‬ ‫בפרט עבור ‪ x = 0‬צריך להתקיים‪:‬‬ ‫√(‬ ‫)‬ ‫‪2 = cos (a) + cos‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫אבל השוויון מתקיים רק כאשר‪:‬‬ ‫√‬ ‫)‪a, 2a = 0 (mod 2π‬‬ ‫כלומר כאשר‬ ‫√‬ ‫‪a = 2πk,‬‬ ‫‪2a = 2πl, l, k ∈ Z‬‬ ‫אבל קיבלנו‪:‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2πl‬‬ ‫‪l‬‬ ‫=‪2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2πk‬‬ ‫‪k‬‬ ‫√‬ ‫וזו סתירה כי ידוע כי ‪ 2‬הנו מספר אי־רציונלי‪ ,‬ולא ניתן לכתוב אותו כמנה של שני מספרים שלמים‪.‬‬ ‫‪8‬‬