Cours d’Analyse 1 (SMA-SMI) PDF

COURS D’ANALYSE 1–Filière SMA-SMI. Table des matières Introduction 4 1 Le corps des nombres réels 5 1.1 Définition axi...

COURS D’ANALYSE 1–Filière SMA-SMI. Table des matières Introduction 4 1 Le corps des nombres réels 5 1.1 Définition axiomatique de R........................... 5 1.1.1 (R, +, ×, ≤) est un corps commutatif.................. 5 1.1.2 R est totalement ordonné......................... 6 1.1.3 R possède la propriété de la borne supérieure.............. 8 1.2 Propriétés élémentaires de R........................... 9 1.2.1 Propriétés de corps commutatif totalement ordonné.......... 9 1.2.2 Conséquences de la propriété de la borne supérieure.......... 11 1.3 La droite numérique achevée.......................... 15 2 Suites réelles 17 2.1 Généralités.................................... 17 2.2 Suites convergentes................................ 18 2.2.1 Limites infinies............................... 18 2.2.2 Opérations sur les limites........................ 20 2.3 Outils pour étudier les suites.......................... 21 2.3.1 Limites et monotonie........................... 21 2.3.2 Limites et relation d’ordre........................ 23 2.3.3 Suites de Cauchy............................. 24 2.3.4 Suites équivalentes............................ 25 2.3.5 Suites récurrentes............................. 26 2.3.6 Valeurs d’adhèrence et Théorème de Bolzano-Weierstrass...... 29 3 Limites et Continuité d’une fonction 31 3.1 Limite ponctuelle d’une fonction......................... 31 3.1.1 Voisinages d’un point, Point adhèrent à une partie de R........ 31 3.1.2 Limites par valeurs diffèrentes, limites à droite et limites à gauche. 33 3.1.3 Limites infinies.............................. 34 3.1.4 Caractérisation séquentielle....................... 35 3.1.5 Opérations sur les limites........................ 36 3.1.6 Théorème de la limite monotone.................... 36 3.1.7 Critère de Cauchy pour les fonctions.................. 37 3.1.8 Equivalence des fonctions au voisinage d’un point........... 39 3.2 Continuité des fonctions............................. 39 2  3.2.1 Propriétés des fonctions continues................... 40 3.3 Les théorèmes fondamentaux sur les fonctions continues........... 41 3.3.1 Théorème des valeurs intermédiaires.................. 41 3.3.2 Théorème des valeurs extrémales.................... 43 3.3.3 Théorème de Heine............................ 44 3.3.4 Monotonie et continuité......................... 44 3.3.5 Applications : Réciproques des fonctions circulaires......... 45 4 Dérivées 47 4.1 Applications dérivables.............................. 47 4.1.1 Régles de dérivation........................... 49 4.1.2 Extrema relatifs............................. 52 4.2 Théorème des Accroissements Finis....................... 53 4.2.1 Autres formulations du théorème des accroissements finis...... 54 4.2.2 Applications du théorème des accroissements finis.......... 55 4.3 Fonctions hyperboliques............................. 56 4.3.1 Fonctions hyperboliques directes.................... 56 4.3.2 Fonctions hyperboliques réciproques.................. 58 Bibliographie 60 3 Introduction Ce polycopié contient le cours d’analyse I de la filière SMA-SMI. C’est un outil pédagogique qui vous facilitera la prise de notes pendant le cours magistral et vous permettra de traiter les exercices. Il ne vous dispense pas d’assister aux cours magistraux et aux séances de travaux dirigés, et ne vous dispense pas non plus de consulter d’autres livres pour voir d’autres exemples et d’autres démonstrations (par exemple, les ouvrages ,, de la biblioraphie). Vous tirerez un meilleur profit de ce polycopié en suivant les conseils suivants : — Apprenez par cœur les définitions et les formules. — Lisez mot à mot l’énoncé des théorèmes et leurs démonstrations, en vous efforçant de comprendre l’enchaînement logique. — Essayez ensuite de refaire les démonstrations sur feuille, sans vous référer au polycopié (ou à un autre ouvrage). — Cherchez des généralisations possibles. Tâchez de supprimer ou d’affaiblir certaines hypothèses du théorème. — Essayez de résoudre des exercices nombreux et variés, pour apprendre à utiliser les théorèmes du cours, et pour maîtriser les techniques de calcul. Apprenez aussi à rédiger correctement les solutions des exercices. Octobre 2014 Boussouis B. 4 Chapitre 1 Le corps des nombres réels Introduction. En partant de l’ensemble N = {0, 1, · · · } (des entiers naturels) considèré comme une notion primitive, il est possible de construire l’ensemble Z = {·  · · , −2, −1, 0, 1, 2, · · · } m des entiers relatifs, puis à partir de Z, on peut construire l’ensemble Q = : (m, n) ∈ Z × Z∗ n des nombres rationnels, et enfin, on peut construire l’ensemble R à partir de Q. Nous n’aborderons pas ces constructions dans ce cours, car elles sont trop techniques et fastidieuses, et en plus elles ne joueront aucun rôle dans la suite. En fait dans la pratique, la façon de définir les nombres réels importe peu, et ce qui est important et doit être connu, ce sont les propriétés de ces nombres. Nous supposerons connu l’ensemble Q des nombres rationnels, avec son addition, sa multiplication, sa relation d’ordre et les relations qui relient les opérations et la relation d’ordre. En d’autres termes, nous supposerons connue la structure de Q en tant que corps commutatif totalement ordonné et archimèdien (le sens de ces termes sera précisé dans la suite). Nous admettrons qu’il existe un unique corps commutatif totalement ordonné, noté R, contenant l’ensemble Q des nombres rationnels et qui vérifie la propriété de la borne supérieure. A partir de cette définition axiomatique de R, nous déduisons les propriétés essentielles de R. 1.1 Définition axiomatique de R. 1.1.1 (R, +, ×, ≤) est un corps commutatif. Nous admettons qu’il existe un ensemble, noté R, contenant Q et qui est muni de deux lois de composition internes, l’addition (x, y) ∈ R2 7→ x + y et la multiplication (x, y) ∈ R2 7→ x × y (notée aussi x.y ou xy) et qui vérifient les propriétés suivantes : 5  (A1 ) ∀x, y ∈ R, x + y = y + x (Commutativité de +). (A2 ) ∀x, y, z ∈ R, x + (y + z) = (x + y) + z (Associativité de +). (A3 ) ∀x ∈ R, x + 0 = 0 + x = x (0 est l’élément neutre de +). (A4 ) ∀x ∈ R, ∃(−x) ∈ R, x + (−x) = 0 (tout réel x admet un opposé, noté −x). (M1 ) ∀x, y ∈ R, xy = yx (Commutativité de ×). (M2 ) ∀x, y, z ∈ R, x(yz) = (xy)z (Associativité de ×). (M3 ) ∀x ∈ R, x.1 = x (1 est l’élément neutre de ×). (M4 ) ∀x, y, z ∈ R, x(y + z) = xy + xz (Distributivité de × par rapport à +). (M5 ) ∀x ∈ R, x , 0,∃x−1 ∈ R, x × x−1 = 1 (tout réel non nul admet un inverse). Remarques 1.1.1. — On résume les propriétés (A1 )—(A4 ) en disant que (R, +) est un groupe commutatif (ou abélien). — On résume les propriétés (A1 )—(A4 ) et (M1 )—(M4 ), en disant que (R, +, ×) est un anneau commutatif unitaire. Signalons que (Z, +, ×) et (Q, +, ×) sont aussi deux anneaux commutatifs unitaires. — On résume les propriétés (A1 )—(A4 ) et (M1 )—(M5 ), en disant que (R, +, ×) est un corps commutatif. Signalons que (Q, +, ×) est aussi un corps commutatif, alors que (Z, +, ×) ne l’est pas. — On note R∗ B R\{0}. Les propriétés (M1 ), (M2 ), (M3 ) et (M5 ) expriment le fait que (R∗ , ×) est un groupe commutatif. 1.1.2 R est totalement ordonné. Nous admettons de plus, que R est muni d’une relation binaire ≤ qui vérifie les propriétés suivantes : (O1 ) ∀x ∈ R, x ≤ x (réflexivité) (O2 ) ∀x, y ∈ R,(x ≤ y et y ≤ x) ⇒ x = y (antisymétrie) (O3 ) ∀x, y, z ∈ R,(x ≤ y et y ≤ z) ⇒ x ≤ z (transitivité). (O4 ) ∀x, y ∈ R, on a soit x ≤ y soit y ≤ x (deux réels quelconques sont comparables) (O5 ) ∀x, y ∈ R, (x ≤ y) ⇒ (∀z ∈ R, x + z ≤ y + z) (compatibilité avec l’addition). (O6 ) : ∀x, y ∈ R, (x ≤ y) ⇒ (∀z ≥ 0, xz ≤ yz) (compatibilté avec la multiplication par les réels ≥ 0). Remarques 1.1.2. — x ≤ y (x est inférieur ou égal à y) est noté aussi y ≥ x (y est supérieur ou égal à x). Si x ≤ y et x , y, on note x < y (x est strictement inférieur à y) (ou y > x : y est strictement supérieur à x). — On résume les propriétés (O1 )—(O3 ) en disant que ≤ est une relation d’ordre sur R (ou que (R, ≤) est un ensemble ordonné), et on exprime les quatre propriétés (O1 )—(O4 ) en disant que ≤ est une relation d’ordre total (ou encore que (R, ≤) est totalement ordonné.) 1 — On résume les propriétés (A1 )—(A4 ), (M1 )—(M5 ) et (O1 )—(O6 ) en disant que (R, +, ×, ≤) est un corps commutatif totalement ordonné. — Signalons que (Q, +, ×, ≤) est un corps commutatif totalement ordonné. 1. Une relation d’ordre qui ne vérifie pas la condition (O4 ) est appelée relation d’ordre partiel. Par exemple, la relation “x divise y” est une relation d’ordre partiel sur N. 6 Majorants, Minorants, Bornes supérieure et inférieure. Définition 1.1.1. Soit (E, ≤) un ensemble ordonné (par exemple R muni de sa relation d’ordre usuelle) et soient A une partie non vide de E et M ∈ E. On dit que : 1. M est un majorant de A (ou encore que M majore A) si x ≤ M , ∀x ∈ A. 2. M est le plus grand élément (ou le maximum) de A si M ∈ A et M majore A : ( M ∈A M = max A ⇐⇒ (1.1) ∀x ∈ A, x ≤ M 3. M est la borne supérieure de A si M est le plus petit des majorants de A : ( (i) ∀x ∈ A, x ≤ M; M = sup A ⇐⇒ (1.2) (ii) ∀y ∈ E, (y < M ) ⇒ (∃x ∈ A, y < x ≤ M ). De manière analogue, soit m un élément de E. On dit que : 1. m est un minorant de A (ou encore que m minore A) si m ≤ x, ∀x ∈ A. 2. m est le plus petit élément (ou le minimum) de A si m ∈ A et m minore A : ( m∈A m = min A ⇐⇒ (1.3) ∀x ∈ A, m ≤ x 3. m est la borne supérieure de A si m est le plus grand des minorants de A : ( (i) ∀x ∈ A, m ≤ x; m = inf A ⇐⇒ (1.4) (ii) ∀y ∈ E, (m < y) ⇒ (∃x ∈ A, m ≤ x < y). 4. L’ensemble A est dit majoré (resp. minoré) s’il admet des majorants (resp. des minorants). A est dit borné s’il est à la fois majoré et minoré Remarques 1.1.3. 1. La condition (i) de (1.2) veut dire que M est un majorant de A et la condition (ii) de (1.2) veut dire que si un élément y ∈ E est strictement inférieur à M , alors y n’est plus un majorant de A. Donc M est le plus petit des majorants de A (et à ce titre, la borne supérieure de A est unique s’elle existe). 2. De même, la condition (i) de (1.4) veut dire que m est un minorant de A et la condition (ii) de (1.4) signifie que si un élément y ∈ E est strictement supérieur à m, alors y n’est plus un minorant de A. Donc m est le plus grand des minorants de A (donc la borne inférieure de A est unique, s’elle existe). 3. Si A admet un plus grand élément, alors celui-ci est unique et dans ce cas, A admet aussi une borne supérieure et sup A = max A. De même, si A admet un plus petit élément, alors celui-ci est unique et A admet une borne inférieure inf A = min A. 4. Il se peut que A admette une borne supérieure (resp. une borne inférieure) sans admettre de maximum (resp. de minimum). Par exemple, soit A l’intervalle ]0, 1[ (ie. l’ensemble des réels x tels que 0 < x < 1). On a sup A = 1 et inf A = 0, mais A n’admet ni de plus grand élément ni de plus petit élément. 7 1.1.3 R possède la propriété de la borne supérieure. Nous admettons qu’en plus de sa structure de corps commutatif totalement ordonné, R possède aussi la propriété de la borne supérieure, c’est-à-dire que toute partie non vide et majorée de R possède une borne supérieure. Cette proprété est spécifique au corps R des réels, car nous allons voir que Q ne possède pas cette propriété. Lemme 1. Il n’existe pas de rationnel r vérifiant l’équation r2 = 2. Démonstration. S’il existait un rationnel r tel que r2 = 2, on pourrait l’écrire sous la forme r = p/q, avec (p, q) ∈ Z × N∗ , p ∧ q = p.g.c.d. (p, q) = 1. On en déduirait que p2 = 2q 2 , que 2 divise p2 et que 2 divise p (théorème de Gauss) : p = 2p0 ; Il s’ensuit que q 2 = 2p02 , et par le même raisonnement que 2 divise q : q = 2q 0. On aboutit à une contradiction , puisque p et q sont premiers entre eux.  Lemme 2. Il existe des parties non vides et majorées de Q qui ne possèdent pas de borne supérieure (appartenant à Q).  Démonstration. En effet, soit A = r ∈ Q : r2 < 2 ⊂ Q. A est non vide ( car 1 ∈ A), et majoré (par 2), mais A n’admet pas de borne supérieure (dans Q) : sinon, il existerait x ∈ Q, x = sup A ; On a x ≥ 1, et d’après le lemme précèdent, x2 , 2. Deux cas sont possibles : 1er cas x2 < 2 : On a,  2 1 x 1 2x + 1 ∀n ∈ N∗ , x+ = x2 + 2 + 2 ≤ x2 +. n n n n 2x + 1 Donc, en choisissant n > (propriété d’Archimède dans Q 2 ), on aurait :  2 2 − x2 1 1 1 x+ < 2 et x + ∈ A. On aboutit à une contradiction, puisque x + > x = n n n sup A. 2eme cas x2 > 2 : On a,  2 1 x 1 x ∀n ∈ N , ∗ x− = x2 − 2 + ≥ x2 − 2. n n n2 n   2x 1 2 1 Donc, en choisissant n > 2 , on aurait : x − > 2. Or x − < x, donc il x −2 n n 1 existe r ∈ A tel que 0 < x − < r ≤ x, et par suite : n  2 1 x− < r2 < 2. n Contradiction. 2. Il s’agit de la propriété selon laquelle, pour tout r ∈ Q, il existe n ∈ N tel que n > r. 8   Remarque 1.1.1. En tant que partie non √ √ A ci-dessus vide et majorée de R, la partie possède une borne supérieure, qu’on note 2. Les réels qui, comme 2, ne sont pas rationnels sont dits irrationnels. Remarque 1.1.2 (Droite réelle). On représente R par une droite affine orientée, munie d’une origine O représentant le nombre 0. Chaque réel x est représenté par le point M d’abscisse x de telle sorte que OM est orienté positivement (resp. négativement) selon que x > 0 (resp. x < 0). Il en résulte que R est intuitivement “continu” (sans trous). 1.2 Propriétés élémentaires de R. 1.2.1 Propriétés de corps commutatif totalement ordonné. Les propriétés suivantes sont communes à tous les corps commutatifs totalement ordonnés. Caractérisation des bornes supérieures et inférieures d’une partie de R. Proposition 1.2.1. Soient K un corps commutatif totalement ordonné(par exemple K = R ou Q) et K∗+ = {x ∈ K : , x > 0}. Soient A une partie non vide de K et m, M ∈ K. Alors, on a : ( (i) ∀x ∈ A, x ≤ M ; M = sup A ⇐⇒ (1.5) (ii) ∀ε ∈ K∗+ , ∃x ∈ A, M − ε < x ≤ M. De même, ( ∀x ∈ A, m ≤ x; m = inf A ⇐⇒ (1.6) ∀ε ∈ K∗+ , ∃x ∈ A, m ≤ x < m + ε. Démonstration. Montrons, par exemple, que la condition (ii) de (1.2) est équivalente à la condition (ii) de (1.5) (l’équivalence de la deuxième condition de (1.4) et de la deuxième condition de (1.3) se fait de manière analogue). Si la deuxième condition de (1.2) est vérifiée, alors pour tout ε ∈ K∗+ , y = M − ε ∈ K est tel que y < M. Donc il existe x ∈ A tel que y = M − ε < x ≤ M , donc la deuxième condition de (1.5) est vérifiée. Inversement, si la deuxième condition de (1.5) est satisfaite, alors pour tout y ∈ K tel que y < M , on peut trouver ε ∈ K∗+ tel que y = M − ε (il suffit de prendre ε = M − y). Donc, on peut trouver x ∈ A tel que M − ε = y < x ≤ M. Donc la deuxième condition de (1.2) est satisfaite.  Proposition 1.2.2. Dans R, les propriétés suivantes sont vérifiées : — On n’a pas besoin de mettre des parenthèses pour calculer x + (y + z) = (x + y) + z = x+y +z (ou x(yz) = (xy)z = xyz), et on peut additionner (ou multiplier) un nombre fini de nombres réels, sans se soucier de l’ordre dans lequel on fait ces opérations. n X Ceci permet d’envisager des expressions de la forme xk = x1 + x2 + · · · + xn et k=1 Q n xk = x1 · · · x2 · · · xn. k=1 9  — ∀x ∈ R∗ , x2 > 0. — Si xi ≤ yi , i = 1,... , n, alors n X n X xi ≤ yi. i=1 i=1 avec égalité si et seulement si xi = yi , i = 1,... , n. — x ≤ y ⇐⇒ x − y ≤ 0 ⇐⇒ y − x ≥ 0 ⇐⇒ (−y) ≥ (−x). — x < y ⇐⇒ x − y < 0 ⇐⇒ y − x > 0 ⇐⇒ (−y) < (−x). — x < y ⇐⇒ ∃z ∈ R, x + z < y + z ⇐⇒ ∀z ∈ R, x + z < y + z. — Soient x, y ∈ R. alors, on a : x≤y ⇐⇒ ∀ε > 0, x < y + ε. x≤0 ⇐⇒ ∀ε > 0, x < ε. Démonstration. Laissée en exercice.  Valeur absolue et distance Définition 1.2.1. Soit x ∈ R. La valeur absolue de x est le nombre ( x si x ≥ 0; |x| = max(x, −x) =. −x si x ≤ 0 On dit que le corps R est valué. Proposition 1.2.3. La valeur absolue vérifie les propriétés suivantes : − |x| ≤ x ≤ |x|. |x| = | − x| ≥ 0. |x| = 0 ⇐⇒ x = 0. |x · y| = |x| · |y|. |x| ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a. |x| > a > 0 ⇐⇒ x > a ou x < −a. ||x| − |y|| ≤ |x ± y| ≤ |x| + |y|. n X n X xk ≤ |xk |. k=1 k=1 Démonstration. Laissée en exercice.  Définition 1.2.2. La distance de deux nombres réels x et y est le nombre d(x, y) = |x − y|. Proposition 1.2.4. La distance vérifie les propriétés suivantes : ∀x, y ∈ R, d(x, y) ≥ 0. ∀x, y ∈ R, d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y. ∀x, y ∈ R, d(x, y) = d(y, x) (symétrie). ∀x, y, z ∈ R, d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (Inégalité triangulaire). 10 Intervalles de R. Il existe neuf types d’intervalles sur R : — les intervalles bornés d’extrémités a et b (a ≤ b) : — [a, b] B {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} (intervalle fermé) ; — ]a, b[ B {x ∈ R : a < x < b} (intervalle ouvert) ; — ]a, b] B {x ∈ R : a < x ≤ b} (intervalle semi-ouvert) ; — [a, b[ B {x ∈ R : a ≤ x < b} (intervalle semi-ouvert) ; — On convient que ]a, a[ = ∅ (∅ est considèré comme un intervalle ouvert). — les intervalles non bornés : — [a, +∞[ B {x ∈ R : x ≥ a} ; — ]−∞, a] B {x ∈ R : x ≤ a} ; — ]−∞, a[ B {x ∈ R : x < a} ; — ]a, +∞[ B {x ∈ R : x > a} ; — ]−∞, +∞[ = R. 1.2.2 Conséquences de la propriété de la borne supérieure. R possède la propriété de la borne inférieure Proposition 1.2.5. R possède la propriété de la borne inférieure, c’est-à-dire que toute partie non vide et minorée de R possède une borne inférieure. Démonstration. Soit A une partie non vide et minorée de R et soit m un minorant de A. Posons (−A) = {−x : x ∈ A}. Alors (−A) est une partie de R, non vide et majorée (par −m). Donc (−A) admet une borne supérieure s = sup(−A). s majore (−A), donc −s minore A. Si y ∈ R est tel que −s < y, alors −y < s = sup(−A). Par définition de la borne supérieure, il existe x ∈ (−A) tel que −y < x ⇐⇒ |{z} −x < y. Donc −s est le plus grand des minorants de A ou encore ∈A −s est la borne inférieure de A.  Propriété d’Archimède Théorème 1.2.1 (Propriété d’Archimède). Pour tout x ∈ R∗+ , et pour tout y ∈ R, il existe n ∈ N tel que y < nx. Démonstration. Soit A = {nx/n ∈ N} ; A est une partie non vide de R. Si A est majorée par y, il existerait s ∈ R tel que s = sup A. Comme (s − x) < s, on pourrait trouver n ∈ N, tel que (s − x) < nx ≤ s ; D’où s < (n + 1)x ∈ A, ce qui est absurde.    n−1 n−1 Exemple 1.2.1. Soit A = : n ∈ N∗. On a, pour tout n ≥ 1, 0 ≤. Comme n+1 n+1 0 ∈ A, on en déduit que 0 = min A = inf A. Montrons que 1 = sup A. Comme n − 1 < n + 1, n−1 on a < 1. Donc 1 majore A. Soit ε > 0. On a : n+1 n−1 n−1 2 2 1−ε< ⇐⇒ 1 − = < ε ⇐⇒ − 1 < n. n+1 n+1 n+1 ε 11 (Un tel n existe par la propriété d’Archimède). Donc, pour tout ε > 0, il existe x ∈ A n−1 2 (x = , où n > − 1) tel que 1 − ε < x < 1. Donc sup A = 1. n+1 ε Partie entière. Théorème 1.2.2 (Partie entière d’un nombre réel). Pour tout  ∈ R∗+ , il existe un et un seul entier n ∈ Z, tel que n ≤ x < (n + 1). (1.7) L’entier n qui correspond à  = 1, s’appelle la partie entière de x, notée E(x), ou encore [x]. le nombre x − E(x) s’appelle la partie fractionnaire de x. Démonstration. Unicité : Si m et n sont deux entiers relatifs tels que : n ≤ x < (n + 1) et m ≤ x < (m + 1), On aurait n < (m + 1), donc n < (m + 1) et n ≤ m. De la même manière, on obtiendrait n ≤ m, donc m = n. Existence : commençons par le cas x > 0. Soit A = {m ∈ N/x < m} ; A est une partie non vide de N (par la propriété d’Archimède) ; Soit p le plus petit élément de A. On a p ≥ 1 et (p − 1) < A, donc n ≤ x < (n + 1), où n = (p − 1). Si x < 0, d’après ce qui précède, il existe m ∈ N , tel que m ≤ x < (m + 1). Il suffit de poser alors n = −(m + 1) si x , −m, et n = −m, si x = −m.  Approximation décimale. Parmi les rationnels, les décimaux ont une grande importance dans la pratique, puisqu’ils permettent d’approcher les nombres réels d’aussi près que l’on veut. Définition 1.2.3. Un nombre réel d est dit décimal s’il existe k ∈ N tel que 10k d ∈ Z. L’ensemble des nombres décimaux est noté D. 1 1 Exemples 1.2.1. 1. ∈ D, car 102 · = 25 ∈ Z. On écrit alors 4 4 1 1 2 5 25 = 25.10−2 = 0, 25 ⇐⇒ = + =. 4 4 10 100 100 1 2. < D. 3 Théorème 1.2.3 (Approximation décimale). Etant donnés un réel x et un entier naturel k, il existe un nombre décimal dk unique tel que 10k dk ∈ Z et dk ≤ x < dk + 10−k = d0k. (1.8) dk est appelé valeur approchée à 10−k près par défaut de x, et d0k est appelé valeur approchée à 10−k près par excès de x. 12 Démonstration. En effet, (1.8) ⇐⇒ 10k dk ∈ Z et 10k dk ≤ 10k x < 10k dk + 1 ⇐⇒ 10k dk = E(10k x) dk = 10−k E(10k x).  Densité de Q et de R\Q dans R. Voici une propriété importante de R qui découle de l’existence de la partie entière. Théorème 1.2.4. Pour tous réels x < y, il existe un nombre rationnel r ∈ Q (et donc une infinité) tel que x < r < y. On exprime cette propriété en disant que Q est dense dans R. Démonstration. Soient x et y deux réels tels que x < y. Par la propriété d’Archimède, on dispose d’un entier naturel n, tel que 1 < n(y − x). Soit m = E(nx) ; On a alors : m ≤ nx < m + 1, donc m m+1 1 ≤x< ≤ x + < x + y − x = y. n n n Donc le rationnel r = (m + 1)/n est compris entre x et y. En appliquant ce résultat, on pourrait intercaler un rationnel r1 entre x et r (x < r1 < r). En itérant ce procédé, on construirait une suite infinie (rn ) de rationnels deux à deux distincts tels que x < · · · < rn+1 < rn < · · · < r1 < r < y.  Théorème 1.2.5. Entre deux réels distincts, il existe au moins un nombre irrationnel (donc une infinité). On exprime cette propriété en disant que R\Q est dense dans R. Démonstration. Soient x et y deux réels tels que x < y. D’après la densité de Q dans R, on x y pourrait trouver une infinité de rationnels entre √ et √. Donc on peut choisir r ∈ Q∗ 2 2 x y √ tel que √ < r < √. Le nombre r 2 est irrationnel et il est compris entre x et y.  2 2 Quelques inégalités classiques. Proposition 1.2.6. Pour tous réels x et y, on a : x2 + y 2 |xy| ≤. (1.9) 2 Démonstration. On a : x2 + y 2 − 2 |xy| = (|x| − |y|)2 ≥ 0. D’où l’inégalité cherchée.  Proposition 1.2.7 (Inégalité de Bernouilli). Soit h un réel > −1 et n ∈ N∗. Alors, on a : (1 + h)n ≥ 1 + nh. (1.10) 13 Démonstration. Par récurrence (laissée en exercice).  Proposition 1.2.8 (Inégalié de Cauchy-Schwarz). Soient ai , bi , i = 1, · · · , n, des nombres réels. Alors, on a : n n !1/2 n !1/2 X X X ai bi ≤ a2i b2i. (1.11) i=1 i=1 i=1 Démonstration. Le trinôme du second degré n X n X n X n X T (x) = (ai + xbi )2 = a2i + 2x ai bi + x2 b2i i=1 i=1 i=1 i=1 n 2 n ! n ! X X X est toujours positif, donc son discriminant (réduit) ∆0 = ai bi − a2i b2i est i=1 i=1 i=1 négatif. D’où l’inégalité 1.11.  Corollaire 1.2.1 (Inégalité de Minkowski). Soient a1 , · · · , an , b1 , · · · , bn des nombres réels. Alors, on a : n !1/2 n !1/2 n !1/2 X X X |ak + bk | 2 ≤ |ak | 2 + 2 |bk |. (1.12) k=1 k=1 k=1 Démonstration. Posons n !1/2 n !1/2 n !1/2 X X X A= |ak |2 B= |bk |2 C= |ak + bk |2. k=1 k=1 k=1 On a :  !1/2 !1/2  n X n X n X n X n X C 2 − A2 B 2 = (ak + bk )2 −  a2k + b2k + 2 |ak |2 |bk |2  k=1 k=1 k=1 k=1 k=1  !1/2 !1/2  n X n X n X = 2 ak bk − |ak |2 |bk |2  ≥ 0, k=1 k=1 k=1 d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Comme A, B et C sont des réels positifs, on en déduit l’inégalité (1.12).  Proposition 1.2.9. La moyenne géométrique Mg (a1 , · · · , an ) B (a1 a2 · · · an )1/n de n réels positifs a1 , · · · , an est inférieure où égale à leur moyenne arithmétique Ma (a1 , · · · , an ) B a1 + · · · + an : n a1 + · · · + an (a1 a2 · · · an )1/n ≤. (1.13) n Démontrons d’abord le lemme suivant : Q n Lemme 3. Soient a1 , · · · , an n réels positifs tels que ak = 1. Alors, on a : k=1 n ≤ a1 + · · · + an. 14 Démonstration. Le lemme est trivial pour n = 1. Supposons-le vrai pour n. Soient a1 , · · · , an+1 des réels positifs tels que a1 · · · an+1 = 1. Il existe alors deux indices i, j ∈ {1, · · · , n + 1} tels que ai ≤ 1 et aj ≥ 1 (sinon, les ak seraient soit tous < 1 (et dans ce cas leur produit est < 1), soit tous > 1 (et dans ce cas leur produit est > 1). Pour simplifier les notations, supposons que a1 ≤ 1 et a2 ≥ 1. On a alors (a1 − 1)(a2 − 1) ≤ 0, donc 1 + a1 a2 ≤ a1 + a2. On en déduit : a1 + a2 + a3 + · · · + an+1 ≥ 1 + a1 a2 + a3 + · · · + an+1 ≥ 1 + n, (d’après l’hypothèse de récurrence appliquée à a1 a2 , a3 , · · · , an+1 dont le produit est égal à 1). Donc le lemme est vrai, pour tout n ∈ N∗. Démontrons maintenant la proposition 1.2.9. Soient a1 , · · · , an des réels positifs. Si le produit a1 · · · an est nul, alors l’inégalité (1.13) est vérifiée. Supposons donc que a1 · · · an , 0, et posons ak a0k = , k ∈ {1,... , n}. (a1 · · · an )1/n Les a0k sont positifs et leur produit est égal à 1. D’après le lemme précèdent, on a : n X n X ak ak n !1/n Y Qn k=1 = a01 + · · · + a0n ≥ n ⇐⇒ k=1 ≥ ak. ( k=1 ak )1/n n k=1  1.3 La droite numérique achevée Pour étudier ultérieurement les limites, on ajoute à R deux objets, notés +∞ et −∞. Notez que ces deux nouveaux éléments ne sont pas des nombres réels. Définition 1.3.1. La droite numérique achevée R est l’ensemble obtenu par adjonction à R de deux éléments, notés +∞ et −∞, muni de la relation d’ordre total obtenue en prolongeant l’ordre de R par les conditions : ∀x ∈ R, −∞ < x < +∞ Par définition, +∞ (resp. −∞) est le plus grand (resp. le plus petit) élément de R. Si A est une partie de R, alors on écrit : — sup A = +∞ si A est non vide et non majoré. — inf A = −∞ si A est non vide et non minoré. — sup ∅ = −∞ et inf ∅ = +∞. Avec ces conventions, on a : Proposition 1.3.1. Toute partie de R admet une borne supérieure et une borne inférieure. Il n’est pas possible de définir +∞ + (−∞) et 0 × (±∞) de manière que R devienne un anneau ordonné. Cependant, on peut prolonger partiellement à R la structure algèbrique de R en posant : 15  × -∞ y ∈ R∗− 0 y ∈ R∗+ +∞ + -∞ y∈R +∞ -∞ +∞ +∞ ND -∞ -∞ -∞ -∞ -∞ ND x ∈ R∗− +∞ xy 0 xy -∞ x∈R -∞ x+y +∞ 0 ND 0 0 0 ND +∞ ND +∞ +∞ x ∈ R∗+ -∞ xy 0 xy +∞ +∞ -∞ -∞ ND +∞ +∞ Le symbole “ND” signifie que l’opération n’est pas définie. 16 Chapitre 2 Suites réelles 2.1 Généralités Définition 2.1.1. Une suite réelle est une application u : N → R qui associe à tout entier n ∈ N un nombre réel u(n), noté aussi un. On parle alors de la suite (un )n≥0 de terme général un , appelé aussi terme de rang n de la suite (un )n≥0. Il arrive aussi que la suite soit définie sur une partie infinie I ( N, et on parle dans ce cas de la suite (un )n∈I indexée par I. On dit que la suite (un )n≥0 est : — constante si un = u0 , pour tout entier n ∈ N. — stationnaire s’il existe k ∈ N tel que un = uk pour tout n ≥ k. — croissante, et on écrit (un )n≥0 %, si un ≤ un+1 , pour tout n. — décroissante, et on écrit (un )n≥0 &, si la suite (−un )n≥0 est croissante (ou encore si un+1 ≤ un , pour tout n). — majorée s’il existe M ∈ R tel que un ≤ M , pour tout n. — minorée s’il existe m ∈ R tel que m ≤ un , pour tout n (ou encore si (−un )n≥0 est majorée). — bornée si (un )n≥0 est à la fois majorée et minorée (ou encore s’il existe M ∈ R+ tel que |un | ≤ M , pour tout n). Définition 2.1.2 (Suites extraites). Une suite extraite (ou une sous-suite) de la suite (un )n∈N est une suite (vn )n∈N telle qu’il existe une application ϕ : N → N strictement croissante telle que vn = uϕ(n) , pour tout entier n.   Si on pose ϕ(k) = nk , alors la sous-suite uϕ(k) est notée également (unk )k≥0. k≥0 Le lemme suivant se démontre facilement par récurrence : Lemme 4. Soit ϕ : N → N une application strictement croissante. Alors ϕ(n) ≥ n, pour tout entier n. 17 2.2 Suites convergentes. Définition 2.2.1. On dit que la suite (un )n≥0 a pour limite un réel l ∈ R (ou encore que un tend (ou converge) vers l, lorsque n tend vers ∞) si : ∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N, |un − l| ≤ ε. (2.1) Si c’est le cas, on dit que la suite est convergente. Une suite non convergente est dite divergente. Remarques 2.2.1. L’entier N ci-dessus dépend de ε : N = N (ε). Dans la pratique, il n’est pas nécessaire de trouver le plus petit entier N (ε) pour lequel la condition (2.1) est vérifiée. Il suffit d’en connaître un suffisammaent grand. ×× | × ××|× ××× | × × l−ε l l+ε Figure 2.1 – tous les un sont dans [l − ε, l + ε] pour n ≥ N. Proposition 2.2.1 (Unicité de la limite). Si une suite réelle (un )n≥0 admet une limite l, alors celle-ci est unique et on note : lim un = l ou un −→ l. n→∞ n→∞ l est alors appelé la limite de la suite (un )n≥0. Démonstration. Supposons, par l’absurde, que (un )n≥0 admet deux limites différentes l |l − l0 | et l0. Soit ε = > 0. On peut trouver un entier N (resp. N 0 ) tel que, pour tout 2 entier n ≥ N (resp. n ≥ N 0 ), on ait |un − l| < ε (resp. |un − l0 | < ε). On aurait alors, pour n ≥ N 00 = max(N, N 0 ), |un − l| < ε et |un − l0 | < ε. En utilisant l’inégalité triangulaire, on en déduirait que |l − l0 | = |(un − l) − (un − l0 )| ≤ |un − l| + |un − l| < 2ε = |l − l0 |. Contradiction.  Exemples 2.2.1. 1. Une suite stationnaire (ou constante) est convergente. En effet, s’il existe c ∈ R et p ∈ N tels que un = c, pour tout n ≥ p, alors (un ) converge vers c. 2. La suite (1/n) converge vers 0. En effet, pour tout ε > 0, on peut trouver N ∈ N∗ tel que N > 1/ε (propriété d’Archimède). On en déduit que, pour tout n ≥ N , |1/n − 0| = 1/n ≤ 1/N < ε. 2.2.1 Limites infinies. Définition 2.2.2. — On dit que la suite (un )n≥0 tend vers +∞ lorsque n tend vers +∞ (ou encore que (un )n≥0 admet +∞ pour limite) si, et seulement si, ∀A ∈ R, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N, un ≥ A (2.2) On note alors : lim un = +∞. n→+∞ 18  — On dit que la suite (un )n≥0 tend vers −∞ lorsque n tend vers +∞ (ou encore que (un )n≥0 admet −∞ pour limite) si, et seulement si, : ∀A ∈ R, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N, un ≤ A. (2.3) On note alors : lim un = −∞. n→+∞ Caractère asymptotique de la limite. Proposition 2.2.2. Si deux suites (un )n≥0 et (vn )n≥0 coincident à partir d’un certain rang (c-a-d s’il existe un rang n0 tel que ∀n ≥ n0 , un = vn ), alors elles sont de même nature (c-a-d qu’elles convergent en même temps ou divergent en même temps), et si lim un = l ∈ R̄, alors lim vn = l. n→∞ n→∞ Ce résultat, qui découle directement des définitions, exprime le caractère asymptotique de la notion de limite : on peut changer un nombre fini de termes d’une suite sans altèrer ni sa nature (convergente ou divergente) ni sa limite éventuelle. C’est pourquoi la plupart des résultats qui vont suivre concerneront des suites ayant des propriétés vraies à partir d’un certain rang. Remarque 2.2.1. En utilisant le lemme 4, on démontre facilement que si une suite (un )n≥0 admet une limite l (finie ou non), alors toute sous-suite de (un )n≥0 admet la même limite l. Ce résultat est souvent utilisé pour montrer qu’une suite n’admet pas de limite. Il suffit de trouver deux sous-suites de (un )n≥0 qui admettent deux limites différentes. Ainsi la suite définie par un = (−1)n n’a pas limite car ses deux suites extraites (u2n )n et (u2n+1 )n convergent vers deux limites distinctes. Exemple 2.2.1. Etudions la suite (un (x)), où un (x) = xn , (x ∈ R). si x = 1 : alors xn = 1, pour tout n et lim xn = 1. n→∞ Si x > 1 : on écrit x = 1 + h, avec h > 0. D’après l’inégalité de Bernouilli, on a xn = (1 + h)n ≥ 1 + nh. Donc, pour tout réel A, on peut trouver N ∈ N tel que N h > A − 1 (propriété d’Archimède). On a alors, pour n ≥ N , xn ≥ 1 + nh ≥ 1 + N h > A. Donc lim xn = +∞ et la suite (un (x)) est divergente. n→∞ Si x ≤ −1 : , les deux sous-suites (u2n (x)) et (u2n+1 (x)) ont des limites différentes (resp ±1 si x = −1 et ±∞ si x < −1), donc la suite (un (x)) est divergente. si |x| < 1 : on écrit |x| = 1/(1 + h), avec h > 0. On utilise l’inégalité de Bernouilli, pour obtenir |x|n = 1/(1 + h)n ≤ 1/(1 + nh) ≤ 1/nh. Donc lim xn = 0. n→∞ Lemme 5. Toute suite réelle convergente est bornée. Démonstration. Soit (un )n≥0 une suite convergente de limite x. On peut associer à ε = 1, un entier N ∈ N tel que |un − x| < 1, pour tout n ≥ N. On a alors, pour tout n ∈ N, |un | ≤ M , où M = max(|x| + 1, |u0 | , |u1 | , · · · , |uN −1 |).  19 2.2.2 Opérations sur les limites On étudie certaines suites en les décomposant en somme, produit ou quotient. On a alors le résultat suivant : Théorème 2.2.1. Soient (un )n≥0 , (vn )n≥0 deux suites réelles convergentes de limites respectives l et l0 , et soit λ ∈ R. On a alors : (i) (λun + vn )n≥0 est convergente et sa limite est égale à λl + l0. (ii) (un · vn )n≥0 est convergente et sa limite est égale à l · l0. (iii) Si l0 , 0, alors il existe n0 ∈ N tel que la suite (un /vn )n≥n0 soit définie, et converge vers l/l0. Démonstration. La proposition (i) découle de la majoration suivante : (λun + vn ) − (λl + l0 ) ≤| λ || un − l | + | vn − l0 |. (ii) D’près le lemme 5, la suite (un )n≥0 est bornée. Soit M = sup |un |. L’assertion (ii) n≥0 découle maintenant de la majoration suivante : | un · vn − l · l0 |=| un (vn − l0 ) + l0 (un − l) |≤ M | vn − l0 | + | l0 | · | un − l |. (iii) Posons ε =| l0 | /2 > 0. Il existe n0 ∈ N, tel que pour tout n ≥ n0 , | vn − l0 |≤ ε. Or || vn | − | l0 || ≤| vn − l0 |≤ ε, donc | vn |≥| l0 | −ε =| l0 | /2 > 0. Par suite vn , 0, pour tout n ≥ n0. D’autre part 1 1 | vn − l 0 | 2 | vn − l 0 | | − 0 |= 0 ≤. vn l | vn | · | l | | l 0 |2 On en déduit que (1/vn )n≥n0 converge vers 1/l0 , et en utilisant (ii), que (un /vn )n≥n0 converge vers l/l0.  Théorème 2.2.2. Soient (un )n≥0 et (vn )n≥0 deux suites réelles. (i) si lim un = +∞ (resp. −∞) et si (vn )n≥0 est bornée, alors lim (un + vn ) = +∞ n→∞ n→∞ (resp. −∞). (ii) si lim un = lim vn = +∞ (resp. −∞), alors lim (un + vn ) = +∞ (resp. −∞). n→∞ n→∞ n→∞ (iii) si un → +∞ (resp. −∞ ) et si vn ≥ k > 0, à partir d’un certain rang, alors lim (un vn ) = +∞ (resp. −∞). n→∞ (iv) si lim un = ±∞, alors lim 1/un = 0. n→∞ n→∞ Dans le cas des limites infinies, il faut faire attention aux formes indéterminées : — Si lim un = +∞ et lim vn = −∞, on ne peut rien dire, en général, de un + vn. n→∞ n→∞ — Si lim un = ±∞ et lim un = 0, on ne peut rien dire, en général, de un vn. n→∞ n→∞ un — Si lim un = ±∞ et lim vn = ±∞, on ne peut rien dire, en général, de. n→∞ n→∞ vn un — Si lim un = lim vn = 0, on ne peut rien dire, en général, de. n→∞ n→∞ vn 20 2.3 Outils pour étudier les suites 2.3.1 Limites et monotonie Proposition 2.3.1. 1. Toute suite réelle croissante et majorée est convergente vers sa borne supérieure. 2. Toute suite décroissante et minorée converge vers sa borne inférieure. Démonstration. Soit (un )n≥0 une suite croissante et majorée et soit ε > 0. L’ensemble U = {un /n ∈ N} est une partie non vide et majorée de R, donc elle admet une borne supérieure l = sup U. Par définition de l, il existe n0 ∈ N tel que l − ε < un0. Comme (un )n≥0 est croissante, on aurait : ∀n ≥ n0 , l − ε ≤ un0 ≤ un ≤ l < l + ε. Donc un −→ l. Si (un )n≥0 est décroissante et minorée, on applique ce qui prècède à la suite (−un )n≥0 qui est croissante et majorée.  Théorème 2.3.1 (Théorème de la limite monotone). Toute suite réelle monotone (un )n≥0 admet une limite dans R. Plus précisément, si (un )n≥0 % alors lim un = supun ; et si n→∞ n≥0 (un )n≥0 & alors lim un = inf un. n→∞ n≥0 Démonstration. Supposons, par exemple, que (un )n≥0 est croissante (si (un )n≥0 &, on considèrerait la suite (−un )n≥0 ). Si (un )n≥0 est majorée, alors, d’après la proposition 2.3.1, (un )n≥0 est convergente et lim un = supun. Si (un )n≥0 n’est pas majorée, alors pour n→∞ n≥0 tout réel A, il existe n0 ∈ N tel que un0 > A. Comme (un )n≥0 est croissante, on aurait un ≥ un0 > A, pour tout n ≥ n0. Donc lim un = +∞ = supun.  n→∞ n≥0 xn Exemple 2.3.1. Etudions la suite un (x) = , où x ∈ R. Si x = 0, alors lim un (0) = 0. n! n→∞ Supposons, dans la suite, que x , 0. On a : |un+1 (x)| |x| =. |un (x)| n+1 |x| Donc, pour tout n > |x|, on a < 1 et |un+1 (x)| < |un (x)|. Donc la suite (|un (x)|) est n+1 décroissante à partir d’un certain rang. Comme elle est minorée (par 0), elle est convergente. |x| Soit l = lim |un (x)|. On a |un+1 (x)| = |un (x)| ×. En passant à la limite, on obtient n→∞ n+1 l = l × 0 = 0. Donc : xn ∀x ∈ R, lim = 0. n→∞ n! Suites adjacentes Théorème et définition 2.3.1. Deux suites réelles (un )n≥0 et (vn )n≥0 sont dites adja- centes si (un )n≥0 est croissante et (vn )n≥0 est décroissante et si lim (un − vn ) = 0. n→∞ Dans ce cas on a : (i) un ≤ vn , pour tout entier n. 21  (ii) (un )n≥0 et (vn )n≥0 convergent vers la même limite. Démonstration. Posons wn = vn − un. On a wn+1 − wn = (vn+1 − vn ) − (un+1 − un ) ≤ 0, donc (wn )n≥0 &. Comme wn → 0, alors 0 = inf wn et par suite wn ≥ 0, pour tout n. D’où n≥0 (i). Par ailleurs on a, pour tout n ∈ N, u0 ≤ un ≤ vn ≤ v0. Donc (un )n≥0 est croissante et majorée, et (vn )n≥0 est décroissante et minorée. Donc ces deux suites sont convergentes, et leurs limites coïncident, car lim wn = lim vn − lim un = 0.  n→∞ n→∞ n→∞ Théorème des segments emboîtés. On déduit du résultat précédent une propriété importante de R : Théorème 2.3.2 (Propriété des segments emboîtés). Soient ([an , bn ])n≥0 une suite dé- T croissante de segments de R telle que lim (bn − an ) = 0. Alors l’intersection I = [an , bn ] n→∞ n≥0 est réduite à un point. Démonstration. L’inclusion [an+1 , bn+1 ] ⊂ [an , bn ] entraîne an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn. Donc (an )n≥0 est croissante et (bn )n≥0 est décroissante. Comme lim (bn − an ) = 0, les suites (an ) n→∞ et (bn ) sont alors adjacentes, et convergent vers une limite commune l. On a, pour tout T entier n, an ≤ l ≤ bn , donc l ∈ [an , bn ] = I. Inversement, si x ∈ I, alors an ≤ x ≤ bn , n≥0 pour tout n. En passant à la limite, on obtient l = lim an ≤ x ≤ lim bn = l. Donc x = l n→∞ n→∞ et I = {l}.  Remarque 2.3.1. Si ([an , bn ])n≥0 est une suite décroissante de segments, alors l’inter- T section I = [an , bn ] est un segment. En effet, (an ) est croissante et majorée (par b0 ) n≥0 et (bn ) est décroissante et minorée (par a0 ). Donc les limites a = lim an et b = lim bn n→∞ n→∞ existent. Si x ∈ I, alors an ≤ x ≤ bn , pour tout n. Par passage à la limite, on obtient a ≤ x ≤ b. Donc I ⊂ [a, b]. Inversement, si x ∈ [a, b], alors a = supan ≤ x ≤ b = inf bn , n∈N n∈N donc an ≤ x ≤ bn , pour tout n. Donc x ∈ I, [a, b] ⊂ I et I = [a, b]. Approximation décimale d’un nombre réel Proposition 2.3.2. Soient x et soient un = 10−n E(10n x) et vn = un + 10−n les valeurs approchées de x à 10−n près, respectivement par défaut et par excès. Alors les suites (un ) et (vn ) sont deux suites adjacentes, et on a :   (∀n ∈ N, un ≤ x < vn ) et lim un = lim vn = x. n→∞ n→∞ 22 Démonstration. Par définition de la partie entière, on a : E(10n x) ≤ 10n x < E(10n x) + 1 (2.4) E(10n+1 x) ≤ 10n+1 x < E(10n+1 x) + 1 (2.5) En multipliant la relation 2.4 par 10−n , on obtient un ≤ x < vn. En la multipliant par 10, on obtient : 10E(10n x) ≤ 10n+1 x < 10E(10n x) + 10. En tenant compte de la relation 2.5, on obtient 10E(10n x) < E(10n+1 x) + 1, donc 10E(10n x) ≤ E(10n+1 x) et par suite | {z } | {z } n∈Z n∈Z un ≤ un+1. De même, E(10n+1 x) < 10E(10n x) + 10 ⇒ E(10n+1 x) + 1 ≤ 10E(10n x) + 10, | {z } | {z } n∈Z n∈Z donc vn+1 ≤ vn. Comme vn − un = 10−n → 0, les suites (un ) et (vn ) sont adjacentes. n→∞ D’autre part, un ≤ x < vn , donc lim un = lim vn = x.  n→∞ n→∞ 2.3.2 Limites et relation d’ordre Proposition 2.3.3 (Propriété des gendarmes). Soient (an )n≥0 , (bn )n≥0 et (cn )n≥0 trois suites réelles telles que (an )n≥0 et (cn )n≥0 convergent vers la même limite l et telles que ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0 , an ≤ bn ≤ cn Alors (bn )n≥0 est convergente et sa limite est égale à l. Démonstration. Il suffit d’utiliser la définition de la limite et l’inégalité : ∀n ≥ n0 , | bn − l |≤ max(| an − l |, | bn − l |) ≤| an − l | + | bn − l |, pour obtenir le résultat.  Corollaire 2.3.1. Soit (un ) une suite réelle de limite nulle, et soit (vn ) une suite bornée. Alors (un vn ) est convergente et lim un vn = 0. n→∞ Démonstration. En effet, on a 0 ≤ |un vn | ≤ M |un |, où M = sup |vn | < +∞. Le résultat n≥0 découle alors de la proposition 2.3.3.  sin(n2 + 2n ) 1 Exemple 2.3.2. Etudions la suite un =. On a sin(n2 + 2n ) ≤ 1 et lim = n n→∞ n 0, et par suite lim un = 0. n→∞ En utilisant la définition d’une limite infinie, on peut démontrer facilement la Proposition 2.3.4. Si, à partir d’un certain rang, on a an ≤ bn. Alors : lim an = +∞ ⇒ lim bn = +∞. lim bn = −∞ ⇒ lim an = −∞. n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ Proposition 2.3.5. Soient (un )n≥0 et (vn )n≥0 deux suites réelles convergentes de limites respectives l et l0. (i) Si l < l0 , alors un < vn , à partir d’un certain rang. 23  (ii) Si, à partir d’un certain rang, on a un < vn , alors l ≤ l0 (attention, on peut avoir l = l0 ). Démonstration. Posons wn = vn − un et l00 = l0 − l. Puisque lim wn = l00 , on peut associer n→∞ au réel ε = l00 /2 > 0, un entier N tel que pour tout n ≥ N , on ait −ε < wn − l00 < +ε, donc vn − un = wn > l00 − ε = l00 /2 > 0, pour n ≥ N. D’où la proposition (i). Inversement si, à partir d’un certain rang N , on a un < vn et si on suppose que l00 = l0 −l < 0, alors à ε = −l00 /2 > 0, on peut associer un entier N 0 > N tel que −ε < wn − l00 < ε, pour tout n ≥ N 0. On aurait alors vn − un = wn < l00 + ε = l00 /2 < 0, pour n > N 0. Contrairement à l’hypothèse faite sur un et vn. D’où la proposition (ii).  Remarque 2.3.2. En passant à la limite dans une inégalité stricte, on peut obtenir une 1 1 1 1 égalité. Ainsi, on a < , pour tout n ≥ 1, mais lim = lim = 0. n+1 n n→∞ n + 1 n→∞ n 2.3.3 Suites de Cauchy Définition 2.3.1 (Suites de Cauchy). On dit qu’une suite réelle (un )n≥0 est de Cauchy (ou vérifie le critère de Cauchy) si ∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀m, n ≥ N, |un − um | < ε. (2.6) Proposition 2.3.6. Toute suite de Cauchy est bornée. Démonstration. En effet, si (un )n≥0 vérifie la condition (2.6), alors pour tout n ≥ N , |un − uN | < ε donc |un | < ε + |uN |. On en déduit que, pour tout entier n, |un | ≤ M où M = max(|u0 | , |u1 | , · · · , |uN −1 | , ε + |uN |).  Théorème 2.3.3 (critère de Cauchy). Une suite réelle (un )n≥0 est convergente si et seulement si, elle est de Cauchy. On exprime ce résultat en disant que R est complet. Démonstration. Montrons que la condition est nécessaire. Soit (un )n≥0 une suite conver- gente de limite l, et soit ε > 0. Il existe N ∈ N tel que |un − l| < ε/2, pour tout n ≥ N. On en déduit que pour m, n ≥ N , on a : |un − um | = |(un − l) − (um − l)| ≤ |un − l| + |um − l| < ε/2 + ε/2 = ε. Donc (un )n≥0 est de Cauchy. Montrons que la condition est suffisante. Soit (un )n≥0 une suite de Cauchy. On sait qu’une telle suite est bornée (cf. proposition 2.3.6). Donc les réels suivants sont bien définis : vn = inf Un et wn = sup Un , où Un = {up /p ≥ n}. De l’inclusion Un+1 ⊂ Un , on déduit que (vn )n≥0 % et que (wn )n≥0 &. Soit  > 0 et soit N l’entier qui lui est associé par (2.6). Soit n ≥ N. Par définition de vn , il existe p ≥ n ≥ N , tel que vn ≤ up < vn + ε. De même, il existe q ≥ n ≥ N tel que wn − ε < uq ≤ wn. Donc ∀n ≥ N, 0 ≤ wn − vn ≤ (wn − uq ) + (uq − up ) + (up − vn ) ≤ 3ε. Donc wn − vn → 0 et les suites (vn )n≥0 et (wn )n≥0 sont adjacentes : soit l leur limite commune. Comme on a, pour tout entier n, vn ≤ un ≤ wn , il en résulte, d’après la propriété 2.3.3, que (un )n≥0 est convergente vers l.  24 Remarques 2.3.1. 1. Le théorème précédent est très important, puisqu’il fournit une condition nécessaire et suffisante pour qu’une suite numérique converge, sans faire intervenir la limite. 2. Q n’est pas complet. En effet, puisque Q est dense dans √ R, on peut √ trouver, pour tout n ≥ 1, un nombre rationnel rn compris entre 2 − 1/n et 2 + 1/n. On a √ √ rn − 2 < 1/n, donc (rn )n≥0 est une suite de rationnels qui converge vers 2. En tant que suite convergente dans R, (rn )n≥0 est une suite de Cauchy dans R, donc c’est aussi une suite de Cauchy dans Q. Mais (rn )n≥0 n’est pas convergente dans Q. 3. Le critère de Cauchy est le plus souvent utilisé dans des exercices à caractère théorique. n X 1 1 1 Exemple 2.3.3. Soit un = =1+ + · · · +. On a : k=1 k 2 n 1 1 1 1 u2n − un = + ··· + ≥n =. n+1 2n 2n 2 ≥1/2n ≥1/2n Donc la suite (un ) ne vérifie pas le critère de Cauchy. Donc elle est divergente. Comme 1 un+1 − un = > 0, la suite (un ) est croissante, et admet une limite (dans R). Donc n+1 lim un = +∞. n→∞ 2.3.4 Suites équivalentes Définition 2.3.2 (Suites équivalentes). On dit que (vn )n≥0 est équivalente à (un )n≥0 , et on note vn ∼ un , s’il existe une suite de scalaires (λn )n≥0 de limite 1 et telle que pour n assez grand, on ait vn = λn un. Si un , 0, pour n assez grand, il revient au même de dire que λn = vn /un → 1. 1 1 1 Par exemple, on a : sin n1 ∼ 1 n ;tg n1 ∼ ;log(1 + ) ∼ ; log n ∼ log(n + 1) ;   n n n cos n cos n1 ∼ cos n. Les « équivalents » sont utiles pour le calcul des limites et pour l’étude du signe d’une suite pour les grandes valeurs de la variable : Proposition 2.3.7. 1. La relation ∼ est une relation d’équivalence (réflexive, symé- trique et transitive). 2. Si la suite (un )n≥0 admet une limite (finie ou non), toute suite qui lui est équivalente admet la même limite. 3. Réciproquement si deux suites ont la même limite, et si cette limite est finie non nulle, alors ces deux suites sont équivalentes. 4. Si deux suites (un )n≥0 et (vn )n≥0 sont équivalentes, alors elles ont le même signe, pour n assez grand. Démonstration. Immédiate d’après la définition et les opérations sur les limites.  25 Théorème 2.3.4. On ne modifie ni la convergence ni la limite d’un produit ou d’un quotient de suites, en remplaçant chacune des suites qui y figurent, par une suite équivalente. Remarque 2.3.3. Ce théorème ne s’applique ni aux sommes ni aux différences des suites : n ∼ n + 1, mais n − (n + 1)  0. 2.3.5 Suites récurrentes Soient D ⊂ R, a ∈ D et f : D → R. On se propose d’étudier les suites (un )n≥0 définies par la donnée du premier terme u0 et par une relation de récurrence simple 1 : un+1 = f (un ), ∀n ∈ N. On suppose que f (D) ⊂ D pour que (un )n≥0 soit bien définie. Théoriquement, on peut calculer par itération (ie. de proche en proche) un en fonction de n et de u0. On commence par calculer u1 = f (u0 ), puis on calcule u2 = f (u1 ), et ainsi de suite. Mais, dans la pratique, il est rare que l’on puisse exprimer un en fonction de n (même pour des fonctions f très simples). Cas où on peut exprimer un en fonction de n et de u0. Suites arithmétiques : un+1 = un + r, où r est une constante (r s’appelle la raison de la suite). Dans ce cas, on a un = u0 + nr. Suites géométriques : un+1 = run , où r est une constante (r s’appelle la raison de la suite). Dans ce cas, on a un = rn u0. Suites données par une récurrence affine : un+1 = aun + b, où (a, b) ∈ R2. On écarte les cas a = 1 ou b = 0 qui correspondent respectivement à une suite arithmétique ou à une suite géométrique. On pose vn = un+1 − un. On a alors vn = avn−1 , ∀n ≥ 1. (vn )n≥1 est géométrique. Donc vn = an v0. On ajoute terme à terme les égalités suivantes : un+1 − un = an v0 un − un−1 = an−1 v0...... u1 − u0 = a0 v0 , an+1 − 1 on obtient un+1 − u0 = (1 + a + · · · + an )v0 = ((a − 1)u0 + b). Donc a−1 an+1 − 1 un+1 = an+1 u0 + b. a−1 Suites définies par une récurrence homographique : aun + b un+1 = f (un ) = cun + d 1. Soit p ∈ N∗. Une suite (un ) est définie par une récurrence d’ordre p s’elle est définie par la donnée de u0 , · · · , up−1 et par une relation de la forme un+p = f (un , un+1 , · · · , un+p−1 ), où f est une fonction de p variables. 26  Où (a, b, c, d) ∈ R4 , où c(ad − bc) , 0 (si c = 0, la récurrence est affine et si ad − bc = 0, la fonction f est constante). On suppose que u0 est choisi de telle façon que un soit toujours défini. — si (a − d)2 + 4bc , 0 : Soient α, β les racines (complexes) de l’équation f (x) = x. On a alors f (z) − α z−α =k , ∀z ∈ Df \{β} f (z) − β z−β cβ + d Où Df est le domaine de définition de f et k = est une constante. On cα + d en déduit que un+1 − α f (un ) − α un − α = =k , un+1 − β f (un ) − β un − β et que la suite vn = uunn −α −β est une suite géométrique de raison k. Donc vn = k v0 , n et on en déduit l’expression de un ainsi que sa limite s’elle existe. — si (a − d)2 + 4bc = 0 : Soit α la racine double de l’équation f (x) = x (α = (a − d)/2c ). On a alors 1 1 =k+ , ∀z ∈ Df \{α} f (z) − α z−α Où k = 2c/(a + d). On en déduit que 1 1 1 = = + k, un+1 − α f (un ) − α un − α et que la suite vn = un1−α est une suite arithmétique de raison k. Donc vn = nk + v0 , et on en déduit l’expression de un en fonction de n et u0 , ainsi que sa limite s’elle existe. Cas général. La théorie générale ayant pour objet l’étude du comportement de la suite (un ) en fonction du terme initial u0 s’appelle la théorie des systèmes dynamiques discrets. Nous nous contenterons de donner quelques propriétés simples permettant d’étudier quelques exemples bien choisis. Proposition 2.3.8. Si f est croissante : alors la suite (un )n≥0 est monotone (crois- sante si f (u0 ) − u0 > 0, décroissante si f (u0 ) − u0 < 0 et constante si f (u0 ) = u0 ). Si f est décroissante : alors les suites (u2n )n≥0 et (u2n+1 )n≥0 sont monotones et varient en sens inverse l’une de l’autre. Démonstration. On observe que un+1 − un = f (un ) − f (un−1 ), pour n ≥ 1. Si f % : Donc le signe de un+1 − un est égal au signe de un − un−1 , donc il est indépendant de n et est égal au signe de u1 − u0. On en déduit que (un )n≥0 est croissante (resp. décroissante, resp. constante) selon que u1 > u0 (resp. u1 < u0 , resp. u1 = u0 ). 27  Si f & : Alors un+1 − un est alternativement positif ou négatif (on dit que la suite est oscillante). On pose g = f ◦ f, vn = u2n , zn = u2n+1. On a, pour tout entier n : vn+1 = g(vn ), zn+1 = g(zn ). Comme g %, les suites (vn ) et (zn ) sont monotones (d’après le premier cas). Comme zn = f (vn ) et que f est décroissante, (vn ) et (zn ) varient en sens inverse l’une de l’autre.  En ce qui concerne la convergence de la suite ((un )n≥0 , on démontrera ultérieurement le résultat suivant : Proposition 2.3.9. Si (un )n≥0 admet une limite l ∈ D et si f est continue en l, alors f (l) = l (on dit que l est un point fixe de f ). Donc si f est continue et l’équation f (x) = x n’a pas de solutions dans D, alors (un )n≥0 est divergente. Si par contre cette équation admet plusieurs racines dans D, le problème revient à examiner si (un )n≥0 admet l’une de ces racines comme limite. En pratique, on commence par chercher les points fixes de f (ie. on résoud l’équation f (x) = x). Cette résolution facilite la recherche de majorants et de minorants pour la suite (un )n≥0. Le graphe de f peut être utilisé comme source de renseignement sur le comportement de (un )n≥0. Exemple 2.3.4. A titre d’exemple, étudions la suite (un )n≥0 définie par la donnée des deux nombres a > 0 et u0 > 0 et par la relation de récurrence : ! 1 a2 ∀n ∈ N, un+1 = un +. 2 un Observons d’abord que un est défini pour  tout entier n, et que un > 0. Une limite éventuelle de la suite doit vérifier l = 2 l + l ⇐⇒ l2 = a2 ⇐⇒ l = ±a. Comme un est toujours 1 a2 positif, on a l = a. Nous sommes ainsi conduits à comparer un et a : un+1 − a = (un −a)2 2un. Donc un ≥ a, pour tout n ≥ 1. D’autre part un+1 − un = a 2u ≤ 0. Donc la suite (un )n≥0 −un 2 2 n est décroissante et minorée (par a). En fin de compte, elle est convergente et sa limite est a. On peut remarquer la formule suivante  2 un+1 − a un − a = un+1 + a un + a D’où l’on déduit l’expression de un en fonction de un et u0 :   n u0 − a 2  2n 1− un − a u0 − a u0 + a = ⇒ un = a   n. un + a u0 + a u0 − a 2 1+ u0 + a 28    1 2 √ Figure 2.2 – La suite définie par un+1 = un + , u0 = 0.5 converge vers 2. 2 un 2.3.6 Valeurs d’adhèrence et Théorème de Bolzano-Weierstrass Définition 2.3.3. Soit (un )n≥0 une suite réelle et soit l ∈ R. On dit que l est une valeur d’adhèrence de (un )n≥0 s’il existe une suite extraite de (un )n≥0 qui a pour limite l. Exemples 2.3.1. 1. Si une suite admet une limite l ∈ R, alors l est l’unique valeur d’ahèrence de (un ) (donc, par contraposée, une suite qui admet plusieurs valeurs d’adhèrence n’admet pas de limite). 2. La suite un = (−1)n admet deux valeurs adhèrence, à savoir ±1. En effet, lim u2n = 1 et lim u2n+1 = −1. n→∞ n→∞ Donc ±1 sont deux valeurs d’adhèrence de (un ). Si l est une valeur d’adhèrence de (un ), alors il existe une suite extraite (uϕ(n) ) de (un )n≥0 qui a pour limite l. Puisque, lim uϕ(n) = l, on a lim uϕ(n) = 1 = |l|. Donc l = ±1. n→∞ n→∞   nπ 3. La suite un = n sin admet 0 et ±∞ comme valeurs d’adhèrence, car 0 = 4 lim u4n , +∞ = lim u8n+1 et −∞ = lim u8n+3. n→∞ n→∞ n→∞ Le théorème suivant est très important, par ses conséquences et par ses nombreuses généralisations, dont la plus importante est la notion topologique de compacité. Théorème 2.3.5 (de Bolzano-Weierstrass). Toute suite réelle bornée admet une sous-suite convergente. Démonstration. Soit (un )n≥0 une suite réelle bornée : il existe a, b ∈ R, a < b tels que a ≤ un ≤ b, pour tout entier n. Posons I0 = [a, b] = [a0 , b0 ]. On a I0 = [a0 , (a0 + b0 )/2] ∪ [(a0 + b0 )/2, b0 ]. Désignons par I1 = [a1 , b1 ] celui de ces « deux moitiés » qui contient une infinité de termes de la suite (si les deux sous-intervalles contiennent tous les deux une infinité de termes de la suite, on prend a1 = a0 , b1 = (a0 + b0 )/2 ). Comme l’ensemble {n ∈ N/un ∈ I1 } est infini, il existe n1 ≥ 1 tel que un1 ∈ I1. Procédons de même avec I1 : On obtiendra un sous-intervalle I2 = [a2 , b2 ] ⊂ I1 , b2 − a2 = (b − a)/22 , un entier n2 > n1 tel que un2 ∈ I2 Ce procédé peut être répété indéfiniment : on peut donc construire une suite décroissante (Ik )k≥0 de segments emboités ( Ik = [ak , bk ] de longueur l(Ik ) = (b − a)/2k ) et une suite strictement croissante (nk )k≥0 d’entiers telles que unk ∈ Ik , pour tout 29 k ∈ N. Les suites (ak )k≥0 et (bk )k≥0 sont adjacentes : soit x leur limite commune. Comme ak ≤ unk ≤ bk , il en résulte que la suite (unk )k≥0 converge vers x.  Remarque 2.3.4. 1. On peut reformuler le théorème 2.3.5 de Bolzano-Weierstrass, en disant que toute suite réelle bornée admet une valeur d’adhèrence. 2. On peut encore dire que toute suite réelle (un ) (bornée ou non) admet une valeur d’adhèrence dans R. En effet, d’après le théorème 2.3.5, il suffit de traiter le cas où (un ) est non bornée. Supposons, par exemple, que (un ) est non majorée. Alors il existe un indice n0 ∈ N tel que un0 > 0 (car 0 ne majore pas la suite (un )). De même, on peut trouver un indice n1 > n0 tel que un1 > 1 (car 1 ne majore pas la suite). De proche en proche, on construirait une suite strictement croissante d’entiers nk telle que unk > k, pour tout k. Ainsi, on aurait construit une suite extraite (unk )k qui admet +∞ pour limite. On en déduirait que +∞ est une valeur d’adhèrence de (un ). Si (un ) est non minorée, on démontrerait de même que −∞ est une valeur d’adhè- rence de (un ). 30 Chapitre 3 Limites et Continuité d’une fonction 3.1 Limite ponctuelle d’une fonction. 3.1.1 Voisinages d’un point, Point adhèrent à une partie de R. Définition 3.1.1. Soit x0 ∈ R. On dit qu’une partie V ⊂ R est un voisinage de x0 s’il existe ε > 0 tel que V ⊃ ]x0 − ε, x0 + ε[. On dit qu’une partie V ⊂ R 1 est un voisinage de +∞ (resp. −∞) s’il existe A ∈ R tel que [A, +∞[⊂ V (resp. ] − ∞, A] ⊂ V ). L’ensemble des voisnages de x0 est noté par V(x0 ). Une propriété P (x) est dite vraie au voisinage de x0 s’il existe un voisinage V de x0 tel que P (x) soit vraie pour tout x ∈ V. Définition 3.1.2. Soit D une partie de R et soit x0 ∈ R. On dit que x0 est adhèrent à D si D rencontre tout voisinage de x0 : ∀V ∈ V(x0 ), V ∩ D , ∅. Proposition 3.1.1 (Caractérisation des points adhèrents). Soit D une partie de R et soit x0 ∈ R. Les propositions suivantes sont équivalentes : (i) x0 est adhèrent à D. (ii) Il existe une suite (un ) d’éléments de D telle que lim un = x0. n→∞ Démonstration. 1er cas si x0 ∈ R : si x0 est adhérent à D, alors pour tout ε > 0, 1 il existe u ∈ D tel que u ∈ ]x0 − ε, x0 + ε[. En donnant à ε les valeurs , on n 1 construirait une suite (un ) d’éléments de D telle que |un − x0 | < , pour tout n n ∈ N∗. Il est clair que lim un = x0. n→∞ 1. Pour des raisons de commodité, nous commettons ici un léger abus de langage. En topologie, un voisinage d’un point contient nécessairement ce point. Il serait plus juste de considèrer des voisnages de +∞ dans R, et de supposer V ⊂ R et [A, +∞] ⊂ V pour un voisinage de +∞. 31  Inversement, supposons que x0 est la limite d’une suite (un ) d’éléments de D. Alors il existe un rang N tel que |un − x0 | < ε, pour tout n ≥ N. Par construction uN ∈ D ∩ ]x0 − ε, x0 + ε[. Donc x0 est adhèrent à D. 2e cas si x0 = +∞ : si ∞ est adhèrent à D, alors pour tout n ∈ N, il existe un ∈ D∩]n, +∞[. Il est clair que lim un = +∞. n→∞ Inversement, supposons que +∞ est la limite d’une suite (un ) d’éléments de D. Par définition de la limite, pour tout A ∈ R, il existe N ∈ N tel que un ≥ A, pour tout n ≥ N. En particulier D ∩ [A, +∞[, ∅. 3e cas si x0 = −∞ : se fait de manière analogue que le cas précèdent.  Exemples 3.1.1. 1. Les points x0 ∈ D sont évidemment adhèrents à D. 2. Si D est une partie de R, alors sup D et inf D sont adhèrents à D. 3. Tout réel est adhèrent à Q et à R\Q. Définition 3.1.3. Soit f une fonnction réelle définie sur un ensemble D ⊂ R et soit x0 un réel adhèrent à D. On dit que f admet une limite l ∈ R en x0 si ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε), ∀x ∈ D, (|x − x0 | ≤ δ) ⇒ (|f (x) − l| ≤ ε). (3.1) Ou encore : ∀V ∈ V(l), ∃U ∈ V(x0 ), f (U ∩ D) ⊂ V. (3.2) Proposition 3.1.2 (Unicité de la limite). Si f admet une limite l en x0 , alors elle est unique. On parle alors de la limite de f en x0 , et on note : lim f (x) = l ou f (x) −→ l. x→x0 x→x0 Démonstration. Supposons, par l’absurde, que f admet en x0 deux limites distinctes l , l0. |l − l0 | En appliquant la définition 3.1 pour ε = > 0, on aurait : 3 ∃δ > 0, ∀x ∈ D, (|x − x0 | ≤ δ) ⇒ (|f (x) − l| ≤ ε) et

∃δ > 0, ∀x ∈ D, |x − x0 | ≤ δ 0 0 ⇒ f (x) − l0 ≤ ε Posons δ 00 = min(δ, δ 0 ) > 0. On aurait alors :  
2 ∀x ∈ D, |x − x0 | ≤ δ 00 ⇒ l − l0 = l − f (x) + f (x) − l0 ≤ |f (x) − l| + f (x) − l0 ≤ 2ε = l − l0 3 ce qui absurde.  32 3.1.2 Limites par valeurs diffèrentes, limites à droite et limites à gauche La définition précèdente de la limite admet de nombreuses variantes. Nous allons en indiquer quelques-unes. Définition 3.1.4. 1. On suppose que x0 est adhèrent à D\{x0 }. On dit que f admet une limite l ∈ R par valeurs distinctes en x0 , ce que l’on note par lim f (x) = x→x0 ,x,x0 l, si ∀ε > 0, , ∃δ = δ(ε), ∀x ∈ D, (0 < |x − x0 | ≤ δ) ⇒ (|f (x) − l| ≤ ε). (3.3) 2. On suppose que x0 est adhèrent à D∩]x0 , +∞[. On dit que f admet une limite l ∈ R à droite en x0 , ce que l’on note par lim f (x) = lim f (x) = l, si x→x0 ,x>x0 x→x+ 0 ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε), ∀x ∈ D, (x0 < x ≤ x0 + δ) ⇒ (|f (x) − l| ≤ ε). (3.4) 3. On suppose que x0 est adhèrent à D∩] − ∞, x0 [. On dit que f admet une limite l ∈ R à gauche en x0 , ce que l’on note par lim f (x) = lim f (x) = l, si x→x0 ,x 0, ∃δ = δ(ε), ∀x ∈ D, (x0 − δ ≤ x < x0 ) ⇒ (|f (x) − l| ≤ ε). (3.5) Remarques 3.1.1. 1. Si x0 ∈ D et la limite l = lim f (x) existe, alors l = f (x0 ). x→x0 En effet, d’après la définition 3.1, on a |f (x0 ) − l| ≤ ε, pour tout ε > 0, donc f (x0 ) − l = 0 ⇐⇒ f (x0 ) = l. 2. Dans les cas des limites à droite, à gauche ou par valeurs distinctes en x0 , il n’est pas nécessaire que f soit définie en x0 , et si l’une de ces limites existe, elle peut être distincte de f (x0 ).  x + 1 si 0 ≤ x < 1   2 Exemple 3.1.1. Soit f : [0, 2] → R la fonction définie par f (x) = 1 si x = 1   log x si 1 < x ≤ 2 On a lim f (x) = 2 , f (1) = 1 et lim f (x) = 0 , f (1) = 1. x→1− x→1+ Figure 3.1 – Graphe de f (x). 33 Proposition 3.1.3. On suppose que f est définie à droite et à gauche de x0. Pour que f admette une limite l ∈ R en x0 par valeurs diffèrentes, il faut et il suffit que f admette en x0 une limite à gauche et une limite à droite et que ces deux limites soient égales à l : lim f (x) = l ⇐⇒ lim f (x) = lim f (x) = l. x→x0 ,x,x0 x→x− x→x+ 0 0 Démonstration. C’est une conséquence immédiate des définitions.  ( log x si 0 < x < 1 Exemple 3.1.2. Soit g(x) =. On a lim g(x) = lim g(x) = 0, donc 0 si x > 1 x→1− x→1+ lim g(x) = 0. Signalons que la fonction f de l’exemple 3.1.1 n’admet pas de limite en 1. x→1 3.1.3 Limites infinies Définition 3.1.5. Soit f : D → R et x0 ∈ R un point adhèrent à D. On dit que f tend vers +∞ en x0 , ce que l’on note lim f (x) = +∞, si x→x0 ∀A ∈ R, ∃δ = δ(A), ∀x ∈ D, (|x − x0 | < δ) ⇒ (f (x) ≥ A). (3.6) On dit que f tend vers −∞ en x0 , ce que l’on note lim f (x) = −∞, si x→x0 ∀A ∈ R, ∃δ = δ(A), ∀x ∈ D, (|x − x0 | < δ) ⇒ (f (x) ≤ A). (3.7) Remarque 3.1.1. De même que la définition 3.1.3, la définition 3.1.5 admet des variantes analogues. Par exemple, on dira que f tend vers +∞, par valeurs distinctes (resp. à droite, resp. à gauche) en x0 si : ∀A ∈ R, ∃δ = δ(A) > 0, ∀x ∈ D, (0 < |x − x0 | < δ) ⇒ (f (x) ≥ A). (resp. (x0 < x ≤ x0 + δ) ⇒ (f (x) ≥ A), resp. (x0 − δ ≤ x < x0 ) ⇒ (f (x) ≥ A)). Définition 3.1.6. Soit f : D → R une fonction définie sur un ensemble non majoré D. On dit que f tend vers l ∈ R (resp. +∞, resp. −∞) en +∞ si ∀ε > 0, ∃A = A(ε), ∀x ∈ D, x ≥ A ⇒ |f (x) − l| ≤ ε. (resp. ∀M ∈ R, ∃A = A(M ), ∀x ∈ D, x ≥ A ⇒ f (x) ≥ M, resp. ∀M ∈ R, ∃A = A(M ), ∀x ∈ D, x ≥ A ⇒ f (x) ≤ M ). On définit de manière analogue la limite de f en −∞ si D est non minoré. Remarque 3.1.2. Supposons que x0 ∈ R et que lim f (x) = l ∈ R. Soit g une fonction x→x0 qui coincide avec f sur un intervalle ouvert contenant x0. Alors il découle des définitions de la limite que lim g(x) = l. Donc la limite de f en x0 ne dépend que des valeurs de f x→x0 aux points voisins de x0. On dit que la notion de limite est de caractère local. 34 3.1.4 Caractérisation séquentielle La proposition suivante établit un lien entre les limites de suites et les limites de fonctions. Théorème 3.1.1. Soient f : D → R, et soit x0 ∈ R un point adhèrent à D. Alors, pour que lim f (x) = l ∈ R, il faut et il suffit que, pour tout suite (un ) d’éléments de D telle que x→x0 lim un = x0 , on ait lim f (un ) = l. n→∞ n→∞ Démonstration. Il faut distinguer plusieurs cas : x0 ∈ R, x0 = ±∞, l ∈ R ou l = ±∞. Traitons, par exemple, le cas où x0 ∈ R et l ∈ R. Si lim f (x) = l : Soit ε > 0. Il existe δ > 0 tel que x→x0 ∀x ∈ D, |x − x0 | ≤ δ ⇒ |f (x) − l| ≤ ε. D’autre part, soit (un ) une suite d’éléments de D telle que lim un = x0. Il existe n→∞ N ∈ N tel que : ∀n ≥ N, |un − x0 | ≤ δ. Comme les un appartiennent à D, on en déduit que ∀n ≥ N, |f (un ) − l| ≤ ε. Donc lim f (un ) = l. n→∞ Réciproquement, si f (x) ne tend pas vers l lorsque x tend vers x0 : alors, il existe ε > 0 tel que ∀δ > 0, ∃u ∈ D, |u − x0 | ≤ δ et |f (u) − l| > ε 2. 1 En donnant à δ les valeurs , on construirait une suite (un ) d’éléments de D telle n que 1 ∀n ≥ 1, |un − x0 | ≤ et |f (un ) − l| > ε. n Il est clair que lim un = x0 , mais la suite f (un ) ne converge pas vers l. n→∞ Les autres cas sont analogues et laissés en exercice.  Remarque 3.1.3. Le théorème 3.1.1 est parfois utilisé pour montrer qu’une fonction n’admet pas de limite en un point x0. Pour cela, il suffit d’exhiber deux suites (un ) et (vn ) d’éléments de D qui admettent x0 comme limite et telles que(f (un )) et (f (vn )) admettent 1 deux limites distinctes. Par exemple, la fonction f : x 7→ sin n’admet pas de limite en x 1 1 0, car les suites un = et vn = tendent vers 0 lorsque n → ∞, alors que 2nπ + π/2 nπ f (un ) = 1 → 1 et f (vn ) = 0 → 0. 2. C’est le contraire de la proposition (3.1) 35 3.1.5 Opérations sur les limites Le théorème 3.1.1 permet, entre autres, d’étendre les règles de calcul sur les limites de suites aux limites de fonctions. Théorème 3.1.2. Soient f, g : D → R et x0 ∈ R un point adhèrent à D. On suppose que les limites lim f (x) = l ∈ R et lim g(x) = l0 ∈ R existent. Alors : x→x0 x→x0 1. lim (f (x) + g(x)) = l + l0 si l + l0 est défini d